Low-x evolution of parton densities
Alexey Yu. Illarionov, Anatoly V. Kotikov
它示出的贝塞尔样行为的结构函数F2在小x，得到一个平坦的初始条件下的DGstrom演化方程，导致良好的协议与深非弹性散射实验数据从HERA。
It is shown that a Bessel-like behaviour of the structure function F2 at small x, obtained for a flat initial condition in the DGLAP evolution equations, leads to good agreement with the deep inelastic scattering experimental data from HERA.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Parton densities for heavy quarks
我们比较了重夸克的部分子密度。
Need for fully unintegrated parton densities
与使用传统的积分部分子密度相关联的是对部分子动量的运动学近似，这导致了末态粒子的非物理微分分布。我们认为，重要的是要重新制定微扰QCD结果的完全未积分的部分子密度，微分的所有组成部分的动量。
Unintegrated Parton Densities and Applications
讨论了非积分部分子密度的不同形式，并给出了一些结果和应用。
Determination of Parton Densities for QCD partons and Electroweak Bosons
该研究通过包含QCD和电弱贡献的扩展DGLAP型演化方程（PB方法求解）确定部分子密度，拟合HERA数据并验证电弱玻色子密度，提供LHApdf和TMDlib格式的共线及TMD密度以支持唯象学应用。
Parton densities beyond perturbation theory
计算了深部非弹性散射的非微扰修正。
Collinear and TMD parton densities from fits to precision DIS measurements in the parton branching method
共线和横向动量相关（TMD）的部分子密度得到拟合的精确测量的深非弹性散射（DIS）的截面在HERA。部分子密度的发展与下一个主导阶（NLO）分裂功能的部分子分支方法，允许一个同时确定共线和TMD密度的$x$，$μ^2$和$k_t$，在大型强子对撞机的预测相关的所有口味在很宽的范围内。DIS的截面计算的部分子密度使用微扰非线性光学系数函数。给出了满足角序条件的部分子密度。得到了两组部分子密度，在强耦合α_s中，重正化标度的选择不同。这被认为是演化尺度$μ$或横向动量$q_t$。虽然这两种选择都产生了同样好的$χ^2$值，以拟合DIS测量，特别是胶子密度在两组之间是不同的。利用TMD密度预测了LHC中Z玻色子的横动量谱。
Rapidity divergences and valid definitions of parton densities
当规范理论中的部分子密度以最自然的方式被定义为光锋量子化中部分子数算符的期望值时，快度发散就会发生。我回顾这些和其他相关的分歧，并显示如何部分子密度的定义可以修改，以消除分歧。一个修正的定义不仅对QCD的许多唯象应用是必不可少的，而且也涉及到非微扰方法中部分子密度的处理。部分子密度定义的修正也需要对规范理论的光阵面量子化公式进行修正。
Determination and application of TMD parton densities using the Parton Branching method
我们提出了一个确定的部分子密度在NLO获得的Parton分支方法，使用精确测量的深非弹性散射截面在HERA。在这项工作中所示的两组部分子密度得到相同的角角排序条件的演化尺度，它们不同的强耦合评估，我们考虑两种情况下所选择的规模：演化尺度，和横向动量qT从角排序处方。用Parton分支方法得到的横向动量依赖密度被应用于两个LHC过程：Drell-Yan pT谱和高pT双喷事件中的方位角关联。对于Drell-Yan pT谱，观察到强耦合尺度选择的显著影响。
Calculations with off-shell matrix elements, TMD parton densities and TMD parton showers
本文描述了一种新的计算方法，它采用了具有TMD部分子密度的离壳矩阵元，并补充了新发展的初始状态TMD部分子簇。计算是基于KaTie软件包的部分子过程的自动计算在高能因式分解，利用TMD部分子密度在TMDlib中实现。部分子事件存储在LHE文件中，类似于传统的LHE文件，但现在包含初始部分子的横向动量。对于完整的TMD部分子簇射、末态簇射和强子化，LHE文件由CASCADE程序包从PYTHIA读入，PYTHIA产生HEPMC格式的事件。我们已经确定了一套完整的TMD部分子密度，并开发了一个初始状态的TMD部分子簇，包括所有的口味以下的TMD分布。作为应用的一个例子，我们计算了在LHC上测得的高pt双喷流的方位角去相关，并发现当包括初始状态TMD部分子簇射和常规的末态部分子簇射以及强子化时，与测量结果非常吻合。
New definition of TMD parton densities
我给一个新的定义的横动量依赖的部分子密度的帐户。新定义解决了先前定义中的一些困难和不一致之处。
Transverse Momentum Dependent and collinear densities based on Parton Branching method
本文综述了基于Parton分支方法的共线和横向动量依赖密度的研究现状。我们研究了PB-TMD演化的性能，以及PB-TMD部分子簇射与不同配置的硬过程中的四味和五味计划。
Bose-Einstein enhancement in the evolution of the double parton densities at high energy
本文在低$x$（高能）的双部分子密度演化中，考虑了全同胶子的玻色-爱因斯坦关联。我们表明，这些相关性的结果在一个更快的增加的双密度，在两个单一的部分子密度的产品相比。此外，我们还发现在双部分子截面中的典型动量是硬标度的量级，包括饱和动量。这一结果与最近发表的实验数据一致。
Scale Factor in Double Parton Collisions and Parton Densities in Transverse Space
描述高能强子相互作用中双部分子碰撞的标度因子$σ_{eff}$是相互作用部分子在横向空间中分布的直接表现，不同的分布在不同的双部分子碰撞过程中产生不同的$σ_{eff}$值。我们在最近提出的质子多部分子密度的相关模型中计算出了一些感兴趣反应的标度因子的值。
Small-x Physics, High Parton Densities and Parton Saturation in QCD
部分子被定义为强子的Fock空间描述中的量子。胶子饱和度在大核的魏茨泽克-威廉姆斯近似中描述。给出了DGKL和BFKL演化的基本原理，并导出了大$N_c$偶极子形式的BFKL方程。本文用核子或原子核上的偶极散射对饱和进行了更一般的讨论。在HERA饱和的可能证据进行了讨论。
Taming singularities in transverse-momentum-dependent parton densities
我们提出了一个一致的处理分歧出现在计算中的横向动量依赖的部分子密度领先$α_s$阶QCD微扰理论。
Two loop matching conditions on $\bar{\rm MS}$ parton densities
讨论了如何利用算子乘积展开（OPE）导出某些积分的渐近表达式。这产生算子矩阵元素（OME），其确定跨重味阈值的$\bar{\rm MS}$部分子密度的匹配条件。然后，我们通过AP方程使用LO和NLO分裂函数从三味集构造四味和五味密度。
Unintegrated parton densities at small x
本文给出了在小Bjorken x极限下横向动量依赖的部分子密度的最新结果。提出了一个未积分海夸克密度的定义，它可以在CCFM蒙特卡罗事件发生器CASCADE中使用。我们进一步讨论了非线性光学BFKL未积分胶子密度的确定方面。
The t-tbar cross-section at 1.8 and 1.96 TeV: a study of the systematics due to parton densities and scale dependence
我们更新的t-tbar生产截面在Tevatron的理论预测，考虑到最新的测定系统的不确定性提取的质子部分子密度。
Semiclassical Calculation of Diffractive Parton Densities
在这个演讲中，半经典方法和衍射部分子密度的概念之间的关系进行了讨论。质子静止坐标系的计算组织的方式，表现出硬部分子截面和衍射部分子密度作为两个基本成分。后者是一个非微扰量，在本模型中，是明确给出的非阿贝尔eikonal因子的颜色背景场的积分。
On Combining High and Low Q**2 Information on the Polarized Parton Densities
指出了在联合使用高Q^2深度非弹性散射（DIS）数据和低Q^2超子β衰变数据确定极化部分子密度时存在的一些问题。我们解释了为什么像JET或AB这样的因式分解方案是研究DIS部分子密度对低Q^2区物理学意义的最简单的方案。
Parton Densities from Collider Data
对撞机数据在确定核子的部分子分布函数方面起着重要的作用。我概述了一种形式主义，它使得有可能使用下一个领先的顺序计算在这样的提取，同时最大限度地减少所需的数值计算量。
Probing the Parton Densities of Virtual Photons at ep Colliders
在DESY-HERA对撞机上研究了在高能$ep$对撞机上实验测定虚光子部分子分布的可行性。最近提出的虚光子的部分子密度被用来评估适当的生产过程和相关的运动学区域。结果表明，高$E_T$喷流产生与$E_T\,\simeq 5-7\, {\rm{GeV}}$和$b\bar{b}$生产可以探测虚光子的部分子分布高达几个${\rm{GeV}}^2$的虚拟。我们提出的光子部分子密度的一个有用的领导阶参数化，适合于这些问题的进一步研究。
Measuring Parton Densities in the Pomeron
我们提出了一个程序来测量部分子密度的坡密子使用衍射深度非弹性散射和衍射光生，并测试所产生的部分子密度，通过将它们应用到其他过程，如强子-强子碰撞中的射流衍射生产。由于QCD因式分解已被预测不适用于硬衍射散射，这个程序的拟合和使用部分子密度可能会失败。它的成功或失败将为研究坡密子的时空结构提供有用的信息。
Extracting Parton Densities from Collider Data
对撞机数据在确定核子的部分子分布函数方面起着重要的作用。我提出了一种形式主义，它使得有可能使用下一个领先的顺序计算在这样一个决定，同时最大限度地减少所需的数值计算量。
On the role of soft gluons in collinear parton densities and parton shower event generators
本文利用Parton Branching方法求解DGLAP方程，发现软胶子在共线部分子密度演化中对于发散项抵消至关重要，其非微扰Sudakov形式因子影响包容性分布，但对末态强子谱和喷注几乎无作用。
Collinear and Transverse Momentum Dependent parton densities obtained with a Parton Branching Method
我们提出了一个解决方案的DGstrom演化方程，写在Sudakov形状因子来描述的分支和无分支的概率，使用部分子分支蒙特卡罗方法。我们数值证明，这种方法再现半解析解。我们展示了如何使用这种方法来确定横向动量相关（TMD）的部分子分布函数，除了通常的集成部分子分布函数。讨论了软胶子分辨尺度参数边界对所得到的部分子分布函数的数值影响。我们表明，在x和Q^2的大范围内，可以获得积分TMD与高精度HERA数据的非常好的拟合。
Gluon parton densities in soft-wall AdS/QCD
我们研究了软壁AdS/QCD中的胶子密度[部分子分布函数（PDF）、横向动量分布（TMD）、广义部分子分布（GPD）]和形状因子。结果表明，在大的光锥变量和大的平方动量下，胶子部分子分布和形状因子的幂次行为符合夸克计数规则。我们还表明，在我们的方法得到的横向动量分布服从模型无关的Mulders-Rodrigues不等式，而不涉及特定的模型参数。所有的胶子部分子分布都是用非极化和极化胶子PDF和剖面函数定义的。后者通过微分方程与胶子PDF相关。
Theory of transverse-momentum parton densities: solving the puzzle of divergences
讨论了横动量相关部分子密度（TMD）的理论研究现状。特别注意的是支付到目前为止提出的TMD的运营商定义之间的差异，具体的分歧，治疗的几何形状的规范链接，和软因素的作用。
Towards the Parton Densities of Polarized Photons at HERA
本文研究了HERA上偏振电子对撞中的双喷流光生，作为确定圆偏振光子部分子含量的一种可能的工具。“有效部分子密度”近似的概念被推广到自旋相关的情况。
Q2-evolution of parton densities at small x values. Charm contribution in the combined H1 and ZEUS F2 data
贝塞尔启发的行为的部分子密度在小的x，在平坦的初始条件的情况下获得的DGstrom演化方程，在固定的风味计划，分析精确的H1+ZEUS组合数据的结构函数F2。
Determination of collinear and TMD photon densities using the Parton Branching method
本文首次用部分子分支方法测定了横动量相关（TMD）光子密度。光子分布是微扰产生的，没有本征光子分量。夸克和胶子的输入参数由HERA深度非弹性散射截面的精确测量确定。用TMD密度预测了LHC中Drell-Yan产生和光子引发轻子过程中的极高质量轻子对的质量和横动量谱。
TMD parton densities and corresponding parton showers: the advantage of four- and five-flavour schemes
计算$Z + b{\bar b}$标记的喷流生产中进行的四味和五味计划允许的重味结构的共线和横向动量相关（TMD）的部分子分布的详细比较，以及在初始状态的部分子簇射级联辐射的重夸克的详细调查。我们已经确定了第一组共线和TMD的部分子分布的四味计划与NLO DGln分裂功能内的部分子分支（PB）的方法。四味和五味PB-TMD分布被用来计算$Z + b{\bar b}$标记的喷流生产在LHC的能量和非常好的协议，在$\sqrt{s} = 8, 13 $ TeV的CMS和ATLAS合作获得的测量观察。硬过程中的四味和五味计划的不同配置允许重味共线和TMD部分子分布和相应的初始TMD部分子簇的性能的详细调查，给人的信心在PB-TMD部分子密度的演变，以及在PB-TMD部分子簇。
Large parton densities and high-pT physics in heavy-ion collisions
我讨论了相对论性重离子碰撞中大部分子密度在高pT观测量的QCD描述中所起的作用。在pA碰撞中，高pT粒子探测核中的大部分子密度，并提供核波函数小x部分的彩色玻璃凝聚（CGC）图像的测试。在AA碰撞中，高pT粒子携带着夸克-胶子-等离子体相和早期由两个CGC碰撞产生的夸克-胶子-等离子体相的信息。
Photon Structure: QCD Treatment and Parton Densities
讨论了超越首阶的光子结构的QCD处理，着重讨论了因子分解方案和/或边界条件的适当选择。最近的参数化的光子的部分子内容进行检查和比较。重新考虑了光子结构函数对QCD标度参数的敏感性。
Evolution equations of the truncated moments of the parton densities. A possible application
本文提出了用截断Mellin矩的演化方程确定核子中部分子分布的一个可能的应用。我们发现，重建的初始部分子密度在规模$Q_0^2$从他们的截断时刻在一个给定的规模$Q^2$是准确的和唯一的自由参数（$\leq 3$），即使是有限的$x$ -区域的实验数据。对于较大数量的可调参数，所获得的拟合不是唯一的，并且需要部分子密度的小$x$行为的额外知识，以使重建过程可靠。我们成功地应用我们的方法对HERMES和COMPASS自旋相关的价夸克数据。
Transverse densities and generalized parton distributions of $ρ$ meson in light front quark model
在光阵面夸克模型（LFQM）中研究了纵向和横向极化$ρ$介子的横向电荷密度。电荷密度是从计算的$ρ$介子的弹性形状因子的LFQM包括零模的贡献。我们计算了$ρ$介子的不同螺旋度矩阵元。此外，我们还给出了$ρ$介子的广义部分子分布（GPD）和与碰撞参数有关的部分子分布函数（ipdpdfs）的结果。
On the Sensitivity of the Polarized Parton Densities to Flavour SU(3) Symmetry Breaking
考虑到在超子β衰变分析中假设SU（3）对称性可能会产生误导，本文研究了极化部分子密度对非单重轴向电荷a_8值从SU（3）3F-D值变化的敏感性。
GRSV parton densities revisited
在辐射部分子模型的框架下，对现有的纵向极化深度非弹性散射（DIS）数据进行了更新的次领先阶（NLO）QCD分析。
Q^2-evolution of spin-dependent parton densities
本文讨论了线极化强子中线极化胶子的夸克横观密度和部分子分布函数的非线性光学演化。我们还研究了非线性光学演化对Soffer不等式的影响以及在RHIC上测量极化Drell-Yan中的横向度密度的前景。
Transverse momentum dependent parton densities in a proton from the generalized DAS approach
在双标度QCD近似（DAS）下，在DGPs演化方程的平坦初始条件下，利用Bessel激发的小Bjorken $x$值下的部分子密度行为，计算了质子中夸克和胶子的横动量相关分布函数.的计算进行分析，使用金伯利-马丁-Ryskin（KMR）处方与不同的实施运动学约束，反映了角度和强有序条件。讨论了KMR方法的微分公式和积分公式之间的关系。给出了TMD部分子密度在LHC过程中的几个唯象应用。
$\bar{\rm MS}$ parton densities with NNLO heavy flavor matching conditions
本文研究了粲和底味匹配条件对部分子密度的影响。从一个$\bar{\rm MS}$三味密度集出发，利用最近导出的双环匹配条件，我们给出了一组新的四味部分子密度集，其中$ m_c \le μ< m_b$和五味部分子密度集，其中$μ\ge m_b$ .次-主导阶匹配条件对演化方程的影响对于过渡区上方的尺度是重要的。这包括HERA的H1和ZEUS实验研究的小$x$和小$Q^2$结构域。在小的$x$上，匹配条件的影响永远不会消失，即使对于大的$μ^2$也是如此。
Leading twist generalized parton distributions and spin densities in a proton
我们评估手征偶和奇广义部分子分布（GPD）在最近提出的夸克双夸克模型的质子的光波前波函数的软壁AdS/QCD预测构造的领先扭曲。在横向碰撞参量空间中的GPD给出了不同夸克和质子极化的自旋密度。对于纵向极化的质子，只有手性偶GPD贡献，但对于横向极化的质子，手性偶和手性奇GPD都对自旋密度有贡献。我们提出了一个详细的研究在这个模型中的自旋密度。
Higher-twist operator effects to parton densities at small x
我们研究了在平坦初始条件下，部分子分布在小x值时的Q^2演化。考虑了Wilson算子乘积展开的twist-two和（renormalon型）高扭算子的贡献。计算结果与HERA的深度非弹性散射实验数据符合得很好。
Recent progress in transverse momentum dependent (TMD) Parton Densities and corresponding parton showers
本研究采用Parton-Branching方法分析软胶子对TMD部分子密度的影响，明确常被忽略的z→1区间对应非微扰Sudakov形状因子，解释了Drell-Yan过程内禀kt宽度与质心系能量无关的特性。
Phenomenology of Transverse Momentum Dependent Parton Densities
这个演讲提供了一个简短的概述横向动量依赖分布和碎裂函数的唯象，集中在最近的唯象发展的研究，他们的规模演变和能量依赖。
Fragmentation functions and their role in determining the polarized parton densities
我们提取的π介子碎裂功能和它们的不确定性从一个明智的选择e+e-和半包容DIS数据。这些被用来研究在提取极化部分子密度从半包容DIS不对称的误差传播。我们的结论是，极化PD的不确定性在过去被低估了。
A Collection of Polarized Parton Densities
在文献中已经出现了大量的极化部分子密度的参数化。通过使用CTEQ演化包，这些发行版在Plothow-Besch的PDFLIB的精神下一直演化到编译成一个集成包。在这里，比较了几个最近的分布。（1995年8月28日至31日在德国DESY-Zeuthen举行的“HERA自旋物理学前景”讲习班上提出）。
Polarized Parton Densities in the Nucleon
我们提出了一个新的非线性光学量子色动力学分析的世界数据的包容性极化深非弹性散射。与我们以前的分析相比：i）更新了g_A和a_8=3F-D的值; ii）对输入的非极化部分子密度采用了MRST '99参数化而不是MRST'98参数化; iii）分析中包括了最近SLAC E155质子对自旋不对称性A1的数据。一组新的极化部分子密度提取的数据和不同的正性约束的结果的敏感性进行了讨论。
Extraction of polarized parton densities from polarized DIS and SIDIS
我们目前的夸克和胶子极化核子中获得的组合下一个领先的顺序分析，以现有的包容性和半包容性的极化深非弹性散射数据的结果。
Impact parameter dependence of parton densities at low x
我们考虑了极化和非极化部分子密度对碰撞参量的依赖性。酉性不允许这些结构函数在Bjorken x和碰撞参量b变量上的因式分解。在特定几何模型方法的基础上，我们得出结论：组分夸克的自旋可能具有一个重要的轨道角动量分量，它可以通过自旋相关结构函数的周边性来表现。
Energy evolution and the Bose-Einstein enhancement for double parton densities
在本文中，我们发现，玻色-爱因斯坦增强产生的强关联，在BFKL演化的能量增加。这种增加导致了双部分子密度（$Φ$），其比单部分子密度（$ϕ$）的乘积大得多。然而，从数值上看，$Φ/ϕ^2 \propto \Lb 1/x\Rb^{δ_2}$与$δ_2 \sim \bas/\Lb N^2_c - 1\Rb^{2/3}\,\,\ll\,\,1$的比值，我们不期望对可获得的能量范围进行大的校正。然而，对于$N_c=3$，它忽略了$δ_2 = 0.07 Δ_{\rm BFKL}$，其中$Δ_{\rm BFKL}$是BFKL Pomeron的截距，我们可以预期快速度$Y \sim 20$的范围会有很大的增加.结果表明，所有对双部分子密度的$1/(N^2_c -1)$修正都源于玻色-爱因斯坦增强.
Parton densities and structure functions beyond the next-to-leading order
简要讨论了无质量微扰QCD中非极化部分子密度和结构函数演化的最新结果。目前关于次-次-首阶（NNLO）演化核的部分结果证明，在比约肯变量x不太小（x > 10^-3）的情况下，对于可靠的计算是足够的。在x >= 0.2时可以考虑多一个阶。这些项的加入大大降低了由结构函数确定α_s和部分子密度的主要理论不确定性（在Z质量处约为1%）。
Understanding the evolution of transverse-momentum dependent parton densities
本文从重整化群性质的角度出发，讨论了定义与横动量相关的部分子分布函数的不同方法。这些量的相关的单圈异常尺寸，并相互比较。我们给出了赞成“纯类光”定义的论据，以及光锥规范的使用。
Q2-evolution of parton densities at small x values. Combined H1 and ZEUS F2 data
我们使用贝塞尔启发的行为的结构函数F2在小x，获得了一个平坦的初始条件下的DGstrom演化方程，与“冻结”和分析修改的强耦合常数，研究精确的组合H1和ZEUS数据的结构函数F2最近发表。
Probing small-x parton densities in proton- proton (-nucleus) collisions in the very forward direction
我们提出了几个pp散射截面在大型强子对撞机的潜在应用的计算。得到的动量分数x的速率非常大，可以低至10^-7，如果使用的探测器在最大速率下具有良好的接收能力，就可以将质子和原子核中的夸克和胶子密度提取到这么小的x值。
A Comparison of new MC-adapted Parton Densities
Pythia 8中包含了最新和最常用的部分子分布函数（PDF），包括来自MSTW和CTEQ合作的Monte Carlo适应PDF。本文探讨PDF的差异，以及它们对模拟结果的影响，并与CDF实验收集的数据进行比较。蒙特卡洛适应的PDF比领先和次领先的PDF在许多可观察性方面做得更好，但仍有进一步改进的空间。
Evolution program for parton densities with perturbative heavy flavor boundary conditions
本文描述了一种新的改进的最小减方案部分子密度的尺度演化程序。通过下一个到前导顺序，程序使用精确的分裂函数。在次到次到前导阶中使用近似分裂函数。为了提高效率，该程序包括分析结果的评价所需的积分的部分子的纵向动量分数的权重。它还结合了高阶微扰理论中的重味阈值匹配条件所需的算子矩阵元素。更有效地处理权重意味着该代码在所有操作模式下都比类似的进化代码快。该程序是用C语言编写的。
Nuclear Parton Densities and Structure Functions
我们用组分夸克模型计算了核的部分子分布函数。我们发现核中有界的Valon分布与核子中的自由Valon分布有关。利用原子序数为$A$的核的改进的有界Valon分布和Valon内部的部分子结构函数，可以计算$x$空间中的原子核结构函数.在某些$A$值下，原子核结构-功能比$F_2^A/F_2^D$的计算结果与实验数据符合得很好.
Probing nuclear parton densities and parton energy loss processes through photon + heavy-quark jet production in p-A and A-A collisions
本文对质子-核（p-A）和核-核（A-A）碰撞中伴随产生的瞬发光子和重夸克喷注（粲喷注或底喷注）进行了详细的唯象研究。对截面的主要贡献来自胶子-重夸克（gQ）引发的子过程，使得该过程对胶子和重夸克核部分子密度非常敏感。我们表明，未来的p-A数据收集在大型强子对撞机应该允许一个解开目前可用的各种nPDF集。在重离子碰撞中，光子的横动量可以用来测量大质量部分子的初始能量，而大质量部分子将在碰撞产生的致密QCD介质中传播。双粒子末态提供了一系列可观测量（喷流不对称性，光子-喷流对动量等），通过使用它们可以更好地理解大质量夸克扇区中的部分子能量损失过程，正如目前在LHC进行的Pb-Pb碰撞中进行的唯象分析所示。
Scale Dependence of Hadronic Wave Functions and Parton Densities
通过将光锥量子化中的强子波函数的分量与QCD真空和强子之间的一类夸克胶子算符的矩阵元系统地联系起来，研究了它们如何依赖于紫外截止.从这一点，我们得到了一个无限组的尺度演化方程的个别贡献的部分子分布的福克展开。当对所有的贡献求和时，我们恢复了著名的DGstrom方程。
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