弦树
String Trees
摘要：
本文给出了一种2n位的无标号根树的串状紧凑数据结构。
英文摘要：
A string-like compact data structure for unlabelled rooted trees is given using 2n bits.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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我们处理的问题，维护后缀树索引结构的一个完全在线的多个字符串的集合，其中一个新的字符可以在任何时候在集合中的任何字符串的前缀。最近由Takagi等人提出的用于该问题的唯一先前已知的算法[Micromica 82（5）：1346-1377（2020）]在字RAM模型上在$O(N \log σ)$时间和$O(N)$空间中运行，其中$N$表示字符串的总长度，$σ$表示字母表大小。他们的算法大量使用了半动态树上的最近标记祖先（NMA）数据结构，该结构可以回答查询并支持在字RAM模型上的$O(1)$分摊时间中插入节点。在本文中，我们提出了一个更简单的全在线从右到左的算法，建立后缀树为一个给定的字符串集合在$O(N (\log σ+ \log d))$时间和$O(N)$空间，其中$d$是最大数量的传入韦纳链接到一个节点的后缀树。我们注意到，$d$由后缀树的高度限定，后缀树的高度又由集合中最长字符串的长度限定。这种新算法的优点是它工作在指针机器模型上，即它不使用涉及查表的复杂NMA数据结构。作为一个副产品，我们还获得了一个指针机算法，用于建立有向无环字图（DAWG）的多个字符串，它运行在$O(N (\log σ+ \log d))$时间和$O(N)$空间再次没有NMA数据结构的帮助下，一个完全在线的左到右收集。
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树和树型结构上的二进制混淆模式匹配
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两个根有序树之间的编辑距离，其中$n$节点标记为字母表~ $Σ$，是通过删除和重新标记现有节点以及插入新节点组成的一系列基本操作将一棵树转换为另一棵树的最小成本。树编辑距离是字符串编辑距离的一个众所周知的推广。树编辑距离的已知最快算法在立方$O(n^3)$时间内运行，并且基于与字符串编辑距离类似的动态规划解决方案。在本文中，我们表明，一个真正的次立方$O(n^{3-\varepsilon})$时间算法树编辑距离是不可能的：对于$|Σ| = Ω(n)$，一个真正的次立方算法树编辑距离意味着一个真正的次立方算法的所有对最短路径问题。对于$|Σ| = O(1)$，树编辑距离的真正次立方算法意味着用于找到最大权重$k$ -团的$O(n^{k-\varepsilon})$算法。因此，虽然在上限方面，字符串编辑距离和树编辑距离是高度相关的，但在下限方面，字符串编辑距离表现出强指数时间假设的硬度[Backurs，Indyk STOC'15]，而树编辑距离表现出所有对最短路径的硬度。我们的结果提供了一个匹配的条件下界的最后剩下的经典动态规划问题之一。
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加权编辑距离计算：字符串、树和Dyck
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给定两个长度为$n$/字母表$Σ$的字符串，以及它们的编辑距离的上界$k$，Myers（Mystica '86）和Landau和Vishkin（JCSS'88）的算法在$\mathcal{O}(n+k^2)$时间内计算未加权的字符串编辑距离。到目前为止，它仍然是精确编辑距离计算的最快算法，并且在强指数假设（STOC'15）下是最优的。多年来，这一结果激发了许多发展，包括字符串编辑距离的快速近似算法以及类似的$\tilde{\mathcal{O}}(n+$聚$(k))$ -时间算法，用于推广到树和Dyck编辑距离。令人惊讶的是，所有这些结果只适用于未加权的情况。虽然未加权的编辑距离在理论上是基本的，但几乎所有现实世界的应用都需要加权的编辑距离，其中不同的权重被分配给不同的编辑操作，并且可能随正在编辑的字符而变化。给定权重函数$w: Σ\cup \{\varepsilon \}\times Σ\cup \{\varepsilon \} \rightarrow \mathbb{R}_{\ge 0}$（使得对于具有$a\ne b$的所有$a,b\in Σ\cup \{\varepsilon\}$的$w(a,a)=0$和$w(a,b)\ge 1$），目标是找到使编辑的总权重最小化的比对。除了普通的$\mathcal{O}(n^2)$ -时间动态编程算法及其几乎微不足道的$\mathcal{O…
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稀疏后缀树上的线性模式匹配
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给定一个整数字母表上的字符串，我们提出了一个算法，计算属于这个字符串的所有不同的广场在时间线性的字符串长度的集合。作为应用，我们展示了如何在线性时间内计算最小增广后缀树的树拓扑。除此之外，我们详细说明了一个算法计算最长的前一个表在一个简洁的表示使用压缩的工作空间。
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字符串匹配是计算机科学中最基本的问题之一。一个自然的问题是确定字符串中需要查询的字符数（即决策树复杂度），以便决定该字符串是否包含某种模式。Rivest表明，对于每个模式$p$，在最坏的情况下，任何确定性算法都需要查询至少$n-|p|+1$字符，其中$n$是字符串的长度，$|p|$是模式的长度。他进一步强调，这一界限很紧。通过使用对手方法，Tuza反驳了这个猜想，并表明超过一半的二进制模式是{ \em回避}的，即任何算法都需要查询所有字符（更多细节请参见1.1节）。本文给出了一个查询算法，该算法解决了字符串匹配的决策树复杂度问题，只处理了一小部分模式。我们的算法表明，Tuza的标准的回避模式几乎是完整的。利用Rivest和Vuillemin的代数方法，我们还给出了一个新的模式回避性的充分条件，它超出了Tuza的准则。此外，我们的结果揭示了一个有趣的连接到\emph{Skolem's Problem}在数学。
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