On asymptotically good ramp secret sharing schemes
Cramer等人利用嵌套代数几何码对序列对线性斜坡秘密共享方案的渐近好序列进行了深入的研究。在这些作品中，重点是充分的隐私和充分的重建。在本文中，我们分析了额外的参数描述的渐近行为的部分信息泄漏，也可能部分重建提供一个更完整的图片的访问结构序列的线性斜坡秘密共享计划。我们的研究涉及到一个详细的治疗（相对）广义汉明重量所考虑的代码。
2017-02-02 cs.IT math.IT
Group codes over fields are asymptotically good
群码是有限域上有限群的群代数中的右理想或左理想。根据Bazzi和Mitter关于二元域上群码的思想，我们证明了具有任意特征的有限域上的群码都是渐近好的。
2020-01-20 cs.IT math.CO math.IT
A family of asymptotically good quantum codes based on code concatenation
我们明确地构造了一个无限族的渐近良好的级联量子稳定子码，外码使用CSS型量子Reed-Solomon码，内码使用一组特殊的量子码。在量子纠错码领域，这是第一次从坏码中导出一族渐近好的量子码。它的出现填补了量子编码理论的空白。
2008-12-31 cs.IT math.IT quant-ph
$\mathbb{Z}_2\mathbb{Z}_4$-Additive Cyclic Codes Are Asymptotically Good
构造了一类由多项式对生成的$\mathbb{Z}_2\mathbb{Z}_4$ -可加循环码，研究了它们的代数结构，得到了该类码的生成矩阵。利用概率论方法证明了：对于任意正实数$δ<1/3$，使得在$3δ/2$处的熵小于$1/2$，类中随机码的相对最小距离大于$δ$的概率几乎是$1$，随机码的速率等于$1/3$的概率也几乎是$1$ .作为一个明显的结果，$\mathbb{Z}_2\mathbb{Z}_4$ -可加循环码是渐近好的。
2019-11-21 cs.IT math.IT
Asymptotically Good Convolutional Codes
本文构造了新的渐近好的卷积码序列。这些序列是从达到Tsfasman-Vladut-Zink界的传递、自正交和自对偶分组码的序列中获得的。并通过扩展、扩充、删余、直和等技术，给出了|u| u+v|构造和乘积码构造的基础上，构造了更多新的渐近好的卷积码序列。此外，我们表明，这里提出的建议的建设方法也适用于所有序列的好分组码，其中存在lim kj/nj和lim dj/nj。
2018-03-28 cs.IT math.CO math.IT
Dihedral group codes over finite fields
Bazzi和Mitter [3]证明了二元二面体群码是渐近好的。本文证明了任何有限域上具有良好数学性质的二面体群码都是渐近好码。如果域的特征是偶数，我们构造了渐近好的自对偶二面角群码。当域的特征为奇数时，我们构造了渐近好的自正交二面角群码和渐近好的LCD二面角群码。
2021-07-02 cs.IT math.IT math.NT
Thresholds of Random Quasi-Abelian Codes
对于速率为$r$的随机准阿贝尔码，证明了GV界是一个阈值点：如果$r$小于在$δ$处的GV界，则随机码的相对距离大于$δ$的概率几乎为1;反之，如果$r$大于在$δ$处的GV界，则概率几乎为0。因此，存在许多渐近好的准阿贝尔码，其任何参数都达到GV-界。
2013-07-05 cs.IT math.IT
Asymptotically Good Quantum and Locally Testable Classical LDPC Codes
研究了在非交换群上利用提升积构造的经典和量子等码率LDPC码。我们证明了所得到的量子LDPC码族是渐近好的，从而证明了qLDPC猜想。此外，我们还证明了所产生的经典LDPC码也是渐近好的，局部可测试的恒定查询和可靠性参数，这证明了一个著名的猜想在局部可测试码领域。
2022-01-21 cs.IT math.IT quant-ph
Good and asymptotically good quantum codes derived from algebraic geometry codes
本文构造了几类新的具有好参数和渐近好参数的量子码。这些新的量子码是从（经典）代数几何（AG）码通过应用Calderbank-Shor-Steane（CSS）构造而得。这些码中的许多具有较大的最小距离时，其代码长度相比，它们有相对较小的单例缺陷。例如，我们构造了一个量子码族[[46; 2（t_2 - t1）; d]]_25，其中t_1，t_2是正整数，使得1 < t_1 < t_2 < 23 and d >= min {46 - 2t_2，2t_1-2}，长度n = 46，最小距离在2 =< d =< 20的范围内，具有Singleton缺陷4。此外，通过利用t点AG码，其中t >= 2，我们展示了如何获得渐近好的量子码序列。
2017-05-05 cs.IT math.IT quant-ph
Constructing Good Abelian Codes via Shift Bounds and Genetic Algorithms
Chaohu University（巢湖大学）；Jinan University（暨南大学）；Hefei University of Technology（合肥工业大学）
该研究通过广义移位界推导最小距离下界，结合遗传算法搜索，在F₃、F₄上得到优于Grassl表格的优良阿贝尔码，还可通过Construction X构造更多优良线性码，为发现未知参数线性码提供可行方法。
2026-08-20 cs.IT math.IT
The Concatenated Structure of Quasi-Abelian Codes
在（Jitman，Ling，（2015））中给出了将准阿贝尔码分解为更大字母表上的更短线性码，扩展了类似的准循环码的中国余数分解（Ling，Solé，（2001））。我们给出了一个级联分解的准阿贝尔码，并显示，在准循环的情况下，这两个分解是等价的。级联分解使我们能够给出准阿贝尔码的一般最小距离界，并构造出一些最优码。此外，我们通过例子表明，在某些情况下，最小距离界是尖锐的。此外，还给出了约半速率的大型严格准阿贝尔码的例子。级联结构也使我们能够得出结论，严格准阿贝尔线性互补对偶码在任何有限域上是渐近好的。
2019-03-26 cs.IT math.IT
Asymptotically good binary triorthogonal codes and higher-level transversal gates
Department of Mathematics Virginia Tech（弗吉尼亚理工大学数学系）
本文构造了从第三层起每层Clifford层级中支持对角横向门的渐近良好二元CSS码，首次得到渐近良好的二元三正交码族，并实现恒定开销的T态蒸馏。
2026-09-15 cs.IT math.IT quant-ph
Asymptotically good CSS codes that realize the logical transversal Clifford group fault-tolerantly
Dept. of ECE, IISc, Bengaluru（印度科学学院电子与电气工程系）
本文提出一种构造支持容错逻辑横贯Z旋转的CSS码框架，得到渐近优良的CSS码，实现逻辑横贯克莱因群，同时研究CSS-T码的性质与条件。
2026-04-07 cs.IT math.IT quant-ph
Refined analysis of RGHWs of code pairs coming from Garcia-Stichtenoth's second tower
[Asymptically good ramp secret sharing schemes，arXiv：1502.05507]利用函数域上的渐近好的塔定义的一点代数几何码，给出了斜坡秘密共享方案的渐近好的序列.它们的安全性由相应码的相对广义Hamming重量给出。在本文中，我们演示了如何获得精细的信息时，代码的余维是小的RGHW。对于一般余维，我们给出了最高RGHW的改进估计。
2015-11-19 cs.IT math.IT
Faster construction of asymptotically good unit-cost error correcting codes in the RAM model
假设我们是在一个字RAM模型与字大小$w$，我们表明，我们可以在$o(w)$时间构造一个纠错码与一个恒定的相对正距离，映射到$Θ(w)$位数的$w$位数，并使应用程序的纠错码对任何给定的数$x\in[0,2^w-1]$需要恒定的时间。我们的结果改善了以前提出的纠错码具有相同的属性，其建设时间是指数在$w$。
2014-09-14 cs.DS cs.IT math.IT
Consta-dihedral Codes over Finite Fields
在文献（Fan，Lin，IEEE TIT，vol.67，pp.5016-5025）中证明了有限域$F$上的自对偶（LCD）二面体码在$q$为偶数（分别为奇数）时是渐近好码。本文研究了$F$上的连续二面角码的代数性质和渐近性质，证明了：如果$q$是偶数或$4\,|\,(q-1)$，则自对偶连续二面角码是渐近好码;否则，LCD连续二面角码是渐近好码.并利用本文所发展的技术，纠正了上述文献中的一些错误。
2023-03-01 cs.IT math.IT
On shortened and punctured cyclic codes
循环码族的渐近良码的判别问题是编码理论中的一个长期悬而未决的问题。在文献中已知一些循环码族，例如BCH码和Reed-Solomon码是渐近坏的，然而一般来说，这个问题的答案是未知的。Nelson和Van Zwam最近的一个结果表明，所有的线性码都可以通过对一系列渐近好码~ \cite{Nelson_2015}进行删截和/或缩短而得到.本文证明了任何线性码都可以由某些循环码的删截序列得到。因此，通过缩短和/或打孔循环码可以获得所有码的结果留下了循环码是渐近好的的可能性。
2017-05-27 cs.IT math.IT
Construction of asymptotically good locally repairable codes via automorphism groups of function fields
由于在分布式存储中的实际应用以及理论上的兴趣，局部可修码近年来得到了广泛的研究。然而，到目前为止，对局部可修码的渐近性态的研究还不多。特别地，关于局部可修码渐近性态的构造性下界，目前还没有什么结果。本文利用函数场塔的自同构群推广了\cite{BTV17}的构造。我们的建筑的主要优点是允许更多的灵活性的地方。此外，我们表明，Gilbert-Varshamov型界的局部可修码可以改善所有足够大的字母大小$q$。
2017-11-21 cs.IT math.IT math.NT
Explicit and asymptotically good constructions of Algebraic Geometry codes in the sum-rank metric
Technical University of Denmark（丹麦技术大学）；University of Bordeaux（波尔多大学）
本文研究和秩度量下的线性化代数几何码，基于Ore多项式环的商环，提供显式、最优和渐近良好的构造。
2026-06-08 cs.IT math.AG math.IT
On the Complexity of Exact Maximum-Likelihood Decoding for Asymptotically Good Low Density Parity Check Codes
自Berlekamp，McEliece和van Tilborg的经典工作以来，一般线性码的精确最大似然译码问题是NP-难的。本文证明了一类渐近好的纠错码--扩展码，即低密度奇偶检验（LDPC）码的一种特殊情况--在二进制对称信道（BSC）上的精确ML译码是可能的，并具有预期的多项式复杂度.更准确地说，对于非平凡范围内的任何比特翻转概率$p$，存在非零支持率区域和一族渐进良好代码，其错误概率在编码长度$n$中呈指数衰减，对于该代码，ML解码在预期的多项式时间内是可行的。此外，当$p$接近零时，该速率区域接近信道容量区域。结果是基于多项式时间次优解码算法的存在，该算法提供ML证书和计算次优解码器产生ML解决方案的概率的能力。一个这样的ML证书解码器是费尔德曼的LP解码器，我们还提出了一个更有效的$O(n^2)$算法的基础上的工作Sipser和Spielman和福特-富克尔森算法。结果可以推广到AWGN信道，并建议它可能是可行的，以消除错误地板现象与消息通道解码的LDPC码在高信噪比制度。最后，我们观察到Berlekamp，McEliece和van Tilborg的论点可以用来表明，ML解码的考虑类的代码构造的LDPC码与规则的左度，其中考虑的扩展码是一个特殊的情况下，仍然是NP-难的，从而给出了一个有趣的对比之间的最坏情况和预期的复杂性。
2007-02-25 cs.IT math.IT
Efficient decoding up to a constant fraction of the code length for asymptotically good quantum codes
介绍并分析了一种能纠正线性权值对抗性错误的量子Tanner码的有效译码器。以前的量子低密度奇偶校验码解码器只能处理权值为$O(\sqrt{n \log n})$的对抗性错误。我们还研究了量子Tanner码和Panteleev和Kalachev的提升乘积码之间的联系，并表明我们的解码器可以适应后者。解码算法在顺序和并行过程之间交替，并且在线性时间内收敛。
2022-10-25 cs.CC cs.IT math.IT
Asymptotically good bosonic Fock state codes
Joint Center for Quantum Information and Computer Science (QuICS), UMD/NIST（量子信息与计算联合中心）；Institute for Systems Research, University of Maryland, College Park（马里兰大学学院公园分校系统研究所）；Department of ECE, University of Maryland, College Park（马里兰大学学院公园分校电子与计算机工程系）
本文研究了多模式费米子态编码在幅度阻尼噪声下的纠错特性，提出渐近优良的费米子态编码，通过随机经典码在离散单纯形中的应用，解决了传统编码在幅度阻尼噪声下的局限性。
2026-10-14 cs.IT math.IT quant-ph
Non-Abelian sheaf quantum LDPC codes: good and magical
Yau Mathematical Sciences Center, Tsinghua University（清华大学丘成桐数学科学中心）
本文通过杯积规范层丛码，构建了具有恒定编码率和线性距离的非阿贝尔qLDPC码族，并证明其码空间具有长程魔幻性，为超越Pauli稳定子的量子纠错码奠定基础。
2026-10-20 cs.IT math-ph math.IT
Asymptotically good CSS-T codes and a new construction of triorthogonal codes
本文提出从任意CSS码构造CSS-T码的系统方法，证明渐近优良二元及量子LDPC CSS-T码的存在性，并发展新的倍增变换以利用自正交码构造三正交码，拓宽魔法态蒸馏可用码的范围。
2025-06-20 cs.IT math.IT quant-ph
Asymptotic Properties of Quasi-Group Codes
这是为一本书准备的一章的手稿。好的码具有大的信息长度和大的最小距离。一类码被称为渐近好码，如果存在正实数$δ$，使得对于任何正整数$N$，我们可以在该类中找到码长大于$N$的码，并且速率和相对最小距离都大于$δ$。任何有限域上的线性码都是渐近好码。更有趣的是，（渐近）GV界是线性码的相变点;即，渐近地说，大多数线性码的参数达到GV-界。有限域上的循环码是一类重要的码，它是否是渐近好码是一个长期存在的问题。然而，从很久以前的准循环码的指数$2$被证明是渐近好的。本章包括我们对几类拟群码的渐近性质的一些研究。我们将以一种连贯和独立的方式解释这些研究。我们从线性码的经典结果开始。在许多情况下，我们考虑有限阿贝尔群上的拟群码（当然也包括循环群），并沿着两个方向研究它们的渐近性质：（1）当群的阶（余阶）趋于无穷大时，群的阶（余阶）是固定的;（2）当群的阶（余阶）趋于无穷大时，群的阶（余阶）是小的。最后，我们描述了二面角码的故事。二面体群是非交换的，但接近循环群（它们有指数为$2$的循环子群）。二元二面角码的渐近优良性是本世纪初得到的，最近又推广到一般二面角码。
2022-03-02 cs.IT math.IT
Asymptotically Good Quantum Codes with Transversal Non-Clifford Gates
本研究构造了恒定素数幂维度下支持横向CCZ门、码维与码距随分组长度线性增长的渐近优质量子码，解决了此前需增大字母表规模的难题，推导出开销指数趋于0的魔态蒸馏协议，并给出两种参数不同的构造方案。
2024-08-17 cs.IT math.IT quant-ph
Cubical Sheaf Complexes with Constant Expansion with Applications to Asymptotically Good qLTCs
University of Michigan, Ann Arbor（密歇根大学）；Carnegie Mellon University（卡内基梅隆大学）；Tsinghua University（清华大学）；University of Washington（华盛顿大学）
该论文构造了具有常数扩张的立方体层复形，其CSS码具备正速率、线性距离和常数健全性，从而得到渐近好的二元qLTC，核心是Reed-Solomon码的均匀乘积扩张定理。
2026-09-24 cs.CC cs.IT math.IT
