k重和集的逆Erdos-Fuchs定理

关于Erdos-Fuchs定理

On the Erdos-Fuchs theorem

我们证明了几个扩展的Erdos-Fuchs定理。

An Erdős--Fuchs Theorem for Ordered Representation Functions

Let $k\geq 2$ be a positive integer. We study concentration results for the ordered representation functions $r^{\leq}_k(A,n) = \# \big\{ (a_1 \leq \dots \leq a_k) \in A^k : a_1+\dots+a_k = n \big\}$ and $r^{<}_k(A,n) = \# \big\{ (a_1 < \dots < a_k) \in A^k : a_1+\dots+a_k = n \big\}$ for any infinite set of non-negative integers $A$. Our main theorem is an Erdős--Fuchs-type result for both functions: for any $c > 0$ and $\star \in \{\leq,<\}$ we show that $$\sum_{j = 0}^{n} \Big( r^{\star}_k(A,j) - c \Big) = o\big(n^{1/4} \log^{-1/2}n \big)$$ is not possible. We also show that the mean square…

Tao方法的一个变形及其在限制和集上的应用

A variant of Tao's method with application to restricted sumsets

本文发展了Terence Tao的调和分析方法，并将其应用于限制和集。著名的柯西-达文波特定理断言，如果$A$和$B$是$Z/pZ$的非空子集，且$p$是素数，则$|A+B|\ge min{p,|A|+|B|-1}$，其中$A+B={a+b: a\in A, b\in B}$。在2005年，陶泰伦（英语：Terence Tao）通过将测不准原理的一种新形式应用于傅里叶变换，给出了柯西-达文波特定理的调和分析证明。我们修改陶的方法，使它可以用来证明以下扩展的Erdos-Heilbronn猜想：如果$A,B,S$是$Z/pZ$的非空子集，$p$是一个素数，那么$|{a+b: a\in A, b\in B, a-b not\in S}|\ge min {p,|A|+|B|-2|S|-1}$。

整数中正密度集合的和集反推定理

An inverse theorem for sumsets of sets of positive density in the integers

本文研究了正密度集合A,B满足d(A+B)=d(A)+d(B)的条件，给出了Kneser和集不等式的新反推定理，并回答了Erdős和Graham的长期问题。

正密度集合中的无限和集

Infinite Sumsets in Sets with Positive Density

本文受 Erdős 问题启发，利用遍历理论和保测系统的结构结果证明：任何正上密度自然数集对任意 k 都包含无限集合构成的和集，且方法对 k=2 情形也是新的。

和集的可能大小

Possible Sizes of Sumsets

研究\(h\)重和集基数范围\(R(h,k)\)的形式，证明对\(h \in \mathbb{N}\)存在常数\(k_h\)，当\(k > k_h\)时\(R(h,k)\)的特定形式，且给出\(k_3 = 2\)。