Multifractality and nonextensivity at the edge of chaos of unimodal maps
研究了具有一般非线性$z>1$的Logistic映射在混沌阈值下的动力学和多重分形性质。首先，我们确定分析的敏感性初始条件$ξ_{t}$。然后，我们考虑重正化群（RG）操作的分区功能$Z$的多重分形吸引子，消除一半的多重分形点，每次应用。$Z$的不变性根据广义维度$D_β$固定长度尺度变换因子$2^{-η}$。在$η$的值中存在一个间隙$Δη$，它等于$λ_{q}=1/(1-q)=D_{\infty}^{-1}-D_{-\infty}^{-1}$，其中$λ_{q}$是$q$ -广义李雅普诺夫指数，$q$是非广延熵指数.我们提供了一个解释这种关系-以前来自天琴座和Tsallis -动力学和几何性质之间。关键词：混沌边缘，多重分形吸引子，非扩展性
2004-01-08 cond-mat.stat-mech nlin.CD
Weak insensitivity to initial conditions at the edge of chaos in the logistic map
我们扩展现有的研究弱敏感点的Tsallis非广延热力学的框架内，包括弱不敏感点的混沌边缘。通过对Logistic映射切点的分析，证明了具有适当熵指数q的广义熵能正确地描述吸引子的逼近。
2004-09-08 cond-mat.stat-mech
Central Limit Behavior in the Kuramoto model at the 'Edge of Chaos'
研究了仓本模型的混沌行为与中心极限定理的关系。我们计算的总和的角度在等距时间沿确定性的单振子的轨迹，我们表明，当混乱是足够强的，Pdfs的总和往往是高斯，一致的标准CLT。另一方面，当系统处于“混沌边缘”时（即在李雅普诺夫指数消失的状态下），鲁棒的$q$ -高斯吸引子自然出现，与最近证明的CLT的推广一致。
2009-07-28 cond-mat.stat-mech
Mixing and relaxation dynamics of the Henon map at the edge of chaos
在混沌的边缘，数值研究了Henon映射的混合性质（或对初始条件的敏感性）和弛豫动力学，以及这些概念之间的联系。结果表明，所得结果与一维耗散映射的结果一致。这构成了二维情况下的第一次验证，显然加强了弱混合和弱混沌的想法。关键词：非广延热统计学，Henon映射，动力系统
2003-02-28 cond-mat.stat-mech
A recent appreciation of the singular dynamics at the edge of chaos
研究了Logistic映射中迭代到混沌的动力学，发现它是由Mori的$q$ -相变的无限族构成的.从Feigenbaum的$σ$函数的直径比，我们确定了非典型的弱对初始条件的敏感性$ξ_{t}$与每个$q$-相变，并发现它服从Tsallis统计建议的形式。发生$q$相变的变量$q$的特定值与相应$ξ_{t}$中的Tsallis熵指数$q$的特定值相一致。我们也描述了由外部噪声引起的分叉间隙，并表明其性质表现出接近玻璃化的特征元素的玻璃动力学在过冷液体，例如两步松弛，老化和松弛时间和熵之间的关系。
2005-01-17 cond-mat.stat-mech nlin.CD
On the computation of the entropy for dissipative maps at the edge of chaos using non-extensive statistical mechanics
Tsallis的非广延统计力学被认为是描述低维耗散映射在混沌边缘行为的正确工具。事实上，许多不同的方法证实，对于这些系统，演化是由幂律，而不是指数，趋势;这与广义热统计学的预测相吻合。然而，在这项工作中，我们提出了一些分析的考虑，也支持一些简单的数值例子，这表明存在的矛盾在这张图片。
2002-12-09 cond-mat.stat-mech
Sensitivity function and entropy increase rates for z-logistic map family at the edge of chaos
众所周知，对于混沌系统，相关熵的产生（Boltzmann-Gibbs）总是线性的，并且系统对初始条件具有很强的（指数）对初始条件的敏感性。近年来，各种数值结果表明，基本上相同类型的行为出现在混沌的边缘，如果一个特定的推广的熵和指数使用。在这项工作中，我们有助于这种情况下，通过数值分析一些广义非广延熵及其相关的指数定义使用$z$ -logistic映射家庭。我们还通过在不同周期的累积点测试它们来证实我们的发现。
2006-03-09 cond-mat.stat-mech
Two-dimensional maps at the edge of chaos: Numerical results for the Henon map
数值研究了二维Henon映射在混沌边缘的混合特性（即对初始条件的对初始条件的敏感性）。三个独立的方法，已开发和使用到目前为止的一维地图，已被用来完成这项任务。这些方法是：（i）测量初始附近轨道的发散度，（ii）分析多重分形谱和（iii）计算非广延熵增加率。所得结果与一维情形一致，并首次在二维地图上验证了这种情况。这显然使弱混沌的想法更加强大。
2002-08-06 cond-mat.stat-mech
What entropy at the edge of chaos?
数值实验支持了一个有趣的猜想，即利用Tsallis对标准指数和熵的推广，统计方法不仅适用于完全混沌系统，而且也适用于混沌的边缘。特别地，熵线性地增加，并且对初始条件的对初始条件的敏感性作为广义指数增长。通过使用一大类变形熵和指数以及逻辑斯蒂映射作为测试案例，我们证明了这个猜想实际上具有更广泛的有效性。
2005-01-20 cond-mat.stat-mech hep-th nlin.CD
A closer look at coupled logistic maps at the edge of chaos
我们专注于一个线性链的$N$第一邻居耦合的Logistic映射在其混沌的边缘存在一个共同的噪声。该模型由耦合强度$ε$和噪声宽度$σ_{max}$表征，最近由Pluchino等人[Phys. Rev. E { \bf 87}，022910（2013）]引入。他们发现，时间平均回报率与特征回报时间$τ$，可能的连接与$q$ -高斯，分布优化，在适当的约束下，非加性熵$S_q$，非广泛的统计力学的基础。在这里，我们仔细研究了这个模型，并在数值上获得的概率分布，表现出轻微的不对称的一些参数值，在方差与简单的$q$ -高斯。然而，沿着几十年来，与$q$ -高斯拟合原来是数值上非常令人满意的参数值的宽区域，我们说明了如何指数$q$演变与$(N, τ, ε, σ_{max})$。然而，在进行这样的数值分析时必须多么小心，这是有启发性的。整体工作表明，物理和/或生物系统，正确地模仿Pluchino等人的模型是热统计相关的非广泛的统计力学时，时间平均的相关量进行了研究。
2015-03-30 cond-mat.stat-mech nlin.CD
The Edge of Quantum Chaos
我们确定了规则量子动力学和混乱量子动力学之间的边界。边界的特点是由一个幂律减少在混沌动力学下发展的状态和轻微扰动的动力学下发展的相同的状态之间的重叠。例如，在量子干涉效应出现之前的区域中，量子踢顶的重叠衰减与$[1+(q-1) (t/τ)^2]^{1/(1-q)}$（非广延熵指数$q$和$τ$取决于微扰强度）很好地拟合。这个区域对应于经典映射的混沌边缘，量子混沌动力学就是从这个经典映射导出的。
2002-10-03 cond-mat.stat-mech quant-ph
1D Potts, Yang-Lee Edges and Chaos
我们知道，场中一维伊辛模型的（精确）重整化变换可以表示为逻辑映射f（x）= 4 x（1 - x），其中x是伊辛耦合的函数.值得注意的是，在x中界定混沌行为区域的直线，正是在伊辛模型中定义杨-李边缘奇点的直线。在本文中，我们表明，一维q态Potts模型，q大于或等于1也显示这样的行为。波茨耦合的适当组合可以再次用于定义满足f（x）= 4x（1 -x）的x。Yang-Lee零点不再位于复z = exp（h）平面的单位圆上，但其轨迹仍由Logistic映射混沌区的边界再现.
2000-10-24 cond-mat.stat-mech
Nonextensive Pesin identity. Exact renormalization group analytical results for the dynamics at the edge of chaos of the logistic map
我们发现，在混沌阈值的Logistic映射的动力学和熵的性质是自然联系在一起的非广延表达式的对初始条件的敏感性和熵。我们证实分析，与使用的费根鲍姆重整化群（RG）变换，广义李雅普诺夫系数$λ_{q}$和熵产生率$K_{q}$由非广延统计力学之间的平等。我们的结果证明了$q$ -广义Pesin恒等式在一维非线性耗散映射临界点处的有效性.
2004-05-04 cond-mat.stat-mech
Ensemble averages and nonextensivity at the edge of chaos of one-dimensional maps
数值研究了{ \it new}族的一维耗散映射$x_{t+1}=1-ae^{-1/|x_t|^z}(z>0)$和已知的类逻辑映射$x_{t+1}=1-a|x_t|^z(z>1)$对初始条件的敏感性$ξ(t)$和单位时间的熵产的包络平均值，这两种情况都是{ \it strong}（Lyapunov指数$λ_1>0$）和{ \it weak}（混沌阈值，即，$λ_1=0$）混乱的情况。在所有的情况下，我们验证了（i）$<\ln_q ξ> [\ln_q x \equiv (x^{1-q}-1)/(1-q); \ln_1 x=\ln x]$和$<S_q > [S_q \equiv (1-\sum_i p_i^q)/(q-1); S_1=-\sum_i p_i \ln p_i]$ { \it线性}都随时间增加，对于（且仅对于）$q$的特殊值，$q_{sen}^{av}$，和（ii）的{ \it斜率}的$<\ln_q ξ>$和$<S_q>$ { \it重合}，从而有趣地扩展了著名的Pesin定理。对于强混沌，为$q_{sen}^{av}=1$，而在混沌的边缘，为$q_{sen}^{av}(z)<1$。
2004-01-15 cond-mat.stat-mech
The rate of entropy increase at the edge of chaos
在某些条件下，一个简单的、完全混沌的、保守的系统的统计熵的增长率已知由一个单一的数字给出，这个数字是这个系统的特征，即柯尔莫哥洛夫-西奈熵率。这种联系在这里推广到一个简单的耗散系统，Logistic映射，特别是后者的混沌阈值，混沌的边缘。结果表明，在混沌边缘的情况下，通常的Boltzmann-Gibbs-Shannon熵是不合适的。相反，必须使用非广延熵$S_q\equiv \frac{1-\sum_{i=1}^W p_i^q}{q-1}$。后者包含一个参数q，熵指数，必须给予一个特殊的值$q^*\ne 1$（为q = 1恢复通常的熵）的边缘的混沌特性的考虑。在描述对初始条件的对初始条件的敏感性时，以及在描述吸引子的多重分形谱时，也可以使用相同的q ^*。
2000-07-07 astro-ph chao-dyn comp-gas
Transition from topological to chaos in the nonlinear Su-Schrieffer-Heeger model
本文研究非线性Su-Schrieffer-Heeger模型中拓扑边缘模随非线性增强向空间混沌的转变，揭示体-边对应关系失效的普遍机制，并提出弱非线性下拓扑不变量与稳定流形维数的对应关系。
2025-05-09 cond-mat.mes-hall cond-mat.stat-mech nlin.CD
Numerical Study of the Oscillatory Convergence to the Attractor at the Edge of Chaos
本文比较了Logistic映射和广义Logistic映射中三种不同类型的“混沌起始”：倍周期分岔末端的Feigenbaum吸引子，周期三窗口边界的切分岔，周期二窗口边界的切分岔。拐点为1/2的广义Logistic系统的混沌化（$x_{n+1} = μx_{n}^{1/2}$），其中的主要分支级联，以及在混沌区域的周期性窗口产生的分叉，崩溃在一个单一的点。研究了占有数和Tsallis熵。从两种远离平衡的初始条件开始，收敛到吸引子的不同区域由对数-对数振荡的存在或不存在、由不同的幂律缩放和由饱和水平中的间隙来区分。我们发现，护送分布中隐含的Tsallis熵可能会调整对数-对数振荡或交叉时间。
2005-12-02 cond-mat.stat-mech
Asymmetric unimodal maps at the edge of chaos
数值研究了非对称单峰映射$x_{t+1} = 1-a|x_t|^{z_i}$（$i=1,2$分别对应于$x_t>0$和$x_t<0$，$z_i >1$，$0<a\leq 2$，$t=0,1,2,...$）在混沌边缘对初始条件的敏感性.我们采用了三种不同的算法来表征幂律对初始条件的敏感性在混沌的边缘，即：直接测量的发散最初附近的轨迹，计算的广义非广延熵的增长率$S_q$和多重分形分析。前两种方法提供了一致的估计指数的幂律灵敏度。除此之外，我们验证多重分形分析不提供精确的估计的奇异谱$f(α)$，特别是在其极值点附近。这一特征使得不能对$f(α)$和熵指数$q$之间的标度关系进行精确的检验，从而限制了多重分形分析在研究这类非对称映射对初始条件的敏感性时的适用性。
2001-09-18 cond-mat.stat-mech
Nonextensivity at the edge of chaos of a new universality class of one-dimensional unimodal dissipative maps
我们引入了一类新的普适性的一维单峰耗散映射。新的族，从现在起称为（$z_1,z_2$）-{ \it对数映射}，对应于$z$ -logistic映射的推广。确定了这些映射的类Feigenbaum常数。最近的研究表明，$z$ -Logistic映射的混沌边缘的迭代和的概率密度在数值上与$q$ -Gaussian一致，在适当的约束下，这种分布优化了非加性熵$S_q$ .在这里，我们集中在目前的广义映射，以检查它们是否构成一个新的普适类关于$q$ -高斯吸引子分布。我们还研究了新的单峰耗散映射上的单位时间广义$q$ -熵产生，包括强混沌和弱混沌情形。还获得了$q$敏感性指数。我们的结果是，像那些为$z$ -逻辑映射，数值上兼容的$q$ -推广的Pesin一样的身份的合奏平均。
2009-01-27 cond-mat.stat-mech
A closer look at time averages of the logistic map at the edge of chaos
最近已经证明了在混沌边缘的Logistic映射的迭代和的概率分布[见U。蒂尔纳克利角Beck和C. Tsallis，Phys.Rev.E75，040106（R）（2007）]在数值上与q-高斯分布一致，该分布在适当的约束下使非加性熵S_q最大化，非广延统计力学的基础。这一分析基于对分布尾部的研究。我们现在检查整个分布，特别是它的中心部分。这一点很重要，因为最近q-推广的中心极限定理指出，对于某些类强相关的随机变量，重标度和接近q-高斯极限分布。我们数值研究的Logistic映射的参数在一个小的临界点附近的条件下，有收敛到一个q-高斯在中心区域和尾部区域，并找到一个涉及Feigenbaum常数δ的标度律。我们的结果是一致的大量已经可用的分析和数值证据，混沌的边缘是很好地描述熵S_q及其相关的概念。
2008-12-18 cond-mat.stat-mech
Edge of chaos of the classical kicked top map: Sensitivity to initial conditions
我们专注于量子踢顶的经典版本的混沌和常规区域之间的边界。我们表明，初始条件的敏感性是数值上以及其特征在于$ξ=e_q^{λ_q t}$，其中$e_{q}^{x}\equiv [ 1+(1-q) x]^{\frac{1}{1-q}} (e_1^x=e^x)$，和$λ_q$是$q$ -广义的李雅普诺夫系数，结果是一致的非广延统计力学，基于熵（$S_q=(1- \sum_ip_i^q)/(q-1) (S_1 =-\sum_i p_i \ln p_i$）。我们的分析表明，$q$单调增加从零到1时，踢顶扰动参数$α$增加从零（未扰动顶部）$α_c$，其中$α_c \simeq 3.2$。对于$α\ge α_c$，熵指数$q$保持等于1，对于这些参数值，相空间是完全混沌的。
2005-01-12 cond-mat.stat-mech
Broad edge of chaos in strongly heterogeneous Boolean networks
通过解析和数值计算两个演化构型之间的汉明距离，研究了代表基因转录调控模型（Kauffman模型）的布尔网络的动态稳定性.结果表明，只有在有限二阶矩的度分布中，这种行为才以一种普遍的方式接近相边界。具有$2<γ<3$的形式$P_d(k)\sim k^{-γ}$的度内分布，因此具有发散的二阶矩，当向不稳定相移动时，导致汉明距离的较慢增加，并且随着$γ$的减小，导致有限$N$的相边界的加宽。我们的结论是，异质性的调节网络的连接性，有利于在生物体的鲁棒性和进化之间的平衡。
2008-09-19 cond-mat.stat-mech
Time delay matrix at the spectrum edge and the minimal chaotic cavities
利用最小混沌腔的概念，给出了散射矩阵$S$属于圆系综CE时，$Q=-i\hbar S^\dagger \frac{\partial S}{\partial E}$在谱边的固有延迟时间的分布.将分析三类对称性（$β=1$、2和4），以显示其与在大部分光谱中获得的分布有何不同。在这类新的普适性在频谱边缘，更多的关注将给予维格纳时间$τ_w=tr(Q)$和它的分布将解析地给出的情况下的2模式散射。结果将在所有费米能量下精确地给出，而不需要任何近似。所有这些都将以极高的精度进行数值测试。
2012-11-19 cond-mat.dis-nn cond-mat.mes-hall cond-mat.stat-mech
Nonequilibrium Probabilistic Dynamics of the Logistic Map at the Edge of Chaos
我们认为非平衡概率动力学在物流类地图$x_{t+1}=1-a|x_t|^z$，$(z>1)$在其混沌阈值：我们首先介绍了许多初始条件在一个$W>>1$间隔划分相空间，并专注于唯一值$q_{sen}<1$的熵形式$S_q \equiv \frac{1-\sum_{i=1}^{W} p_i^q}{q-1}$ { \it线性}随时间增加。然后我们验证$S_{q_{sen}}(t) - S_{q_{sen}}(\infty)$像$t^{-1/[q_{rel}(W)-1]}$ [ $q_{rel}(W)>1$ ]一样消失。最后，我们提出了一种新的有限尺寸尺度，$q_{rel}(\infty) - q_{rel}(W) \propto W^{-|q_{sen}|}$。这建立了定量的，第一次，一个长期追求的初始条件和放松，概念发挥核心作用，在非广延统计力学的敏感性之间的关系。
2002-12-28 cond-mat.stat-mech
Dissipative maps at the chaos threshold: Numerical results for the single-site map
我们数值研究，在混沌的边缘，同胞网站地图$x_{t+1}=x_t-x_t/(x_t^2+γ^2)$，其中$γ$是地图参数的行为。
2001-09-17 cond-mat.stat-mech
Flocking at the edge of chaos
最近的调查提供了重要的洞察复杂的结构和动态集体移动成群的生物体。两个有趣的观察，无标度的相关性的速度波动，在存在的高度的秩序，和拓扑距离介导的相互作用。理解这些特征，特别是波动的起源，在目前的模式中似乎是具有挑战性的。有人认为，鸡群处于临界状态。我们提出了一个自推进的粒子模型，通过基于拓扑的规则定义的邻域和力量。力的波动是自发发生的，并且在没有噪声和存在速度对齐的情况下产生无标度关联。我们通过功率谱密度和李雅普诺夫谱来描述模型的行为。我们的研究表明，自组织临界性作为一个可能的途径存在的临界性在羊群。
2015-04-08 cond-mat.stat-mech physics.bio-ph
Stability of quantum chaos against weak non-unitarity
该研究探讨了非单位演化算符对量子混沌稳定性的影响，发现特征值分布的环形结构导致指数缓慢的纯化过程，揭示了量子混沌与初始条件敏感性的关联。
2025-12-02 cond-mat.stat-mech quant-ph
Finding the Edge of Chaos in a Ferromagnet: Quantifying the "Complexity" of 2D Ising Phase Transitions with Image Compression
Stanford University（斯坦福大学）
通过图像压缩量化二维伊辛模型的复杂性，揭示临界温度处的结构转变特征。
2026-02-16 cond-mat.stat-mech nlin.AO
Entanglement of midspectrum eigenstates of chaotic many-body systems: Reasons for deviation from random ensembles
远离谱边的局域多体相互作用系统的本征态被认为是遍历的，接近于随机态。这与本征态热化假设和纠缠的体积律标度是一致的。我们指出，系统偏离完全随机一般存在于中谱本征态，并专注于偏离的纠缠熵的随机状态的预测。我们发现，偏离是（部分）由于空间相关性和由于正交的本征态在光谱边缘，这对中谱本征态的结构。
2022-01-08 cond-mat.dis-nn cond-mat.stat-mech
