Mathieu算子谱间隙的改进渐近性
Improved asymptotics of the spectral gap for the Mathieu operator
摘要：
Mathieu算子{方程 *} L（y）=-y”+2 a \cos{(2x)} y，\quad a \in \mathbb{C}，1;a \neq 0，{方程 *}考虑周期或反周期边界条件，对于足够大的$n$，接近于$n^2$，具有两个周期（如果$n$是偶数）或反周期（如果$n$是奇数）特征值$λ_n^-$，$λ_n^+$ .对于固定的$a$，我们证明了{方程 *} λ_n^+ - λ_n^-= \pm \frac{8(a/4)^n}{[(n-1)!]^2} [1 - \frac{a^2}{4n^3} + O（\frac{1}{n^4}）]，\quad n \rightarrow \infty . {equation*}这个结果通过提供更多的渐近项，扩展了Harrell-Avron-Simon的渐近公式。
英文摘要：
The Mathieu operator {equation*} L(y)=-y"+2a \cos{(2x)}y, \quad a\in \mathbb{C},\;a\neq 0, {equation*} considered with periodic or anti-periodic boundary conditions has, close to $n^2$ for large enough $n$, two periodic (if $n$ is even) or anti-periodic (if $n$ is odd) eigenvalues $λ_n^-$, $λ_n^+$. For fixed $a$, we show that {equation*} λ_n^+ - λ_n^-= \pm \frac{8(a/4)^n}{[(n-1)!]^2} [1 - \frac{a^2}{4n^3}+ O (\frac{1}{n^4})], \quad n\rightarrow\infty. {equation*} This result extends the asymptotic formula of Harrell-Avron-Simon, by providing more asymptotic terms.
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