Stopping strategies and gambler's ruin problem
T. J. van Uem
利用多函数障碍的概念，得到了赌徒破产问题中不同停止策略的吸收概率和期望吸收时间
We obtain absorption probabilities and expected time until absorption for different stopping strategies in gambler's ruin problem using the concept of multiple function barriers
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Gambler's ruin probability - a general formula
当博弈的收益服从一般整数值概率分布时，我们得到了一个赌徒与一个无限富有的对手博弈的破产概率的显式公式。
Gambler's ruin estimates on finite inner uniform domains
Gambler破产估计可以看作是在边界点被吸收（或被杀死）的有限马尔可夫链的调和测度估计.我们将这些估计与底层链及其Doob变换的属性相关。准确地说，我们表明，赌徒的破产估计减少到一个很好的理解的Perron Frobenius特征函数和特征值时，其基础链和Doob变换是Harnack马尔可夫链。有限的内部均匀区域（比如，在正方形网格$\mathbb Z^n$中）提供了一大类应用这些思想并导致详细估计的例子。一般来说，理解Perron-Frobenius特征函数的行为仍然是一个挑战。
Generalized Gambler's Ruin Problem: explicit formulas via Siegumd duality
本文给出了多维广义Gambler破产问题的破产概率的显式公式。一般化最好被解释为一个玩家对$d$其他玩家的游戏，允许任意的输赢概率（包括平局），这取决于特定玩家的当前运气。它包括许多以前的其他推广作为特殊情况。代替通常使用的第一步分析，我们涉及马尔可夫链之间的对偶。我们给出了一般的程序来解决破产的问题，利用Siegmund对偶的马尔可夫链的偏序状态空间最近研究的莫比乌斯单调性的背景下。
Delayed Gambler's Ruin
我们在这里提出了一个新的扩展模型的赌徒的破产问题，将延迟接收的奖励和支付的罚款。当两个时滞之间存在差异时，破产概率的精确分析是困难的。我们推导出一个近似的计划，以找到一个有效的转移的初始资产的赌徒。通过对计算机模拟的比较，这种近似被证明是工作的两个延迟之间的小差异。
Explicit Expressions for Moments of the Duration of a 3-Player Gambler's Ruin
本文通过实验数学与符号计算方法，给出了三人公平赌徒破产问题持续时间的多个矩的显式表达式。
The gambler's ruin problem in path representation form
考虑粒子在右半实直线上的经典一维随机游动。我们假设粒子最初在位置x=k，k > 0，并以概率p向右移动或以概率1-p向左移动。我们认为粒子在原点被吸收，而不需要固定到达那里所需的步骤数。我们计算粒子在原点结束的概率P（x=k），假设它从x=k开始，通过这个随机游动在二维晶格上的路径的几何表示。
On a Variation of Gambler's Ruin Problem
本文研究赌徒破产问题的一个变体，在文本字母构成 Markov 链的假设下，追踪两个特定词的出现以增减赌徒分数，推导了在失去 $B$ 分前获得 $A$ 分的概率及达到任一阈值的期望等待时间。
The 4-player gambler's ruin problem
本文解释了如何利用P. Diaconis，K. Houston-Edwards和第二作者估计了4人赌徒破产问题的概率。例如，我们表明，一个非常占主导地位的球员（即，除了3个筹码之外的所有筹码都被分配给其余玩家的玩家）首先失去的是顺序为$N^{-α}$的筹码，其中$α$近似为$5.68$。在$3$ -玩家博弈中，这个概率是或$N^{-3}$ .我们注意到，试图对$α$的值给出启发式/直观的解释是徒劳的。该值通过将$α$与单位球面$\mathbb S^2$上的等边球面三角形中的球面拉普拉斯算子的狄利克雷特征值$λ$（零边界条件）相关联的显式公式获得，该单位球面对应于具有放置在欧几里得$3$ -空间中的原点处的一个顶点的单位单形。$λ$的值使用Grady Wright开发的有限差分型算法进行估计。
A symbolic computational approach to the generalized gambler's ruin problem in one and two dimensions
本文提出了一种符号计算方法，用于解决一维和二维广义赌徒破产问题，并给出了概率和持续时间的闭合公式。
Laws relating runs, long runs, and steps in gambler's ruin, with persistence in two strata
定义某个赌徒的破产过程$\mathbf{X}_{j}, \mbox{ \ }j\ge 0,$，使得增量$\varepsilon_{j}:=\mathbf{X}_{j}-\mathbf{X}_{j-1}$取值$\pm1$并满足$P(\varepsilon_{j+1}=1|\varepsilon_{j}=1, |\mathbf{X}_{j}|=k)=P(\varepsilon_{j+1}=-1|\varepsilon_{j}=-1,|\mathbf{X}_{j}|=k)=a_k$，所有$j\ge 1$，其中$a_k=a$表示$ 0\le k\le f-1$，$a_k=b$表示$f\le k<N$。这里$0<a, b <1$表示持久性参数，$ f ,N\in \mathbb{N} $表示$f<N$。该过程从$\mathbf{X}_0=m\in (-N,N)$开始，在$|\mathbf{X}_j|=N$结束。分别用${\cal R}'_N$、${\cal U}'_N$和${\cal L}'_N$表示赌徒破产过程中曲折部分的游程、长游程和步数。定义$X_N:=\left ({\cal L}'_N-\frac{1-a-b}{(1-a)(1-b)}{\cal R}'_N-\frac{1}{(1-a)(1-b)}{\cal U}'_N\right )/N$，并让$f\simηN$为一些$0<η<1…
Gambler's Ruin and the ICM
考虑一个赌徒的破产，有三个参与人，1，2，3，初始单位为$A$，$B$，和$C$。在每一轮的一对球员被选中（均匀随机），并进行公平的硬币投掷，导致这两个球员之间的一个单位的转移。最终，一名球员被淘汰，剩下的两名球员继续比赛。令$σ\in S_3$为消除顺序（例如，$σ=132$意味着玩家1首先被淘汰，玩家3其次被淘汰，留给玩家2 $A+B+C$单位）。我们寻求消除顺序概率$P_{A,B,C}(σ)$的近似值（和精确公式）。当$N:=A+B+C$不太大时，这些概率的精确以及任意精确的计算是可能的。然后，线性插值可以给出大$N$的合理近似。一个经常使用的近似，独立芯片模型（ICM），被证明是不够的。提出了一种回归调整，这似乎给很好的近似消除顺序概率。
The Several Dimensional Gambler's Ruin Problem
从渐近估计多维赌徒\apost的破产问题中的博弈持续时间的角度考虑$N$维整数格上的简单随机游动。我们表明，在适当的重新标度，所有的$p$ -时刻的退出时间从球的$L$ -无穷度量，和所有的$p$ -时刻的部分最大值在这个度量，拥有相关的渐近极限表达式，承认两个表示。为此目的，我们推导出相应的两个折叠的扩展Erd \H os-Kac定理，我们重新审视到这一点多维的改进。我们特别显示了一个简化的证明方法，它依赖于可选的停止定理的应用，并产生相应的第一次通过时间的渐近并行。利用布朗运动标度，我们观察到一种直接证明两个极限表达式之间关系的方法。我们指出的方式，旨在简短和全面的其他已知的证明方法的比较和完整性的目的。
Extended gambler's ruin problem
在扩展的赌徒破产问题中，我们可以向前或向后移动一步（经典赌徒破产问题），我们可以停留在原地一个时间单位（延迟行动），或者在当前状态下可以有吸收（游戏在没有达到吸收障碍的情况下终止）。我们得到的吸收概率，破产问题的最大值和最小值的概率，期望时间，直到吸收和游戏的价值。我们还研究了吸收概率的渐近行为和预期的时间，直到吸收。我们引入了一个共轭版本的随机游动。
Gambler ruin random walks and brownian motions in reserves modeling, application to pensions funds sustainability
我们用随机游动来模拟储量问题。随机过程的经典例子是随机游动，它被用来研究一系列现象，特别是本文中的储量演化模型。随机游动还允许构造重要的复杂系统，并且还被用作分析工具，在赋予其他类型系统理论特征的意义上使用。我们的目标主要是研究储备，看看如何确保养老基金的可持续性。这种研究养老基金的经典方法使人们有可能得出关于储备问题的有趣结论。
Martingale Approach to Gambler's Ruin Problem for Correlated Random Walks
本文利用鞅的可选停时定理研究相关随机游走的赌徒破产问题，推导了特定增量和对称带延迟情况下的破产概率与期望时长的闭式表达式，并开发了针对一般带延迟CRW的鞅技术及对任意模式进行下注的破产概率研究。
Conditional gambler's ruin problem with arbitrary winning and losing probabilities with applications
在本文中，我们提供了一个有限状态空间的一维赌徒破产问题中的条件博弈持续时间的期望公式，该问题具有任意的赢$p(n)$和输$q(n)$概率（即，这取决于当前的财富）。这些公式是根据系统的参数来表示的。Beyer和Waterman [Mathematics Magazine，50（1），1977]表明，对于经典赌徒破产问题，条件吸收时间的分布在$p$和$q$中是对称的。我们的公式意味着，对于非恒定的赢/输概率，条件博弈持续时间的期望在这些概率中是对称的（即，如果我们用$q(n)$交换$p(n)$，则情况相同），只要比率$q(n)/p(n)$是恒定的。大多数公式都适用于圆/多边形上的非对称随机游动。此外，对于圆上的对称随机游动，我们构造了一个最优的强平稳对偶链--它是一个吸收的、非对称的生灭链。我们应用我们的结果，并提供了一个公式，其预期的吸收时间，这是一个最快的强平稳时间为上述对称随机游动在一个圆圈。这样，我们改进了Diaconis和Fill [概率年鉴，18（4），1990]的结果，其中构建了强平稳时间-但不是最快的。最快的强平稳时间的期望值与Diaconis和Fill构建的期望值相差3/4，与圆的大小无关。
Increasing Gambler's Ruin duration and Brownian Motion exit times
在Gambler's Ruin中，当两个玩家都以相同的金额开始时，我们显示当游戏变得更公平时，游戏时间随机增加。我们给出了两个不同的参数，这一事实，从\cite{Pek2021}扩展的结果。然后，我们用这个来表明，从一个对称区间的布朗运动与漂移随机增加的漂移移动接近零的出口时间，这一结果是不容易从现有的明确的密度公式。
With Leverage, the Gambler is Not the One Who Gets Ruined
该研究探讨引入金融杠杆后赌徒破产现象的变化，证明适度杠杆下赌徒可长期盈利不破产，给出最优策略成功概率公式，成果用于CMU随机算法课程开发。
Hypergeometric solution to a gambler's ruin problem with a nonzero halting probability
本文研究一类赌徒破产问题，它寻求随机游走者在某一时刻首先到达原点的概率。除了一个通常的随机行走，跳跃或向右或向左，本文介绍了“停止”，步行者不跳一定的概率。该问题的解可以用一个高斯超几何函数精确地求得。计算了持续时间的矩母函数，提出了一种矩的计算方法。本文导出了破产概率的长期行为，当步行者以相等的概率向左和向右跳跃时，破产概率呈现幂律行为。
Open quantum random walks, hitting times, gambler's ruin and potential theory
我们考虑一个开放的量子随机游走模型，并与量子轨迹的方法，我们能够检查一个概念的命中时间。我们看到，许多建设，如最小的解决方案，击中时间问题，是著名的经典概率结果的变化，但密度矩阵的自由度在每个网站上产生的系统被视为非经典。作为一个更具体的应用，我们研究了正常的交换收缩诱导的游动的集合，得到了相应的概率表达式。我们研究量子版本的赌徒的破产，出生和死亡链和潜在的理论的基本定理。
Gambler's Ruin? Some Aspects of Coin Tossing
在出现一个特定的正反顺序之前，平均需要掷多少次硬币？我们以教学的方式解决这个问题，从双打开始，发现一个尾巴，然后是一个头，平均只在四次投掷后出现，而连续两次正面需要六次投掷。该方法被扩展到包括三重头-尾-尾和头-头-尾，但头-尾-头和头-头-头令人惊讶地更容易理解。然而，一般情况下，最终解决了一个新的算法，允许一个简单的计算，可以手工完成，即使是相对较长的字符串。证明了平均抛数总是一个偶数。
A Game Theoretic Analysis of the Three-Gambler Ruin Game
该研究将三赌徒破产问题建模为随机博弈，证明玩家通过策略性选择对手时，至少存在一个采用确定性平稳策略的 Nash 均衡。
Absorption time and absorption probabilities for a family of multidimensional gambler models
对于一个家庭的多维赌徒模型，我们提供了公式的获胜概率（在系统的参数）和游戏持续时间的分布（在基本的一维游戏的特征值）。这些公式是已知的一维情况下-最初的证明是纯粹的分析，后来的概率建设已被给予。关于游戏持续时间，在许多情况下，我们的方法产生样本路径结构。我们大量利用（不必要的）随机阵（游戏持续时间的结果），Siegmund对偶的概念（获胜/破产概率），和克罗内克产品的概念之间的交织。
Parisian ruin for the dual risk process in discrete-time
本文考虑离散时间下对偶风险模型的巴黎破产概率。利用风险过程的强马尔可夫性，我们得到了有限时间巴黎破产概率的递推表达式，并给出了经典离散时间对偶破产概率的表达式.此外，我们得到了相应的无限时间巴黎破产概率的一个显式表达式作为一个极限情况。为了得到更多的分析结果，我们引入了条件论证，并推导出对偶风险模型中经典的无限时间破产概率的一个新的表达式，从而得到无限时间巴黎破产概率的另一种形式.最后，我们探讨了一些有趣的特殊情况下，包括二项式/几何模型，并得到一个简单的表达式的赌徒破产问题的巴黎破产概率。
Conditional expectation of the duration of the classical gambler problem with defects
在一维随机游动的框架下，研究了空间不均匀性对扩散粒子的影响。粒子穿过一维有限泳道所需的典型时间，即所谓的停留时间，可以在存在漂移的情况下计算。一个局部的不均匀性被引入作为一个单一的缺陷网站与跳跃概率不同，在所有其他规则的网站的系统。我们发现复杂的行为的意义上说，停留时间是不是单调的一些参数的模型，如缺陷部位的位置的函数。特别是，我们表明，在适当的位置引入与颗粒运动相反的缺陷会减少停留时间，即，有利于更快的粒子流动本文所研究的问题与经典的赌徒破产问题密切相关，实际上，它可以被看作是当赌徒的财富达到一个特定的先验固定值时，游戏规则改变的问题。这个问题是接近数值，通过蒙特卡罗模拟，并分析了两种不同的技术产生不同的表述的确切结果。
Multiplayer Games of War
将两人战争游戏模型推广到任意m人，证明等价于(m-1)单形上的简单粘性随机游走，并证明终止时间对任意玩家数均为Θ(n²)。
Proving Regularity of the Minimal Probability of Ruin via a Game of Stopping and Control
我们揭示了两个问题之间的一个有趣的凸对偶关系：（a）当消费率是随机的且个人可以在Black-Scholes金融市场中投资时，最小化终身破产概率;（b）一个控制器和停止器问题，其中控制器控制过程的漂移和波动，以便基于该过程最大化运行奖励，并且停止器选择停止运行奖励的时间并且在该时间奖励控制器最终数量。我们的主要目标是表明，破产的最小概率，其随机表示没有一个经典的形式一样，效用最大化问题（即，目标对状态变量初值的依赖性是隐式的），是其Hamilton-Jacobi-Bellman（HJB）方程的唯一经典解，这是一个非线性边值问题。我们通过利用（a）和（b）之间的凸对偶关系来建立我们的目标。
Estimates on Escape Times for the Elephant Random Walk
本文研究了Elephant随机游走的逃逸时间，推导了其尾部的紧指数界，并证明在扩散 regime 中其行为与传统对称随机游走一致。
Wald for non-stopping times: The rewards of impatient prophets
设$X_1,X_2,\ldots$为独立同分布非负随机变量。Wald恒等式指出随机和$S_T:=X_1+\cdots+X_T$具有期望值$E(T)) E(X_1)$，前提是$T$是停止时间。证明了对任意$1<α\leq 2$，若$T$是任意非负随机变量，则$S_T$有有限期望，只要$X_1$有有限$α$ -矩，$T$有有限$1/(α-1)$ -矩.我们还证明了一个变体，其中$T$被假定为有一个有限的指数矩。这些矩条件在某种意义上是尖锐的，对于任何i.i.d.\序列$X_i$违反它们，则存在满足给定条件的$T$，对于该给定条件，$S_T$（以及实际上，$X_T$）具有无穷大期望。对此的一种解释是，当施加一定的不耐烦限制时，先知比赌徒得到更多的回报。
A General Class of Collatz Sequence and Ruin Problem
本文证明了原Collatz（3n + 1）（或Hotpo）序列的概率收敛性.随后提出了Collatz序列（GCS）的一种推广形式.与Hotpo不同，GCS的实例可以收敛到整数而不是单位。可以使用抽象机器的概念来生成GCS，该抽象机器在不同的数值基础上执行算术运算。原始Collatz序列是GCS在基2上的一个特例。GCS序列的停止时具有显著的统计特性。我们猜想Collatz收敛证明了由数的算术运算产生的数字混沌中吸引子点的存在性。我们还模型Collatz收敛作为一个经典的破产问题的数字在一个基地，其中的抽象机器正在计算，并建立其统计行为。最后，建立了序列的停止时间的平均界，该界随位数线性增长。
Uniform Markov Renewal Theory and Ruin Probabilities in Markov Random Walks
设{X_n，n \geq 0}是一般状态空间X上具有转移概率P和平稳概率π的马尔可夫链.假设一个可加分量S_n在实数直线R上取值，并与链邻接，使得{（X_n，S_n），n \geq 0}是马尔可夫随机游动.在本文中，我们证明了一个一致的马尔可夫更新定理，估计的收敛速率。这个结果被应用于{（X_n，S_n），n \geq 0}的边界交叉问题.更精确地说，对于给定的b \geq 0，定义停时τ=τ（b）=inf{n：S_n>b}。当随机游动S_n的漂移μ为0时，我们得到了首达概率P_π{τ<m}和P_π{τ<m，S_m<c}的一项Edgeworth型渐近展开式，其中m为\infty，c为\leq b，P_π表示在初始分布π下的概率.当μ \neq为0时，导出了带修正项的首次通过概率的布朗近似.
Trapping the Ultimate Success
本研究引入一种猜测最后一次成功时刻的博弈游戏，其与有限试验序列中停在最后一次成功的序贯决策问题相关，研究者利用该关联分析了Polya-Lundberg过程驱动下停在最后一个记录值的问题。
Optimal Selling of Defaultable Assets using the Distribution Builder
该研究针对带破产风险的违约资产出售问题，基于分布构建器方法，通过扩展Skorokhod嵌入问题的结果，构建两类优化问题求解最优出售策略并验证解的性质。
Minimal Solutions to the Skorokhod Reflection Problem Driven by Jump Processes and an Application to Reinsurance
本文研究了由跳跃过程驱动的Skorokhod反射问题的最小解，并将其应用于再保险领域中的保险公司破产时间分析。
Last-Coverage Probabilities of Random Walks on Cycle Graphs for Symmetric, Biased, and Time-Dependent Walks
本文针对环图上的对称、有偏和时变随机游走，利用连通弧性质推导最后覆盖概率公式，通过模拟验证结果，并对比不同图结构的最后覆盖分布。
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