Numerical verification of the Collatz conjecture for billion digit random numbers
本研究针对数论中著名的未解决问题考拉兹猜想，提出一种可在标准PC上运行的验证算法，实现了对最高100亿位十进制大数的猜想数值验证，拓展了大数验证的可行性。
2025-02-23 math.NT
Consecutive Integers and the Collatz Conjecture
在Collatz问题中，连续整数对具有相同的高度，其频率令人惊讶。Garner给出了一系列的自然条件，以说明这种情况何时发生。我们的主要结果是Garner猜想的一个无穷族反例。
2015-11-30 math.NT
A Conjecture on the Collatz-Kakutani Path Length for the Mersenne Primes
本文将Mersenne素数的性质与Collatz-Kakutani问题联系起来，提出了一个新的猜想.通过在Collatz-Kakutani树的基础上引入一个自然路径长度，我们猜想一个Mersenne素数从Collatz-Kakutani树的根到Mersenne素数的路径长度近似正比于Mersenne素数的指数.并讨论了梅森数与梅森素数在性质上的区别。
2012-08-03 math.NT
A polynomial approach to the Collatz conjecture
Collatz猜想的探讨使用多项式的基础上的二进制数字系统。结果表明，多项式的程度，平均而言，减少有限数量的步骤后的Collatz操作，这提供了一个弱证明的猜想，通过使用归纳法的多项式的程度。
2019-05-21 cs.SC math.NT
An Exploration Into the Collatz Conjecture with Changed Parameters
本研究通过变更考拉兹猜想的表达式参数，探究了5n+1、3n+5形式下的数集变化规律，发现不同参数下数的收敛、发散特性及两类表达式间的关联，拓展了类考拉兹问题的研究维度。
2023-05-01 math.NT
An improved algorithm for checking the Collatz conjecture for all n < 2^N
Mathematical Sciences Institute Australian National University（澳大利亚国立大学数学科学学院）
本文提出了一种更高效的算法来验证科拉兹猜想对所有n < 2^N的情况，并探讨了负数情况下的验证方法。
2026-02-11 math.NT
Sur la conjecture de Collatz
本文给出了Collatz猜想或Q的2-adic完备化的3 n +1问题的推广。$Q_2$的等距提供关于根据$u_0$模$2^m$的类的序列的第一项的平均行为的信息。在假设$q^{p-1}<p^p$下，从对（2，3）到对（p，q）的推广似乎是可能的。
2016-07-08 math.NT
Additive Collatz Trajectories
Collatz猜想（也称为Ulam猜想和3x+1问题）涉及特定函数在自然数上的迭代行为。对这个猜想的一些推广已经进行了广泛的研究。本文研究了Collatz猜想的一种推广--可加Collatz轨线，给出了可加Collatz轨线成环的一个充分和必要条件，并得到了两个次要结果.当自然数被其对应的轨迹的极限行为所限制时，还提出了一个计算等价类数的算法。
2016-11-12 math.NT
Novel Theorems and Algorithms Relating to the Collatz Conjecture
Collatz猜想于1937年提出，由于其简单的提议，但难以证明，因此一直是数学家和计算机科学家的焦点。在本文中，我们提出了几个新的定理，推论和算法，探讨之间的关系和性质的自然数，他们的峰值，和猜想。这些贡献主要分析了Collatz迭代的次数，它需要一个给定的整数达到1或一个数字小于本身，或之间的关系，一个起始数和它的峰值。
2021-06-14 math.NT
Are the Collatz and abc conjectures related?
本文建立 Collatz 猜想与 abc 猜想的联系：在 abc 猜想成立下改进一类捷径型 Collatz 序列起始整数的下界，并借助 abc-hits 子集、Collatz 迭代与 Wieferich 素数寻找大型三元组。
2025-10-21 math.NT
The Collatz Conjecture & Non-Archimedean Spectral Theory -- Part I.5 -- How To Write The (Weak) Collatz Conjecture As A Contour Integral
该研究提出$(p,q)$进分析新范式研究算术动力系统，将简化$qx+1$映射的周期点问题转化为围道积分，建立相关函数方程与亚纯延拓，指出超几何增长下仍可获渐近结果。
2023-12-15 math.DS math.NT
Some elements of a possible demonstration of the Collatz conjecture
本文证明了在$ x_ {0} \in \mathbb{N} $中任意初始化Collataz过程的步骤$ k $中，增加$ A_{k}=P(T^{k} (x_{0})>T^{k-1} (x_{0})) $的概率和减少$B_{k}=P(T^{k} (x_{0})<T^{k-1} (x_{0}))$的概率，它们对所有的$ k $值都是相等的。这影响了产生Collatz序列的数字的定律，因此它被迫减少，直到单位。还显示在Collatz猜想是假的每一个问题$an +b$，使$a\geq 5\geq b+2$，和你的概率性质不能被忽略，如果你想得到最终的解决方案，在其他有趣的论点。
2017-07-03 math.NT
A Collatz-type conjecture on the set of rational numbers (revised and extended version)
Siena University（锡耶纳大学）
该研究提出有理数集上的类考拉兹猜想，通过半群矩阵的特征值分析、同余关系等方法，证明θ无特定有理环，还通过计算机验证θ无长度≤36的正有理循环。
2026-11-06 math.NT
Some contributions to Collatz conjecture
Collatz猜想可以用简化的Collatz函数R（x）=（3x+1）/2^m来表述（其中2^m是2的较大幂除以3x+1）。猜想是：从任何奇数正整数开始，重复R（x），我们最终得到1。在作者的前一篇文章中，把使得R^k（x）= 1的奇正整数x的集合刻画为二进制表示属于一个串G_k的集合的奇数的集合。G_k中的每个字符串都是k个字符串z_k z_{k-1}.其中每个z_i是从长度为2x 3 ^{i-1}的字符串s_i（i阶的种子）的某个幂中的有限且连续的提取。显然，如果任何奇数的二进制表示属于某个G_k，则Collatz猜想成立。最近Patrick Chisan Hew证明了种子s_i是1/3^i的重复。这里给出了对Collatz猜想的两个贡献：- Collatz猜想用一个函数ρ（y）表示，该函数作用于所有具有有限二进制表示的有理数1/2 <= y < 1的集合。ρ（y）相对于R（x）的主要优点是分母可以是2或4（不像R（x）的分母可以是2的任何幂）。- 我们证明了每一个奇正整数x的二进制表示是无穷多个种子s_i的幂的前缀，并且我们给出了x的二进制表示的长度n的最小i的上界。
2017-03-11 math.NT
$7x\pm1$: Close Relative of Collatz Problem
本文研究 Collatz 问题的近亲 $7x\pm1$ 迭代函数，猜想任意正整数轨道最终回到 1，并用启发式论证和计算结果加以支持。
2024-10-01 math.NT
An introduction to $p$-adic systems: A new kind of number systems inspired by the Collatz $3n+1$ conjecture
本文从著名的Lothar Collatz的$3n+1$猜想中得到启发，引入了一类新的$p$上的数系-进整数. $p$ -进系统是$\mathbb{Z}_p$上的分段函数，其具有对所有剩余类取模$p$的分支，并且其动力学可以用于定义$p$ -进整数的数位展开，其尊重$p$的模幂的同余并且允许独特的“块结构”。$p$ -adic系统概括了与$p$ -adic整数相关的几个概念，例如置换多项式，并将它们置于公共框架下，允许将在一种设置中制定的结果和技术转移到另一种设置中。$p$ -adic系统建立的一般框架也提供了更自然的版本的原始Collatz猜想和第一个结果可以实现的上下文中。对$p$ -adic系统及其不同的解释进行了详细的形式化介绍。刻画了几类由多项式函数或有理函数等不同类型函数定义的$p$ -adic系统，并建立了所有$p$ -adic系统集合上的群结构，从而提供了$p$ -adic系统的各种具体例子.此外，利用$p$系统将多项式的Hensel引理推广到$\mathbb{Z}_p$上的一般函数，在其他“线性多项式$p$-adic系统”的背景下分析了原来的Collatz猜想，并借助于“循环树”研究了“多项式$p$系统”与置换多项式之间的关系，其中“循环树”编码了$\mathbb{Z}_p$的某些置换的循环结构.为了勾勒出一个潜在的路线图，为今后的调查$p$ -adic系统在许多不…
2021-03-09 math.DS math.NT
The autoconjugacy of a generalized Collatz map
3x+1映射的许多2-adic性质推广到类似的mx+r映射，其中m和r是奇数。我们引入了相应的自共轭映射，证明了它的一些简单性质，并在一般情况下作了进一步的讨论，包括弱周期性和发散轨线的讨论.
2012-06-04 math.NT
Collatz polynomials: an introduction with bounds on their zeros
Collatz猜想（也被称为3x+1问题）提出以下算法在一定次数的迭代后总是产生数字1：给定一个自然数，乘以3，如果数字是奇数，则加1，将所得数字减半，然后重复。在本文中，对于Collatz猜想成立的每个$N$，我们定义$N^{th}$ Collatz多项式为具有常数项$N$和$k^{th}$项（对于$k > 1$）的首一多项式，该项是$N$在Collatz函数下的$k^{th}$。特别是，我们绑定这些多项式的根的模，证明定理时，他们有合理的整数根，并提出进一步的应用和研究途径。
2020-01-25 math.NT
Cellular Automata to More Efficiently Compute the Collatz Map
Collatz猜想，或3x+1猜想，声称对每个正整数n，存在某个k使得T^k（n）=1，其中T是Collatz映射。我们提出了三个元胞自动机（CA），将模拟Collatz映射的全局问题转化为一个局部问题，即转换迭代的位数。CA首先通过绕过轨迹的某些部分的计算来简化计算：二进制CA完全绕过除以二。此外，它们允许同时计算多个轨迹，代表了对现有计算Collatz映射的顺序方法的显着改进，并证明了使用大规模并行方法与元胞自动机来解决Collatz猜想等迭代问题的有效性。
2013-01-14 math.NT nlin.CG
A $p$-adic Approach To Piecewise Polynomial Dynamical Systems
利用$p$ -adic数，我们对一类相当大的多项式动力系统的循环进行了部分分类。反过来，我们证明了一些结果有关的$\textit{Collatz map}$ $\text{Col} : \mathbb{Z}_+ \to \mathbb{Z}_+$定义的$$\text{Col}(n) = \begin{cases} 3n + 1, & n \text{ is odd;} \\ n/2, & \text{otherwise.}\end{cases}$$证明非平凡Collatz圈的不存在将减少Collatz猜想是否Collatz映射可以发散到无穷大。
2021-03-23 math.DS math.NT
The Hydra Map and Numen Formalisms for Collatz-Type Problems
本文提出将Hydra映射与Numen形式化应用于Collatz型问题的通用框架，为未来研究提供技术参考。
2026-09-04 math.DS math.NT
Functional analysis approach to the Collatz conjecture
本文从泛函分析的角度研究了Collatz映射$T$的有关问题。我们与$T$某些线性算子$\mathcal{T}$，并表明循环和（假设）发散轨迹（由$T$产生）对应于某些类的不动点的操作$\mathcal{T}$。进一步证明了算子$\mathcal{T}$与映射$T$的动力学性质之间的联系。我们证明了$T$的非平凡圈的缺失导致算子$\mathcal{T}$的超圈性。第二部分证明了算子$Id-\mathcal{T}\in\mathcal{L}(H^2(D))$的指数给出了$T$的圈数的上估计。为了证明，我们考虑Berg，Meinardus在\cite{BM1994}中首次引入的伴随算子$\mathcal{F}=\mathcal{T}^*$ \[ \mathcal{F}: g\to g(z^2)+\frac{z^{-\frac{1}{3}}}{3}\left(g(z^{\frac{2}{3}})+e^{\frac{2πi}{3}}g(z^{\frac{2}{3}}e^{\frac{2πi}{3}})+e^{\frac{4πi}{3}}g(z^{\frac{2}{3}}e^{\frac{4πi}{3}})\right), \]，并证明了它在$H^2(D)$中不存在非平凡不动点.此外，我们还计算了算子$\mathcal{F}$的预解式，并作为应用推导了全停时$σ_{\infty}$的特征函数…
2022-06-01 math.DS math.FA math.NT
There are no Collatz-m-Cycles with $m\leq 91$
本文研究了Collatz猜想的非平凡循环，证明了局部最小值数量 $m \geq 92$，并指出验证 $3\cdot2^{69}$ 以内整数进入平凡循环可将奇数成员下界提至 $1.375\cdot 10^{11}$，减少近60%检查范围。
2023-04-04 math.NT
On the Convergence of the Density of Terras' Set
本文通过建立严格的收敛速率强化 Terras 密度结果，并扩展测度构造论证，以推进 Collatz 猜想中三角形猜想及有界轨迹问题的研究。
2023-10-12 math.DS math.NT
Prime Holdout Problems
本文提出与 Collatz 猜想相关的素数保留问题，证明有限与无限情形下正整数均收敛至 1，并猜想有限情形不存在发散起始值。
2023-07-18 cs.CC math.NT
On the 3x+1 conjecture
本文以定义在正奇数上的加速Collatz函数T的形式讨论了著名的3x+1猜想.我们给出了一个与T的行为有内在联系的商空间序列和一个可逆映射。这种方法允许以等价问题的形式表达3x+1猜想，这可能比原始猜想更容易理解。
2016-07-25 math.DS math.NT
Notes on Low discriminants and the generalized Newman conjecture
推广Polya，de Bruijn和Newman的工作，我们允许向后热方程变形二次Dirichlet L-函数的零点.存在一个实常数Λ_Kr（推广了de Bruijn-Newman常数Λ），使得对于时间t>=Λ_Kr，所有这样的L-函数的零点都在临界线上;对于时间t<Λ_Kr，存在偏离临界线的零点。在GRH下，Λ_Kr<=0，我们提出了补充猜想0<=Λ_Kr.根据Csordas et.本文利用二次Dirichlet L-函数的低位零点证明了-1.13* 10^{-7}<Λ_Kr。在最后一节中，我们开发了一个精确的定义，这是出于随机矩阵理论的考虑。无穷多个Low判别式的存在意味着0<=Λ_Kr。
2013-04-10 math.NT
The De Bruijn-Newman constant is non-negative
对于每个$t \in {\bf R}$，定义整个函数$$ H_t(x) := \int_0^\infty e^{tu^2} Φ(u) \cos(xu)\ du$$，其中$Φ$是超指数衰减函数$$ Φ(u) := \sum_{n=1}^\infty (2π^2 n^4 e^{9u} - 3πn^2 e^{5u} ) \exp(-πn^2 e^{4u} ).$$ Newman证明存在有限常数$Λ$（该\emph{de Bruijn-Newman constant}），使得当$t \geq Λ$时，$H_t$的零点都是精确实数。黎曼假设等价于断言$Λ\leq 0$，纽曼证明了互补界$Λ\geq 0$。本文建立了Newman猜想。论证通过假设$Λ< 0$是矛盾的，然后分析$H_t$的零的动态来进行（建立在Csordas、Smith和Varga的工作基础上）以获得对范围$Λ< t \leq 0$内的$H_t$的零点的越来越强的控制，直到确定$H_0$的零点处于局部平衡，在这个意义上，局部表现（平均而言）就好像它们在算术级数中相等地间隔开，间隙保持接近全局平均间隙大小。但是后一种说法与已知的关于黎曼zeta函数零点的局部分布的结果不一致，例如蒙哥马利的对相关估计。
2021-07-03 math.NT
The Real 3x+1 Problem
在这项工作中，我们引入了另一个扩展的3 n +1功能的实直线。我们提出了一个关于U-轨线的猜想，它推广了著名的3 n +1（或Collatz）猜想。然后我们证明了我们关于U的迭代的主要结果（这与这两个代数直接相关）。我们还介绍了“翻转3x+1”的功能\widetilde U，并证明了类似的结果，其轨迹。在最后一节中，我们提出了一些关于U（和\widetilde U）的迭代的有趣的问题，证明了关于U和\widetilde U的迭代的几个简单的结果，介绍了其他相关的函数，并提出了关于它们的迭代的更多的结构和问题。我们希望本文的结果、图解和问题不仅与3 n +1猜想本身有关，而且本身也有意义。
2006-07-06 math.DS math.NT
A proof of Newman's conjecture for the extended Selberg class
Department of Mathematics, UCLA（加州大学洛杉矶分校数学系）
本文通过新方法证明了扩展塞尔伯格类中L函数的布里尤恩-新曼常数非负性，从而验证了新曼猜想。
2026-01-10 math.NT
Analogues of the $3x + 1$ Problem in Polynomial Rings of Characteristic 2
Collatz猜想（也称为$3x+1$问题）涉及离散动力系统在由所谓的$3x + 1$函数迭代定义的正整数上的行为。研究了$\mathbb{F}_2$上代数曲线函数环中的类似动力系统。我们证明在这种设置的一个定理的Terras关于停时的渐近分布的广义模拟。我们还提出了这些动力系统的行为的实验数据。
2016-10-08 math.NT
Newman's conjecture in various settings
De Bruijn和Newman引入了黎曼zeta函数$ζ(s)$的变形，并找到了一个实常数$ζ(s)$，它编码了变形下$ζ(s)$零点的移动。黎曼假设（RH）等价于$Λ\le 0$。纽曼提出的猜想，$Λ\ge 0$随着评论说，“新的猜想是一个定量版本的格言，黎曼假设，如果真的，只是勉强如此。纽曼猜想仍然没有解决，以前的工作只能处理黎曼zeta函数和二次狄利克雷$L$ -函数，得到的下界非常接近于零（例如，对于$ζ(s)$，界至少是$-1.14541 \cdot 10^{-11}$，对于二次狄利克雷$L$ -函数，界至少是$-1.17 \cdot 10^{-7}$）。我们推广的技术，适用于自守$L$ -功能以及功能领域$L$ -功能。通过研究$L$ -函数的线性组合，我们进一步确定了这些技术的极限，证明了这些方法是不够的。我们明确地确定纽曼常数在各种功能字段设置，这有很强的影响纽曼的定量版本的RH。特别地，令$\mathcal D \in \bbZ[T]$为3次无平方多项式。令$D_p$为通过将$\mathcal D$模$p$约简而获得的$\bbF_p[T]$中的多项式。然后纽曼常数$Λ_{D_p}$等于$\log \frac{|a_p(\mathcal D)|}{2\sqrt{p}}$ ;由佐藤-泰特（如果曲线是非CM）有一个序列的素数，使$\lim_{n \to\infty} …
2013-10-13 math.NT
Newman's conjecture, zeros of the L-functions, function fields
该研究将Newman猜想拓展至函数域L函数场景，通过几何技术和构造特殊椭圆曲线，证明了若干L函数族的修正版Newman猜想，且得到更强结论即族中L函数的$\Lambda$最大值为0。
2014-11-12 math.NT
