群表示的栈
Stacks of group representations
AI总结：
本文将子群限制解释为标量扩张，证明普通、导出和稳定表示预层在 sipp 拓扑下构成栈，并用 sipp Čech 上同调刻画内平凡表示群限制映射的核与像。
摘要：
我们从关于群表示的一个小型范式转变开始，即观察到对子群的限制可以被理解为一种标量扩张。我们由此推断，给定群 $G$，子群 $H$ 的表示的导出范畴和稳定范畴可以通过一种纯三角范畴构造，从 $G$ 的相应范畴构造出来，这类似于代数几何中的 étale 扩张。在有限群情形下，我们随后使用下降方法研究子群 $H$ 的模表示何时可以扩张到 $G$。我们证明，普通表示、导出表示和稳定表示的预层在有限 $G$-集范畴（或 $G$ 的轨道范畴）上，相对于我们称为 sipp 拓扑的合适 Grothendieck 拓扑，都构成栈。当 $H$ 包含 $G$ 的一个 Sylow 子群时，我们使用 sipp Čech 上同调来描述同态 $T(G)\ o T(H)$ 的核与像，其中 $T(-)$ 表示内平凡表示群。
英文摘要：
We start with a small paradigm shift about group representations, namely the observation that restriction to a subgroup can be understood as an extension-of-scalars. We deduce that, given a group $G$, the derived and the stable categories of representations of a subgroup $H$ can be constructed out of the corresponding category for $G$ by a purely triangulated-categorical construction, analogous to étale extension in algebraic geometry. In the case of finite groups, we then use descent methods to investigate when modular representations of the subgroup $H$ can be extended to $G$. We show that the presheaves of plain, derived and stable representations all form stacks on the category of finite $G$-sets (or the orbit category of $G$), with respect to a suitable Grothendieck topology that we call the sipp topology. When $H$ contains a Sylow subgroup of $G$, we use sipp Cech cohomology to describe the kernel and the image of the homomorphism $T(G)\to T(H)$, where $T(-)$ denotes the group of endotrivial representations.
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