Linear preservers and representations with a 1-dimensional ring of invariants
H. Bermudez, S. Garibaldi, V. Larsen
利用半单代数群的理论，我们确定了向量空间$V$上的线性变换群，该线性变换群对于几个有趣的对$(V,f)$保持$V$上的多项式函数$f$.
We determine the group of linear transformations on a vector space $V$ that preserve a polynomial function $f$ on $V$ for several interesting pairs $(V,f)$, using the theory of semisimple algebraic groups.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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First and Second Fundamental Theorems for Invariant Rings Generated by Circulant Determinants
本文针对由循环行列式表示生成元的一类不变环，建立了不变量理论的第一和第二基本定理。
Degree bounds for semi-invariant rings of quivers
我们使用最近的结果矩阵半不变量给度界的生成元环的半不变量的箭图没有定向周期。
Takiff algebras with polynomial rings of symmetric invariants
推广Rais-Tauvel，Macedo-Savage和Arakawa-Premet的结果，证明了在对具有对称不变量多项式环的李代数$\mathfrak q$的适当限制下，$\mathfrak q$的m阶Takiff代数$\mathfrak q\langle m\rangle$也具有对称不变量多项式环.
Search problems in algebraic complexity, GCT, and hardness of generator for invariant rings
我们考虑的问题，计算简洁的编码列表的发电机不变的环群行动。Mulmuley指出，对于$\SL_n(\C)$ -表示的不变环，总是有多项式大小的这样的编码。我们提供了简单的例子来反驳这个猜想（在标准的复杂性假设下）。我们开发了一个通用的框架，表示\emph{algebraic circuit search problems}，它捕获了许多重要的问题，代数复杂性和计算不变理论。这个框架包含了证明复杂性的各种证明系统和几何复杂性理论（GCT）程序所暴露的不变理论中的一些中心问题，包括上述计算不变环生成器的简洁编码的问题。
Generic decompositions and semi-invariants for string algebras
研究了非多项式增长的驯服弦代数A（n）的半不变量环.我们感兴趣的是带模的维数向量。我们使用几何技术有关的各种复杂的坐标环的描述。迷人的组合出现，表明我们的环的不变量是环的一些环面品种。我们表明，$n\le 6$的环的半不变量是完全的交叉，但我们显示了一个例子，$n=7$，这是不是在一般情况下。
Holonomic modules for rings of invariant differential operators
研究了有限克鲁尔维数的仿射交换域上不变微分算子环关于有限群的任意作用的完整模.我们证明了这些环的Bernstein不等式。我们的主要工具是Bavula引入的过滤器维度。推广了Weyl代数关于有限群的辛作用的不变量、商簇上的不变微分算子环以及某些广义Weyl代数在线性作用下的不变量的结果.我们证明了所有上述代数的滤子维数都等于1。
Generating invariant rings of quivers in arbitrary characteristic
众所周知，约化群的多项式不变量环是非线性生成的。然而，很难给出生成元的度的强上界，特别是在正特征域上。本文利用好滤子理论和最近关于零锥的结果，给出了矩阵半不变量在任意特征下的多项式界，从而给出了矩阵不变量的多项式界.我们的结果推广到箭图的不变量和半不变量。
On the coordinate rings of Calogero-Moser spaces and the invariant commuting variety of a pair of matrices
本文研究第四个 Calogero–Moser 空间及四阶矩阵不变交换对的坐标环与 Poisson 括号，并据此计算其在复簇 Grothendieck 环中的类，进而揭示仿射平面点 Hilbert 概形几何的新认识。
Group Determinants and Invariant Rings
本文研究Frobenius在群行列式中引入的偏微分算子，提出了关于源自这些算子的不变环的若干结果。
The asymptotic behavior of Frobenius direct images of rings of invariants
我们定义素特征环上模的Frobenius极限为某个Grothendieck群中正规化Frobenius直像的极限。当一个有限群作用在一个多项式环上时，我们计算了扭群代数上所有在多项式环上自由的模的极限;我们还计算了这些模限制在不变量环上的Frobenius极限。作为应用，我们将第二作者和Nakajima关于不变量环的广义$F$ -签名的描述推广到模情形。
Cluster Algebras and Semi-invariant Rings II. Projections
设${\rm SI}_β(Q)$是一个有限$Q$的$β$维表示的半不变量环.假设$(Q,β)$通过异常表示$E$投影到具有维度向量$(Q',β')$的另一个映射。我们证明了如果${\rm SI}_β(Q)$是与冰簇$Δ$相关的上簇代数，那么${\rm SI}_{β'}(Q')$是与$Δ'$相关的上簇代数，其中$Δ'$是通过依赖于$E$的简单运算从$Δ$得到的.我们还研究了它们的基的关系，使用与潜在的模型。
Relative Invariants, Ideal Classes and Quasi-Canonical Modules of Modular Rings of Invariants
本文描述了阶乘Gorenstein整环上有限群作用的模不变环$R$的“拟正则模”.由此，我们得到了一个一般的“准Gorenstein准则”的某些1-上圈。这推广了A. Braun关于多项式环上线性群作用的结果，推广了Watanabe关于非模不变环的一个经典结果.我们使用一个显式分类的所有自反秩一$R$ -模块，这是在类组的$R$，或在$R$ -半不变量。这一结果隐含在Nakajima的一篇论文（\cite{Nakajima:rel_inv}）中。
Three homological invariants under cleft extensions
本文研究了三种同调不变量在abelian范畴裂扩展下的行为，并将其应用于多种环结构。
Webs on surfaces, rings of invariants, and clusters
我们构建和研究集群代数结构的特殊线性群行动的三维向量，余向量和矩阵的集合上的不变量的环。该结构使用Kuperberg的演算网络上的标记表面的边界。
Cluster Algebras and Semi-invariant Rings I. Triple Flags
我们证明了长度为$n$的完全三元旗的每个半不变量环都是与冰蜂巢群相关联的上簇代数。我们发现一个合理的多面体锥${\sf G}_n$，使通用集群字符映射到集群代数的基础上的格点。作为应用，当$n$较小时，我们利用簇代数结构找到了这些半不变量环的生成元的一个特殊的极小集。
Rings of invariants for modular representations of elementary abelian p-groups
本文研究初等交换p-群的模表示的不变量环。除了一些显著的例外，初等阿贝尔p-群的模表示理论是疯狂的。然而，对于给定的尺寸，可以参数化表示。我们描述二维和三维的模表示的参数化。我们计算所有二维表示的不变量环，这些环由两个代数独立的元素生成。我们计算二维表示的对称正方形的不变量环;这些环是超曲面。我们计算所有秩至多为3的三维表示的不变量环;这些环是嵌入维数至多为5的完全相交。我们猜想初等交换p-群的任何三维表示的不变量环是完全交。
Completing the classification of representations of $\mathrm{SL}_n$ with complete intersection invariant ring
给出了具有完备交不变环的复数上特殊线性群$\mathrm{SL}_n$的所有表示，完成了Shmelkin的分类.为了完成这项任务，我们结合了三种技术。首先，作者提出了计算$\mathrm{SL}_n$不变量的图论方法，用于计算合偶的不变量、协变量和显式形式。第二，在一般的Gröbner基计算和Gröbner扇计算之间，给出了一个新的求单项式阶的算法，使得理想的某个基是关于这个阶的Gröbner基。最后，对辛的MacMahon划分分析算法进行了改进，以计算Hilbert级数。
Good filtrations and strong $F$-regularity of the ring of $U_P$-invariants
设$k$是具有正特征的代数闭域，$G$是$k$上的约化群，$V$是有限维$G$ -模.设$P$是$G$的抛物子群，$U_P$是它的幂幺根.证明了如果$S$ = \textyen $Sym V$有好的滤子，则不变量环$S^{U_P}$是强$F$ -正则的.
Hochschild Cohomology of skew group rings and invariants
设$A$是$k$ -代数，$G$是作用在$A$上的群.证明了$G$也作用于Hochschild上同调代数$HH^{\bullet}(A)$，并且环$HH^{\bullet}(A)^G \hookrightarrow HH^{\bullet}(A[G])$存在单态.这使我们能够证明从$HH^{\bullet}(\widetilde{A})^G$到$HH^{\bullet}(A)$的单态映射的存在，其中$\widetilde{A}$是群$G$的伽罗瓦覆盖。
Universal rings of invariants
设$K$是特征为零的代数闭域。给定的$K$上的向量空间$W$上的特定类型的代数结构（例如代数或余代数）可以被编码为仿射空间$U(W)$中的点。这个空间具有一个$\text{GL}(W)$作用，两个点定义同构结构当且仅当它们位于同一轨道上。这导致研究不变量环$K[U(W)]^{\text{GL}(W)}$。我们用生成元和关系来描述这个环。然后，我们组合地构造一个交换环$K[X]$，它专门针对$K[U(W)]^{\text{GL}(W)}$形式的所有不变量的环。我们证明了交换环$K[X]$具有更丰富的Hopf代数结构，它具有额外的余积、分次和内积，从而使它成为一个有理的PSH-代数，推广了Zelevinsky引入的结构.我们完成了详细的研究$K[X]$的情况下，由一个单一的自同态代数结构，并显示如何环的不变量$K[U(W)]^{\text{GL}(W)}$可以计算明确从$K[X]$在这种情况下。
Semi-Invariants for Gentle String Algebras
本文给出了一个算法，用于确定温柔弦代数的表示空间的不可约分支上的半不变函数环的生成元和关系。这些半不变量的环是半群环，我们可以将其与所谓的匹配图联系起来。在这种关联下，半群的生成元可以通过图上的某些行走来看到，并且关系可以通过图中的某些配置来给出。这使我们能够确定这些环的生成元和关系的度界。我们进一步表明，这些界限也持有一般的非循环弦代数。
Non-linear Group Actions with Polynomial Invariant Rings and a Structure Theorem for Modular Galois Extensions
设$G$是有限的$p$ -群，$k$是特征$p>0$的域.证明了$G$对维数为$n=\mathrm{log}_p(|G|)$的多项式环$U$具有\emph{non-linear}忠实作用，使得不变环$U^G$也是多项式的.这与\emph{linear and graded}群作用的不变量多项式环的情况形成对比，其中Chevalley-Shephard-Todd和Serre的经典定理要求$G$由伪反射生成。我们的结果是“迹满射$G$ -代数”的一般理论的一部分，其中，在$p$ -群的情况下，与\cite{chr}意义上的伽罗瓦环扩张相吻合。我们考虑\emph{dehomogenized symmetric algebra} $D_k$，一个多项式环的非线性$G$ -作用，包含$U$作为收缩，我们证明了$D_k^G$是一个多项式环.这样，$U$就成为\emph{universal}，因为每个迹满射$G$ -代数都可以由$U$通过“形成逆元和扩充不变量”构造出来.作为结果，我们得到了以给定的$p$ -群为伽罗瓦群，以任意给定的交换$k$ -代数$R$为不变环的伽罗瓦扩张的一般结构定理。这是一个推广的阿廷-施赖尔-维特理论的模块伽罗瓦领域的扩展程度$p^s$。
Invariant rings and representations of the symmetric groups
本文研究了有限维代数结构中的不变环。我们遇到的环是$K[U]^Γ$形式的分次环，其中$Γ$是特征为零的域$K$上的一般线性群的乘积，$U$是$Γ$的有限维有理表示。我们将使用对称群的表示理论和Schur-Weyl对偶来计算这样的环的Hilbert级数。我们专注于$U=\text{End}(W^{\oplus k})$和$Γ= \text{GL}(W)$的情况下，$U=\text{End}(V\otimes W)$和$Γ= \text{GL}(V)\times \text{GL}(W)$的情况下，虽然这里介绍的方法也可以应用于更一般的框架。对于上述两种情况，我们计算的希尔伯特函数的环的不变量的Littlewood-Richardson和克罗内克系数。当向量空间是2维时，我们也给出了这个希尔伯特级数的显式计算。
Invariant rings of sums of fundamental representations of ${\rm SL}_n$ and colored hypergraphs
特殊线性群${\rm SL}_n$在复数上的基本表示是$\mathbb{C}^n$的外幂。我们考虑这些${\rm SL}_n$ -模的任意多个拷贝之和的不变环。使用Grosshans，Rota和Stein开发的反对称张量的符号方法，但不是括号，我们将着色超图与不变量联系起来。这种方法允许我们使用来自图论的结果和见解。特别是，我们确定（最小）生成集的不变环的情况下，${\rm SL}_4$和${\rm SL}_5$，以及syzygies为${\rm SL}_4$。由于不变量构成射影空间$\mathbb{P}_{n-1}$的线性子空间的关联几何，生成不变量提供能够描述所有其他几何关系的（最小）集合。
Rings of invariants for three dimensional modular representations
本文计算了初等阿贝尔 $p$-群在三维一般表示下的不变环，证明其为完全交环且嵌入维数为 $\lceil r/2\rceil +3$，从而验证了 Campbell-Shank-Wehlau 猜想。
Zamolodchikov integrability via rings of invariants
Zamolodchikov周期性是与两个有限型Dynkin图的盒积$X \square Y$有关的某些递归的周期性。我们建议一个仿射模拟的Zamolodchikov周期性，我们称之为Zamolodchikov可积性。我们猜想它对乘积$X \square Y$成立，其中$X$是有限型Dynkin图，$Y$是扩展Dynkin图.我们针对$A_m \square A_{2n-1}^{(1)}$的情况证明了这一猜想。证明采用集群结构在某些经典环的不变量，以前研究的S。佛明和作者。
When are the natural embeddings of classical invariant rings pure?
本文研究正特征域上经典不变量环自然嵌入的纯性，证明若该嵌入为纯嵌入，则不变量环正则或群线性约化。
Overgroups of exterior powers of an elementary group. Normalizers
本文刻画了代数群概型 $\bigwedge^m GL_n$ 的几何与代数性质，并将其作为正规化子应用于初等子群上群的“三明治分类”及线性保持问题。
Arithmetic Invariant Theory of Reductive Groups
本文定义了交换含幺环上的线性reductive group，研究了其不变量环的Cohen-Macaulay性质，并证明了Krull维数为2的正则环上reductivity概念的等价性。
Invariant differential operators for quantum symmetric spaces, I
这是第一个文件在一系列的两个证明了一个版本的一个定理的哈里什-钱德拉量子对称空间在最大分裂的情况下：有一个哈里什-钱德拉地图诱导同构之间的环量子不变微分算子和环的不变量的某些洛朗多项式环下的行动限制外尔群。在这里，我们建立这个结果的所有量子对称空间定义使用不可约对称对的类型EIII，EIV，EVII，或EIX。一个量子版本的相关定理，由于赫尔加松也获得：图像的中心下，这个哈里什-钱德拉映射是整个不变环，当且仅当潜在的不可约对称对不是这四种类型之一。
The arithmetic rank of nullcones of classical invariant rings
该研究计算特殊线性、正交、辛群作用下零锥理想的算术秩，在特征≠2的无限域上证明其等于不变量环的克鲁尔维数，正特征下用 étale 上同调获取下界。
Polystability in positive characteristic and degree lower bounds for invariant rings
我们开发了一个表示理论的技术检测闭轨道，适用于所有的特点。我们的技术是基于肯普夫的最优子群理论，我们做了一些改进，并从计算的角度简化了理论。我们展示了我们的技术在许多例子中，特别是，给出了一个算法，以决定如果一个对称多项式的$n$ -变量有一个封闭的${\rm SL}_n$轨道。作为一个重要的应用，我们证明了指数下界的最大程度上的系统的发电机的不变环的两个行动是重要的几何复杂性理论（GCT）的角度。第一个是${\rm SL}(V)$在${\rm Sym}^3(V)^{\oplus 3}$上的作用，三次形式的3元组空间，第二个是${\rm SL}(V) \times {\rm SL}(W) \times {\rm SL}(Z)$在张量空间$(V \otimes W \otimes Z)^{\oplus 5}$上的作用。在这两种情况下，我们证明了一个指数较低的程度上界的不变量系统，产生不变的环或定义的零锥。
p-Groups and the Polynomial Ring of Invariants Question
设G是GL（V）的有限p-子群，其中p = char（F），V是域F上的有限维.设S（V）是V的对称代数，S（V）^G是G-不变量的子环，V* 是V的F-对偶空间.定理A.假设dim（V）=3。则S（V）^G是多项式环当且仅当G是由横截生成的.定理B假设dim（V）> 3。则S（V）^G是多项式环当且仅当：（1）对于V* 的每个子空间U，当dim（U）=2，S（V）^{G_U}是多项式环，其中G_U = {g in G| g（u）= u，对U中的所有u}，以及（2）S（V）^G是Cohen-Macaulay.或者，（1）可以用等价条件代替：（3）dim（S（V）^G的非光滑轨迹）< 2。
Module schemes in invariant theory
本文通过商模概形（至多相差修正）替代共变模，将Auslander在二维小作用下的表示与极大Cohen-Macaulay模对应推广到所有线性作用。
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