Structured and Decorated Cospans from the Viewpoint of Double Category Theory
本研究利用双范畴论核心概念简化推广结构化与装饰余跨框架，证明其双范畴的余笛卡尔与装备性质，借助双格罗滕迪克构造给出装饰余跨新构造并实现自然推广。
2023-12-14 math.CT
Cubical cospans and higher cobordisms (Cospans in algebraic topology, III)
在分别讨论了弱立方范畴和{ \it collarable}余跨距的两篇文章之后，我们综合起来构造了拓扑空间的立方{ \it collared}余跨距的{\it weak}立方范畴.我们还建立了第二个结构，称为{ \it quasi}立方范畴，形成的任意立方cospans连接同伦推出。这种结构更简单但更弱，具有{ \it lax}恒等式。它包含了一个类似的框架，cobordisms的流形与角落，因此可能是基础，以扩大研究的TQFT的第二部分，以更高的立方度。
2008-06-14 math.AT math.CT
A bicategory of decorated cospans
如果$\mathbf{C}$是一个具有回调的范畴，那么存在一个双范畴，其对象与$\mathbf{C}$相同，span作为态射，span的映射作为2-态射，如Benabou所示。Fong提出了“装饰”余跨度理论，它是$\mathbf{C}$中的余跨度，具有额外的结构。这个额外的结构产生于一个松散的对称monoidal函子$F \colon \mathbf{C} \to \mathbf{D}$ ;我们使用这个函子来“装饰”每个cosspan与顶点$N \in \mathbf{C}$和一个元素$F(N)$。利用Shulman的一个结果，我们证明了当$\mathbf{C}$有有限余极限时，修饰余跨距是对称monoidal双范畴中的态射.我们说明我们的建设与电气工程和化学反应网络理论的例子。
2017-09-19 math.CT
The more legs the merrier: A new composition for symmetric (multi-)lenses
透镜是一个范畴理论的构造，并在各种各样的应用中使用。对称透镜组合，当然，形成新的对称透镜。对称透镜通常表示为非对称透镜的跨距。在许多应用中，对称透镜也可以表示为非对称透镜的共跨距的事实是重要的，特别是对于实现目的。然而，对称透镜的组合并不保持透镜可以由cosspan表示的性质-两个这样的对称透镜可以（并且经常）组合以形成不能被表示为非对称透镜的cosspan的对称透镜。因此，保留因式分解以显示如何在实现中使用非对称透镜的共跨距变得重要。2018年，第一个多镜头工作开始了。多透镜可以表示为多跨距的非对称透镜（通常称为“宽跨距”，这些跨距具有任意有限数量的腿）。在本文中，我们分析了一个小的，但现实的例子，供应链中的cospan表示将'组成了'由普通对称透镜组成，并介绍了一种新的组成，我们称之为'融合'，其中两个普通对称透镜（具有两条腿的跨度）融合以形成具有三条腿的多透镜，并且更一般地，两个对称的多透镜，具有例如m和n个腿的跨距融合以形成具有m+n-1个腿的对称多透镜，再次保持cosspan表示。
2021-01-26 math.CT
Topological field theories associated with Calabi-Yau categories
本文构造迭代 Calabi-Yau cospan 的对称幺半高阶范畴，并给出适用于逗号范畴的一般函子性程序，从而将 AKSZ 完全扩展 TFT 分解为取值于迭代 Calabi-Yau cospan 的完全扩展 TFT。
2024-10-23 math.AG math.AT math.CT
Rigid Algebras and Cospans
Einstein Institute of Mathematics, Hebrew University of Jerusalem（希伯来大学爱因斯坦数学研究所）
本文引入刚性代数概念，将其推广到任意对称幺半$(\infty,2)$-范畴，并证明刚性代数的$(\infty,2)$-范畴实际上是$(\infty,1)$-范畴；通过余跨构造与刚性交换代数的$(\infty,1)$-范畴之间的伴随关系，建立了与给定$(\infty,1)$-范畴的典范等同。
2026-05-22 math.AT math.CT
Locally (co)Cartesian fibrations as realisation fibrations and the classifying space of cospans
我们证明了Steimle的"协边范畴的可加性定理"中的条件可以被削弱到只需要\emph{locally}（co）笛卡尔纤维化，使得它适用于更大的一类函子.作为应用，我们计算了有限集余跨距的无穷范畴与其同伦范畴在分类空间上的差别。
2022-03-23 math.AT math.CT math.KT
Open Systems: A Double Categorical Perspective
Fong开发了“装饰cospans”来模拟各种开放系统：即具有输入和输出的系统。在这个框架中，开放系统被看作是范畴的态射，并且可以这样组成，允许更大的开放系统从更小的系统建立起来。在这个方向上已经做了很多工作，但有一个问题：修饰余跨度之间的同构概念往往限制太多。在这里，我们介绍并比较了两种解决这个问题的方法：结构化的cospans，和一个新版本的装饰cospans。结构化cosspan非常简单：给定一个函子$L \colon \mathsf{A} \to \mathsf{X}$，“结构化cosspan”是$\mathsf{X}$中的一个图，形式为$L(a) \rightarrow x \leftarrow L(b)$。若$\mathsf{A}$和$\mathsf{X}$有有限余极限，且$L$是左伴随，则存在一个对称幺半范畴，其对象是$\mathsf{A}$的对象，其态射是结构余跨距的同构类.然而，这个范畴产生于一个更基本的结构：一个对称的monoidal double范畴。在一定条件下，这个对称monoidal双范畴等价于用我们的新版本的装饰cospans构造的范畴。我们将这些思想应用到对称么半群双范畴的开放电路，开放马尔可夫过程和开放Petri网。
2020-08-05 math.CT
Double Bicategories and Double Cospans
对弱三次n-范畴的兴趣出现在各种背景下，特别是在拓扑域论中。本文描述了双双范畴的概念，即Bicat双范畴理论的严格模型。我们表明，在一个特殊的情况下，可以减少这一点，我们称之为一个Verity双bicategory后，Domenic Verity。这是一个双重范畴的弱化版本，在这个意义上，水平和垂直方向上的复合满足结合性和单位律，直到（连贯的）同构。我们证明，有例子的形式双bicategories的“双cospans”（或“双跨度”）在任何类别的推出（拉回，分别），并给出了一个建设从这个涉及同构类的对象，并给出了一个Verity双bicategory的双cospans。我们描述了这种结构的一个例子，与角的配边。
2009-07-09 math.CT math.QA
Hypergraph Categories
超图范畴已经被重新发现了至少五次，有各种各样的名称，包括得到很好支持的紧致闭范畴、dgs-幺半范畴和地牢范畴。也许它们不断被重新发明的原因是双重的：有许多应用-包括自动机、数据库、电路、线性关系、图重写和信念传播-但标准定义是如此复杂和华丽，以至于很难在文献中找到。实际上，超图范畴，粗略地说，是一个“对称的幺半范畴范畴，其中每个对象都具有一个特殊的交换Frobenius幺半群的结构，满足一定的相干条件”。幸运的是，这种描述可以简化很多：超图范畴只是一个“cosan代数”。本文的目标是删除惊吓引号，使前面的陈述准确。我们证明了两个主要定理。第一个是超图范畴的凝聚定理，即每一个超图范畴都等价于一个无对象超图范畴。其次，我们证明了无对象超图范畴范畴等价于余生成代数范畴。
2019-01-18 cs.LO math.CT
Decorated Corelations
设$\mathcal C$是一个具有有限余极限的范畴，$(\mathcal E,\mathcal M)$是$\mathcal C$上的一个因子分解系统，且$\mathcal M$在推出下是稳定的.对于态射余跨度为$\stackrel{c}\to \stackrel{m}\leftarrow$形式的对称monoidal范畴，本文给出了由对称lax monoidal函子$F\colon (\mathcal C; \mathcal M^{\mathrm{op}},+) \to (\mathrm{Set},\times)$构造范畴的方法，其中$c \in \mathcal C$和$m \in \mathcal M$为$\stackrel{c}\to \stackrel{m}\leftarrow$.在这个范畴中的态射，称为\emph{decorated corelation}，包括（i）在$\mathcal C$中的cosspan $X \to N \leftarrow Y$，使得规范配对$X+Y \to N$位于$\mathcal E$中，以及（ii）$FN$的元素。修饰相关范畴之间的函子可以从修饰函子$F$之间的自然变换中构造。这为构造超图范畴及其函子提供了一种一般方法。超图范畴是指每个对象都是一个特殊的可交换Frobenius幺半群的对称幺半群范畴。这样的范畴对于建模网络语言是有用的，…
2017-03-29 cs.LO math.CT
Constructing Span Categories From Categories Without Pullbacks
跨度范畴为形式化某些系统的数学模型提供了一个抽象框架。一些系统的数学描述，如经典机械系统，需要没有拉回的范畴，这限制了跨度范畴作为形式框架的效用。给定范畴$\mathscr{C}$和$\mathscr{C}^\prime$以及从$\mathscr{C}$到$\mathscr{C}^\prime$的函子$\mathcal F$，我们引入了$\mathscr{C}$中cosspan的$\mathcal F$拉回的概念，以及$\mathcal F$的span紧密性的概念。如果$\mathcal F$是紧跨度的，那么我们可以形成一个广义跨度范畴${\rm Span}(\mathscr{C},\mathcal F)$，并绕过$\mathscr{C}$不能有回调的技术困难。${\rm Span}(\mathscr{C},\mathcal F)$中的组合使用$\mathcal F$ -回调而不是回调，因此与${\rm Span}(\mathscr{C})$类别不同，但当$\mathscr{C}$都有回调且$\mathcal F$是单位函子时，则简化为${\rm Span}(\mathscr{C})$类别。
2023-03-01 math.CT
The Lawvere condition and a classification theorem for Mal'tsev categories
证明了三种不同类型的Mal'tsev范畴的一个分类定理。该定理给出了Mal'tsev范畴、自然Mal' tsev范畴和弱Mal'tsev范畴的一个分类。所有跨距的类自然地刻画了马尔采夫范畴。关系类（即联合单态跨度）刻画了马尔采夫范畴。强关系类（即联合强单态跨度）刻画弱马尔采夫范畴。这个结果是基于内部范畴结构的唯一性，如内部范畴和内部广群（Lawvere条件）。这些结构的唯一性被视为其基础的自反图的属性，仅限于分类跨度。分类跨度类相结合，通过一个新的兼容性条件，与分裂广场。这类似于跨度和余跨度之间的正交性。其结果是一个一般的分类计划，其中包括主要的特征Mal'tsev类范畴。正关系类最近被证明是Goursat范畴的特征，因此它是适合这个一般方案的一个新例子。
2019-02-20 math.CT
Exponentiable Virtual Double Categories and Representability of Exponentials
University of Illinois Urbana-Champaign（伊利诺伊大学厄巴纳-香槟分校）；Topos Institute（托波斯研究所）
本文研究了虚拟双范畴的可指数性，通过细胞分解的存在性给出了等价刻画，并证明了余弦的虚拟双范畴、伪双范畴以及可指数多范畴的可指数性，同时给出了虚拟双范畴的虚拟双函子的复合条件。
2026-05-20 math.CT
Spans in 2-Categories: A monoidal tricategory
本文给出了Trimble的四范畴定义，证明了具有一定极限的（严格）2-范畴中的跨距具有monoidal三范畴的结构，定义为单对象四范畴。我们回顾一些概念的限制在2范畴的建设中使用的monoidal三范畴的跨度。
2013-09-18 math.CT
Cartesian Double Categories with an Emphasis on Characterizing Spans
在这篇论文中，我们引入了笛卡尔双范畴，其动机是Carboni，Kelly，Walters和Wood关于笛卡尔双范畴的工作。从双范畴转移到稍微更一般化的双范畴概念，使我们能够将整个理论置于双范畴的受欢迎的2-范畴内，并克服在一般双范畴内处理左伴随伴随所引起的技术问题。我们特别感兴趣的是也是互逆的笛卡尔双范畴。本文在描述了笛卡尔双范畴和非笛卡尔双范畴的一些重要性质之后，给出了Spans双范畴是笛卡尔双范畴的一个刻划。最后，我们讨论了profunctors，并给出了一个潜在的框架，他们的特征笛卡尔双范畴。
2018-09-18 math.CT
Module Categories As Spans
SDU（南丹麦大学）
本文提出在一般单子2-范畴中模块与代数跨度之间的对应关系，并通过统一和推广模块函子的实现来展示其理论价值。
2025-12-02 math.CT
Quotients of span categories that are allegories and the representation of regular categories
我们考虑范畴C中的态射的跨距（的同构类）的普通范畴Span（C），它具有有限的极限，通过拉回水平组合，并给出Span（C）的商是寓言的一般判据.特别地，当C带有拉回稳定的但不一定是真的（E，M）-分解系统时，我们建立了一个与C中M-关系范畴Rel_M（C）同构的商范畴Span_E（C），并证明了当M是C中的单态映射类时，它是一个（酉的和表式的）寓言.如果没有这个限制，仍然可以找到一个最小拉回稳定和组合封闭的类E。其中，E是E，(C)是一个单一的表格式寓言。用这种方法，我们得到了2-函子的一个左伴随，它给每一个酉表寓言分配了它的Lawverian映射的正则范畴。利用正则范畴的Fredom-Scedrov表示定理，我们得到了每一个具有稳定分解系统的完全范畴都有一个到正则范畴的巨2-范畴的反射.
2021-12-08 cs.LO math.CT
Internalization and enrichment via spans and matrices in a tricategory
本文在1-严格三范畴$V$中引入了矩阵和跨距的范畴$\M$和$§$内部范畴，这些范畴是由双范畴、伪函子、自然变换和修改组成的三范畴$\Bicat_3$.它们的水平三范畴是$V$中矩阵和跨距的三范畴。内部结构和丰富结构都是1范畴中相应结构的三范畴化。在\cite{FGK}之后，我们引入了单子和它们在三范畴内部范畴中的垂直态射。本文证明了1-严格三范畴$V$中矩阵$\M$和跨距$§$的内部范畴等价的一个等价条件，并推导出在这种情况下它们对应的（严格）单子范畴和垂直单子态射范畴也是等价的.我们证明了后者的范畴是同构的范畴丰富和离散内部的$V$，分别。作为我们的三范畴构造的副产品，我们从\cite{Fem}中恢复了一些结果。截断到1-范畴，我们恢复结果从\cite{CFP}和\cite{Ehr}的等价性丰富和离散内部1-范畴。
2022-07-27 math.CT
Crossed modules of monoids I. Relative categories
这是第一部分的一系列的三个强烈相关的文件中，三个等价的结构进行了研究：-内部类别的类monoids;定义的拉回相对于一类选定的跨度-交叉模块的monoids相对于这一类的跨度-单纯monoids的所谓摩尔长度1相对于这一类的跨度。所涵盖的幺半群最重要的例子是小范畴（在跨度范畴中被视为幺半群）和对称幺半范畴中的双幺半群（在余范畴中被视为幺半群）。在这第一部分中，相对拉回的理论是制定导致一个相对范畴的定义。
2018-03-09 math.CT math.QA
Deconstructing span categories for profinite groups
Queen's University Belfast（贝尔法斯特女王大学）
本文研究了 profinite 组的 span 类别如何作为其开正规子群商的 span 类别的极限，并应用于同调代数领域。
2026-01-14 math.AT math.CT
Using Monoidal Categories in the Transformational Study of Musical Time-Spans and Rhythms
迄今为止，转换音乐理论主要集中在研究作用于音乐和弦的群，其中最著名的例子是二面体群D24对大和弦和小和弦的作用。相对较少的工作一直致力于研究的时间跨度和节奏的转变。D.卢因是第一个研究群作用的时间跨度，通过使用一个小组的仿射群在一个维度。在我们以前的工作中，Lewin的工作已经包含在更一般的群扩展框架中，并且已经提出了对多个时间轴上的时间跨度的推广。本文的目的是表明，这样的推广有一个范畴的背景下，自由幺半范畴产生的组作为范畴。特别是，对称的幺半范畴允许处理时间线之间可能的相互交换。我们还表明，可以考虑更一般的时间跨度，其中单个时间跨度封装在一个“括号”的时间跨度，这使得复杂的节奏的描述。
2013-08-06 math.CT math.GR
An alternative characterisation of universal cells in opetopic n-categories
我们解决的事实是，在opetopic弱n-范畴的组合一般不是唯一的，因此不是一个定义良好的操作。我们定义复合与一个给定的k-细胞在一个n-范畴的跨度（n-k）-范畴。我们把这样一个胞腔称为泛胞腔，如果它的合成跨度给出了（n-k）-范畴的等价.
2003-04-21 math.CT
Crossed modules of monoids II. Relative crossed modules
这是第二部分的一系列的三个强烈相关的文件中，三个等价结构进行了研究：-内部类别的类monoids;定义方面的拉回相对于一类选定的跨度-交叉模块的monoids相对于这一类的跨度-单纯monoids的所谓摩尔长度1相对于这一类的跨度。所涵盖的幺半群最重要的例子是小范畴（在跨度范畴中被视为幺半群）和对称幺半范畴中的双幺半群（在余范畴中被视为幺半群）。在第二部分中，我们定义了幺半群的相对交叉模，并证明了它们与第一部分中的相对范畴等价。
2018-03-12 math.CT math.QA
The stack of higher internal categories and stacks of iterated spans
在本文中，我们表明，两个结构形成堆栈：第一，作为一个变化的$\infty$ -拓扑，$\mathcal{X}$，Lurie的同伦理论的高阶范畴内部$\mathcal{X}$变化的方式，以形成堆栈的$\infty$ -范畴的所有$\infty$ -拓扑。其次，我们表明，Haugseng的建设高阶范畴的迭代跨度在一个给定的$\infty$ -拓扑（配备本地系统）可以用来定义各种堆栈上的$\infty$ -拓扑。作为这些结果的先决条件，我们讨论的属性，其中限制的$\infty$类继承的$\infty$类组成的图。例如，Riehl和Verity已经证明，拥有给定形状的（co）极限是遗传的。将他们的结果稍加推广，我们证明了具有给定类型的Kan扩张是遗传的，更一般地，函子的伴随性是遗传的。
2015-06-29 math.AT math.CT math.SG
Double categories of relations relative to factorisation systems
本文通过稳定正交因子分解系统相对化关系双范畴，提出两种特征刻画方法，并系统关联多种双范畴类别与因子分解系统，涵盖正则范畴上的跨距和关系双范畴，与现有工作进行了比较。
2025-01-23 math.CT
Hopf polyads, Hopf categories and Hopf group monoids viewed as Hopf monads
我们以函子的方式将monoidal双范畴$\mathsf{Span}| \mathcal V$与任何monoidal双范畴$\mathcal V$联系起来。这种构造的两个例子特别有趣：在$\mathsf{Span}| \mathsf{Cat}$中，Hopf多面体（由于Bruguières）可以被看作是Hopf单子，而在幺半范畴$V$中的Hopf群幺半群（根据Turaev和Zunino的精神），以及$V$上的Hopf范畴（由Batista，Caenepeel和Vercruysse）都被证明是$\mathsf{Span}| V$中的Hopf单子。霍普夫群幺半群和霍普夫范畴是一种特殊类型的幺半群上的霍普夫单子，适合最近由Böhm和Lack研究的框架。这些例子是由一个monoidal伪函子$V\to \mathsf{Cat}$相关的。
2017-09-22 math.CT
Representing the language of a topos as quotient of the category of spans
本文通过 span 范畴的商刻画拓扑斯语言，并分析由逻辑关系诱导的商，进而证明以逻辑函子为态射时 Boolean 拓扑斯范畴构成拓扑斯范畴的反射子范畴。
2025-10-05 math.CT
Crossed modules of monoids III. Simplicial monoids of Moore length 1
这是最后一部分的一系列的三个强烈相关的文件中，三个等价的结构进行了研究：-内部类别的类monoid;定义方面的拉回相对于一类选定的跨度-交叉模块的monoid相对于这一类的跨度-单纯monoid的所谓摩尔长度1相对于这一类的跨度。所涵盖的幺半群最重要的例子是小范畴（在跨度范畴中被视为幺半群）和对称幺半范畴中的双幺半群（在余范畴中被视为幺半群）。第三部分分析了相对单纯幺半群。引入了它们的Moore长度，证明了Moore长度为1的相对单纯幺半群与第一部分中的相对幺半群范畴的等价性。这个等价性在一个方向上通过在前两个度截断单纯幺半群得到;在另一个方向上通过取相对范畴的单纯神经得到。
2018-03-13 math.CT math.QA
Two-variable fibrations, factorisation systems and $\infty$-categories of spans
本文在Barwick适当三元组框架下证明张成空间$\infty$-范畴的万有性质，引入正交适当三元组并证明其自等价性，进而统一推广了展开定理、正交分解系统、双变量纤维化及参数化伴随等多个范畴论结果。
2023-09-20 math.AT math.CT
Span composition using fake pullbacks
一类跨度的构造可以在某些类别$\CC$中进行，这些类别在传统意义上不具有回撤。幺半群的PROP就是这种$\CC$的一个很好的例子。2012年，马可·格兰迪斯（Marco Grandis）的同调代数一书基于M. Š1967年的一篇论文给出了木偶正合范畴中关系的结合性的证明。卡连科这里的证明是根据本摘要第一句的精神对该证明进行的重组。我们观察到，这些关系的EM跨度跨度和EM跨度承认假拉回，使EM跨度组成的跨度。我们的设置比Puppe-exact类别更一般。
2019-07-05 math.CT
The span-squares adjunction
Aristotle University of Thessaloniki（亚里士多德大学）；Universität Augsburg（奥格斯堡大学）
本文通过将跨接构造视为从双重∞-范畴到∞-范畴的函子，证明其具有由方块双重∞-范畴定义的右伴随，并利用该伴随给出代数K-理论不同模型（Q、S、协边模型和方块构造）之间等价的新证明。
2026-10-21 math.CT math.KT
The $(\infty,\infty)$-category of spans
Max Planck Institute for Mathematics（马克斯·普朗克数学研究所）；The Hong Kong University of Science and Technology（香港科技大学）；Technical University of Munich（慕尼黑工业大学）
本研究在带有限极限的$(\nfty,1)$-范畴中构造了跨度的$(\nfty,\nfty)$-范畴新模型，验证其与现有模型一致，证明了刻画到跨度$(\nfty,n)$-范畴函子的新泛性质，为后续构造高阶Hall代数奠定基础。
2026-09-01 math.AG math.AT math.CT
Span(Graph): a Canonical Feedback Algebra of Open Transition Systems
本文证明了由Katis，Sabadini和Walters提出的开迁移系统的代数Span（Graph）* 满足一个泛性质.就其本身而言，这是该并发模型的规范性的理由。然而，泛性质本身是有趣的，作为反馈和状态之间关系的正式证明。事实上，反馈范畴最初也是由Katis，Sabadini和Walters提出的，是对可追踪幺半范畴的削弱，在计算机科学中有各种应用。一个状态自举技术，出现在几个不同的上下文中，产生免费的这样的类别。我们证明了Span（Graph）* 是以这种方式产生的，它是Span（Set）上的自由反馈范畴。假设后者可以被看作是谓词的代数，那么开放迁移系统的代数就这样产生了--粗略地说--作为自举状态到那个代数的结果。最后，我们推广的反馈类别赋予状态空间额外的结构：这将框架从单纯的过渡系统的自动机与初始和最终状态。
2022-11-24 cs.LO math.CT
Applied Category Theory in the Wolfram Language using Categorica I: Diagrams, Functors and Fibrations
本文介绍了基于 Wolfram 语言的开源计算范畴论框架 Categorica，支持范畴结构操作、泛性质推理及自动化图表定理证明，首篇聚焦图表、函子与广群的处理及证明能力。
2024-03-24 cs.SC math.CT
Higher categories of push-pull spans, I: Construction and applications
本文构造了一族对称幺半$(\infty,3)$-范畴，包含配备局部系统的对应关系，并应用此构造为Rozansky-Witten模型的$3$-范畴提供近似，验证相关猜想。
2024-12-23 math.AT math.CT
Objective Mackey and Tambara functors via parametrized categories
本文基于Lawvere和Schanuel的“客观”概念，将客观Mackey和Tambara函子定义为满足特定条件的参数化范畴，通过替换参数化基及发现类似阿贝尔群与交换环的分配律，推进了范畴论中相关函子的研究。
2025-04-19 math.CT
Higher categories of push-pull spans, II: Matrix factorizations
本文基于前文构建的对称单向$(\infty,3)$-范畴$\mathscr{CRW}$，扩展了Brunner等人关于仿射Rozansky-Witten模型的工作，建立矩阵因子化与同伦2-范畴之间的函子，并计算相应的TFT。
2025-02-11 math.AT math.CT math.QA
Factorization systems in $\infty$-categories
我们将范畴中的因子分解系统的概念推广到$\infty$ -范畴的领域。为此，我们提供了一个范畴的$\infty$ -范畴的因式分解系统作为范畴的预层的空间在一定的范畴，满足一个版本的Segal条件。此外，我们还研究了单子之间的分配律的概念，更一般地说，宽松函子的范畴与因子分解系统的背景下。特别是，我们还刻画了范畴的分解系统作为分配律的双范畴的跨度。
2021-06-08 math.CT
2-Segal objects and algebras in spans
我们定义了一个范畴参数化的Calabi-Yau代数对象在一个无限范畴的跨度。利用这一范畴，我们证明了：（1）C中的2-Segal单纯对象与Span（C）中的代数对象;（2）C中的2-Segal循环对象与Span（C）中的Calabi-Yau代数对象之间的无穷范畴的等价性。
2019-05-16 math.AT math.CT
Universality of span 2-categories and the construction of 6-functor formalisms
Mathematisches Institut, Universität Regensburg（雷根斯堡大学数学研究所）；Rheinische Friedrich-Wilhelms-Universität Bonn（波恩莱茵弗里德里希威廉大学）
本文研究了2-范畴的普遍性，证明了其与双伴随可变换的对应关系，并扩展到对称单子和松散对称单子情形，为6- functor形式的构造提供了理论基础。
2026-03-25 math.AG math.AT math.CT
Double Categories of Relations
一个双范畴的关系本质上是一个具有强的、离散的和函子表的Carnival设备，并且某些局部乘积满足Frobenius定律。一个双关系范畴等价于一个双范畴，它的前矢是某个普通范畴上的关系，该范畴允许一个真的稳定的因子分解系统。这种表征是密切基于最近的表征双类别的跨度由于Aleiferi。整体的发展可以被看作是一个双范畴的版本的概念，一个“表寓言”或“功能完整的双范畴的关系。"
2022-11-17 math.CT
A diagrammatic approach to symmetric lenses
透镜是用于保持一对系统之间一致性的数学结构。在他们正在进行的研究计划中，Johnson和Rosebrugh试图将对称晶状体的治疗与非对称晶状体的跨度统一起来。本文通过用Mealy态射表示传播操作，给出了范畴间对称透镜的一种图解方法。本文的主要结果是通过在hom-category之间构造一个显式的伴随三元组，证明了对称透镜的双范畴与非对称透镜的跨距双范畴是局部伴随的.
2021-01-26 math.CT
Regular and relational categories: Revisiting 'Cartesian bicategories I'
正则逻辑是由$=$、$\top$、$\wedge$和$\exists$生成的一阶逻辑的片段。这种逻辑的一个关键特征是，它是表达二元关系的组合所需的最小片段;另一个特征是，它是正则范畴的内部逻辑。这两个事实之间的联系是，在任何正则范畴中，人们都可以用联合一元跨度来构造二元关系的概念;这导致了所谓的正则范畴的关系的二元范畴。在本文中，我们提供了一个直接的公理化的双范畴的关系，我们称之为关系PO范畴，重新解释早期的工作，卡尔博尼和沃尔特斯沿着这些路线。我们的主要贡献是一个明确的证明，2范畴的正则范畴是等价的关系PO范畴。贯穿全文，我们强调关系po范畴的图形本质。
2019-08-30 math.CT
Completeness for categories of generalized automata
本文证明由自函子参数化的广义 Mealy 与 Moore 自动机范畴在该函子为左伴随时继承基范畴的所有极限和余极限，并用 Agda 机械化部分结果。
2023-03-07 cs.FL math.CT
Unbiasing symmetric monoidal categories in Lean
本文在Lean 4中形式化了对称单子范畴的去偏过程，通过扩展数据到伪函子并利用Kleisli双范畴实现高 arity张量积的一致性。
2026-03-01 cs.LO math.CT
Fraction, Restriction and Range Categories from Non-Monic Classes of Morphisms
对于包含所有同构的范畴C中的一个复合闭的拉回稳定态射类S，我们构造了C中的S-跨距（s，f）的范畴Span（C，S），其中第一“腿”s位于S中，并给出了它的S-分式的商范畴C[S^{-1}]的另一种构造.我们没有试图将S-态射“直接”转化为同构，而是以一种普遍的方式将它们分别转化为收缩和截面，从而得到了商范畴Retr（C，S）和Sect（C，S）。分数范畴C[S^{-1}]是它们的最大联合商范畴.在不限制S是C的单态类的情况下，我们证明了Sect（C，S）允许一个商范畴Par（C，S），它的名字有两个事实证明.一方面，对于C中的单态映射类S，它返回C中的S-跨距范畴，在这种情况下也称为S-部分映射;另一方面，我们证明了Par（C，S）是一个分裂限制范畴（在Cockett和Lack意义下）.进一步的商构造甚至产生了一个值域范畴（在Cockett、Guo和Hofstra的意义上）RaPar（C，S），它仍然足够大，允许C[S^{-1}]作为它的商。Par和RaPar都是全局2-算子的左伴随。当把这些范畴限制在它们的“固定对象”时，人们就精确地获得了2-等价，它们的名称给予者通过这些等价来表征限制范畴和范围范畴。因此，Par（C，S）$ and RaPar(C,S may be naturally presented as Par(D,T)$和RaPa（D，T）都分别成立，这里T是D中的…
2019-10-20 math.CT
Transposing cartesian and other structure in double categories
本文探讨了双范畴中笛卡尔结构与其他结构的转换，通过建立双范畴与双范畴的联系，证明了具有笛卡尔结构的双范畴下存在笛卡尔双范畴。
2026-04-03 math.CT
Intercategories: A framework for three-dimensional category theory
我们展示了范畴间的概念如何包含各种各样的三维结构，从文献中，特别是duoidal类别，monoidal双类别，立方双范畴，双双范畴和灰色类别。跨度概念的变化提供了更多有趣的例子，一个重要的例子是集合的范畴间。我们考虑了范畴间的三种态射以及将它们结合起来的细胞，并将它们应用于上述结构。特别是HOM函子进行了研究。
2016-07-09 math.CT
Monads in 2-categories
概述 2- 范畴中单子形式理论，通过交换图和弦图可视化概念，涵盖多种相关概念，还定义了两个双范畴，如应用于跨度可产生特定双范畴。
2026-07-16 math.CT
Iterated spans and classical topological field theories
我们构造高阶范畴的迭代跨度，可能配备额外的结构形式的“本地系统”，并分类其完全dualizable对象。通过协证假说，这些理论产生了框架拓扑量子场论，它是在Freed-Hopkins-Lurie-Teleman的量子化方案中考虑的“经典”TQFT的框架版本。利用这种机制，我们还构建了一个无穷大类的拉格朗日对应辛导出代数堆栈之间，并表明其所有的对象是完全对偶。
2018-11-29 math.AT math.CT
Quasi-cellular categories and the structure of the Brauer category
Graduate School of Mathematical Sciences, University of Tokyo（东京大学大学院数学系研究科）
本文提出拟细胞范畴概念，研究 Brauer 范畴的拟细胞结构，构造到矩阵 Brauer 范畴的线性函子，证明非奇异参数下该函子为同构且 Brauer 范畴与置换子范畴 Morita 等价，推广了 Brauer 代数的相关结果。
2026-09-29 math.CT math.RA math.RT
Monoidal Grothendieck construction
我们把纤维化和指标范畴之间的标准等价提升为monoidal纤维化和monoidal指标范畴之间的等价，即弱monoidal伪函子到范畴的2-范畴。在这样做时，我们调查这个“全球”monoidal结构的总范畴是monoidal和纤维化严格保持结构之间的关系，和一个“fibrewise”的纤维monoidal和reindexing函子强烈保持结构，首先暗示舒尔曼。特别地，当整环是余范畴monoidal时，函子到2-范畴的松弛monoidal结构对应于函子到幺半范畴的2-范畴的提升。最后，我们给出了这种对应出现的例子，从基本的和家庭的纤维化网络模型和系统。
2021-08-17 math.CT
Double Orthogonal Factorization Systems
本文在双范畴上引入严格与松弛正交分解系统，借助 spans、relations、bimodules 等例子和单子性结果论证定义，并分析其结构及与双纤维化的关系。
2025-09-30 math.CT
