The smallest spectral radius of bicyclic uniform hypergraphs with a given size
具有极值性质的图的识别是谱图论中一个广泛研究的课题。本文研究了Lu和Man提出的计算超图谱半径的一类与$α$ -正规加权关联矩阵有关的迭代序列的对数收敛性。利用所得到的关于序列的结果和一些边运算的方法，我们刻画了给定大小的双圈超图中具有最小谱半径的完全极k-图.
2020-10-04 math.CO
Largest Domination Number and Smallest Independence Number of Forests with given Degree Sequence
对于非负整数序列$d$，令${\cal F}(d)$是度序列为$d$的所有森林的集合。我们给出了$γ_{\max}^{\cal F}(d)=\max\{ γ(F):F\in {\cal F}(d)\}$和$α_{\min}^{\cal F}(d)=\min\{ α(F):F\in {\cal F}(d)\}$的闭公式，其中$γ(F)$和$α(F)$分别是森林$F$的控制数和独立数。
2015-07-16 math.CO
Small graphs and hypergraphs of given degree and girth
寻找最小可能周长$g$的$d$ -正则图有很长的历史，通常被称为笼问题。这个问题有一个自然扩张到超图，在这里我们可以要求在给定（Berge）围长$g$的$d$ -正则、$r$ -一致超图中顶点数最少。我们表明，这两个问题实际上是非常密切相关的。通过扩展凯莱图的想法超图的上下文中，我们发现已知的最小超图的各种参数集。由于从图论的笼问题的密切联系，我们能够使用这些技术，找到新的记录最小的三次图的围长23，24，28，29，30，31和32。
2022-01-18 math.CO
Constructing regular graphs with smallest defining number
在一个给定的图$G$中，如果存在$S$的颜色到$G$的顶点的$\Cchi(G)$ -染色的唯一扩张，则具有颜色分配的顶点集$S$是{ \sf定义$G$的顶点染色集}.具有最小基数的定义集称为{ \sf最小定义集}（顶点着色），其基数，{ \sf定义数}，表示为$d(G, \Cchi)$。设$ d(n, r, \Cchi = k)$是所有顶点为$n$的$r$ -正则$k$ -色图的最小定义数. Mahmoodian et. al \cite{rkgraph}证明，对于给定的$k$和所有的$n \geq 3k$，如果$r \geq 2(k-1)$，则$d(n, r, \Cchi = k)=k-1$。在本文中，我们证明了，对于一个给定的$k$和所有的$n < 3k$和$r\geq 2(k-1)$，$d(n, r, \Cchi=k)=k-1$。
2008-06-09 math.CO
Number of partitions of n with a given parity of the smallest part
我们得到了一个令人惊讶的加权分割平等的Berkovich和Uncu的组合证明。我们的证明自然地导致一个公式的分区与给定的奇偶性的最小的部分，在S（i），分区的数量i到不同的部分与偶数排名减去数量与奇数排名，有一个几乎闭公式安德鲁斯，戴森和希克森。这种计算n的最小部分的奇偶性给定时的划分数的方法是实用而有效的。
2022-05-12 math.CO math.NT
Smallest graphs with given automorphism group
对于有限群$G$，用$α(G)$表示任何具有$\text{Aut}(Γ)\cong G$的图$Γ$的最小顶点数。在本文中，我们证明了$α(G)\leq |G|$，指定的例外。例外包括4个无限群族和17个其他小群。此外，我们计算组$G$的$α(G)$，使得$α(G)> |G|$，其中值$α(G)$先前是未知的。
2022-03-24 math.CO math.GR
Smallest Domination Number and Largest Independence Number of Graphs and Forests with given Degree Sequence
对于非负整数序列$d$，令${\cal G}(d)$和${\cal F}(d)$分别是所有具有度序列$d$的图和森林的集合。设$γ_{\min}(d)=\min\{ γ(G):G\in {\cal G}(d)\}$、$α_{\max}(d)=\max\{ α(G):G\in {\cal G}(d)\}$、$γ_{\min}^{\cal F}(d)=\min\{ γ(F):F\in {\cal F}(d)\}$和$α_{\max}^{\cal F}(d)=\max\{ α(F):F\in {\cal F}(d)\}$，其中$γ(G)$是图$G$的控制数，$α(G)$是图$G$的独立数。在Havel和Hakimi的基础上，Rao在1979年证明了$α_{\max}(d)$可以在多项式时间内确定。我们建立了实现$G\in {\cal G}(d)$与$γ_{\min}(d)=γ(G)$，和$F_γ,F_α\in {\cal F}(d)$与$γ_{\min}^{\cal F}(d)=γ(F_γ)$和$α_{\max}^{\cal F}(d)=α(F_α)$，具有强大的结构特性。这导致了一个有效的算法来确定$γ_{\min}(d)$为每个给定的度序列$d$与有界的项目以及封闭的公式为$γ_{\min}^{\cal F}(d)$和$α_{\max}^{\cal F}(d)$。
2015-07-16 math.CO
On the smallest partition associated to a numerical semigroup
University of California, Irvine（加州大学尔湾分校）
研究给定钩长集的划分数量，分析最小划分大小分布，探讨数值半群与钩长集的关系。
2026-04-28 math.CO
Smallest $C_{2l+1}$-critical graphs of odd-girth $2k+1$
给定一个图$H$，如果$G$不允许与$H$同态，但$G$的任何真子图都允许同态，则称为$H$ -临界图。观察到$K_{k-1}$ -临界图是标准$k$ -（彩色）-临界图。我们考虑以前研究的$k$ -临界图的极值性质的问题，并将它们推广到$H$ -临界图。完成图之后，$H$要考虑的下一个自然情况是奇循环。因此，给定整数$\ell$和$k$，$\ell\geq k$，我们问：什么是一个$C_{2\ell +1}$ -临界图的奇围长至少$2k+1$的最小阶？用$η(k,C_{2\ell+1})$表示这个值，我们证明了$η(k,C_{2\ell+1})=4k$对于$1\leq\ell\leq k\leq\frac{3\ell+i-3}{2}$（$2k=i\bmod 3$）和$η(3,C_5)=15$。后者意味着奇围长~ $7$不允许与$5$ -圈同态的最小图的阶为~ $15$。计算结果表明，在$15$ ~顶点上有11个这样的图，其中只有2个是$C_5$ -临界的.
2022-05-22 math.CO
An algebraic Monte-Carlo algorithm for the Partition Adjacency Matrix realization problem
给定度序列和给定分块邻接矩阵的同时图形化是数据驱动网络建模中的一个相关问题。在这里，我们制定共同的概括这个问题和精确匹配问题，并解决它们与代数蒙特卡洛算法，在多项式时间内运行，如果分区类的数量是有界的。
2018-02-20 math.CO
Extremal Values of the Chromatic Number for a Given Degree Sequence
对于度序列$d:d_1\geq \cdots \geq d_n$，我们考虑了度序列为$d$的所有图中的最小色数$χ_{\min}(d)$和最大色数$χ_{\max}(d)$.我们表明，如果$d_n\geq 1$，那么$χ_{\min}(d)\leq \max\left\{ 3,d_1-\frac{n+1}{4d_1}+4\right\}$，如果$\sqrt{n+\frac{1}{4}}-\frac{1}{2}>d_1\geq d_n\geq 1$，那么$χ_{\max}(d)=\max\limits_{i\in [n]}\min\left\{ i,d_i+1\right\}$。对于给定的度序列$d$与有界的项目，我们证明了$χ_{\min}(d)$，$χ_{\max}(d)$，也是最小的独立数$α_{\min}(d)$在所有的图与度序列$d$，可以确定在多项式时间。
2016-09-28 math.CO
A realization of poset associahedra
给定任意连通偏序集$P$，我们给出了Galashin偏序集结合面体$\mathscr{A}(P)$作为$\mathbb{R}^P.$中凸多胞体的一个简单实现。该实现是受将$\mathscr{A}(P)$描述为保序映射$P \to \mathbb{R}.$的位形空间的紧化的启发。
2023-03-15 math.CO
Partitions in which every term but the smallest one is consecutive
本文提出了“几乎连续分割”的概念，即除最小项外各项均连续，并推导了其最小部分相关公式、组合解释及渐近公式。
2024-03-23 math.CO math.NT
On realization graphs of degree sequences
给定图的度序列$d$，$d$的实现图是以$d$的标记实现为顶点的图，如果一个实现可以通过边交换操作从另一个实现获得，则两个顶点相邻。本文描述了实现图中的笛卡儿积与R. I.泰什克维奇和其他人。作为应用，我们刻画了实现图为无三角形图或超立方体的度序列。
2016-03-15 math.CO
Bounds for the smallest $k$-chromatic graphs of given girth
本文研究围长至少为 $g$ 的 $k$-色图的最小阶数 $n_g(k)$，通过穷举搜索和计算机算法给出新的上下界，并首次提供 $k=4$、$g>5$ 的小阶数实例。
2019-03-05 cs.DM math.CO
Inverse Fiedler vector problem of a graph
本文研究图结构如何控制不同加权拉普拉斯矩阵的Fiedler向量，刻画了树和圈中所有可能的Fiedler向量及相关特征向量，并探讨了特征集在树上的分布。
2024-10-13 math.CO
Realization of distance matrices by graphs of genus 1
给定一个距离矩阵$D$，研究了距离矩阵的压缩向量和约简矩阵在$D$的赋权图实现问题中的行为.为此，我们首先给出了一个一般性的结果，实现$n-$循环，然后我们主要集中在图的亏格1，提出了一个算法，确定当一个距离矩阵是可实现的这样一种图，然后，显示如何构造它。
2020-12-14 math.CO
The least balanced graphs and trees
HUN-REN Alfréd Rényi Institute of Mathematics（匈牙利科学院阿尔弗雷德·雷尼数学研究所）；ELTE: Eötvös Loránd University, Mathematics Institute, Department of Computer Science（厄特沃什·罗兰大学数学研究所计算机科学系）
本文研究了图和树的最不平衡性，证明了完全图K4附加路径P_{n-4}和星树S5附加路径P_{n-5}是最不平衡的结构。
2026-03-25 math.CO
On Partition Classes Arising from Parity, Differences, and Repeated Smallest Parts
Indian Institute of Technology, Roorkee（印度理工学院鲁尔基分校）
本文研究了与奇偶性、差值和重复最小部分相关的划分类，推导了相关身份并扩展了欧拉划分定理，同时给出了组合和q-级数的证明。
2026-01-26 math.CO math.NT
A Realization of Graph-Associahedra
给定任意有限图，我们给出了一个简单的实现的图-associahedron多面体使用整数坐标。
2006-12-18 math.CO math.QA
Degree Realization by Bipartite Multigraphs
The City University of New York (CUNY)（纽约市立大学）；Huawei（华为）；The Weizmann Institute of Science（魏茨曼科学研究所）；Bar Ilan University（巴伊兰大学）
本文研究了双图多重图实现度数序列的问题，提出了一种确定是否存在满足多余边数限制的实现方法，并证明了在未给定划分的情况下该问题的NP难性。
2026-01-06 cs.DM math.CO
Computing metric hulls in graphs
我们证明了，给定一个闭包函数，一个闭集的最小原像可以在多项式时间内用闭集的个数来计算。这证实了Albenque和Knauer的一个猜想，并暗示当给定一个图的所有凸子图作为输入时，存在一个计算图的凸包数的多项式时间算法.然后，我们表明，计算如果一个闭集的最小原像是对数的地面集的大小是LOGSNP-完全的，如果只有地面集。这个问题的一个特殊例子是计算偏序集的维数，给定它的线性扩张图，它被证明是在P中。表明后一个问题是LOGSNP完全的意图导致了几个有趣的问题和等距壳的定义，即，包含给定顶点集的最小等距子图$S$。而对于$|S|=2$的等距壳只是一个最短的路径，我们表明，计算等距壳的一组顶点是NP完全的，即使$|S|=3$。最后，我们考虑了图的等距壳数的计算问题，并证明了它的计算是$Σ^P_2$完全的。
2018-04-30 cs.DM math.CO
Finding an Unknown Acyclic Orientation of a Given Graph
设c（G）是为了确定给定图G在最坏情况下的未知非循环方向而必须测试的最小边数。例如，如果G是n个顶点上的完全图，则c（G）是对n个数进行排序所需的最小比较次数。本文证明了对任意n阶图G，c（G）\le（1/4+o（1））n^2，从而肯定地回答了Aigner，Triesch和Tuza [Discrete Mathematics，144（1995）3-10]提出的一个问题.此外，我们还证明了，对于每个e>0，在乘法因子74/73-e内逼近参数c（G）是NP-困难的。
2009-04-07 cs.IT math.CO math.IT
Smallest snarks with oddness 4 and cyclic connectivity 4 have order 44
snarks族--不能是3边着色的连通无桥三次图--是图论中几个重要和长期存在的理论的潜在反例来源。这些包括循环双覆盖猜想，Tutte的5-flow猜想，Fulkerson猜想和其他几个猜想。接近这些构造的一种方法是通过研究snarks的结构性质和构造具有给定性质的小例子。在本文中，我们处理的问题，确定一个非平凡的snark（即，这是循环4-边连接，围长至少为5）的奇数至少为4的最小阶。结合结构分析和大量的计算，我们证明了奇度至少为4且循环连通度为4的snark的最小阶为44。以前它是已知的，这样的咆哮必须有至少38个顶点[J. Combin。Theory Ser.B103（2013），468- 488]，并且Lukot'ka等人[Electron. J. Combin. 22（2015），#P1.51]。证明需要确定36个顶点上的所有循环4-边连接的咆哮，这将先前编译的所有此类咆哮的列表扩展到34个顶点[J. Combin. Theory Ser. B，loc. cit.]。作为一个副产品，我们使用这个新的列表来测试几个假设的有效性，其中咆哮可以是最小的反例。
2019-01-10 cs.DM math.CO
On the swap-distances of different realizations of a graphical degree sequence
其中第一个图论问题得到了严重的关注（已经在50年代的上个世纪）是决定是否一个给定的整数序列是等于度序列的一个单图（或它是{ \em图形}为短）。解决此问题的一种方法是Havel和Hakimi的贪婪算法，该算法基于{ \em swap}操作。另一个密切相关的问题是找到一个交换操作序列，将一个图形实现转换为相同度序列的另一个图形实现。后一个问题得到了特别的重视，在连接的快速混合马尔可夫链的方法，统一采样的所有可能的实现一个给定的度序列。(This成为大型社交网络研究的一个有趣的问题。）早先，对于两个实现之间的这种交换序列的最短可能长度，只有粗略的上界。本文给出了简单无向度序列和有向度序列的任意两种实现的{ \em交换距离}的公式（Gallai型恒等式）。这些身份大大提高了已知的交换距离的上界。
2013-02-20 cs.DM math.CO
Multitriangulations, pseudotriangulations and some problems of realization of polytopes
本文探讨了离散几何中的两个具体问题，多重三角剖分和乘积的多面体实现，它们之间的联系是寻找给定组合结构的多面体实现问题。k-三角剖分是凸n边形的弦的最大集合，使得它们中没有k+1个相互交叉。我们提出了一个组合和几何研究的多重三角形的基础上，他们的明星，发挥同样的作用，三角形的三角形。这项研究导致解释multitangulations的对偶作为pseudoline安排与接触点覆盖一个给定的支持。最后，我们利用这些结果来讨论一些开放的问题上的多重三角剖分，特别是问题的多面体实现其翻转图。其次研究了笛卡儿积的多拓扑性。本文研究了图的笛卡儿积的多面体实现的存在性，并研究了具有k-骨架为单形积的多面体的最小维数。
2010-09-08 cs.CG math.CO math.MG
'Magic' Configurations of Three-Qubit Observables and Geometric Hyperplanes of the Smallest Split Cayley Hexagon
最近Waegell和Aravind [J. Phys. A：Math. Theor. 45（2012），405301，13页]给出了许多不同的三量子比特可观测量集合，每个集合都提供了Kochen-Specker定理的证明。这里证明了这些集合/配置中的两个，即$18_{2} - 12_{3}$和$2_{4}14_{2} - 4_{3}6_{4}$，可以唯一地扩展到二阶分裂凯莱六边形的几何超平面中，即扩展到Frohardt和Johnson [Comm. Algebra 22（1994），773-797]的分类中的类型${\cal V}_{22}(37; 0, 12, 15, 10)$和${\cal V}_{4}(49; 0, 0, 21, 28)$的几何超平面中。此外，采用七阶自同构的六边形，六个副本的两种配置中的任何一种。
2012-11-06 math-ph math.CO math.MP
On the minimum order of a quadrangulation on a given closed 2-manifold
给出了一个计算给定亏格的闭可定向2-流形上四边形剖分的最小可能顶点数的部分公式。这扩展了先前已知的由于N的部分公式。Hartsfield和G. Ringel [J. Comb. Theory，Ser. B，1989，46，84-95]。
2012-08-26 cs.DM math.AT math.CO
