关于常曲率空间的Projective Geometry的一个注记

常曲率的射影平坦Finsler定理

Projectively Flat Finsler Metrics of Constant Curvature

刻画R^n中有界凸区域上的（不一定可逆的）距离函数使得直线是最短路，这是希尔伯特第四问题。由Finsler度量导出的距离函数被认为是光滑的。具有直测地线的芬斯勒度量称为射影度量。已知任何射影Finsler度量的旗曲率都是切向量的标量函数（如果它是黎曼的，则旗曲率必须是常数）。因此，研究常曲率的曲率方程是一个自然的问题。本文研究了光滑情形下的Hilbert第四问题。本文首先利用系数为f（y）：=F（0，y），h（y）：=（1/2）F（x，y）^{-1} F_{x^k}（0，y）y^k和c的幂级数，给出常曲率K=c的x-解析射影Finsler度量F（x，y）的一个公式.然后，对任意给定的对{f（y），h（y）}和任意常数c，给出了具有常曲率的光滑射影Finsler度量K=c和F（0，y）=f（y）以及F_{x^k}（0，y）y^k=2f（y）h（y）的代数公式.利用这些公式，我们得到了几个特殊的常曲率射影Finsler度量，它们可以作为Finsler几何的模型。

Finsler级数，K=0，S=0

Finsler Metrics with K=0 and S=0

在芬斯勒几何中，有无穷多个常曲率的模型。Funk度量、Hilbert-Klein度量和Bryant度量都是射影平坦的，具有非零常曲率。作者最近构造的一个例子是零曲率射影平坦的。在本文中，我们介绍了一种技术来构造非射影平坦Finsler度量在每个维度上的曲率为零。这种方法可以用来构造许多常曲率的非射影平坦Finsler度量。

二维常曲率Finsler度量

Two-dimensional Finsler metrics of constant curvature

黎曼度量是常曲率的当且仅当它是局部射影平坦的。有无穷多个常曲率的局部射影平坦Finsler度量，它们是希尔伯特第四问题的特解。本文利用论文“Finsler度量with K=0 and S=0”（math.DG/0109060）中的技巧，构造了常曲率K=1的2-球面上的无穷多个Finsler度量和常曲率K =-1的2-圆盘上的无穷多个Finsler度量.这些指标并不是预测性的平坦。到目前为止，常曲率Finsler度量的分类还没有完全完成。这些例子对分类问题很重要。

Remarks on manifolds with two sided curvature bounds

We discuss folklore statements about distance functions in manifolds with two sided bounded curvature. The topics include regularity, subsets of positive reach and the cut locus.

Lambert's theorem and projective dynamics

We prove that the classical Lambert theorem about the elapsed time on an arc of Keplerian orbit extends without change to the Kepler problem on a space of constant curvature. We prove that the Hooke problem has a property similar to Lambert's theorem, which also extends to the spaces of constant curvature.

常曲率曲面上圆盘的随机顺序吸附：平面、球面、双曲面和射影平面

Random sequential adsorption of discs on constant-curvature surfaces: plane, sphere, hyperboloid, and projective plane

我们提出了一种算法来模拟随机顺序吸附（随机“停车”）的恒定曲率的表面上的光盘：平面，球体，双曲面，投影平面，所有嵌入在三维空间。我们模拟完整的停车场，明确计算的可用区域的边界，光盘可以停在这个地区集中新的点。这使得我们的算法高效，并提供了一个诊断来确定每次停车何时完成，因此不需要从不完整的停车场中推断数据来研究物理问题。我们用我们的算法来研究的数量分布和密度的光盘停在每个空间，其中的平面和双曲面，我们认为两个不同的周期性平铺。我们做了几个值得注意的观察：（i）在球面上，有一个临界的圆盘半径，这样停放的圆盘的数量总是正好是四个：随机停放实际上是确定性的。我们严格证明了这一说法，也表明，随机停车的表面上的$d$维球体将具有确定性的行为在相同的临界半径。(ii)当圆盘半径减小时，停放圆盘的平均数量并不总是单调增加：在平面上（具有周期性边界条件的正方形），存在一个半径减小的间隔，在该间隔内，平均值 * 减小 *。我们给这个违反直觉的发现一个启发式的解释。(iii)当圆盘半径缩小到零时，密度（被停放的圆盘覆盖的面积的平均分数）似乎收敛到所有空间的相同常数，尽管它总是略大于球体，略小于双曲面。因此，对于一般曲面上的停车场，我们预计正曲率区域的局部密度较高，负曲率区域的局部密度较低。