Liquid Amortization: Proving Amortized Complexity with LiquidHaskell (Functional Pearl)
本文提出使用LiquidHaskell直接在Haskell中证明数据结构摊销复杂度的方法，跳过翻译步骤，并通过栈、二项堆和指状树案例验证其有效性，同时指出工具局限性。
2024-07-18 cs.CC
The Complexity of Proving the Discrete Jordan Curve Theorem
约当曲线定理（Jordan Curve Theorem，JCT）指出，一条简单的闭合曲线将平面分成两个连通的区域。我们形式化和证明定理的背景下，网格图，在不同的输入设置，在理论界的算术，对应于小的复杂性类。理论$V^0(2)$（对应于$AC^0(2)$）证明了任何一组形成不相交环的边将网格划分为至少两个区域。理论$V^0$（对应于$AC^0$）证明了形成简单闭合曲线的任何边序列将网格划分为两个区域。因此，Hex重言式和st-连通重言式具有多项式大小的$AC^0(2)$ -Frege证明，这改进了仅适用于更强证明系统$TC^0$ -Frege的Buss的结果。
2010-02-15 cs.CC cs.LO
From average case complexity to improper learning complexity
The Hebrew University（希伯来大学）
计算学习理论的PAC模型的基本问题是确定哪些假设类是可有效学习的。目前缺乏显示学习困难的结果。此外，现有的下限达不到最知名的算法。证明复杂性结果的最大挑战是确定{ \em不正确学习}的难度（也称为证明不适当学习的下限的困难在于，来自$\mathbf{NP}$困难问题的标准归约似乎不适用于这种情况。基本上只有一种已知的方法来证明不正确学习的下限。它是在（Kearns和Valiant 89）中发起的，并依赖于加密假设。我们介绍了一种新的技术，证明硬度不适当的学习，减少的基础上，平均困难的问题。我们提出了一个（相当强的）推广Feige的假设（Feige 02）的复杂性反驳随机约束满足问题。将这一假设与我们的新技术相结合，产生了深远的影响。特别地，1.学习$\mathrm{DNF}$的很难。2.不可知地学习具有常数近似比的半空间是困难的。3.学习$ω(1)$半空间的交集很难。
2014-03-09 cs.CC cs.LG
A Graph-Transformational Approach for Proving the Correctness of Reductions between NP-Problems
在多项式时间内非确定性求解的决策问题的复杂性类NP具有重要的理论和实际意义，其中NP问题之间的多项式时间约简是NP问题研究中的一个关键概念。由于许多典型的NP问题都可以自然地描述为图问题，因此它们及其约简显然是用图变换方法研究的对象。在本文中，我们提出了这样一个图转换的方法来证明NP-问题之间的约简的正确性。
2022-12-22 cs.CC
Hard 3-CNF-SAT problems are in $P$ -- A first step in proving $NP=P$
复杂性类$P$和$NP$之间的关系是理论计算机科学领域中一个尚未解决的问题。在本文的第一部分中，提出了一个格框架来处理3-CNF-SAT问题，已知是在$NP$。在第二节中，我们定义了一个多线性描述符函数${\cal H}_φ$为任何3-CNF-SAT问题$φ$的大小$n$，在这个意义上，${\cal H}_φ: \{0,1\}^n \rightarrow \{0,1\}^n$是这样的，$Im \; {\cal H}_φ$是$φ$的所有解决方案的集合。定义了新的合并操作${\cal H}_φ\bigwedge {\cal H}_ψ$，其中$ψ$是单个3-CNF子句。给定${\cal H}_φ$ [但这可以是指数复杂度]，计算$Im \; {\cal H}_φ$（所有解的集合）所需的复杂度对于硬3-CNF-SAT问题（即具有很少（$\leq 2^k$）或没有解的问题）是多项式的。第三部分利用${\cal H}_φ$与解集的指示函数$\mathbb{1}_{{\cal S}_φ}$之间的关系，提出了求解3-CNF-SAT困难问题的贪婪多项式算法。
2020-01-03 cs.CC
Ideals, Determinants, and Straightening: Proving and Using Lower Bounds for Polynomial Ideals
我们表明，任何非零多项式的理想所产生的$r \times r$未成年人的$n \times n$矩阵$X$可以用来有效地近似行列式。对于这个理想中的任何非零多项式$f$，我们构造了一个小的深度为3的$f$ -oracle电路，它在边界复杂度的意义上近似于大小为$Θ(r^{1/3})$的行列式。对于许多代数电路，这意味着由$r \times r$子式生成的理想中的每个非零多项式至少与大小$Θ(r^{1/3})$的行列式一样难以近似计算。对于$2n \times 2n$反对称矩阵的Pfuman和$2r \times 2r$主子矩阵的Pfuman生成的理想，我们也证明了类似的结果.这就回答了Grochow最近提出的一个问题，即在边界复杂性的背景下多项式理想的复杂性。我们给出了我们的结果的几个应用，其中两个在下面突出显示。$\bullet$我们证明了由低深度电路计算的理想证明系统反驳的超多项式下界。这扩展了最近的突破性低深度电路下界的Limaye，Srinivasan和Tavenas的设置证明的复杂性。对于许多自然电路类，我们证明了我们的硬实例的近似证明复杂性是由近似电路复杂性的决定。$\bullet$我们为多项式规模的低深度电路构造了新的碰集生成器。对于任何$\varepsilon > 0$，我们构造具有种子长度$O(n^\varepsilon)$的生成器，这些生成器在其种子长度和度之间…
2022-10-27 cs.CC
Cut-homotopies and the complexity of edge-coloring problems
Technische Universität Wien（维也纳工业大学）；Charles University（查理大学）；Technische Universität Hamburg（汉堡工业大学）
研究给定图特定边着色问题的计算复杂性，通过应用拉姆齐理论方法和割同伦概念，将其与约束满足问题多项式时间等价，得出P与NP完全二分法的结论。
2026-07-13 cs.CC math.CO
Proving Termination of Unfolding Graph Rewriting for General Safe Recursion
本文给出了一种新的展开图重写的终止性证明和复杂性分析，展开图重写是一种特殊的无限图重写，它表达了安全递归的一般形式。我们引入了一个终止顺序的条款序列连同长期图的解释成序列的条款。展开图重写规则表示一般的安全递归可以成功地嵌入到终止顺序的解释，产生多项式的运行时复杂度。此外，推广的展开图重写规则的定义一般安全递归，我们提出了一个新的标准的多项式运行时复杂性的无限GRS和多项式大小的范式在无限GRS。
2014-06-20 cs.CC cs.LO math.LO
The Complexity of (P3, H)-Arrowing and Beyond
本文研究(P3,H)-Arrowing问题的复杂性，证明除H=K3外所有2-连通H均coNP-完全，并引入新图不变量将困难性扩展到一般(F,H)-Arrowing问题。
2024-07-21 cs.CC
Communication Complexity (for Algorithm Designers)
本文档收集了我2015年冬季在斯坦福大学教授的课程“通信复杂性（针对算法设计师）”的课堂笔记。该课程的两个主要目标是：1。学习几个被证明对证明下界最有用的规范问题（不相交性，索引，间隙汉明等）。2.学习如何将基本算法问题的下限简化为通信复杂性下限。一路上，我们也将：3。接触到许多很酷的计算模型和一些关于它们的著名结果-数据流和线性草图，压缩感知，数据结构中的空间-查询时间权衡，次线性-时间算法，以及线性程序的扩展复杂性。4.揭开证明通信复杂性下限的技术的表面（愚弄集，腐败界等）。
2015-09-21 cs.CC cs.DS
Towards a complexity theory for the congested clique
分布式计算的拥挤团模型作为一种密集连接的分布式系统的模型已经受到关注。虽然在上界方面已经取得了重大进展，但在拥塞集团的下界方面我们却几乎没有;事实上，现在知道证明明确的拥塞集团下界和证明电路下界一样困难。在这项工作中，我们使用各种更传统的复杂性理论的工具，以建立一个更清晰的图片的复杂性景观的拥挤的集团：--非确定性和超越：我们介绍了非确定性拥挤的集团模型（类似于NP），并表明有一个自然的典型问题的家庭，捕捉所有的问题可解决的恒定时间与非确定性算法。我们进一步推广这些概念，通过引入常数轮决策层次（类似于多项式层次）。--非构造性下界：我们将先前的非均匀计数参数提升为一种通用技术，用于证明拥塞集团的非构造性均匀下界。特别是，我们证明了一个时间层次定理的拥挤集团，有决策问题的基本上所有的复杂性，无论是在确定性和不确定性的设置。--细粒度的复杂性：我们绘制了拥挤集团模型中各种自然问题之间的关系，认为基于约简的复杂性理论目前为我们提供了一个相当好的拥挤集团复杂性景观的图片。
2018-04-24 cs.CC cs.DC
Hardness as randomness: a survey of universal derandomization
我们调查的概率复杂性类的研究的最新进展。虽然证据似乎支持这样的猜想，即概率可以用相对较低的开销来确定性地模拟，即，即$P=BPP$，这也表明这可能是一个难以解决的问题。事实上，证明概率算法具有非平凡的确定性模拟基本上等价于证明代数或布尔模型中的电路下界。
2003-04-28 cs.CC
KRW Composition Theorems via Lifting
本文通过引入半单调组合概念并利用查询到通信的提升定理，显著扩展了KRW猜想中可处理的内部函数范围，包括s-t连通性、团和生成函数等，从而推进了证明电路深度超对数下界的研究。
2025-05-07 cs.CC
Schaefer's theorem for graphs
谢弗定理是一个对所谓的布尔约束满足问题进行复杂性分类的结果：它指出每个布尔约束满足问题要么包含在六个类中的一个类中，并且可以在多项式时间内求解，要么是NP完全的。我们提出了一个类似的二分法结果的命题逻辑图，而不是布尔逻辑。在Schaefer结果的推广中，输入由一组变量W和关于这些变量的图语言的语句（“约束”）的合取Φ组成，其中每个语句都取自一个固定的有限的允许无量词的一阶公式集合;问题是Φ在图中是否可满足。我们证明了在17类图公式中的一类公式中，要么有一个公式包含有解，并且相应的问题可以在多项式时间内求解，要么该问题是NP-完全的.这是通过一个普遍的代数方法，这反过来又允许我们使用结构拉姆齐理论。为了应用通用代数方法，我们制定的计算问题考虑约束满足问题（CSP）的模板是一阶定义的可数无限随机图。我们的方法来分类的计算复杂性，这些CSP是基于拉姆齐理论分析的功能作用于随机图，我们开发的一般工具，适合这样的分析是独立的数学兴趣。
2015-05-17 cs.CC math.CO math.LO
Context Semantics, Linear Logic and Computational Complexity
我们表明，上下文语义可以卓有成效地应用于线性逻辑的证明规范化的定量分析。特别是，上下文语义让我们定义一个证明网的权重作为其内在复杂性的度量：它既是规范化时间的上限（模多项式开销，独立于约简策略），也是范式步骤数的下限（对于某些约简策略）。然后利用权证明强可靠性定理的各种子系统的线性逻辑，即初等线性逻辑，软线性逻辑和轻线性逻辑。
2006-10-04 cs.CC cs.LO
A universal-algebraic proof of the complexity dichotomy for Monotone Monadic SNP
MMSNP逻辑是存在二阶逻辑的一个限制性片段，它允许表达图论和有限模型理论中许多有趣的查询。该逻辑由Feder和Vardi引入，他们表明每个MMSNP语句在计算上等价于有限域约束满足问题（CSP）;所涉及的概率约简由Kun使用扩展结构的显式构造去随机化。我们提出了一个新的证明减少到有限域CSP不依赖于昆的结果。这个新的证明使我们能够得到一个更强的声明，并验证更一般的Bodirsky-Pinsker二分法猜想的CSP在MMSNP。我们的方法利用了这样一个事实，即每个MMSNP语句描述了可数无限$ω$ -范畴结构的CSP的有限并集;此外，根据Hubička和Nešetzil最近的结果，这些结构可以扩展到具有有限关系签名和Ramsey性质的同构结构。这使得我们能够使用泛代数方法来研究MMSNP的计算复杂性。
2020-11-25 cs.CC cs.LO math.LO
Logical complexity of graphs: a survey
本文讨论了一阶逻辑中有限图的可定义性，它具有两个表示顶点邻接和相等的关系符号。图$G$的逻辑深度$D(G)$等于定义$G$直到同构的句子的最小量词深度。逻辑宽度$W(G)$是在这样的句子中出现的变量的最小数目。逻辑长度$L(G)$是最短定义语句的长度。我们调查已知的估计，这些图的参数，并讨论他们的关系到其他主题（如效率的Weisfeiler-Lehman算法在同构测试，随机图的演变，定量特征的零一律，或贡献的弗兰克拉姆齐的研究希尔伯特的Entscheidungsproblem）。此外，我们跟踪一个图的描述性复杂性的行为，因为逻辑变得更加严格（例如，只允许定义有限数量的变量或量词交替）或更可表达（后与计数量词供电）。
2013-04-29 cs.CC cs.LO math.CO
Complexity of fall coloring for restricted graph classes
我们加强了Laskar和Lyle（离散应用数学（2009），330-338）的结果，证明了决定一个二分平面图是否可以划分为三个独立的控制集是NP-完全的。相反，我们表明，这是总是可能的每一个最大的外平面图至少有三个顶点。此外，我们推广了他们以前的结果，证明了决定一个二部图是否可以被划分为$k$独立控制集是NP-完全的每一个$k \geq 3$。我们还加强了Henning等人（离散数学（2009），6451-6458）的结果，通过证明确定一个图是否有两个不相交的独立控制集是NP-完全的，即使该问题仅限于无三角形平面图。最后，对每一个$k \geq 3$，证明了存在一个常数$t$只依赖于$k$，使得判定一个$k$ -正则图是否可划分为$t$独立控制集是NP-完全的.最后，我们得出适度的指数时间算法的问题。
2019-05-12 cs.CC cs.DM cs.DS
