Equations of Bielliptic Modular Curves
Josep González
给出了双椭圆模曲线$X_0(N)$的方程的确定方法，并给出了使$X_0(N)$为双椭圆非超椭圆的30个$X_0(N)$值的方程.
We give a procedure to determine equations for the modular curves $X_0(N)$ which are bielliptic and equations for the 30 values of $N$ such that $X_0(N)$ is bielliptic and nonhyperelliptic are presented.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Computing points on bielliptic modular curves over fixed quadratic fields
本文提出 Mordell-Weil 筛，用于计算固定二次域上若干双椭圆模曲线 $X_0(N)$ 的点，并考察八个水平及 $|d|<100$ 的二次域。
Quadratic Chabauty Experiments on Genus 2 Bielliptic Modular Curves in the LMFDB
本文对LMFDB中亏格2双椭圆模曲线进行二次Chabauty实验，在有理数和二次虚域上应用方法，发现代数无理点，并提出模曲线水平与潜在数域关系的猜想。
Quadratic points on bielliptic modular curves
Bruin和Najman，Ozman和Siksek，Box描述了亏格$2\leq g(X_0(n)) \leq 5$的模曲线上的所有二次点。由于所有的超椭圆曲线$X_0(n)$是属$\leq 5$和作为一条曲线可以有无限多个二次点，只有当它是属$\leq 1$，超椭圆或双椭圆，问题的描述二次点的双椭圆模曲线$X_0(n)$自然出现;这个问题最近也提出了马祖尔。我们完全回答马祖尔的问题，并描述了所有的双椭圆模曲线$X_0(n)$的二次点，这还没有这样做。我们处理的$n$的值是$n=60,62,69,79,83,89,92,94,95,101,119$和$131$ ;曲线$X_0(n)$的亏格直到$11$。我们找到了这些曲线上的所有例外点，并证明它们都对应于CM椭圆曲线。我们使用的两个主要方法是Box的相对对称Chabauty方法和$\Q$ -曲线的模描述的应用程序$d$度$m$的独立issues，这减少了问题，找到合理的点上的几个平行的模曲线。
Bielliptic and Hyperelliptic modular curves X(N) and the group Aut(X(N))
我们确定了所有超椭圆或双椭圆的模曲线X（N）（用$N\geq 7$）.本文证明了X（N）的自同构群与$Γ(N)$在$\operatorname{PSL}_2(\mathbb{R})$中的正规化子重合.
Bielliptic intermediate modular curves
我们确定哪些模曲线$X_Δ(N)$，即位于$X_0(N)$和$X_1(N)$之间的曲线是双椭圆的。令人惊讶的是，我们发现其中一条曲线具有特殊的自同构。最后，我们找到了所有在$\mathbb{Q}$上有无穷多个二次点的$X_Δ(N)$。
Bielliptic modular curves $X_0^*(N)$ with square-free levels
令$N\geq 1$是无平方的整数，使得模曲线$X_0^*(N)$具有亏格$\geq 2$。证明了$X_0^*(N)$是双椭圆曲线，并确定了这类双椭圆曲线的自同构群。特别是，我们得到了非平凡的$Aut(X_0^*(N))$的第一个例子时，亏格的$X_0^*(N)$是$\geq 3$。证明了亏格为$\geq 2$且$N$无平方的模曲线$X_0^*(N)$在$\mathbb{Q}$上的所有二次点的集合对于$N$的$51$值不是精确有限的.
Rational points on rank 2 genus 2 bielliptic curves in the LMFDB
在Balakrishnan，Dogra和第一作者的工作基础上，我们对显式二次Chabauty方法进行了一些改进，以计算$\mathbb{Q}$上亏格$2$双椭圆曲线上的有理点，其Jacobian的Mordell-Weil秩等于$2$ .我们通过精确的分析来补充这一点，以保证正确的输出。再加上Mordell-Weil筛，这个双椭圆二次Chabauty方法是主要的工具，我们使用它来计算$411$局部可解曲线上的有理点从LMFDB满足上述条件。
Bielliptic quotient modular curves of $X_0(N)$
令$N\geq 1$是非平方自由整数，并且令$W_N$是$X_0(N)$的Atkin-Lehner对合的群的非平凡子群，使得模曲线$X_0(N)/W_N$具有至少两个亏格。我们确定所有的对$(N,W_N)$，使$X_0(N)/W_N$是一个双椭圆曲线和对$(N,W_N)$，使$X_0(N)/W_N$有一个无限的二次点在$\mathbb{Q}$。
Bielliptic Shimura curves $X_0^D(N)$ with nontrivial level
本文推广 Rotger 的分类，完全分类了非平凡水平的双椭圆 Shimura 曲线 $X_0^D(N)$，确定了具有无穷多个 2 次点的互素对，并推进了零星点与几何三角曲线的研究。
Bielliptic smooth plane curves and quadratic points
设$C_k$是整体域$k$上的一条光滑射影曲线，它既不是有理的也不是椭圆的。哈里斯-西尔弗曼，当$p=0$，和施韦策，当$p>0$连同一个额外的条件雅可比品种$\operatorname{Jac}(C_k)$所产生的莫德尔猜想，表明$C$有无限多个二次点在一些有限域扩展$L/k$内$\overline{k}$（一个固定的代数封闭$k$）当且仅当$C$是超椭圆或双椭圆。现在，令$C_k$是具有$p=0$或$p>(d-1)(d-2)+1$的固定次数$d\geq4$的光滑平面曲线（直到$\operatorname{Jac}(C_k)$具有正特性的额外条件）。然后，我们证明了$C_k$总是允许许多二次点，除非$d=4$。本文对不同层次的光滑双椭圆平面四次曲线，利用它们的自同构群，给出了一个所谓的\emph{geometrically complete families}。有趣的是，（用一种非常简单的方法）证明了一个定数域$k$的二次扩张$k(\sqrt{D})$只有1000个，在其中我们可以得到次数为$d\geq5$的Fermat方程和Klein方程的更多解; $X^d+Y^d-Z^d=0$和$X^{d-1}Y+Y^{d-1}Z+Z^{d-1}X=0$的活性高于$k$（这同样适用于$k$上的任何非奇异投影平面方程的次数$d\geq 5$，并且通常也适用于在对$\operatorname{J…
The geometry and arithmetic of bielliptic Picard curves
本文研究双椭圆 Picard 曲线及其 Prym 阿贝尔曲面，证明 Torelli 定理并给出 QM 的几何证明，进而刻画 Galois 作用并分类有理 Mordell-Weil 挠子群。
Ceresa cycles of bielliptic Picard curves
本文证明了双椭圆Picard曲线的Ceresa圈为挠群当且仅当对应椭圆曲线上的点为挠点，揭示了其高度的Northcott性质，并利用Chow motive同构完成了证明。
Modular curves of prime-power level with infinitely many quadratic points
该研究确定了1085个素数幂水平的模曲线子群，这些子群对应的模曲线具有无限多个二次点。
On quadratic points of classical modular curves
经典模曲线是算术几何中的一个重要问题。在这项调查中，我们将展示如何Fumiyuki Momose的工作是为了列出经典的模曲线，满足二次点集在$\mathbb{Q}$是无限的。特别是我们回顾结果Momose超椭圆模曲线和自同构群的模曲线。此外，我们修正了现有文献中关于模曲线的自同构群的一些不准确之处，并且我们提供了难以找到精确参考的不同结果，例如：关于超椭圆曲线和双椭圆曲线的一个算术结果（就像哈里斯和西尔弗曼定理的算术陈述（或者阿布拉莫维奇和哈里斯定理的$d=2$））以及以X（N）为参数的$\mathbb{Q}$上椭圆曲线的导体上。
Explicit quadratic Chabauty over number fields
利用标量的限制，将奇次超椭圆曲线上整点和亏格为2的双椭圆曲线上有理点的显式二次Chabauty技巧推广到任意数域.这是通过将来自Siksek的经典Chabauty的扩展的方程与根据附加到独立连续idele类字符的p进高度定义的方程相结合来实现的。我们给出了几个例子来说明我们的方法的实用性。
Rational points on hyperelliptic Atkin-Lehner quotients of modular curves and their coverings
我们完成了所有$64$极大Atkin-Lehner商$X_0(N)^*$上的所有$\mathbb{Q}$ -有理点的计算，使得商是超椭圆的。为了实现这一点，我们使用各种方法的组合，即经典的Chabauty-科尔曼，椭圆曲线Chabauty，二次Chabauty，和双椭圆二次Chabauty方法结合Mordell-Weil筛。另外，对于无平方的$N$，我们将所有的$\mathbb{Q}$ -有理点分为尖点、CM点（包括CM域和$j$ -不变量）和例外点.我们进一步指出如何使用它来计算$\mathbb{Q}$ -有理点的所有模块覆盖。
Modularity of some elliptic curves over totally real fields
研究了一般全实数域上椭圆曲线的模性，建立了非模$j$ -不变量集的有限性结果.通过分析某些模曲线上的二次点，证明了某些实二次域上的椭圆曲线都是模曲线。
Indecomposable vector-valued modular forms and periods of modular curves
我们对模群的可约但不可分解的三维表示及其相关的全纯向量值模形式空间进行了分类。然后，我们演示了如何使用这种表示来计算周期的模曲线。这种方法避免了Hecke算子的使用，从而提供了一种研究非全等模曲线和全等的方法。
Weber modular curves and modular isogenies
本文研究韦伯函数定义的模曲线及其关联的模多项式、SL₂(ℤ)作用及椭圆曲线参数化，旨在探讨其确定的同源图，特别是奇异椭圆曲线的性质，并应用于密码学中的高效同源计算及显式伽罗瓦表示。
Modular curves with infinitely many cubic points
在这项研究中，我们确定所有的模曲线$X_0(N)$，承认无限多的三次点。
Effective Siegel's theorem for modular curves
我们证明了在除1/2个模曲线外的所有模曲线上，以及在除1个素幂水平的模曲线外的所有模曲线上，都可以有效地确定整点。
Automorphism group of split Cartan modular curves
我们确定了所有素数$p$的可裂Cartan模曲线$X_{\operatorname{split}}(p)$的自同构群.
Elliptic curves over $\mathbb{Q}_\infty$ are modular
证明了若p是素数，则定义在Q的分圆扩张Z_p上的所有椭圆曲线都是模曲线.
Quadratic modular symbols on Shimura curves
引入了二次模符号的概念，并研究了这些符号与二次p进L函数的关系。这些对象在[3]中在模曲线的情况下引入。本文讨论了一种将二次模符号和二次p-adic L-函数附加到更一般的Shimura曲线上的方法。
Models for quotients of modular curves
我们描述了一个算法计算的$\Q$ -有理模型的商的模曲线的自同构群，在温和的假设下的曲线和自同构，通过确定$q$ -展开相应的空间的尖点形式的基础。我们还给出了模曲线之间的一般态射的模解释。
Computing modular equations for Shimura curves
在经典设置中，模曲线$X_0(1)$的水平$N$的模方程是由$j(τ)$和$j(Nτ)$满足的多项式关系，其中$j(τ)$是标准椭圆$j$ -函数。在本文中，我们将描述一种方法来计算模块方程的设置志村曲线。主要内容是文[13]中提出的计算Shimura曲线上模形式空间上Hecke算子的显式方法。
Triangular modular curves of low genus
三角形模曲线是由上半平面的同余子群与双曲三角形群的同余子群所产生的模曲线的推广。这些曲线也自然地作为具有单值$\text{PGL}_2(\mathbb{F}_q)$或$\text{PSL}_2(\mathbb{F}_q)$的Belyi映射的源而出现。提出了一种计算Borel型三角模曲线的方法，并对素数水平和小亏格的Borel型三角模线进行了计数。
Local diophantine properties of modular curves of $\cal{D}$-elliptic sheaves
研究了局部域上$\cal{D}$ -椭圆层的模曲线上有理点的存在性及其特殊纤维的结构.讨论了它的一些应用，包括寻找由四元数代数产生的算术群的表示，寻找$\cal{D}$ -椭圆层的模曲线的方程，以及构造违反Hasse原理的曲线.
Realization of Modular Galois Representations in Jacobians of modular curves
本文提出了一种改进的算法，用于计算与$\ell$互素的任意层的本征形相关的mod $\ell$伽罗瓦表示。准确地说，我们提出了一种方法来寻找的模曲线的雅可比矩阵，具有最小的尺寸在一个定义明确的意义上实现模块的伽罗瓦表示。该算法在没有假设$\ell \ge k-1$的情况下也有效，其中$k$是特征形的权重。
Elliptic curves over totally real quartic fields not containing $\sqrt{5}$ are modular
证明了定义在4次全实数域上的不含$\sqrt{5}$的椭圆曲线是模曲线。为此，我们研究了四条模曲线上的四次点。
On the arithmetic of certain modular curves
在这项工作中，我们估计的$X_1(N)$和$X_0(N),$之间的中间模曲线的亏格，并确定所有的三角形。
Density of algebraic points on products of curves
本文系统研究了曲面上代数点的密度，给出了密度次数集在有效渐近范围内由指数决定的正则行为，并通过亏格2曲线乘积等显式例子展示了小次数下密度对曲线算术性质的依赖，最后将结果应用于阿贝尔曲面秩增长等相关问题。
Numerical modular symbols for elliptic curves
我们提出了一个详细的分析，如何实现计算的模符号为一个给定的椭圆曲线，通过使用数值逼近。随着曲线导体的增加，这种方法比当前的实施方式更有效。
Elliptic Curves over Real Quadratic Fields are Modular
证明了定义在实二次域上的所有椭圆曲线都是模曲线。
Bounding the $j$-invariant of integral points on certain modular curves
本文给出了一类具有正亏格且尖点小于三个的模曲线上整点的$j$ -不变量的两个有效界。
A Modular Curve of Level 9 and the Class Number One Problem
本文给出了9阶非分裂Cartan子群的正规化子所对应的模曲线的一个显式参数化。我们确定了这条模曲线的所有积分点。作为应用，我们给出了类数为1的问题的另一种解法。
Computing Galois representations and equations for modular curves $X_H(\ell)$
我们构建的模曲线$X_H(\ell)$的平面模型，并使用其显式方程来计算与模形式相关的伽罗瓦表示的值$\ell$是显着高于以前的作品。
On the locally analytic completed cohomology of modular curves
本文综述了关于模曲线完成同调局部解析向量的研究，探讨了相关方法及贡献。
Elliptic Curves over Totally Real Cubic Fields are Modular
证明了全实三次域上的所有椭圆曲线都是模曲线。这建立在Freitas、Le Hung和Siksek之前的工作以及Thorne和Kalyanswamy最近的突破的基础上，Freitas、Le Hung和Siksek证明了椭圆曲线在实二次域上的模块性。
Functions and differentials on the non-split Cartan modular curve of level 11
附着于水平$11$的非分裂Cartan群的亏格$4$模曲线$X_{ns}(11)$允许在$\mathbb{Q}$上定义的模型。我们计算其函数场的Siegel模函数的生成元。我们还证明了它的雅可比矩阵在$\mathbb{Q}$上同构于经典模曲线$X_0(121)$的雅可比矩阵的新部分。
Modular parametrizations of certain elliptic curves
Kaneko和Sakai最近观察到，某些椭圆曲线，其相关的新形式（由模定理）由η-因子给出，可以由一个特殊的微分方程表征，该微分方程涉及模形式和Ramanujan-Serre微分算子。本文研究了环Q上椭圆曲线的模参数化的性质，推广并解释了他们的一些结果.
On the modularity of elliptic curves over a composite field of some real quadratic fields
设$K$是若干个实二次域的合成域.给出了$K$上的一个充分条件，使得$K$上的所有椭圆曲线都是模曲线.
Bounding the $j$-invariant of integral points on modular curves
本文给出了任意数域上任意模曲线上整点的$j$ -不变量的一些有效界，假定尖点的个数不小于小于3。
Modular forms constructed from moduli of elliptic curves, with applications to explicit models of modular curves
这些是我在2016年7月在萨拉热窝举办的暑期学校“建筑桥梁3”迷你课程的部分讲义。我的讲座涵盖了卡茨定义的模形式，家庭的形式定义从这个角度和他们的关系爱森斯坦系列，并找到明确的模型的模曲线的方法。治疗是纯粹的暂时性的，结果大多是标准的，尽管一些观点可能没有像他们应得的那样广为人知。
Modular elliptic curves and hyperbolic uniformization
研究将椭圆曲线双曲均匀化概念从有理数域扩展到奇数次完全实域，利用志村曲线，证明算术型双曲均匀化的存在意味着几何模性。
Images of isogeny classes on modular elliptic curves
设K是数域，E/K是模椭圆曲线，模参数化$X_0(N) \to E$定义在K上.本文研究了X_0（N）中等距点类在E中的象。
Triple product formula and mass equidistribution on modular curves of level N
在以往的工作中，我们证明了与权$k$和水平$q$的全纯新形式相关联的测度将弱地趋向于水平1模曲线上的Haar测度，如$qk\rightarrow \infty$ .本文证明了这一现象在一般N阶模曲线上也成立。
Modular forms and elliptic curves over the field of fifth roots of unity
设F是五次单位根的分圆域。计算研究了F上椭圆曲线的模性。
On the $p$-adic periods of the modular curve $X(Γ_0(p) \cap Γ(2))$
我们证明了Oesterlé猜想的一个变体，它是关于模曲线$X_0(p)$的$p$ -adic周期的猜想，并增加了一个$Γ(2)$ -结构.我们使用de Shalit的技术和$p$ -adic均匀化的曲线，其减少是半稳定的。
Modular elliptic directions with complex multiplication (with an application to Gross's elliptic curves)
对于S_2（Gamma_1（N））中的每个带复乘的正规化新形式f，研究了阿贝尔簇A_f的椭圆曲线C的模参数化.我们应用当C是Gross的椭圆曲线A（p）时得到的结果。
Intermediate modular curves with infinitely many cubic points over $\mathbb{Q}$
本文确定了所有在有理数域$\mathbb{Q}$上具有无穷多个三次点的中间模曲线$X_Δ(N)$。
Genus $0$ Modular curves of prime power level with a point defined over number fields other than $\Q$
与满足条件$-I \in G$和$\det(G) \subsetneq (\Zhat)^{\times}$的$\GL_2(\Zhat)$的开子群$G$相关联，存在模曲线$X_G$，它是定义在$0$的扩张上的光滑紧曲线。
Generalized Jacobians of modular and Drinfeld modular curves
考虑了$N$层的模曲线$X_0(N)$关于由所有尖点组成的简化除子的广义雅可比矩阵$\widetilde{J}$.假设$N$是平方自由的，我们明确地确定了$\widetilde{J}$上直到$6$ -主挠的$\mathbb{Q}$ -有理挠点的结构.结果与杨和第二作者以前研究的素功率水平的情况有很大的不同。对于Drinfeld模曲线，我们也得到了类似的结果.我们的证明依赖于类似的结果，由于太田，Papikian和第一作者的经典雅可比。我们还讨论了$\widetilde{J}$上的Hecke作用及其Eisenstein性质.
The automorphism group of the non-split Cartan modular curve of level 11
我们推导出与$\,\mathrm{GL}_2(\mathbf{F}_{11})$的非分裂Cartan子群相关联的模曲线$X_{ns}(11)$的方程。这使我们能够计算曲线的自同构群，并表明它同构于克莱因的四元群。
Modular forms and elliptic curves over the cubic field of discriminant -23
设F是判别式-23的三次域，O是它的整数环。通过显式计算GL（2，O）的同余子群的上同调，计算研究了F上椭圆曲线的模性.
Special curves in modular surfaces
我们表明，测地线在上半平面附加到一个最大的分裂环面或一个真正的二次环面在$GL_{2, \mathbf{Q}}$是唯一的不可约的代数曲线，其图像通过$j$-不变量包含在一个代数曲线。
Cusps and $q$-expansion principles for modular curves at infinite level
本文利用Tate曲线的拟完美参数空间，建立了Scholze $p$-adic模曲线的无穷级尖点的解析理论.作为应用，我们描述了一个典型的倾斜同构之间的一个反典型的超收敛邻域的普通轨迹的模曲线在水平$Γ_1(p^\infty)$和类似的轨迹的无限水平完善Igusa品种。证明了模曲线上函数在无限水平上的各种$q$-展开原理，即函数的尖点延拓、零化、来自有限水平和有界等性质都可以在$q$-展开式上检测到.
A 2-adic control theorem for modular curves
研究了$r \geq 2$的同馀子群$Γ_1(N2^r)$的递减序列所对应的模曲线的同调模的普通部分的性质，并证明了这些同调模的一个控制定理.
Cycle Integrals of the Parson Poincaré Series and Intersection Angles of Geodesics on Modular Curves
证明了Parson权2k模积分的循环积分与模曲线上测地线的交角的一个几何公式。我们的结果是模拟模积分的经典公式的循环积分的某些双曲庞加莱级数，由于Katok。另一方面，推广了Matsusaka和Duke，Imamoglu和Tóth关于权为2的模积分的循环积分的一个最近的几何公式.
Norm relations for CM points on modular curves
本文研究了模曲线上的CM点的规范关系，通过欧拉系统方法探讨Selmer群结构，并为更高维推广提供基础。
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