On certain sums of arithmetic functions involving the gcd and lcm of two positive integers
本文得到了双曲求和$\sum_{mn\le x} f((m,n))$和$\sum_{mn\le x} f([m,n])$的带余项的渐近公式，其中$f$属于某些算术函数类，$(m,n)$和$[m,n]$表示整数$m,n$的gcd和lcm.特别是，我们研究的功能$f(n)=τ(n), \log n, ω(n)$和$Ω(n)$。我们还定义了后三个函数的一个共同推广，并证明了相应的结果。
2021-05-28 math.NT
The Integer Values of $\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{\gcd(n,i)}$
该研究探讨使∑_{i=1}^{n}1/gcd(n,i)取整数值的n≤x的集合，证明这类整数的数量为≪x^{2/3+ε}。
2026-10-09 math.NT
Mean value estimates of gcd and lcm-sums
我们研究了广义gcd和lcm函数的平均分布。由$(m,n)_b$表示的广义gcd函数是$m$和$n$共有的最大$b$次幂因子。同样，由$[m,n]_b$表示的广义lcm函数是$m$和$n$共有的最小$b$次幂倍数。我们推导出$(m,n)_b$的算术平均数、几何平均数和调和平均数的平均阶的渐近公式。此外，我们还推导出渐近公式与误差项的手段$(n_1,n_2,\cdots, n_k)_b$，和$[n_1,n_2,\cdots, n_k]_b$在一组格点，从而推广了一些以前的工作gcd和lcm的总和估计。
2020-07-11 math.NT
Gál-type GCD sums beyond the critical line
我们证明了\[ \sum_{k,{\ell}=1}^N\frac{(n_k,n_{\ell})^{2α}}{(n_k n_{\ell})^α} \ll N^{2-2α} (\log N)^{b(α)} \]适用于任意整数$1\le n_1<\cdots < n_N$和$0<α<1/2$，并通过一个例子表明，这个界是最佳的，直到精确的值的指数$b(α)$。这一估计补充了最近的结果$1/2\le α\le 1$，并表明，有没有“痕迹”的函数方程的黎曼ζ函数在估计这样的GCD总和时，$0<α<1/2$。
2016-04-11 math.NT
Large GCD sums and extreme values of the Riemann zeta function
证明了在$T^{1/2}\le t \le T$上的$|ζ(1/2+it)|$的最大值至少为$\exp\left((1/\sqrt{2}+o(1)) \sqrt{\log T \log\log\log T/\log\log T}\right)$ .我们的证明使用Soundararajan的共振方法和一定的大GCD总和。本文证明了我们最近建立的不等式\[ \sup_{1\le n_1<\cdots < n_N} \sum_{k,{\ell}=1}^N\frac{\gcd(n_k,n_{\ell})}{\sqrt{n_k n_{\ell}}} \ll N \exp\left(A\sqrt{\frac{\log N \log\log\log N}{\log\log N}}\right), \]中的绝对常数$A$不能小于$1$。
2016-11-23 math.NT
A note on log-type GCD sums and derivatives of the Riemann zeta function
本文证明了对数型GCD和的上界，推广了Gál定理，并分别用无条件的谱范数方法和基于黎曼zeta函数导数条件上界的方法给出两种证明。
2023-07-05 math.NT
Sums of weighted averages of gcd-sum functions II
本文建立了以下两个涉及Γ函数和伯努利多项式的恒等式，即$$ \sum_{k\leq x}\frac{1}{k^s} \sum_{j=1}^{k^s}\logΓ\left(\frac{j}{k^s}\right) \sum_{\substack{d|k \\ d^{s}|j}}f*μ(d) \quad {\rm and } \quad \sum_{k\leq x}\frac{1}{k^s}\sum_{j=0}^{k^{s}-1} B_{m}\sum_{\substack{d|k \\ d^{s}|j}} f*μ(d) $$与任意固定整数$s> 1$和任意算术函数$f$的恒等式.我们给出了它们与各种乘性函数$f$的渐近公式。我们还考虑了与上述恒等式有关的狄利克雷级数的几个公式。本文是作者早期工作的继续。
2019-12-22 math.NT
Note on Fractional Sums with Fixed GCD
本文研究了具有固定最大公约数的分数和的渐近公式，分析了算术函数在不同整数乘积下的表示个数及其相关性质。
2026-02-12 math.NT
A Menon-type Identity concerning Dirichlet characters and a generalization of the gcd function
Menon恒等式是一个涉及gcd和和欧拉函数$ϕ$的经典恒等式。在最近的一篇论文中，Zhao和Cao导出了Menon型恒等式$\sum\limits_{\substack{k=1}}^{n}(k-1,n)χ(k) = ϕ(n)τ(\frac{n}{d})$，其中$χ$是Dirichlet特征标mod $n$与导体$d$。我们推导出一个类似于此的恒等式，用它的推广来代替gcd。我们还表明，如果使用我们在这里采用的方法，在推导赵曹恒等式时使用的一些参数可以得到改进。
2021-03-17 math.NT
On the random variable $\N \ni l \mapsto \gcd(l,n_1) \gcd(l, n_2) ... \gcd(l, n_k) \in \N$
我们用纯初等方法计算随机变量$\N \ni l \mapsto \gcd(l,n_1) \gcd(l, n_2) ... \gcd(l, n_k) \in \N$的“矩”及其连续模拟。这推广了Deitmar-Koyama-Kurokawa的一个结果，该结果利用一些涉及L-函数的分析来计算其“平均值”。我们证明了这个平均值只不过是有限阿贝尔群$A = \prod_{j=1)^k Z/n_j$的不变量$μ(A) := \sum_{a\in A} \frac{1}{| a |}$。在ArXiv-0910.3879v1中，这个不变量在Connes-Consani意义下的Noether $F_1$ -格式的Soulé型zeta函数中起着重要的作用。
2009-10-20 math.NT
Minimizing GCD sums and applications to non-vanishing of theta functions and to Burgess' inequality
近年来的问题，最大限度地提高GCD总和重新获得兴趣，由于其坚定的联系与大价值的$L$ -功能。本文研究了正规化$L^1$范数的正权~ $\sum_{m_1 , m_2 \leqslant N} w({m_1})w({m_2})\frac{(m_1,m_2)}{\sqrt{m_1m_2}} $的极小化问题.我们认为，以及交织的问题，最小化的加权版本的通常的乘法能量。我们给出了我们的结果的三个应用。首先，我们得到了特征和$\displaystyle{\sum_{M<n\leqslant M+N}χ(n)}$的Burgess界的对数加细，改进了Kerr，Shparlinski和Yau的结果.其次，让我们用$θ(x,χ)$表示与狄利克雷特征标$χ$模$p$相关的θ级数。通过构造一个合适的软化子，我们改进了Louboutin和第二作者的一个结果，证明了对于任何$x>0$，至少存在$ \gg p/(\log p)^{ δ+o(1)}$（具有$δ=1-\frac{1+\log_2 2}{\log 2} \approx 0.08607$）偶特征标使得$θ(x,χ) \neq 0$ .最后得到了特征和的小矩的下界。
2019-07-01 math.NT
Hyperbolic summation for functions of the GCD and LCM of several integers
本文研究了多个整数最大公约数与最小公倍数函数在双曲区域上的求和问题，推导了带有余项的渐近公式，并推广了作者先前在二元情形下的结果。
2023-09-07 math.NT
On some applications of GCD sums to Arithmetic Combinatorics
利用GCD和，我们证明了素数集与任意指数大整数集$S$具有小的公共乘法能量，特别是$S$中任意以零为起点的等差数列的大小至多为$O(\log |S| \cdot \log \log |S|)$ .这个结果可以被认为是Vinogradov关于最小二次非剩余问题的一个整数模拟。证明依赖于函数$f(x)=\log x$的某种排斥性质。此外，我们考虑的情况下，一般的$k$ -凸函数$f$和曲线$y=f(x)+c$的集合得到一个新的关联结果。
2020-10-24 math.CO math.NT
Factorization Theorems for Relatively Prime Divisor Sums, GCD Sums and Generalized Ramanujan Sums
We generalize recent matrix-based factorization theorems for Lambert series generating functions generating the coefficients $(f \ast 1)(n)$ for some arithmetic function $f$ . Our new factorization theorems provide analogs to these established expansions generating sums of the form $\sum_{d: (d,n)=1} f(d)$ (type I) and the Anderson-Apostol sums $\sum_{d|(m,n)} f(d) g(n/d)$ (type II) for any arithmetic functions $f$ and $g$ . Our treatment of the type II sums includes a matrix-based factorization method relating the partition function $p(n)$ to arbitrary arithmetic functions $f$ . We also concl…
2019-09-20 math.NT
GCD sums from Poisson integrals and systems of dilated functions
证明了[ \sum_{k,{\ell}=1}^N \frac{(\gcd(n_k,n_{\ell}))^{2α}}{(n_k n_{\ell})^α} ]形式的GCD和的上界，其中$(n_k)_{1 \leq k \leq N}$是不同正整数的任意序列，$0<α\le 1$ ;对$α=1/2$的估计特别解决了Dyer和Harman在1986年提出的一个问题，并且除了可能对$α=1/2$之外，这些估计都是最优的.证明的方法是基于确定的总和作为一个特定的泊松积分的多圆盘;作为副产品，我们还得到了相应的GCD矩阵的最大特征值的估计，并利用这些GCD和的界建立了有界变差或属于$\lip12$的扩张函数系统的Carleson-Hunt型不等式，从而解决了a.e.扩张函数系的行为：a.e.形式$\sum_{k=1}^N f(n_k x)$和a.e.的和的增长当$f$是1-周期的且有界变差或在$\lip12$中时，$\sum_{k=1}^\infty c_k f(n_kx)$收敛。
2013-11-11 math.CA math.CV math.FA
On the asymptotic density of the ordered pairs $(a,b)$ of positive integers such that $\gcd(ab,a+b)=\gcd(a,b)$
研究二元算术函数 $f(a,b)=\gcd(ab,a+b)/\gcd(a,b)$，推导了形如 $\sum_{a,b\le x} h(f(a,b))$ 的和的渐近公式，特别得到了满足 $f(a,b)=m$ 的有序对数量的渐近公式，其中 $m=1$ 时密度为二次类数常数 $C$。
2026-08-26 math.NT
Additive arithmetic functions meet the inclusion-exclusion principle: Asymptotic formulas concerning the GCD and LCM of several integers
我们得到了包含整数$n_1,\ldots,n_k$的gcd和lcm的和$\sum_{n_1,\ldots,n_k\le x} f((n_1,\ldots,n_k))$和$ \sum_{n_1,\ldots,n_k\le x} f([n_1,\ldots,n_k])$的渐近公式，其中$f$属于某些加性算术函数类.特别地，我们考虑了由Duncan（1962）和Hassani（2018）研究的广义Ω函数$Ω_{\ell}(n)= \sum_{p^ν\mid\mid n} ν^{\ell}$，以及由Alladi和Erds（1977）研究的函数$A(n)=\sum_{p^ν\mid\mid n} νp$、$A^*(n)= \sum_{p \mid n} p$、$B(n)=A(n)-A^*(n)$。作为一个关键的辅助结果，我们使用一个包含-排除型恒等式。
2022-05-28 math.CO math.NT
On sums of arithmetic functions involving the greatest common divisor
令$\gcd(d_{1},\ldots,d_{k})$是正整数$d_{1},\ldots,d_{k}$的最大公因数，对任意整数$k\geq 2$，并令$τ$和$μ$分别表示除数函数和莫比乌斯函数。对任意算术函数$g$，对任意实数$x>5$和任意整数$k\geq 3$，定义了和$$ S_{g,k}(x) :=\sum_{n\leq x}\sum_{d_{1}\cdots d_{k}=n} g(\gcd(d_{1},\ldots,d_{k})) $$.本文给出了$k\geq 3$的和$S_{τ,k}(x)$和$S_{μ,k}(x)$的渐近公式.
2021-02-07 math.NT
On the index of length four minimal zero-sum sequences
设$G$是有限循环群. $G$上的每个序列$S$都可以写成$S=(n_1g)\cdot\ldots\cdot(n_lg)$的形式，其中$g\in G$和$n_1, \ldots, n_l\in[1, \ord(g)]$，并且$S$的索引$\ind(S)$被定义为所有可能的$g\in G$上的$(n_1+\cdots+n_l)/\ord(g)$的最小值，使得$\langle g \rangle =G$。关于长度为4的序列的指数的一个猜想是说，在具有$\gcd(|G|, 6)=1$的有限循环群$G$上，每个长度为4的极小零和序列的指数为1。该猜想最近被证实的情况下，$|G|$是一个产品的最多两个素数的权力。然而，总的情况仍然开放。在本文中，我们取得了一些进展，解决一般情况。基于以前的工作对这个问题，我们表明，如果$G=\langle g\rangle$是一个有限的循环群的顺序$|G|=n$，使$\gcd(n,6)=1$和$S=(x_1g)(x_2g)(x_3g)(x_4g)$是一个最小的零和序列在$G$，使$x_1,\cdots,x_4\in[1,n-1]$与$\gcd(n,x_1,x_2,x_3,x_4)=1$，和$\gcd(n,x_i)>1$的一些$i\in[1,4]$，然后$\ind(S)=1$。利用本文提出的一种新的证明方法，对$|G|$是两个素数幂的乘积时的指数猜想给出了一个…
2014-02-02 math.NT
On Menon-Sury's identity with several Dirichlet characters
梅农-苏里恒等式如下：\begin{equation*} \sum_{\substack{1 \leq a, b_1, b_2, \ldots, b_r \leq n\\\mathrm{gcd}(a,n)=1}} \mathrm{gcd}(a-1,b_1, b_2, \ldots, b_r,n)=φ(n) σ_r(n), \end{equation*}其中$φ$是欧拉函数，而$σ_r(n)=\sum_{d\mid n}{d^r}$是欧拉函数。最近，Li，Hu和Kim \cite{L-K}将上述恒等式推广到具有Dirichlet特征标的多变量情形，即，他们证明了\begin{equation*} \sum_{\substack{a\in\Bbb Z_n^\ast \\ b_1, \ldots, b_r\in\Bbb Z_n}} \mathrm{gcd}(a-1,b_1, b_2, \ldots, b_r,n)χ(a)=φ(n)σ_r{\left(\frac{n}{d}\right)}, \end{equation*}，其中$χ$是模$n$的Dirichlet特征标，$d$是$χ$的导体。在本文中，我们显式计算和\begin{equation*}\sum_{\substack{a_1, \ldots, a_s\in\Bbb Z_n^\ast \\ b_1, ..., b_r\in\Bb…
2018-07-25 math.NT
A generalization of Tóth identity in the ring of algebraic integers involving a Dirichlet Character
$k$维广义欧拉函数$φ_k(n)$被定义为有序$k$元组$(a_1,a_2,\ldots, a_k) \in \mathbb{N}^k$与$1\leq a_1,a_2,\ldots, a_k \leq n$的数量，使得乘积$a_1a_2\cdots a_k$和$a_1+a_2+\cdots+a_k$都与$n$互质. Tóth证明了恒等式\begin{equation*} \sum_{\substack{a_1,a_2,\ldots, a_k=1 \\ \gcd(a_1a_2\cdots a_k,n)=1\\ \gcd(a_1+a_2+\cdots+a_k,n)=1}}^n \gcd(a_1+a_2+\cdots+a_k-1,n) =φ_k(n)σ_0(n), \;\; \text{ where } σ_s(n) = \sum_{d\mid n}d^s \;\; \text{ holds. } \end{equation*}这个恒等式也可以看作是梅农恒等式的推广。本文将这个恒等式推广到含算术函数和Dirichlet特征标的代数整数环。
2021-06-26 math.NT
A Menon-type Identity derived using Cohen-Ramanujan sum
本文提出了一种利用Cohen-Ramanujan和概念推导Menon型恒等式的替代方法，该恒等式涉及gcd和的推广与Klee函数。
2023-07-01 math.NT
Estimates for $k$-dimensional spherical summations of arithmetic functions of the GCD and LCM
研究了$k$维球面区域内涉及整数GCD和LCM算术函数的求和问题，推导了带余项的渐近公式。
2024-01-03 math.CO math.NT
Joint distribution in residue classes of the base-$q$ and Ostrowski digital sums
令$q$为整数$\geq 2$，并且令$S_q(n)$表示基$q$中的$n$的位数之和。对于\[ α=[0;\overline{1,m}],\ m\geq 2, \]，让$S_α(n)$表示$n$的Ostrowski $α$表示中的数字之和。令$m_1,m_2\geq 2$是具有$$\gcd(q-1,m_1)=\gcd(m,m_2)=1.$$的整数我们证明存在$δ>0$，使得对于所有整数$a_1,a_2$，\begin{eqnarray*} &&|\{0\leq n<N: S_{q}(n)\equiv a_1\pmod{m_1},\ S_α(n)\equiv a_2\pmod{m_2}\}| &=&\frac{N}{m_1m_2}+O(N^{1-δ}). \end{eqnarray*}该等式所隐含的渐进关系已由Coquet、Rhin和Toffin证明，并且该等式已由Spiegelhofer证明了$α=[\ \overline{1}\ ]$情况下的等式。
2017-10-26 math.NT
A generalization of Menon's identity with Dirichlet characters
经典的梅农恒等式[7]指出，\begin{equation*}\label{oldbegin1} \sum_{\substack{a\in\Bbb Z_n^\ast }}\gcd(a -1,n)=φ(n) σ_{0} (n), \end{equation*}其中对于正整数$n$，$\Bbb Z_n^\ast$是环$\Bbb Z_n=\Bbb Z/n\Bbb Z$的单位群，$\gcd(\ ,\ )$表示最大公约数，$φ(n)$是欧拉函数，$σ_{k} (n) =\sum_{d|n } d^{k}$是除数函数。本文将Menon恒等式推广到Dirichlet特征标：\begin{equation*} \sum_{\substack{a\in\Bbb Z_n^\ast b_1, ..., b_k\in\Bbb Z_n}} \gcd(a-1,b_1, ..., b_k, n)χ(a)=φ(n)σ_k\left(\frac{n}{d}\right), \end{equation*}其中$k$是非负整数，$χ$是模$n$的Dirichlet特征标，其导体是$d$ .我们的结果可以看作是Zhao和Cao的结果[16]到$k>0$的推广.它也可以被看作是Sury结果[12]对Dirichlet特征标的推广。
2018-02-02 math.NT
A Menon-type identity using Klee's function
Menon恒等式是一个涉及gcd和和欧拉函数$ϕ$的经典恒等式。$ϕ$的自然推广是Klee函数$Φ_s$。在本文中，我们推导出一个Menon型恒等式使用克利的功能和推广的gcd功能。这个恒等式推广了Lee和Kim在[ \textit{J. Number Theory 175, 42--50(2017)} ]中给出的恒等式。
2020-09-25 math.NT
The summatory function of the Möbius function involving the greatest common divisor
本文定义了涉及最大公约数的Möbius函数求和函数$S_\mu(x)$，给出其渐近公式，在黎曼猜想假设下推导了误差项的均方估计，证明运用了Perron公式等数论工具。
2024-03-05 math.NT
On the sum of fourth powers in arithmetic progression
证明了方程${ (x - y)^4 + x^4 + (x + y)^4 = z^n }$对所有整数${ n > 1 }$不存在满足${ \gcd(x, y) = 1 }$的整数解${ x, y, z}$.我们主要使用模块化的方法与两个FreyPDMATHABMQ-曲线定义的领域${ \mathbb{Q}( \sqrt{30} ) }$。
2020-06-18 math.NT
Convergence of series of dilated functions and spectral norms of GCD matrices
建立了一类$α\in (1/2,1)$的$j$阶傅里叶系数为$\mathcal{O}(j^{-α})$的扩张函数和的$L^2$范数与一类最大公因数（GCD）矩阵的谱范数之间的联系.利用这些谱范数的最新界，我们得到了$L^2$收敛和扩张函数级数几乎处处收敛的尖锐条件。
2014-12-02 math.CA math.NT math.PR
Alternating sums concerning multiplicative arithmetic functions
本文推导了交错和$\sum_{n\le x} (-1)^{n-1} f(n)$和$\sum_{n\le x} (-1)^{n-1} \frac1{f(n)}$的渐近公式，其中$f$是下列经典乘法算术函数之一：欧拉函数，Dedekind函数，除数和函数，除数函数，gcd和函数.我们还考虑这些函数的类似物，这是与酉和指数因子，以及其他特殊函数。我们的一些结果改进了Bordellès和Cloitre得到的误差项。我们提出了一些悬而未决的问题。
2016-12-29 math.NT
Double exponential sums and congruences with intervals and exponential functions modulo a prime
设$p$是一个大素数，$g$是任意乘阶$T$模$p$的整数.本文给出了双指数和$$ S=\sum_{n\in \mathcal{N}}\left|\sum_{m\in \mathcal{M} }e_p(an g^{m})\right|, \quad \gcd (a,p)=1, $$的一个新的估计，其中$\mathcal{N}$和$\mathcal{M}$是具有$|\mathcal{N}|=N$和$|\mathcal{M}|=M<T$元素的连续整数的区间.一个代表性的例子是主要结果的以下结果：如果$N=M\approx p^{1/3}$，则$|S|< N^{2-1/8 + o(1)}$。然后，我们应用我们的估计，以获得新的结果添加剂同余涉及区间和指数函数。
2018-10-15 math.NT
Refinements of Gál's theorem and applications
我们给出了Gál的一个著名定理以及Aistleitner，Berkes和Seip [1]关于GCD和的大小的最近相关结果的一个简单证明.事实上，我们的方法获得了Gál定理中的渐近尖锐常数，这是新的。我们的方法也给出了一个透明的解释之间的关系的最大尺寸的黎曼ζ函数的垂直线和边界上的GCD总和，这一点是以前不清楚。进一步得到了GCD矩阵谱范数的精确界，解决了[2]中提出的一个问题。我们使用的谱范数的界限表明，一系列的有界变化的周期函数的膨胀形成的收敛几乎处处不在，如果该系列的系数是在$L^2 (\log\log 1/L)^γ$，与$γ> 2$。这是之前已知的$γ>4$，并且已知$γ<2$失败。本文还对有界变差函数建立了一个尖锐的Carleson-Hunt型定理，解决了文[1]中提出的另一个问题。最后，我们改进了文献[1]，得到了有界变差的周期函数伸缩部分和的几乎处处界。这意味着$\{n_k x\}$与$n_k$的任意增长的整数序列的差异几乎肯定的界限。
2014-08-11 math.CA math.CO math.NT
On perfect powers that are sums of cubes of a nine term arithmetic progression
本文研究九项等差数列立方和等于完全方幂的方程，在特定条件下证明大素数指数时仅有平凡解，而对指数2和3通过椭圆曲线构造出无穷多解。
2023-09-19 math.NT
Hyperbolic summation involving the function $Ω(n)$ and lcm
本文研究了在双曲区域 $\{(a,b,c) \in \mathbb{Z}_{\geq 1}^3 : abc \leq x\}$ 上涉及素因子计数函数 $Ω(n)$ 与最小公倍数的求和 $\sum_{abc \leq x} Ω([a,b,c])$，并为其推导出了渐近公式。
2024-12-21 math.NT
Sums of products of congruence classes and of arithmetic progressions
考虑同余类R_m（a）={a+im：i \in Z}和无穷等差数列P_m（a）={a+im：i \in N_0}.对于正整数a，b，c，d，m，积和集R_m（a）R_m（b）+R_m（c）R_m（d）由（a+im）（b+jm）+（c+km）（d+ \ell m）形式的所有整数组成，其中i，j，k，\ell \in Z为任意整数.证明了若gcd（a，b，c，d，m）=1，则R_m（a）R_m（b）+R_m（c）R_m（d）等于同余类R_m（ab+cd），积集P_m（a）P_m（b）+P_m（c）P_m（d）的和最终与无穷等差数列P_m（ab+cd）重合.
2007-07-24 math.NT
Yet another representation for the sum of reciprocals of the nontrivial zeros of the Riemann zeta-function
标题中的和的正性是X提出的黎曼假设有效性的著名判据中的第一个条件。J. Li.在本文中，这个值被表示为一个具有正和项的无穷和。
2014-10-26 math.NT
On the sum of fifth powers in arithmetic progression
本文针对互素条件下等差数列五次幂和等于 $p$ 次幂的 Diophantine 方程，结合模方法、Frey 曲线、模形式与辛论证，给出不可解性证明方案，并处理 $d=2,3$ 及特定模 $9$ 渐近情形。
2024-04-04 math.NT
APN trinomials and hexanomials
本文在$\mathbb{F}_{2^n}$上给出了一类新的APN三项式，其形式为$X^{2^k+1} + (\mathsf{tr}^{n}_{m}(X))^{2^k+1}$，其中$\mathsf{gcd}(k,n)=1$和$n = 2m = 4t$.对于所有$n = 4t$，该族满足Kim函数的一个有趣性质，在等价的情况下，Kim函数是唯一已知的等效于$\mathbb{F}_{2^{2m}}$上的置换的APN函数。作为本文的另一个贡献，我们考虑了一个六项多项式$g_{C,k}$族，当四项$P_{C,k}$在特定子群中没有根时，Budaghyan和Carlet（2008）证明了该族是差分$2^{\mathsf{gcd}(m,k)}$ -均匀的。本文对所有的$(m,k)$对，刻画、构造并计数了所有满足条件的$C \in \mathbb{F}_{2^n}$. Bracken，Tan and Tan（2014）和Qu，Tan and Li（2014）分别构造了满足条件的元素$C$，当$m \equiv 2 \textrm{or} 4 \pmod{6}$和$m \equiv 0 \pmod{6}$都需要$\mathsf{gcd}(m,k) = 1$时。Bluher（2013）证明了这样的$C$存在，当且仅当$k \ne m$，而不对这些$C$进行表征、构造或计数。为了证明结果，我们有效地使用…
2014-10-27 math.CO math.NT
On the mod $p^2$ determination of $\sum_{k=1}^{p-1}H_k/(k\cdot 2^k)$: another proof of a conjecture by Sun
对于正整数$n$，令$H_n=\sum_{k=1}^{n}1/k$为$n$次谐波数。Z. W. Sun证明了对任何素数$p\ge 5$，$$ \sum_{k=1}^{p-1}\frac{H_k}{k\cdot 2^k} \equiv7/24pB_{p-3}\pmod{p^2}. $$. W. Sun和L. L.赵本文通过建立$\sum_{k=1}^{p-1}2^{\pm k}H_k^r/k^s \,(\bmod{\, p^{4-r-s}})$与$(r,s)\in\{(1,1),(1,2),(2,1) \}$形式的所有和的同余式，给出了上述同余式的另一个证明.
2011-08-18 math.NT
Counting invertible sums of squares modulo $n$ and a new generalization of Euler totient function
本文引入并研究了推广欧拉函数的一类算术函数族$Φ_k$。这些函数由方程$\gcd(x_1^2+\ldots +x_k^2, n)=1$与$x_1,\ldots,x_k \in {\mathbb{Z}}/n{\mathbb{Z}}$的解的数目给出，对于$k=2,4$和$8$，这些解分别与${\mathbb{Z}}/n{\mathbb{Z}}$上的高斯整数、四元数和八元数的环中的单位数一致。证明了$Φ_k$对每个$k$都是乘性的，利用$n$的素幂分解得到了$Φ_k(n)$的一个显式表达式，并导出了$\sum_{n\le x} Φ_k(n)$的一个渐近公式.作为一种工具，我们调查的乘法算术函数，计数的解决方案的数量$x_1^2+\ldots +x_k^2\equiv λ$（模$n$）$λ$互质$n$，从而扩展了旧的结果，只处理与总理$n$的情况。
2014-06-25 math.NT
Evaluation of Convolution Sums entailing mixed Divisor Functions for a Class of Levels
令$0< n,α,β\in\mathbb{N}$使得$\gcd{(α,β)}=1$。我们进行的卷积和$\underset{\substack{ {(k,l)\in\mathbb{N}^{2}} \\ {α\,k+β\,l=n} } }{\sum}σ(k)σ_{3}(l)$和$\underset{\substack{ {(k,l)\in\mathbb{N}^{2}} \\ {α\,k+β\,l=n} } }{\sum}σ_{3}(k)σ(l)$的所有级别$αβ\in\mathbb{N}$的评估，通过使用特定的模块形式。接下来，我们应用属于这类水平的卷积和来确定正整数$n$的表示数的公式，当水平为$αβ\equiv 0\pmod{4}$时，用十二个变量的二次形式$\underset{i=1}{\overset{12}{\sum}}x_{i}^{2}$表示，当水平为$αβ\equiv 0\pmod{3}$时，用$\underset{i=1}{\overset{6}{\sum}}\,(\,x_{2i-1}^{2}+ x_{2i-1}x_{2i} + x_{2i}^{2}\,)$表示。然后，通过明确评估$αβ=3$，$4$，$6$，$7$，$8$，$9$，$12$，$14$，$15$，$16$，$18$，$20$，$21$，$27$，$32$的卷积和来说明我们的方法。这些卷积和，然后应用于确…
2019-05-14 math.NT
On a generalization of Menon-Sury identity to number fields involving a Dirichlet Character
对于每一个正整数$n$，Sita Ramaiah的恒等式指出\medskip \begin{equation*} \sum_{a_1, a_2, a_1+a_2 \in (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^*} \gcd(a_1+a_2-1,n) = ϕ_2(n)σ_0(n) \; \text{ where } \; ϕ_2(n)= \sum_{a_1, a_2, a_1+a_2 \in (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^*} 1, \end{equation*} \medskip其中$(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^*$是环$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$和$σ_s(n) = \displaystyle\sum_{d\mid n}d^s$的乘法群。\smallskip这个恒等式也可以看作是梅农恒等式的推广。在这篇文章中，我们推广这个身份，一个代数数域$K$涉及的Dirichlet字符$χ$。我们的结果是最近在\cite{wj}和\cite{sury}的结果的进一步推广。
2020-12-04 math.NT
An extension of a result of Erdös and Zaremba
埃尔德什和扎伦巴表明，$ \limsup_{n\to \infty} \frac{Φ(n)}{(\log\log n)^2}=e^\g$，$\g$是欧拉常数，其中$Φ(n)=\sum_{d|n} \frac{\log d}{d}$。我们将这个结果推广到函数$Ψ(n)= \sum_{d|n} \frac{(\log d )(\log\log d)}{d}$和其他一些函数。我们表明，$ \limsup_{n\to \infty}\, \frac{Ψ(n)}{(\log\log n)^2(\log\log\log n)}\,=\, e^\g$。证明需要开发一种新的方法。作为应用，我们证明了对任何$η>1$，任何有限实数序列$\{c_k, k\in K\}$，$\sum_{k,\ell\in K} c_kc_\ell \, \frac{\gcd(k,\ell)^{2}}{k\ell} \le C(η) \sum_{ν\in K} c_ν^2(\log\log\log ν)^ηΨ(ν) $，其中$C(η)$只依赖于$η$.这改进了作者最近得到的一个结果。
2020-12-28 math.NT
Weighted Sylvester sums on the Frobenius set in more variables
令$a_1,a_2,\dots,a_k$是正整数，其中$\gcd(a_1,a_2,\dots,a_k)=1$。令${\rm NR}={\rm NR}(a_1,a_2,\dots,a_k)$表示不能用$a_1,a_2,\dots,a_k$表示的正整数集合。最大不可表示整数$\max{\rm NR}$、不可表示正整数个数$\sum_{n\in{\rm NR}}1$、不可表示正整数和$\sum_{n\in{\rm NR}}n$与著名的Frobenius问题有关，长期以来一直被广泛研究.本文利用欧拉数给出了加权和$\sum_{n\in{\rm NR}}λ^{n}n^μ$的计算公式，其中$μ$非负整数，$λ$是复数.我们还研究了不可表示数的幂和三个变量的一些公式。几个例子说明和支持我们的结果。
2021-09-29 math.CO math.NT
A note on another approach on power sums
本文首先回顾了Muschielok在arXiv：2207. 01935 v1中提出的幂和的新方法，它可以用公式$S_m^{(a)}(n) = \sum_{k} c_{mk} ψ_k^{(a)}(n)$来概括，其中$S_m^{(a)}(n) = \sum_{k} c_{mk} ψ_k^{(a)}(n)$是展开系数，基函数$ψ_m^{(a)}(n)$满足递归性质$ψ_m^{(a+1)}(n)= \sum_{i=1}^n ψ_m^{(a)}(i)$ .然后，我们指出了一些补充事实，有关上述方法没有考虑明确Muschielok的文件。特别是，我们表明，对于任何给定的$m$，值的$c_{mk}$的，可以通过反转矩阵只涉及二项式系数。这可以与Muschielok的原始方法进行比较，其中$c_{mk}$的值可以通过对涉及第一类Stirling数的下三角形矩阵求逆来获得。同时，我们对系数$c_{m\, m-k}$的函数形式作了一个猜想。
2022-09-05 math.NT
Sylvester sums on the Frobenius set in arithmetic progression
令$a_1,a_2,\dots,a_k$是正整数，其中$\gcd(a_1,a_2,\dots,a_k)=1$。在\cite{KZ0,KZ}中引入了加权和$\sum_{n\in{\rm NR}}λ^{n}$的概念，其中${\rm NR}={\rm NR}(a_1,a_2,\dots,a_k)$表示不能用$a_1,a_2,\dots,a_k$表示的正整数的集合。当$λ=1$，这样的总和通常被称为西尔维斯特总和。本文的主要目的是给出Sylvester和（$λ=1$）与加权和（$λ\ne 1$）的显式表达式，其中$a_1,a_2,\dots,a_k$构成等差数列.作为应用，还考虑了各种其他情况，包括加权和，几乎等差数列，等差数列与附加项，和几何类序列。几个例子说明并证实了我们的结果。
2022-03-23 math.CO math.NT
Elementary Evaluation of Convolution Sums involving the Sum of Divisors Function for a Class of positive Integers
本文讨论了计算具有$\gcd{(α,β)}=1$和$αβ=2^ν\mho$的$α,β\in\mathbb{N}$的卷积和$\underset{\substack{ {(l,m)\in\mathbb{N}_{0}^{2}} \\ {α\,l+β\,m=n} } }{\sum}σ(l)σ(m)$的一种初等方法，其中$ν\in\{0,1,2,3\}$和$\mho$是不同奇素数的有限乘积.模块化形式用于实现这一结果。我们还将卷积和的提取推广到所有的自然数。正整数$n$的表示数的八元二次形式使用卷积和属于这一类的公式，然后确定当$αβ\equiv 0\pmod{4}$或$αβ\equiv 0\pmod{3}$。为了实现这一应用程序，我们首先讨论了一种方法来计算所有对$(a,b),(c,d)\in\mathbb{N}^{2}$必要的确定这样的公式的数量表示一个正整数$n$的八元二次形式时，$αβ$具有上述形式和$αβ\equiv 0\pmod{4}$或$αβ\equiv 0\pmod{3}$。我们通过明确评估$αβ=33=3\cdot 11,\> αβ=40=2^{3}\cdot 5$和$αβ=56=2^{3}\cdot 7$的卷积和，并通过重新评估$αβ=10$，$11$，$12$，$15$，$24$的卷积和来说明我们的方法。然后，我们应用这些卷积和确定公式的数量表示一个正整数$n$的八元二…
2017-07-30 math.NT
On a class of arithmetic convolutions involving arbitrary sets of integers
设$d,n$为正整数，$S$为任意一组正整数。如果$d|n$和gcd $(d,n/d)\in S$，我们说$d$是$n$的$S$ -约数。考虑由式（1.1）给出的算术函数的$S$ -卷积，其中和在$n$的$S$ -约数上扩展。我们确定了$S$的集合，使得$S$ -卷积分别是结合的和保持函数的乘法性，并讨论了它的其他基本性质.我们给出了函数$σ_S(n)$和$τ_S(n)$的带误差项的渐近公式，分别表示任意$S$的$S$ -约数之和个数.我们改进了这些公式的余项，并找到了$σ_S(n)$和$τ_S(n)$的极大序模，假设$S$的附加属性。这些结果推广、统一和加强了以前的结果。我们也提出了一些问题，这些主题。
2006-10-19 math.NT
Menon-type identities again: A note on a paper by Li, Kim and Qiao
我们给出了Sivaramakrishnan（1969）和Li，Kim，Qiao（2019）的Menon型恒等式的一般推广。我们的一般身份涉及算术函数的几个变量，也包含，作为特殊情况下，身份的gcd和类型的功能。我们指出了一个新的Menon型恒等式有关lcm函数。我们提出了一个简单的字符自由的证明方法。
2020-05-06 math.GR math.NT
On the Mean Value of $D_k(n)$ in Arithmetic Progressions
Faculty of Science and Technology, Tissemsilt University, Algeria（提塞姆西勒特大学科学与技术学院）；FIMA Laboratory, Khemis Miliana University, Algeria（赫米斯米利安纳大学）
本文研究了在算术进展中 $D_k(n)$ 的均值，通过建立渐近公式推广了之前的研究成果。
2026-02-12 math.NT
Partition-theoretic formulas for arithmetic densities
如果$\gcd(r,t)=1$，然后一个定理的Alladi提供莫比乌斯和身份$$-\sum_{\substack{ n \geq 2 \\ p_{\rm{min}}(n) \equiv r \pmod{t}}} μ(n)n^{-1}= \frac{1}{φ(t)}. $$这里$p_{\rm{min}}(n)$是最小的素因子的$n$。右侧表示固定算术级数模$t$中素数的比例。轨迹广义这Chebotarev密度伽罗瓦扩展。在回答一个问题的Alladi，我们得到类似的这些结果的算术密度的子集的正整数使用$q$系列和整数分区。对于密度为$d_§$的正整数的适当子集$§$，我们证明了\[- \lim_{q \to 1} \sum_{\substack{ λ\in \mathcal{P} \\ \rm{sm}(λ) \in §}} μ_{\mathcal{P}} (λ)q^{\vert λ\vert} = d_§,\]（其中和取整数分划$λ$），$μ_{\mathcal{P}}(λ)$是一个分划论的莫比乌斯函数，$\vert λ\vert$是分划$λ$的大小，$\rm{sm}(λ)$是$λ$的最小部分.特别是，我们得到的$π$的偶幂的分割理论公式时，考虑功率免费的整数。
2017-05-09 math.CO math.NT
