Elliptic solutions of the Toda chain and a generalization of the Stieltjes-Carlitz polynomials
我们构造了限制Toda链的新的椭圆解。这些解决方案产生了一个新的显式类的正交多项式，可以被认为是推广的Stieltjes-Carlitz椭圆多项式。建立了特征（即正定）函数、Toda链和正交多项式之间的关系，从而导出了这些多项式的主要性质。这些多项式的递推系数和权函数被显式地表达。在椭圆函数退化的情形下，出现了修正的Meixner多项式和Krall-Laguerre多项式。
2010-09-27 math.CA
Toda and Laguerre-Freud equations for multiple discrete orthogonal polynomials with an arbitrary number of weights
本文将半经典多重离散正交多项式的研究扩展到任意数量权重的情形，并为多重广义Charlier族和多重广义Meixner II族推导出多重版本的Toda方程与Laguerre-Freud方程。
2024-06-30 math-ph math.CA math.MP
Generalized Burchnall-Type Identities for Orthogonal Polynomials and Expansions
将Burchnall反演Hermite多项式的Feldheim-Watson线性化公式的方法推广到Askey格式及其$q$ -模拟中的所有多项式族。由此产生的扩展公式明确的几个家庭对应的措施与无限支持，包括威尔逊和阿斯基-威尔逊多项式。一个完整的版本给出了可能性，给出替代的表达正交多项式相对于修改后的重量。这给出了多项式的展开式，例如Hermite、Laguerre、Meixner、Charlier、Meixner-Pollaczek和大$q$ -雅可比多项式和大$q$ -Laguerre多项式。我们表明，人们可以找到扩展的正交多项式对应的户田修改的重量为经典多项式，对应于已知的显式解决方案户田格，即，Hermite，Laguerre，Charlier，Meixner，Meixner-Pollaczek和Krawtchouk多项式。
2018-07-17 math.CA
Hermite-Padé approximation, multiple orthogonal polynomials, and multidimensional Toda equations
本文综述了Hermite-Padé逼近、多重正交多项式与多维Toda方程之间的联系，并介绍了向插值问题和非交换代数的推广。
2023-10-26 cs.NA math-ph math.CA
Darboux tranformation and solutions of some integrable systems
分析了达布变换与满KostantToda格的解之间的关系。利用离散的Korteweg de Vries方程得到了这类解，并将[1]的主要结果推广到一般（p + 2）-带状Hessenberg矩阵的情形。
2016-07-18 math-ph math.CA math.FA
Higher analogues of the discrete-time Toda equation and the quotient-difference algorithm
离散时间户田方程作为与一元正交多项式相关的相关汉克尔行列式的通用方程，通过邻接机制产生，这相当于在正交条件中包含移位权函数。在本文中，我们将这种机制扩展到一类新的两个变量的正交多项式的变量通过椭圆曲线。这导致了一个“高阶的离散时间Toda”（HADT）方程的相关汉克尔行列式，连同其拉克斯对，这是来自相关的递归关系的正交多项式。类似于将商差分（QD）算法与离散时间Toda方程相联系，提出了一种新的求解HADT方程的商差分（QQD）格式。我们证明了对于HADT方程和QQD格式，几乎所有的$\s\in\Z^2$都存在适定的$s$ -周期初值问题.从拉克斯对，我们进一步推导出相应的减少动力映射的一些明确的例子不变量。
2011-02-21 math.CA nlin.SI
The Toda and Painlevé Systems Associated with Semiclassical Matrix-Valued Orthogonal Polynomials of Laguerre Type
考虑拉盖尔多项式，并通过引入零点处的指数奇异性来变形它们。在[Chen Y.，它的A，J.近似值Theory 162（2010），270-297，arXiv：0808.3590]，作者证明了这种变形可以通过对应递归系数的微分/差分方程系统来描述，并且这些方程最终等价于Painlevé III方程及其Bäcklund/Schlesinger变换。在这里，我们证明了一个类似的结果保持某种半经典矩阵值正交多项式的Laguerre型。
2018-07-21 math-ph math.CA math.MP
Pearson Equations for Discrete Orthogonal Polynomials: I. Generalized Hypergeometric Functions and Toda Equations
将矩矩阵的Cholesky分解应用于齐次格上的离散正交多项式。特别地，研究了由离散皮尔逊方程构造的半经典离散正交多项式。引入Laguerre-Freud结构的半无限矩阵，该半无限矩阵对正交多项式集合的自变量进行$\pm 1$移位建模。在半经典的情况下，它被证明是带状的拉盖尔-弗洛伊德矩阵。从半经典权矩是广义超几何函数的对数导数这一众所周知的事实出发，证明了这些超几何函数的邻接关系如何转化为相应矩矩阵的对称性.结果表明，三维Nijhoff-Capel离散Toda格描述了正交多项式的平方范数的连续位移.讨论了这类半经典离散正交多项式的连续Toda，导出了相容性方程。它还表明，Kadomtesev-Petvishvilii方程连接到一个适当的变形半经典离散重量，但在这种情况下，变形不满足皮尔逊方程。
2021-07-14 math-ph math.CA math.MP
Multidimensional Toda Lattices: Continuous and Discrete Time
在本文中，我们提出了多维模拟的连续和离散时间户田格。这里考虑的可积系统具有两个或多个空间坐标。为了构造系统，我们将连续和离散Toda格的正交多项式方法推广到多个正交多项式的情况。
2016-06-13 math-ph math.CA math.MP
Toda and Laguerre-Freud equations and tau functions for hypergeometric discrete multiple orthogonal polynomials
本文研究离散多重正交多项式，通过tau函数和带状矩阵描述其性质，证明其提供Toda方程多分量可积扩展及Nijhoff-Capel方程的解，并探讨Laguerre-Freud方程在多种特例下的应用。
2023-07-25 math-ph math.CA math.MP
Direct and inverse spectral transform for the relativistic Toda lattice and the connection with Laurent orthogonal polynomials
本文介绍了有限相对论Toda格点（RTL）的一种谱变换。在非相对论的情况下，莫泽从对称雅可比矩阵的谱理论中构造了一个谱变换。在这里，我们使用一对双对角矩阵（L，M）的非对称广义本征值问题来定义RTL的谱变换。逆谱变换描述的终止T-分数。广义本征值是运动常数，辅助谱数据具有显式的时间演化。利用与Laurent正交多项式理论的联系，我们研究了RTL的长时间行为。在Toda格的情况下，矩阵元素有渐近极限。我们证明了L趋向于一个广义本征值按对角线排序的上Hessenberg矩阵，而M趋向于单位矩阵。
2002-04-11 math-ph math.CA math.MP
Linear spectral transformations for multivariate orthogonal polynomials and multispectral Toda hierarchies
将实直线上正交多项式的线性谱变换，特别是Geronimus变换，推广到依赖于多个实变量的正交多项式.对于原线性泛函的每一个扰动，得到了扰动正交多项式及其拟τ矩阵的多元Christoffel-Geronimus-Uvarov公式.这些表达式是用加边截断分块矩阵的拟行列式表示的，并恢复了用原正交多项式及其Cauchy变换的组合的行列式之商表示的一维Christoffel-Geronimus-Uvarov公式.提出了一种新的多谱Toda族非线性偏微分方程，多元正交多项式是其约化。这个新的可积的hierachy与非标准的多元双正交。波和贝克函数，线性方程，拉克斯和Zakharov-Shabat方程，KP型方程，适当的减少，达布/线性谱变换，和双线性方程涉及线性谱变换。
2016-03-22 math-ph math.CA math.MP
Matrix Orthogonal Laurent Polynomials on the Unit Circle and Toda Type Integrable Systems
利用Gauss-Borel分解，将单位圆上的矩阵正交Laurent多项式与Toda-like可积系统理论联系起来。这些矩量矩阵的块Gauss-Borel分解问题导致两组双正交矩阵正交Laurent多项式和矩阵SzegIgnolynomials，它们可以用块矩量矩阵的有边截断的Schur补来表示。导出了相应的Christoffel-Darboux理论的块扩张。研究了Toda型可积系统的拟定矩阵测度的变形。可积理论在这个矩阵的情况下给出;波和伴随波函数，Lax和Zakharov-Shabat方程，双线性方程和离散流-连接达布变换-。本文将Toeplitz格的Cafasso矩阵扩张的可积流推广到SzegIgnolynomials的Verblunsky系数。分析的Miwa移位允许发现有趣的连接之间的Christoffel-达布内核和Miwa移位的矩阵正交洛朗多项式。
2013-11-30 math-ph math.CA math.MP
Matrix valued Hermite polynomials, Burchnall formulas and non-abelian Toda lattice
本文引入并详细研究了一类矩阵值Hermite型正交多项式，导出了它们的权函数的Pearson方程和矩阵值微分方程.这是用来推导Rodrigues公式，明确的公式平方模，并给出一个明确的表达矩阵的项目，以及推导出一个连接公式的Hermite型矩阵多项式。我们推导出Burchnall公式的矩阵值类似物的运算形式以及矩阵值Hermite型正交多项式和先前介绍的矩阵值Gegenbauer型正交多项式的显式展开式。Burchnall方法给出了Hermite设置下矩阵权的Toda修改的矩阵值正交多项式的两种描述。特别地，我们得到了非阿贝尔Toda格方程的非平凡解。
2018-11-17 math-ph math.CA math.MP
Lax-type pairs in the theory of bivariate orthogonal polynomials
本文研究二元正交多项式，通过引入含时参数分析其三项关系系数的Lax型对，并建立其与权函数、Stieltjes函数、矩及二维Toda型系统的联系。
2023-11-10 math.CA
Orthogonal Laurent polynomials in unit circle, extended CMV ordering and 2D Toda type integrable hierarchies
利用支持在单位圆上的复拟定测度构造的Cantero-Moral-Velazquez矩矩阵的Gauss-Borel分解，将单位圆上的正交Laurent多项式与Toda-like可积系统理论联系起来.通过矩量矩阵的因式分解，得到了单位圆内的正交Laurent多项式和相应的第二类函数。在这个观点下，以完全代数的方法得到了Jacobi算子、5项递归关系和投影到特定截断Laurent多项式空间的Christoffel-Darboux核以及相应的Christoffel-Darboux公式.推广了Laurent单项式的Cantero-Moral-Velazquez序列，并在此基础上得到了递归关系、Christoffel-Darboux核、投影到一般截断Laurent多项式空间的关系以及相应的Christoffel-Darboux公式.连续变形的时刻矩阵的介绍，并示出它们如何诱导一个依赖于时间的正交性问题有关的Toda型可积系统，这是众所周知的Toeplitz格。利用经典的可积性理论工具得到了Lax方程和Zakharov-Shabat方程。明确地导出了与正交Laurent多项式的系数相关联的动力系统，并与经典的Toeplitz格动力系统在正测度下的SzegIgn多项式的Verblunsky系数进行了比较.离散流的介绍和达布变换。最后，利用Miwa移位的形式，给出了正交Laurent多项式（及其第二…
2012-02-14 math-ph math.CA math.MP
Christoffel transformations for matrix orthogonal polynomials in the real line and the non-Abelian 2D Toda lattice hierarchy
给定矩阵多项式$W(x)$，考虑矩阵双正交多项式关于半双线性型$\langle P(x),Q(x)\rangle_W=\int P(x) W(x)\operatorname{d}μ(x)(Q(x))^{\top}$，$P(x),Q(x)\in\mathbb R^{p\times p}[x]$，其中$μ(x)$是支撑在实数线的某个无限子集上的Borel测度矩阵.给出了关于$\langle \cdot,\cdot\rangle_W$的矩阵双正交多项式序列与关于$μ(x)$的矩阵正交多项式序列之间的联系公式。特别地，对于扰动矩阵多项式$W(x)$的非奇异首项系数的情况，我们给出了由$W(x)$的Jordan链构造的Christoffel公式的推广.对于具有奇异首项系数的扰动，我们重新讨论了Durán等人的几个例子。最后，我们将这些结果推广到非阿贝尔二维Toda格层次。
2016-08-23 math-ph math.CA math.MP
Multiple orthogonal polynomials of mixed type: Gauss-Borel factorization and the multi-component 2D Toda hierarchy
多重正交性被认为是在领域的高斯-波莱尔分解问题的半无限矩矩阵。利用M-Nikishin系统构造了权和有限Borel测度的完美组合。这些完美的组合，确保问题的混合多重正交性有一个唯一的解决方案，可以从解决方案的高斯-波莱尔分解问题的半无限矩阵，它扮演的角色矩矩阵。这导致多个正交多项式的序列，它们的第二类和第二类函数。并给出了与对偶线性型双正交的相应线性型。这些对象的表达式中的决定因素从矩矩阵，递归关系，这意味着一个多对角Jacobi型矩阵与蛇的形状，和结果，如ABC定理或Christoffel-Darboux公式重新推导在这种情况下（使用因式分解问题和广义汉克尔对称性的矩矩阵）。这种描述的多重正交性和多分量的2D户田层次，这也可以理解和研究通过高斯-博雷尔分解问题之间的连接进行了讨论。变形的权重，自然的M-Nikishin系统，被认为是和对应的可积的层次，表示为一个集合的Lax方程的解决方案进行了探索。相应的Lax和Zakharov-Shabat矩阵以及波函数和它们的伴随被确定。离散流的建设进行了讨论的Miwa变换，其中涉及达布变换的多个正交条件。导出了双线性方程组，并给出了多重正交性的$τ$函数表示。
2011-02-15 math-ph math.CA math.MP
Schur flows and orthogonal polynomials on the unit circle
在过去的几十年里，Toda格与类似的非线性链和实直线上的正交多项式之间的关系已经得到了极大的阐述。我们研究另一个系统的微分差分方程称为舒尔流的理论框架内的正交多项式的单位圆。该系统可以等价地表示为Lax方程，相应的谱测度经过简单的变换。给出了单位圆上的修正Bessel测度及其Verblunsky系数的长时间行为的一般结果。
2006-01-14 math.CA math.SP
Lax pairs for the Ablowitz-Ladik system via orthogonal polynomials on the unit circle
Nenciu和Simon发现，单位圆上正交多项式的户田系统的类似物是散焦的Ablowitz-Ladik系统。在本文中，我们使用的CMV和扩展的CMV矩阵，分别构造拉克斯对表示这个系统的周期，有限和无限的情况下。
2004-12-14 math-ph math.CA math.MP
Painlevé V and a Pollaczek-Jacobi type orthogonal polynomials
我们研究一个序列的多项式正交关于一个参数的家庭的权重$$ w(x):=w(x,t)=\rex^{-t/x}\:x^{\al}(1-x)^{\bt},\quad t\geq 0, $$定义为$x\in[0,1].$如果$t=0,$这减少到一个转移雅可比权重。我们的梯形算子形式主义和相关的兼容性条件给出了一个简单的确定的递归系数。对于$t>0,$，因子$\rex^{-t/x}$在$x=0.$诱导出一个无穷强零点。借助于相容条件，递推系数用一组满足差分方程组的辅助量表示。这些，当适当地结合一对户田式方程从正交性原则，表明辅助量是一个特定的Painlevé V和/或类似的功能。本文还证明了Hankel行列式的对数导数$$ D_n(t):=\det(\int_{0}^{1} x^{i+j} \:\rex^{-t/x}\:x^{\al}(1-x)^{\bt}dx)_{i,j=0}^{n-1}, $$满足Painlevé V的Jimbo-Miwa-Okamoto $σ-$形式，并且这个量满足一个我们认为是新的二阶非线性差分方程.
2008-12-31 math.CA
Multivariate orthogonal Laurent polynomials and integrable systems
受单位圆上正交Laurent多项式的Cantero-Moral-Velázquez方法的启发，对代数环面$(\mathbb C^*)^D$中的Laurent多项式进行了排序，导致了单位环面$\mathbb T^D$中给定Borel测度的矩矩阵的构造。该矩矩阵的Gauss-Borel分解允许在单位环面中构造多变量双正交Laurent多项式，其可以表示为矩矩阵的有界截断的最后准行列式。研究了洛朗多项式相乘给出的测度的Christoffel型扰动。样本矩阵平衡的节点集，这属于代数超曲面的扰动洛朗多项式，用于发现的Christoffel公式表示扰动正交洛朗多项式的最后一个准行列式的有界样本矩阵的原始正交洛朗多项式的条款。从牛顿多面体和热带几何的角度分析了仅存在于良好的洛朗多项式的平衡集。离散和连续变形的测度导致Toda型可积族，是相应的流描述通过Lax和Zakharov-Shabat方程，双线性方程和顶点算子被发现。变大小矩阵非线性偏差分和微分方程的二维Toda格型被证明是解决的多元正交多项式的矩阵系数。
2015-06-30 math-ph math.AG math.CA
Multivariate orthogonal polynomial and integrable systems
从矩矩阵的Cholesky分解的角度考虑了$D$实维中的多元正交多项式。该方法允许相应的多元正交多项式，相关的第二类函数，Jacobi型矩阵和相关的三项关系，也Christoffel-Darboux公式的建设。多元正交多项式，其第二类功能和相应的Christoffel-Darboux内核被证明是准行列式-以及舒尔补充-的矩矩阵的有边截断;准τ函数的介绍。证明了第二类函数是多元正交多项式的多元柯西变换。离散和连续变形的措施导致Toda型可积族，是通过Lax和Zakharov-Shabat方程描述的相应的流;双线性方程被发现。变大小矩阵非线性偏差分和微分方程的二维Toda格型被证明是解决的多元正交多项式的矩阵系数。离散流导致的多元正交多项式和它的第二类功能的移位准τ矩阵，推广到多维领域的那些与Miwa转移$τ$ -功能的比率的Baker和伴随Baker函数的表达在1D的情况。在这种情况下，多元扩展的基本达布变换给出的准行列式的矩阵建立的评价，在一个平衡的一组节点躺在一个适当的超平面在$\mathbb R^D$，多元正交多项式。给出了$m$初等达布变换迭代的多元Christoffel公式的拟行列式形式。
2015-03-05 math-ph math.CA math.MP
Determinantal approach to multiple orthogonal polynomials, and the corresponding integrable equations
Faculty of Mathematics and Computer Science University of Warmia and Mazury in Olsztyn（奥尔什蒂恩热米亚和马祖里大学数学与计算机科学学院）
本文通过行列式表示研究多重正交多项式，并将其与可积方程联系起来，推导了新的二次恒等式和基本理论结果。
2023-12-24 math-ph math.CA math.MP
Painlevé V and time dependent Jacobi polynomials
在本文中，我们研究最简单的变形序列的正交多项式，即取代原来的（或参考）的重量$w_0(x)$定义在一个区间上的$w_0(x)e^{-tx}.$。这是一个众所周知的事实，在这样的变形下的递归系数表示为$α_n$和$β_n$演变在$t$根据户田方程，产生的时间相关的正交多项式，使用Sogo的术语。所得到的“时间相关”雅可比多项式满足线性二阶方程。我们将证明该颂歌的系数与特定的Painlevé V密切相关。此外，我们还证明了与“时间相关”雅可比权重相关的一元正交多项式的$z^{n-1}$系数满足，直到$t,$中的翻译Jimbo-Miwa $σ$ -当递归系数$P_{V};$取决于$t$中的平移和线性分数变换$P_{V}(α^2/2,-β^2/2, 2n+1+α+β,-1/2).$时，组合一对非线性差分方程和一对Toda方程。这将反过来使我们能够证明，与一类Toeplitz加Hankel算子相关的某个Fredholm行列式与Painlevé方程有联系。
2009-05-15 math-ph math.CA math.MP
Generalized orthogonal polynomials, discrete KP and Riemann-Hilbert problems
传统上，一个单一的重量上的一个区间的实数线导致的时刻，正交多项式和三对角矩阵。随着时间t=（t_1，t_2，.）适当地变形该权重，导出了标准的Toda格和τ函数，表示为厄米矩阵积分。本文讨论的是t-扰动权序列，而不是单个权。这个序列导致矩，多项式和（更充分的）矩阵演变根据离散KP-层次。相关的τ函数有积分和顶点算子表示。在考虑的例子中，我们提到：嵌套的Calogero-Moser系统，级联孤子和m-周期序列的权重。后者导致2 m +1带矩阵和广义正交多项式，也出现在黎曼-希尔伯特问题的背景下。我们证明了Riemann-Hilbert分解等价于矩矩阵分解为一个低次上三角矩阵的乘积。
2000-09-01 math-ph math.CA math.MP
Orthogonal polynomials for the singularly perturbed Laguerre weight, Hankel determinants and asymptotics
School of Mathematical Sciences, Huaqiao University（华侨大学数学科学学院）
本文研究了奇异扰动拉格朗日权重下的正交多项式，推导了其二阶微分方程及递推系数的渐进行为，并分析了零点性质及Hankel行列式的行为。
2026-08-10 math-ph math.CA math.MP
Elliptic Hypergeometric Laurent Biorthogonal Polynomials with a Dense Point Spectrum on the Unit Circle
利用椭圆Frobenius行列式的技巧，构造了$QD$ -算法的新的椭圆解.这些解也可以解释为离散时间Toda链的椭圆解。作为副产品，我们得到了新的显式正交和双正交多项式的椭圆超几何函数${_3}E_2(z)$。它们的递推系数用椭圆函数表示。在退化情形下，我们得到Krall-雅可比多项式及其双正交类似。
2009-03-19 math.CA nlin.SI
Transformation theory and Christoffel formulas for matrix biorthogonal polynomials on the real line
本文研究矩阵正交多项式在实直线上的变换。广义上理解正交性，并给出了一个非退化的连续半双线性型，这反过来又是由一个准定矩阵的二元广义函数与一个定义良好的支持。这种半双线性型的正交性的讨论包括，除其他外，矩阵Hankel情况下的线性泛函，一般矩阵Sobolev正交性和离散正交多项式与无限支持。考虑的第一个转换是Geronimus型，开发了两种不同的方法。一种谱方法，基于扰动多项式的谱性质，用第二类函数构造。然后，利用谱技术和谱喷射，Christoffel-Geronimus公式的转换多项式和范数。对于这种类型的转换，本文还提出了一种替代方法，它不需要谱技术。对矩阵谱线性变换也进行了讨论。这些变换可以理解为二元广义函数矩阵的有理扰动加上适当的质量，由多项式分母的谱性质确定这些最后的质量。至于Geronimus的情况下，应用两种技术，光谱和混合光谱/非光谱。用这两种方法都找到了Christoffel-Geronimus-Uvarov公式，并给出了一些应用.最后讨论的变换理论的背景下，二维非阿贝尔户田格和非交换KP层次，理解为理论的连续变换的准定半双线性型。这种方法可以找到扰动的拟陶矩阵和贝克矩阵。
2016-08-25 math-ph math.CA math.MP
