Generators for modules of vector-valued Picard modular forms
Fabien Cléry, Gerard van der Geer
本文构造了Eisenstein整数上（2，1）型酉群上向量值Picard模形式模的生成元.我们还计算了Hecke算子作用在尖点形式上的特征值。
We construct generators for modules of vector-valued Picard modular forms on a unitary group of type (2,1) over the Eisenstein integers. We also calculate eigenvalues of Hecke operators acting on cusp forms.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Picard modular forms and the cohomology of local systems on a Picard modular surface
我们为与酉相似群$\mathrm{GU}(2,1,\mathbb{Q}(\sqrt{-3}))$相关的皮卡模曲面上局部系统的上同调制定了一个详细的推测Eichler-Shimura型公式。该公式基于亏格为3的曲线上的有限域上的点的计数，这些曲线是射影线的循环三重覆盖。假设猜想，我们能够计算Picard模形式空间上的Hecke算子的迹。我们提供了充分的证据为结构公式。一路上，我们证明了关于Frobenius作用于任何亏格的循环三重覆盖的第一上同调群的特征多项式的新结果、Picard模形式空间的维数公式以及局部系统的数值欧拉示性数的公式。
A theta operator on Picard modular forms modulo an inert prime
研究了模惰性素数、模p和p-adic模形式的Picard模曲面的约化问题。我们在这种模形式上构造了一个theta算子，并研究了它的极点及其对Fourier-Jacobi展开式的影响。
Degeneration of Hodge structures over Picard modular surfaces
研究了Picard模曲面上Hodge结构的变形，并通过Baily-Borel紧化的尖点计算了其退化的权和类型.主要工具是Burgos和Wildeshaus定理。
Invariants of some compactified Picard modular surfaces and applications
利用Picard模群的主同余子群研究了紧化Picard模曲面的不变量.讨论了它在曲面分类和模形式中的应用。
A class number formula for Picard modular surfaces
研究了紧化Picard模曲面$X$在酉相似群$\mathrm{GU}(2,1)$上的中阶上同调的算术性质，其中$X$为虚二次扩张$E/\mathbf{Q}$ .我们构造了$X$上的新的Beilinson-Flach类，并计算了它们的阿基米德调节器.我们得到了一个特殊的值公式，涉及一个非临界$L$ -值的六次标准$L$ -功能，惠特克周期，和调节器。这为贝林森的猜想提供了证据。
Picard groups of Siegel modular threefolds and theta lifting
证明了Humbert曲面有理生成Siegel模三重的Picard群.
Generating Picard modular forms by means of invariant theory
我们使用描述的Picard模块表面的判别$-3$作为一个模空间的曲线属$3$生成所有向量值Picard模形式的行动${GL}_2$的双协变量的空间上的二元形式的双度$(4,1)$。度$4$和$1$的泛二元形式对应于权$(4,-2)$的亚纯模形式和权$(1,1)$的全纯爱森斯坦级数。
Vector valued modular forms on three dimensional ball
Cléry和van der Geer确定了二维球上向量值Picard模形式的某些模的生成元。本文考虑三维球在Picard模群$Γ_3[\sqrt{-3}]$上的作用.对应的3维模簇是塞格雷立方的一个拷贝。
A Picard modular fourfold and the Weyl group W(E_6)
我们研究几何的皮卡德模块四倍参数化交换四倍的Weil型领域的单位立方根。我们在射影5-空间中找到一个这个四重的射影模型作为一个奇异的十次超曲面X。外尔群W（E_6）作用在X上，我们给出了这种作用的一个明确的描述.此外，我们还刻画了X的各种特殊子簇和边界。
On higher regulators of Picard modular surfaces
本文证明Picard模曲面的动机类位于内部动机上同调群中，并建立其与动机L函数非临界值的关系，从而验证Beilinson猜想。
Rational curves on toroidal compactifications of Picard modular varieties
该研究改进了皮卡模簇环面紧化典范丛丰富性的维数界，构造了含特定有理曲线的无穷多不可公度非紧皮卡模簇，证明相关曲线在任意高维均存在。
On the geometry of a Picard modular group
研究了复双曲平面$H^2_\mathbb{C}$上Picard模群$Γ=PU(2,1,\mathcal{O}_7)$作用的几何性质，其中$\mathcal{O}_7$表示$\mathbb{Q}(i\sqrt{7})$中的代数整数环.我们列出了$Γ$中极大有限子群的共轭类，并给出了$Γ$中作为复反射镜的稳定子出现的Fuchsian子群的明确描述.作为应用，我们描述了$Γ$中指数$336$的显式无挠子群.
Chow-Kunneth decomposition for universal families over Picard modular surfaces
本文讨论了Holzapfel研究的一类Picard模曲面上具有复乘的Abel三重函数族的完全退化的绝对Chow-Kuenneth分解的存在性.除了工作的戈登，花村和Murre我们使用相对完整的模型的意义上的芒福德，法尔丁柴皮卡德模块表面，以描述完全退化的家庭的阿贝尔簇。利用VHS的$L^2$ --Higgs上同调与VHS的$L^2$ --de Rham上同调之间的非紧Simpson型对应，我们进一步证明了SU（2，1）中某些算术子群的不可约表示的上同调群的消失结果.局部系统的交上同调
Picard sheaves, local Brauer groups, and topological modular forms
证明了椭圆曲线的Brauer群同构于椭圆曲线的导出模栈的Brauer群。然后，我们计算局部Brauer群，即，Brauer群的子群，由模栈的某些étale覆盖平凡化，直到有限的2-挠群。
Torsion in 1-cusped Picard modular groups
本文给出了一个系统有效的方法来构造Picard模群$PU(2,1,\mathcal{O}_d)$作用的粗基本区，其中$\mathcal{O}_d$的类数为1，即$d=1,2,3,7,11,19,43,67,163$ .可以快速执行计算，直到值$d=19$。作为该方法的一个应用，我们对扭元的共轭类进行了分类，导出了共轭类的简短表示，并构造了小指标的整齐子群。
Differential equations satisfied by modular forms and K3 surfaces
研究了与$Γ_1\timesΓ_2$相关的模形式所满足的微分方程，其中$Γ_i (i=1,2)$是$SL_2(\mathbf R)$的亏格零子群，可与$SL_2(\mathbf Z)$等价，例如，$Γ_0(N)$或$Γ_0(N)^*$。在一些示例中，这些微分方程被实现为具有大皮卡德数的K3曲面族的皮卡德-富奇微分方程，例如，$19, 18, 17, 16$。我们的方法重新发现了一些Lian-Yau的例子"模块关系“涉及幂级数解的第二和第三阶微分方程的Fuchsian型在[14，15]。
Constructing vector-valued Siegel modular forms from scalar-valued Siegel modular forms
本文给出了由标量值Siegel模形式构造向量值Siegel模形式的一种简单方法。该方法是有效的，在生产的兄弟三角洲，最小的重量尖点形式，出现在低程度。它还显示了不同属的这些模形式之间的强关系。我们通过一些例子来说明这一点。
Vector valued modular forms and the modular orbifold of elliptic curves
本文从几何的角度给出了全纯向量值模形式的理论。更精确地说，我们在截面为向量值模形式的广义椭圆曲线的模轨道上定义了某些全纯向量丛。这种观点简化了理论，并阐明了SL_2（Z）表示的指数在向量值模形式的全纯理论中所起的作用。此外，它允许人们使用代数几何中的标准技术来推导自由模定理和维数公式（以前由其他作者使用不同的技术推导出），通过识别具有加权投影线P（4，6）的模orbifold。
Generators for a module of vector-valued Siegel modular forms of degree 2
本文将描述所有的二次向量值Siegel模形式和权为${\rm Sym}^6({\rm St}) \otimes \det^{k}({\rm St})$且$k$为奇数的向量值Siegel模形式.这些向量值形式构成了一个2次偶数权的经典Siegel模形式环上的模，并且这个模是自由的。为了找到生成元，我们推广了某些Rankin-Cohen微分算子的经典Siegel模形式，首先考虑由Ibukiyama的三元组，我们发现一个Rankin-Cohen括号向量值Siegel模形式。
Vector valued hermitian and quaternionic modular forms
推广文[FS 3]的方法，我们证明了向量值模形式的三个结构定理，其中两个对应于四维情形（两个厄米特模群，一个属于Eisenstein数域，另一个属于Gauss数域）.一个对应于6维情形（四元数模群）。
Covariants of binary sextics and vector-valued Siegel modular forms of genus two
我们扩展Igusa的描述之间的关系不变量的二进制sextics和西格尔模形式的程度2之间的关系协变量和向量值西格尔模形式的程度2。我们展示了如何使用这种关系来有效地计算Siegel模形式的二次傅立叶展开。
Siegel modular forms of genus 2 and level 2
研究亏格为2和水平为2的向量值Siegel模形式。本文给出了标量值模形式环上向量值模形式模的结构。
Vector Valued Siegel Modular Forms for Γ_2[2,4] and Sym^2
本文给出了Igusa子群Γ_2[2，4]的向量值Siegel模形式的两个结构定理，即由theta常数诱导的乘子系和表示Sym ^[2].在证明中，我们用P^3 \C上具有易解极点的有理张量来确定这些模形式中的一些。由此可见，模形式的观测模是由第二类4 θ级数的Rankin-Cohen括号生成的。
On vector-valued Siegel modular forms of degree 2 and weight (j,2)
我们提出了一个猜想，描述了权Sym^j det^2的2次2级的向量值Siegel模形式，并给出了一些证据.我们利用二元六次函数的协变构造了权（j，2）的这种模形式，并计算了它们的Fourier展开式，说明了利用协变方法的有效性.两个附录包含相关的结果Chenevier;特别是证明的事实，即每模形式的程度2和水平2和重量（j，1）消失。
Vector-valued orthogonal modular forms
本专著系统建立符号为(2,n)正交群的向量值模形式理论，重点研究第二个Hodge丛的性质与核心作用，并由此推导出小权向量值模形式的最优消失定理。
Dimension formulas for spaces of vector-valued Siegel modular forms of degree two and level two
本文结合局部系统上同调描述与 Euler 特征计算，求得了二阶二级向量值 Siegel 模形式空间在 6 个字母对称群下的同型分解。
K3 Surfaces and Orthogonal Modular Forms
本文研究了具有特定自同构群和Picard秩的K3曲面的模形式生成元，并通过Weierstrass型方程揭示其结构。
A few remarks on sections of the Picard bundle of family of curves
本文研究一族曲线的皮卡束截面的秩与模维的关系，通过格里菲斯公式和施菲变分建立数值不等式，并在模映射主导时得到精确分类，应用于平面曲线和五次曲线的几何结果。
Covariants of binary sextics and modular forms of degree 2 with character
我们利用二元六次曲线的协变来描述偶权标量Siegel模形式环上的标值Siegel模形式或向量Siegel模的结构.对于由协变式定义的模形式，我们用协变式表示沿椭圆曲线乘积轨迹的消失阶。
Concomitants of Ternary Quartics and Vector-valued Siegel and Teichmüller Modular Forms of Genus Three
我们展示了如何使用三元四次数的表示论来构造3度的所有向量值Siegel模形式和Teichmüller模形式。双二次曲线轨迹上伴随项的消失阶与超椭圆轨迹上对应的模形式的消失阶之间的关系起着重要的作用。我们还确定了\overline{M}_g上的Teichmüller尖点形式与M_g上辛局部系统的中上同调之间的联系。在亏格3中，我们在大量情况下明确了这一点。
Siegel modular forms mod p
证明了特征p不等于2的域上亏格g>1的具有水平结构N的主极化阿贝尔簇模叠加的一个形式的消灭定理.这用于计算这些堆栈的Picard群。作为应用，我们得到了Siegel积分模形式之间的一个同余关系.
On the interior motive of certain Shimura varieties: the case of Picard surfaces
本文的目的是构造一个Hecke-等变Chow动机，它的实现等于正则代数系数Picard曲面的内（交）上同调.因此，我们能够定义Picard模形式的Grothendieck动机.
On the structure of modules of vector valued modular forms
如果$ρ$表示$\textbf{SL}_2(\textbf{Z})$的有限维复表示，则已知$ρ$的向量值模形式的模$M(ρ)$是自由的，并且在水平1的标量模形式的环$M$上具有有限秩。本文对$M(ρ)$的结构进行了全面的研究。在我们的结果是绝对的上限和下界，只依赖于$ρ$的尺寸，对发电机的重量$M(ρ)$，以及上界的多重性的发电机的重量$M(ρ)$。我们提供的证据，计算和理论，一个更强的三项多重约束可能持有。建立多重性界限的一个重要步骤是证明$M(ρ)$存在一个自由基，其中模导数算子的矩阵不包含重量为6的爱森斯坦级数$E_6$的任何副本。
Modular forms on the moduli space of polarised K3 surfaces
研究了2d阶极化K3曲面的模空间F_{2d}.我们计算所有的关系Noether-Lefschetz因子对这些模空间d到50左右。这导致一个非常具体的描述理性皮卡群的F_{2d}。我们展示了如何确定的理性皮卡德群中的关系的边界组件的系数，给F_{2d}的（环形）紧化的关系。我们得出结论，从这一Kodaira方面的F_{2d}，在许多情况下，证实早期的结果由Gritsenko，Hulek和Sankaran，并在两种情况下，给出了一个新的结果。这是同一作者的博士论文的删节版。
Tautological modular forms of level two and degree two
通过构造特定的向量值模形式，研究二重水平的Siegel模形式，并揭示其与双曲曲线模空间的紧密联系。
Heat equation for theta functions and vector-valued modular forms
给出了由奇异标量值模形式构造向量值模形式的一种新方法。作为一个应用，我们证明了两个显着的向量值模形式，这似乎是不相关的第一次看，因为它们是在两个非常不同的方式构建的空间之间的身份。如果$V_{grad}$是由奇θ函数的梯度构成的向量值模形式生成的向量空间，$V_Θ$是由二阶θ常数的梯度构成的向量值模形式生成的向量空间，我们将证明$V_{grad}=V_Θ$ .这个结果也可以证明为θ函数的“热方程”的结果。
Basic vector valued Siegel modular forms of genus two
研究了环上的标值Siegel模形式.二次向量值模形式的模。对于两个最简单的表示，标准和Sym^2，考虑群$Γ[4,8] $和$Γ[2,4].$的情况似乎是相当自然的。在这些情况下，我们给出模的完整结构。主要工具是在$z=0$中计算的θ函数及其导数
On the converse theorem for Borcherds products
我们证明了一个新的逆定理Borcherds的乘法θ提升，改进了以前已知的结果。为此，我们开发了一个新的形式理论向量值模形式的Weil表示，这可能是独立的利益。我们还得到了与正交群相关的Picard群和模簇的全纯高次微分形式空间的秩的下界。
A three dimensional ball quotient
结合我们以前关于Siegel三重模型的研究，我们考虑了属于酉群$\U(1,3)$的球代数.在本文中，我们确定了一个非常特殊的例子皮卡德模簇的一般类型。我们确定了模形式的环。这个代数有25个生成元，15个权为1的模形式$B_i$和10个权为2的模形式$C_j$。两者都将作为Borcherds产品出现。我们决定关系的理想。形式$C_i$是尖瓣的。它们的平方定义了非奇异模型上的全纯微分形式。
Nonabelian Hodge theory and vector valued modular forms
本文研究了黎曼曲面的非交换Hodge理论与向量值模形式理论之间的关系。特别是，我们解释了如何使用这种关系来证明一个代数三项不等式的自由基的向量值模形式的权重相关联的复杂的，有限维的，不可约表示的模群。这个猜想是已知的不可约酉表示和所有不可约表示的维数最多为12。我们证明了新的实例的三项不等式的某些非酉表示，对应于一类最大分解的变化的霍奇结构，通过考虑相同的不等式相对于一种新的类型的模形式，称为“希格斯形式”，自然产生的Dolbeault一侧的nonabelian霍奇理论。本文最后讨论了一个战略，减少一般情况下的幂零希格斯束的情况下，我们的主要定理。
Vector-valued modular forms and the Gauss map
利用θ函数在奇两扭点处的梯度--被认为是向量值模形式--在主极化阿贝尔簇的模空间上构造全纯微分形式，并利用两扭点的高斯象刻画可分解阿贝尔簇的轨迹.
Normal Forms, K3 Surface Moduli, and Modular Parametrizations
本文研究的几何对象是K3曲面，它允许由签名（1，17）的唯一偶幺模格极化。关于这类特殊的K3曲面的一个标准Hodge理论观察是，它们的极化Hodge结构与作为椭圆曲线的笛卡儿积的阿贝尔曲面的极化Hodge结构相同。前两位作者的早期工作给出了这些曲面的模空间的一个明确的标准形和构造。在目前的工作中，这个规范形式是用来推导Picard-Fuchs微分方程满足这些表面的周期。我们还研究了极化增强的模空间的子轨迹。在这些情况下，我们得到的信息Picard Fuchs微分方程满足这些子族的周期，我们将此信息的理论属零平行的上半平面的月光集团。为了比较，我们还研究了维尔斯特拉斯形式的椭圆曲线的类似理论。
Elliptic modular graph forms, equivariant iterated integrals and single-valued elliptic polylogarithms
通过等变迭代积分和单值椭圆多项式对数构造单值椭圆模形式
Gromov-Witten theory and cycle-valued modular forms
本文证明了权为（3，3，3），（4，4，2），（6，3，2）的椭圆轨道线的Gromov-Witten圈的母函数是圈值拟模形式.这是Milanov和Ruan在圈值水平上工作的推广。首先，我们构造了一个简单椭圆奇点（模扩张问题）的整体上同调域论（CohFT），并证明了它的模性。然后，我们利用Teleman的重构定理证明了圈值水平上的镜像定理，并将其与相应轨道的Gromov-Witten CohFT相匹配，解决了Gromov-Witten CohFT的扩张性质，并导出了其模性.
Vector-Valued Modular Forms from the Mumford Form, Schottky-Igusa Form, Product of Thetanullwerte and the Amazing Klein Formula
向量值Siegel模形式是经典椭圆模形式的自然推广，通过研究泛阿贝尔簇的上同调可以看出。我们表明，对于g>=4，一类新的向量值模形式，定义在Teichmuller空间，自然出现从芒福德形式，一个问题直接相关的肖特基问题。在此框架下，我们证明了亏格为4的复曲线的二次曲面的判别式与Thetanullwerte χ_{68}乘积的平方根成正比，这是最近重新发现的Klein“惊人公式”的一个证明.此外，我们发现这样一个二次曲面的系数是在雅可比轨迹上求出的Schottky-Igusa形式的导数，这意味着新的θ关系涉及后者、χ_{68}和对应于偶幺模格E_8 \oplus E_8和D_{16} ^+的θ级数。我们还发现，g=4，之间的函数关系的奇异分量的θ因子和黎曼周期矩阵。
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