Quantum Chromodynamics
Andrey Grozin
色动力学的经典拉格朗日量，它在微扰理论框架下的量子化，以及重整化形成了这些讲座的主题。对称性的理论进行了讨论。详细考虑了耦合常数$α_s$对重整化尺度$μ$的依赖关系。
The classical Lagrangian of chromodynamics, its quantization in the perturbation theory framework, and renormalization form the subject of these lectures. Symmetries of the theory are discussed. The dependence of the coupling constant $α_s$ on the renormalization scale $μ$ is considered in detail.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Quantum Chromodynamics and Other Field Theories on the Light Cone
我们讨论了规范理论的光锥量子化作为一种计算工具来表示强子作为相对论夸克和胶子的QCD束缚态，也作为一种新的方法来模拟量子场论在计算机上。波函数的光锥Fock态展开提供了部分子模型的精确定义和强子矩阵元的一般演算。我们介绍了光锥Fock方法的几个新应用，包括重强子的排他弱衰变的计算，以及内禀重夸克对结构函数的贡献。本文概述了离散光锥量子化，并应用于几种规范理论。我们还讨论了光锥Fock基础的建设，光锥真空的结构，并概述了解决规范理论内的哈密顿形式主义的光锥所需的重整化技术。
Nonperturbative light-front Hamiltonian methods
我们研究了当前最先进的非微扰计算与哈密顿量在光前量子化的各种场论。介绍了光阵面量子化的语言，综述了Pauli-Villars正则化、离散光锥量子化、基光阵面量子化、光阵面耦合团簇方法、有效粒子的重整化群方法、扇相关重整化和Lanczos对角化方法等重要的数值方法。淬火标量汤川理论，$ϕ^4$理论，普通汤川理论，超对称杨-米尔斯理论，量子电动力学和量子色动力学的具体应用进行了讨论。内容应该作为一个介绍这些方法的任何人有兴趣做这样的计算，并作为一个集结点，为那些谁希望解决量子色动力学方面的波函数，而不是随机抽样的欧几里德场配置。
Quantum Chromodynamics
量子色动力学是描述强相互作用的量子规范场理论。本文回顾了量子色动力学的基本结构，成功和挑战，因为它表现在短距离和长距离，包括渐近自由，限制和红外安全的概念。
Quantum Chromodynamics with massive gluons
结果表明，量子色动力学的拉格朗日量可以通过增加胶子质量来修正。讨论了所得理论的质壳重整化性。
Some Recent Developments in Perturbative Quantum Chromodynamics
这个演讲回顾了微扰量子色动力学的一些最新趋势，重点是微扰理论中的高阶，再确认和功率修正。
The Odderon in Quantum Chromodynamics
在高能强子散射过程中，负电荷共轭和宇称量子数在t-通道中传递，Odderon是主要的交换。本文综述了Regge理论中Odderon的起源，它在微扰和非微扰量子色动力学中的地位，以及它的唯象性。
The (alpha_s)^3 approximation of Quantum Chromodynamics to the Ellis-Jaffe sum rule
在微扰量子色动力学中，我们给出了极化轻子-核子深度非弹性散射结构函数g1的（alpha_s）^3对Ellis-Jaffe求和规则的贡献的解析计算。
Gauge-invariant momentum and angular momentum operators in quantum electrodynamics and chromodynamics
在经典和量子电动力学和色动力学中，不同规范下的矢量势之间的差异不包含动力学。因此，一旦建立规范不变性，在非协变规范中计算的结果可以预期在所有洛伦兹框架中与协变规范中获得的结果一致。我们特别表明，在库仑规范的正则量子化可以使用而不放弃明确的规范不变性。库仑规范中的量子化特别简单，因为它只涉及所有规范中存在的两个横向光子/胶子。这些横向光子/胶子位于动量空间中垂直于光子/胶子动量{ \bf k}的二维物理平面上。给出了库仑规范中光子/胶子的基本动量、自旋和轨道角动量场算符的显式表达式。详细讨论了它们的性质。特别是，这些领域的运营商被证明是更复杂的比相应的运营商在量子力学，他们也包含。
On the Large Nc Expansion in Quantum Chromodynamics
我讨论的方法的基础上大Nc展开研究非微扰方面的量子色动力学，理论的强力。我应用这些方法来分析弱衰变过程和非微扰计算的弱矩阵元素需要一个完整的评估这些衰变的标准模型的基本粒子物理。
Quantum Chromodynamics and Hadrons: an Elementary Introduction
在2003年欧洲高能物理学院的五次演讲笔记，亚美尼亚察赫卡佐尔，2003年9月
The four-loop beta-function in Quantum Chromodynamics
本文给出了四圈QCD β函数的最小减法解析计算。
The Georgi "Avatar" of Broken Chiral Symmetry in Quantum Chromodynamics
我们建立了在零温量子色动力学（QCD）中，SU_{L+R}（N_F）表现为Georgi提出的矢量模，而SU_{L-R}（N_F）要么以Nambu-Goldstone模实现，要么Q_5 ^a也在无穷远处被屏蔽.维格纳-外尔模被排除，除非QCD中的β函数发展出红外稳定零点。
Nonperturbative quantization technique for QCD
应用海森堡非微扰量子化技术研究量子色动力学。在这种方法中，非微扰量子化是基于应用于量子场算符$\hat A^B_μ$的杨-米尔斯方程。结果表明，该方程等价于一个对所有格林函数都成立的无穷方程组。讨论了求解无穷大方程组的各种近似方法。
Effective Fields in Dense Quantum Chromodynamics
在高密度、低温极限下，量子色动力学表现出向以色超导性和费米子谱中的能隙为特征的相的转变。我们回顾了在这方面取得的一些基本成果，特别是我们描述了低能量有效拉格朗日描述准粒子在高密度介质中的运动（高密度有效理论）。
Dynamical masses of quarks in quantum chromodynamics
利用Dyson-Schwinger方程，我们得到了QCD中夸克动力学质量的紫外渐近性。我们还确定了π介子衰变常数f_π的一个数值。
Aspects of Quantum Chromodynamics
这些讲座提供了量子色动力学（QCD），强相互作用的SU（3）规范理论的概述。分析了强耦合的运行和渐近自由的相关性质。简要地总结了一些选定的实验测试和$α_s$和夸克质量的现有知识。对QCD味对称性和手征对称性的动力学破缺也作了简要的描述。
Differential Dyson-Schwinger equations for quantum chromodynamics
利用Bender、Milton和Savage提出的一种方法，我们导出了微分形式的量子色动力学的Dyson-Schwinger方程。我们停止对两点函数的分析。导出了色数趋于无穷大的t~Hooft极限，说明了如何将这些方程转换成一个可处理的甚至是近似的形式。通过讨论手征对称性和禁闭的动力学破缺，可以看出这个极限是如何给出量子色动力学低能行为的合理描述的，为后者提供了条件。这种方法利用了量子场论中的背景场技术。
Color, Spin, and Flavor-Dependent Forces in Quantum Chromodynamics
对布莱特相互作用的一个简单概括解释了强子谱的许多定性特征。
Jet calculus problems of the perturbative quantum chromodynamics
微扰量子色动力学（pQCD）在预测和描述夸克和胶子喷注的主要性质方面取得了极大的成功。然而，有一些问题的射流微积分与高阶修正的修改微扰展开，应解决得到更精确的陈述。其中一些在这里讨论。
Quantum Chromodynamics and the Z-width
我们通过对强相互作用的另一种理论的明确构造表明，除了通过Z-粒子宽度将这些理论扩展到完全的电弱理论之外，不能通过任何通常的精确检验将其与QCD区分开来。
A Study of Nucleon Spin Struture from Quantum Chromodynamics
我介绍了量子色动力学（QCD）领域，重点是核子自旋结构和微扰方法。在对微扰QCD作了一些全面的概述之后，包括重整化的系统学，我介绍了深度非弹性散射和深度虚康普顿散射以及这些过程中出现的非微扰分布函数。我展示了如何使用这些过程来提取核子的纵向自旋分布，并简要讨论了与横向自旋分量相关的并发症。有五个附录伴随着这项工作，讨论的主题范围从规范场量子化的尺寸正规化的结构，几个重要的李群。这些附录旨在让读者对正文中的一些数学细节有一定的基本理解，并提供有用的参考。这项工作被提交在一个稍微不同的形式马里兰大学在学院公园部分完成的要求，在物理学哲学博士，收到2000年8月。
Axial anomaly in quantum electro- and chromodynamics and the structure of the vacuum in quantum chromodynamics
本文讨论了量子电动力学（QED）和量子色动力学（QCD）中轴反常问题的现状，以及轴反常与QCD中真空结构的关系。在QCD中，轴向反常的真空平均值正比于一个新的量子数n，即缠绕数。轴反常条件意味着无质量夸克的Dirac方程存在零模，QCD中存在手征对称性的自发破缺，从而导致夸克凝聚的形成.轴向异常可以用AVV顶点色散表示中的结构函数和规则的形式表示。在此基础上，计算了π^0 \to 2γ衰变的宽度，精度为1.5%。本文证明，在夸克-胶子基微扰QCD中计算的振幅奇异性在强子基计算中应重现的特胡夫特猜想一般是不成立的。
Quantum chromodynamics quark benzene
基于色弦模型，提出并研究了具有类苯结构的六夸克态。二次禁闭计算表明，这种结构是迄今为止提出的各种隐色六夸克结构中能量最低的。讨论了它对$NN$散射的可能影响。
Lecture notes on "Quantum chromodynamics and statistical physics"
用于研究无序系统的概念和方法已被证明在高能区量子色动力学演化方程的分析中是有用的：事实上，在半经典近似下，高能区的部分子分支是一个特殊的分支扩散过程，而部分子分支加上饱和效应（如胶子复合）是一个反应扩散过程。在这些讲座中，我们首先介绍简单玩具模型的基本概念，我们研究后者的性质，并展示如何将简单模型的结果应用于量子色动力学。
Quantum Chromodynamics
本文回顾量子色动力学与强耦合常数的现状，包含截至2023年8月的最新更新。
QUANTUM CHROMODYNAMICS
这些讲座提供了量子色动力学（QCD），强相互作用的$SU(3)_C$规范理论的概述。在简要回顾了导致引入{ \it colour}的经验考虑之后，讨论了QCD拉格朗日量。分析了强耦合的运行和{ \it渐近自由度}的相关性质。一些选定的实验测试和$α_s$的现有知识进行了总结。对QCD味对称性和手征对称性的{ \it动力学破缺}也作了简单描述。
Valence Parton Distribution Functions from Quantum ChromoDynamics
我们证明了二维QCD可以很好地近似描述深度非弹性散射中测得的强子结构函数。我们将这个理论转化为一种新的形式，量子强子动力学（QHD），其半经典近似更接近自然。重子是一个拓扑孤子，它的结构函数可以用变分原理预言。这一预测可以通过与中微子散射截面的测量结果进行比较来检验。
Second order chiral phase transition in three flavor quantum chromodynamics?
本文计算了三维Ginzburg-Landau势中三味量子色动力学手征相变中所有微扰可重整化相互作用的重整化群流。与通常的看法相反，我们在系统中发现了一个不动点，它能够描述红外线中的二级相变。这表明，长期以来对过渡秩序的假设可能是错误的。如果相变确实是二级的，我们的结果可能暗示轴向$U(1)$对称性在相变温度恢复。
Bc spectroscopy in a quantum-chromodynamic potential model
我们用最近用于研究轻重夸克偶素的量子色动势模型研究了$B_c$光谱。我们给出了能级和$E$ 1跃迁宽度的预测。我们还发现，相当令人惊讶的是，虽然$B_c$不是一个轻重系统，包含$m_b^{-1}$和$m_b^{-1}\ln m_b$修正的重夸克有效理论是成功的$B_c$，因为它是$B$和$B_s$。
Dispersion Relations in Quantum Chromodynamics
在量子色动力学的框架内考虑了强子散射的色散关系。有人认为，原来的证明方法仍然适用。的设置和光谱条件提供了一个适当的使用的BRST上同调。禁闭参数用于将夸克和胶子排除在物理子空间之外。在基本场乘积的算子乘积展开中，局部的BRST不变强子场被认为是主导项。强子振幅既没有正常的阈值，也没有异常的阈值，这些阈值与潜在的夸克-胶子结构直接相关。证明涉及的楔形定理和分析完成的边缘进行了简要讨论。
Quantum Chromodynamics (CERN-2014-001)
我回顾微扰QCD的基础知识，包括红外发散和安全性，共线和$k_T$因式分解定理，以及各种演化方程和单双对数修正的再确认技术。然后，我阐述了它的应用研究喷流子结构和强子两体重夸克衰变。
Hadron masses in cavity quantum chromodynamics to order $α_s^2$
基于球腔中的量子色动力学，在Feynman规范下计算了描述夸克与反夸克之间的双胶子交换和湮灭的无辐散图。使用实验$N$、$Δ$、$Ω$和$ρ$质量来拟合M.I.T.的自由参数。袋模型，预测的状态符合得很好，观察到的低位强子。正如预期的那样，双胶子湮灭图提升了$π$和$η$的简并度，而$ρ$和$ω$保持简并。对角化$η- η'$子空间哈密顿量可以得到一个非常好的$η$介子质量值。
Puzzles in Hadronic Physics and Novel Quantum Chromodynamics Phenomenology
我们回顾了强子物理学中的一些突出的难题和实验异常，这些难题和实验异常似乎挑战了传统的智慧，在某些情况下，挑战了QCD的基础。我们还讨论了可能的解决方案，并提出了新的测试和实验，可以照亮潜在的物理和QCD的新的唯象特征。在某些情况下，QCD物理学的新观点已经出现。
Precision Tests of Quantum Chromodynamics and the Standard Model
我们讨论了三个主题相关的测试标准模型的高精度：公度标度关系，其中涉及的观测量在微扰理论没有重整化标度或计划的模糊性，关系的合成异常的时刻，和新的方法来测量异常的磁场和四极矩的W和Z。
Small-x Processes in Perturbative Quantum Chromodynamics
本文从小x过程的DGKL和BFKL演化方程出发，进行了系统的研究，以了解这两种方程的局限性，并在一个独特的框架内加以改进。它旨在涵盖微扰QCD的整个适用范围，并描述了从微扰到非微扰的过渡机制，微扰物理学在该地区的幺正性的贡献预计是不重要的。
Quantum ChromoDynamics
这些讲座QCD强调的理论元素，基础广泛的唯象研究，特别是规范不变性，重整化，因式分解和红外安全。这三个部分涵盖了QCD的基础知识，QCD在树的水平，和高阶修正。
The phase diagram of quantum chromodynamics
综述了QCD相图的最新研究结果。我们首先详细介绍了晶格技术。给出了化学势为零时的结果。讨论了相变的级数、相变温度和状态方程。在化学势不为零的情况下，我们研究了μ T相线、临界点以及状态方程。
Can one still talk of a Broken Quantum Chromodynamics?
精确的QCD是粒子物理学的基石之一。因此，看起来不应该存在一个破碎版本的QCD可能有任何相关性的物理情况。然而，在这里，我将表明，一个自发破裂的版本的QCD可能已经在早期宇宙的情况下是重要的。如何使它与精确的QCD相容，将被指出。这就产生了一个新的宇宙学暗物质物体（称为“朗吉翁”）。
The Gribov Conception of Quantum Chromodynamics
对构造非阿贝尔场的量子动力学的探索的一个主要贡献是由于V.N.格里博夫无论是在gluodynamics还是在现实世界中，对颜色限制的微扰方法长期以来被认为是异端，但正在取得进展。我们讨论Gribov的方法来约束问题，围绕轻夸克所扮演的角色-超临界轻夸克约束的情况。我们还回顾了一些最近的事态发展，直接或间接的动机，他的想法。
Flux tube in turbulent flow and quantum chromodynamics
利用对湍流中速度关联函数的一些假设，得到了圆柱对称的管状解。提出这种湍流类似于量子色动力学中的通量管。利用量子色动力学的类似假设，得到了充满色电场的通量管。讨论了湍流理论与量子色动力学之间的联系。
Laplace Sum Rules in Quantum ChromoDynamics
本文综述了量子色动力学中拉普拉斯求和规则在提取基本参数和强子性质中的应用，并以ρ和π介子为例详细说明。
NLO Semi-inclusive Drell-Yan cross-section in Quantum ChromoDynamics as a Factorization Analyzer
在微扰QCD中计算了伴随轻子对产生单个强子的半包含Drell-Yan截面。我们证明了一个循环水平内的断裂函数方法的共线分解公式。我们提出了这样一个过程作为强子碰撞中的因子分解分析器。在强子对撞机的唯象意义进行了简要的讨论。
Two particle correlations inside one jet at "Modified Leading Logarithmic Approximation" of Quantum Chromodynamics; I: exact solution of the evolution equations at small x
讨论了高能对撞机喷流中两粒子间的关联，并精确求解了小x极限下的MLLA演化方程。因此，我们将Fong-Webber分析扩展到远离单能谱峰的区域。我们给出了LEP、Tevatron和LHC能量的计算结果，并与已有的实验数据进行了比较。
Quantum ChromoDynamics
这些讲座QCD强调的理论元素，基础广泛的唯象研究，特别是规范不变性，重整化，因式分解和红外安全。这三个部分包括QCD的基础知识、树级QCD和高阶修正。
Non-Relativistic Quantum Chromodynamics in Parton Showers
针对LHC夸克偶素测量与固定阶NRQCD不符的问题，提出在Pythia 8类时部分子簇射中实现NRQCD产生模型，并验证后预测标准模型希格斯衰变的夸克偶素产生。
Hadronic distributions and correlations at "small x" in Quantum Chromodynamics
在QCD（量子色动力学）的修正的对数近似（MLLA）下，精确计算了高能强子喷注中包含的横动量（kt）分布和2粒子动量关联.我们首先得到了演化方程在小x处的精确解，即在所谓的极限谱处的精确解。然后，我们超越这个近似执行最速下降评估，这允许推广前面的结果。我们的预测是在良好的协议与数据（LEP，Tevatron），并改善那些已经在过去获得的。与即将到来的数据（Tevatron，LHC）的比较将进一步测试本地强子部分子对偶性的假设，并最终需要纳入NMLLA校正。
Chiral Bosonization of U_A(1)-currents and the Energy-Momentum Tensor in Quantum Chromodynamics
最近，人们对描述赝标介子与重力和/或轻单重介子耦合的低能ChPT拉格朗日函数中的手征系数$L_{11}, L_{12}, L_{13}$产生了新的兴趣（hep-ph/0403139）。在90年代，我们在手征和共形玻色子化模型中估计了这些系数，但在物理界不容易获得的杂志上发表了结果。我们现在把我们的旧文件的电子档案。
Matching-invariant running quark masses in Quantum Chromodynamics
本文推导了量子色动力学中处处连续的匹配不变夸克质量，将其展开为对数 Lambda 标度能量的显函数并具体化至四圈阶，证明了新表达式收敛更快。
Rational Approximations in Quantum Chromodynamics
讨论了量子色动力学中有关有理逼近的一些问题，特别是与Padé逼近的数学理论有关的问题。我们主要研究两类问题：第一类是与亚纯函数有关的问题（受QCD中大Nc极限的启发），通过提取两点格林函数的低能常数和凝聚参数，探索最小强子近似;第二个与Stieltjes的亚纯函数有关，本文对线性西格玛模型中的么正化过程进行了批判性的分析，并将Padé理论应用于重夸克的真空极化函数。我们还显示了这些近似的能力时，与实验数据。在此基础上，着重讨论了该理论对控制系统误差的可靠性。
Higher-Order Corrections to Higgs Boson Amplitudes with Full Quark Mass Dependence in Quantum Chromodynamics
在这篇论文中，高阶修正涉及希格斯玻色子的散射振幅的微扰展开的量子色动力学的框架内进行评估，其中我们专注于通过重夸克环介导的过程。首先，我们导出了描述希格斯玻色子与底夸克对的汤川耦合的形状因子的三阶修正。此外，我们计算的双圈修正的$H\to Z\,γ$衰变宽度保留完整的依赖于内部夸克质量。最后，我们描述了与双圈振幅相关的平面主积分的计算，对于具有完全夸克质量依赖的Higgs+喷流产生。我们通过建立一种方法来实现这一点，从微分方程推导出级数展开式，因为主积分集涉及椭圆结构。
Quark Confinement Physics in Quantum Chromodynamics
在MA规范下，利用格点量子色动力学模拟研究了夸克禁闭物理中的阿贝尔占优和夸克凝聚。这些现象与QCD真空的对偶超导图象密切相关，并使我们能够构造对偶Ginzburg-Landau（DGL）理论作为非微扰QCD的有效理论。然后，我们应用DGL理论研究了低位强子的结构和标量胶球性质。
Multiparticle production and quantum chromodynamics
强相互作用理论--量子色动力学（QCD）在预测和描述高能多粒子产生过程的主要特征方面是相当成功的。对这些过程（主要是e+e-湮没）的一般微扰QCD方法作了简要的阐述，并讨论了它的问题。结果表明，在部分子水平与低动量截止的分析计算再现实验数据的强子末态在高能量的多粒子产生过程中令人惊讶的准确，即使微扰膨胀参数不是很小。此外，重要的是，微扰QCD不仅能够描述现有的数据，而且还预测了许多明亮的定性新现象。
Quantum Chromodynamics and Multiplicity Distributions
本文用量子色动力学（QCD）方法研究了高能粒子碰撞中的多重数分布问题。给出了在固定和移动耦合常数的情况下胶子喷注和夸克喷注多重数分布母函数的QCD方程的解。新发现的特性非常敏感的分布形状进行了讨论。这些预测与实验数据相对照。与减少相空间窗口的多重性分布的演变被认为是和讨论的概念，不连续性和分形。还简要介绍了其它一些QCD效应。
Effective Fermion Models in Symmetry-Breaking Phase and Quantum Chromodynamics
在我们的讲座中，我们讨论了费米子模型与准局域相互作用实现的导数和动量截止作为替代的QCD在低能量。当几个耦合常数与它们的临界值相匹配时，它们在强耦合区中被研究。发现在多临界点附近出现了多个具有相同量子数的共振态。胶子凝聚引起的环境的特殊变化导致了与截断无关的质量分裂。这样的模型被认为是描述重子密度高的夸克物质的基本要素。
On the Quantum Chromodynamics of a Massive Vector Field in the Adjoint Representation
在本文中，我们探讨了在不引入更高的结构，如扩展规范对称性，额外的维度或标量场的情况下，构造有质量的色八重态向量场的量子色动力学的可能性。我们表明，规范不变性是不足以约束的耦合。然而，么正性的要求确定了耦合常数的值，否则这些值将是任意的。此外，它开辟了一个新的离散对称性，使色子稳定，并避免其在对撞机共振生产。另一方面，一个明智的定义的规范固定条款修改传播的质量场，使其表现良好的紫外线限制。我们的模型和更一般的方法的基础上扩展的规范对称性之间的关系进行了讨论。
Lectures on Heavy Quarks in Quantum Chromodynamics
给出了重夸克理论的教学介绍。解释了反重夸克质量$1/m_Q$中的各种展开是QCD中Wilson算子乘积展开的一种形式。一个系统的方法被开发和许多实际有趣的问题被认为是。我将展示如何使用背景场技术构建$1/m_Q$扩展，以及它们如何在特定应用程序中工作。讨论了重夸克理论中微扰和非微扰之间的相互作用。
New Directions in Quantum Chromodynamics
本文综述了QCD中的几个问题，包括：以普适过程无关振幅的形式描述强子的味、自旋和其它夸克与胶子关联的光锥Fock态表象，包含与排斥过程的光锥因子分解方案，光锥形式主义在半轻子B衰变振幅中的应用，以及量子力学中的量子力学问题。自分辨衍射相互作用作为测量光锥波函数的工具;以及使用共形对称作为QCD预测的模板，例如相称的尺度关系，其将可观察到的与可观察到的在固定的相对尺度上联系起来，而没有重整化尺度或方案的模糊性。
Variational and Dyson--Schwinger Equations of Hamiltonian Quantum Chromodynamics
本文在正则递归Dyson Schwinger方程的框架下，研究了库仑规范下量子色动力学的变分哈密顿方法。由变分确定的非微扰核所产生的夸克传播子的敷料被扩展并在单圈阶重整化，产生与观测相容的手征凝聚。
Spherical Quantum Chromodynamics of Heavy Quark Systems
我们提出了一个量子色动力学模型，通过忽略胶子场的角度依赖性，它可以定性地描述包含一个重夸克的系统。这导致了一个具有手征对称性和重夸克对称性的二维规范理论。我们表明，在光锥形式主义，这种球形QCD的哈密顿量可以完全表示在色单态变量。在大的$N_c$极限下，它更趋向于经典强子理论.我们导出了一个重介子质量和波函数的积分方程。这可以解释为相对论势模型。积分方程是标度不变的，但是耦合常数的重整化产生了标度。我们计算了耦合常数的近似β函数，它在原点有一个紫外稳定的不动点。
Single Inclusive Distribution and Two-Particle Correlations Inside One Jet at "Modified Leading Logarithmic Approximation" of Quantum Chromodynamics II : Steepest Descent Evaluation at Small X
本文用最速下降法估计了小x时高能（胶子）喷注内部的MLLA单包容分布。在“极限谱”外得到了它的解析表达式。然后，它被用来评估2粒子的相关性在同一水平的一般性。研究了这两个观测量与红外截止Q0和Lambda QCD之比的关系. Fong & Webber的相关性结果在该比率变为1且接近单一包容性分布的峰值时的极限处恢复。
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