The game of Overprescribed Cops and Robbers played on graphs
我们考虑了当更多的警察加入到游戏中时，对警察和强盗游戏长度的影响。在“过度规定的警察和强盗”中，随着警察的增加，抓捕时间（假设最佳玩法的最小游戏长度）单调减少。我们给出了捕获时间的全部范围内的任何数量的警察在树上，并分类捕获时间的渐近数量的警察在网格，超立方体，和二项式随机图。研究了边数等于或大于边数的可平面图的捕获时间。
2016-11-23 cs.DM math.CO
Cops that surround a robber
我们介绍的游戏周围的警察和强盗的图，作为一个变种的原始游戏的警察和强盗。在最初的游戏中，警察通过占据与强盗相同的顶点而获胜，而现在他们通过占据强盗的每个相邻顶点而获胜。我们用$σ(G)$表示$G$的{ \em包围警察数}，即在图$G$中包围一个抢劫犯所需的最少警察数。我们提出了一些关于这个参数的结果，包括一般的界限以及几类图的精确值。感兴趣的特定类别包括产品图，从组合设计产生的图，和广义彼得森图。
2021-08-05 cs.DM math.CO
Primal-Dual Cops and Robber
研究平面图上警察在相邻面移动、强盗在相邻顶点移动的博弈变体，证明当且仅当最大度 $Δ\leq 4$ 时常数名警察足以抓捕强盗。
2024-01-10 cs.DM math.CO
Selfish Cops and Passive Robber: Qualitative Games
过去已经研究了警察和强盗（CR）游戏的几种变体。在本文中，我们研究了一个新的变种，这是两个警察之间发挥，每个独立的试图抓住一个“被动的强盗”。我们称之为自私的警察和被动的强盗游戏。简而言之，SCPR是一个随机的两人零和游戏，对手是两个警察玩家。我们研究了SCPR游戏的顺序和并发版本。对于这两种情况下，我们证明了存在的价值和最优策略，并提出算法计算这些。
2016-11-19 cs.DM cs.GT
Cops and robbers pebbling in graphs
Acadia University（阿卡迪亚大学）；Virginia Commonwealth University（弗吉尼亚联邦大学）
本文提出警卫与强盗推石游戏，研究其推石数及图类中的上界、下界和精确值，并探讨相关猜想与新问题。
2026-08-13 cs.DM math.CO
A bound for the cops and robber problem in terms of 2-component order connectivity
本文研究警察与强盗游戏中的警察数界，利用图的2-组件阶连通度刻画删除顶点后组件规模受限的结构，并给出警察数的上界。
2024-12-03 cs.DM math.CO
Cops and Robbers on diameter two graphs
在这篇简短的论文中，我们研究了警察和强盗的游戏，在一些固定的图$G$的阶$n$的顶点。逮捕一个抢劫犯所需的最少警察人数称为警察人数$G$。我们证明了直径为2的图的copnumber至多为$\sqrt{2n}$，改进了Lu和Peng的一个结果.我们猜想这个界仍然不是最优的，并得到了一些关于最优界的部分结果。
2014-09-28 cs.DM math.CO
A note on hyperopic cops and robber
我们探索Bonato等人介绍的警察和强盗游戏的变体。除非在警察的公共区域之外，否则抢劫者是看不见的。的hyperopic警察数是类似的警察数，我们调查这个数量的界限。我们定义了一个小的公共邻域集，并与此图参数的最小基数的远视警察数。我们考虑直径为2的图，特别是两个图的连接，以及笛卡儿积。
2021-07-15 cs.DM math.CO
Cops and Robbers is EXPTIME-complete
研究了图G上判定k个警察能否抓住一个抢劫犯的计算复杂性。1995年，Goldstein和Reingold提出当G和k都是输入的一部分时，这个问题是EXPTIME完全的;我们证明了这个猜想。
2014-12-04 cs.CC cs.DM math.CO
Cops and an Insightful Robber
《警察与强盗》的“作弊机器人”版本是在一个有限的、简单的、连通图上播放的。球员们在同一时间内移动。然而，在移动之前，机器人观察警察正在移动到哪些顶点，并且它足够快以在时间段内完成其移动。警察也知道机器人会利用这些信息。抓捕一个机器人比抓捕一个强盗需要更多的警察。实际上，最小度是捕获一个机器人所需警察数量的下界。只有在树上，一个警察才能保证抓住一个机器人，尽管在外平面图上，两个警察就足以抓住一个强盗和一个机器人。在图中涉及撤回，我们展示了如何警察对强盗的策略可以修改，以捕获机器人。这种方法给出了超立方体和一般的$k$维网格的精确数字。
2021-03-10 cs.DM math.CO
Cops and Robbers, Game Theory and Zermelo's Early Results
我们提供了一个博弈论框架的警察和强盗（CR）的游戏。在这个框架内，我们研究的最优策略和捕获时间的概念背后的某些假设。我们还指出了这些概念与Zermelo和D.科尼格最后，我们讨论了CR和相关的追赶对策到可达对策之间的关系。
2014-07-07 cs.DM cs.GT
$k$-Hyperopic Cops and Robber
本文提出$k$-远视警察与强盗游戏，定义$k$-远视警察数，刻画警察获胜图，并给出匹配数、树的直径及外平面图等情形下的上界。
2024-10-23 cs.DM math.CO
The game of Cops and Robbers on directed graphs with forbidden subgraphs
传统的警匪游戏是在无向图上进行的。近年来，同样的博弈在有向图上得到了越来越多的关注。我们知道，如果我们禁止某个子图，我们就可以限制相应图类的cop数。本文分析了$\Vec{H}$ -free有向图上的警匪博弈。然而，它与无向图的情况不同。因此，我们提出了一个新的概念（$\Vec{H}^*$ -free），得到了关于无向图的类似结论。
2020-01-27 cs.DM math.CO
Cops, robbers, and burning bridges
我们考虑一个变种的警察和强盗，其中每个边缘遍历的强盗从图中删除。重点是确定在图$G$上捕获抢劫犯所需的最小警察数量，称为$G$的{ \em烧桥警察数量}，记为$c_b(G)$。本文对几类初等图精确地确定了$c_b(G)$，并给出了当$T$是树时计算$c_b(T)$的多项式时间算法.我们还研究了二维正方形网格和环面，以及超立方体，我们给出了一个图的捕获时间的界限（一个警察在$G$上捕获一个强盗所需的最小回合数，前提是$c_b(G) = 1$）。
2018-12-24 cs.DM math.CO
Cops and Robber -- When Capturing is not Surrounding
本文研究了经典Cops and Robber游戏的四种“包围”版本，通过关联不同版本的警察数，证明其均不受经典警察数与图最大度数的函数所界，从而反驳了Crytser等人的猜想。
2024-10-11 cs.DM math.CO
Catching a fast robber on the grid
我们在网格上研究警察和强盗的问题，允许强盗比警察移动得更快。众所周知，当抢劫犯具有单位速度时，两个警察是必要的，也是足够的。在这里，我们证明，当抢劫犯的速度是一个足够大的常数，警察的数量需要抓住抢劫犯的$n \times n$网格是$\exp(Ω(\log n / \log \log n))$。
2017-06-05 cs.DM math.CO
Guarding isometric subgraphs and Cops and Robber in planar graphs
本文引入子图中宽阴影概念刻画所有1-可保护图，并证明在最多两名警察同时移动的限制下3名警察可在任何平面图中捕获强盗，从而证明了Yang的猜想并加强了Aigner和Fromme的经典结果。
2024-06-03 cs.DM math.CO
Cops against a cheating robber
本文研究警察与作弊机器人博弈，提出推挤数以刻画最少需多少警察登上强盗顶点，并建立其与包围式警察强盗博弈的关系，给出平面图界、多项式判定算法及图积界。
2024-09-17 cs.DM math.CO
Cops and robbers on oriented toroidal grids
警察和强盗的游戏是一个著名的游戏玩图表。本文考虑环面和克莱因瓶的4-正则四边形剖分的直前定向，证明了它们的cop数是有界的。我们还表明，每个k-规则定向的环形网格的cop数是最多13。
2020-05-12 cs.DM math.CO
Limited Visibility Cops and Robbers
我们考虑警察和强盗博弈的一个变体，其中警察只能在他们之间的距离至多是一个固定参数$\ell$时才能看到强盗。我们认为这个定义的一些简单的图形家庭的基本后果，并表明，这种模式是不单调的，不像常见的模式，强盗是看不见的。我们看到，警察的策略包括一个阶段，在这个阶段中，他们需要“看到”抢劫犯（在抢劫犯的距离$\ell$内移动），然后是一个阶段，他们抓住抢劫犯。在某些图中，第一阶段是资源最密集的阶段（就所需的警察数量而言），而在其他图中，它是第二阶段。最后，我们描述了这些树的$k$警察足以保证捕获的强盗为所有$\ell \ge 1$。
2017-08-23 cs.DM
On Necessary and Sufficient Number of Cops in the Game of Cops and Robber in Multidimensional Grids
我们首次在多维网格中对警察和强盗博弈进行了理论分析。结果表明，对于一个$n$维网格，至少$n$警察是必要的，以确保捕获的强盗。我们还提出了一套警察策略，其中$n$警察是可证明的足以抓住强盗。此外，对于二维网格，我们提供了一个有效的警察策略，在一定条件下，抢劫犯甚至被一个警察抓住。
2009-09-08 cs.DM
Accelerated Cops and Robbers
本文研究了Cops and Robbers变体中双方每回合可遍历最多 $s$ 条边（$s \ge 2$）的新模型，给出了网格与超立方体的警察数界限，并确定了 $s=2$ 时警察获胜图的捕获时间。
2025-06-25 cs.DM math.CO
The Game of Cops and Eternal Robbers
我们介绍的游戏警察和永恒的强盗玩的图形，有无限多的强盗，顺序出现在不同的游戏。一个正整数$t$是固定的，并且要求警察在每次游戏中最多在$t$时间步长内捕获抢劫犯。相关的优化参数是永恒的警察数，表示为$c_t^{\infty},$，它等于永恒的控制数的情况下，$t=1,$和足够大的$t.$的警察数我们研究了警察和永恒的强盗的复杂性，并表明，游戏是NP-困难的，当$t$是一个固定的常数和大值的$t$的EXPTIME-完全。我们确定路径和循环的$c_t^{\infty}$的精确值。永恒的警察数研究的缩回，这种方法是适用于给树木的界限，以及强和笛卡尔网格。
2020-03-10 cs.DM math.CO
The Game of Cops and Robber on (Claw, Even-hole)-free Graphs
本文研究了一类没有偶数洞（偶数长度的诱导圈）和爪（三叶星）的图上的警察与强盗的对策。图$G$的警察数被定义为捕获强盗所需的最小警察数。在这里，我们证明了所有的无爪偶无洞图的cop数最多为2，此外，捕获时间最多为$2n$轮，其中$n$是图的顶点数。此外，我们的结果可以被看作是研究无爪偶无洞图结构的第一步。
2022-01-11 cs.DM math.CO
General Cops and Robbers Games with randomness
在过去的几十年里，计算机科学和数学一直在研究警察和强盗的游戏。在一般的追捕逃避游戏中，追捕者（警察）试图抓住逃避者（强盗）;然而，玩家依次移动，并被限制在一个离散的结构上移动，通常是一个图，并知道对手的确切位置。2017年，Bonato和MacGillivray提出了警察和强盗游戏的一般特征，以便在全球范围内进行研究。然而，他们的模型并没有涵盖随机事件可能发生的情况，比如劫匪以随机的方式移动。在本文中，我们提出了一个新的模型，我们称之为广义概率警察和强盗游戏（GPCR）的随机元素。在一个典型的此类游戏中，抢劫者根据概率分布移动，要么是因为她迷路或喝醉了，而不是逃避，要么是因为她是一个机器人。我们目前的结果来解决GPCR游戏，从而使一个研究性质的最佳策略在大类的警察和强盗游戏。一些经典的警察和强盗游戏属性也得到了扩展。
2020-04-24 cs.DM
Cops and Robbers on graphs of bounded diameter
警察和强盗的游戏是一个众所周知的游戏玩的图形。本文考虑一类直径有界的图。本文改进了Cops的策略和以前使用的概率方法，得到了有界直径图的Cops数的一个改进的上界。特别地，对于直径为4的图，我们将上界从$n^{\frac{2}{3}+o(1)}$提高到$n^{\frac{3}{5}+o(1)}$，对于直径为3的图，将上界从$n^{\frac{2}{3}+o(1)}$提高到$n^{\frac{4}{7}+o(1)}$。
2019-12-16 cs.DM math.CO
Selfish Cops and Active Robber: Multi-Player Pursuit Evasion on Graphs
我们介绍和研究的游戏“自私的警察和积极的强盗”（SCAR），它可以被看作是一个多人的变种“经典”的两人游戏警察和强盗（CR）的游戏。在经典的CR中，所有的警察都由一个玩家控制，他对哪个警察抓住抢劫犯没有偏好。另一方面，在SCAR中，N-1个警察中的每一个都由一个单独的玩家控制，一个强盗由第N个玩家控制;捕获警察的玩家比不捕获的玩家获得更高的奖励。因此，SCAR是一个图上的N人追捕游戏，其中每个警察玩家都有更大的动机成为抓住强盗的人。本文研究的重点是SCAR纳什均衡的存在性和性质。特别是，我们证明了SCAR总是有一个NE在确定性的位置策略和（N大于2）另一个在确定性的非位置策略。此外，我们研究的条件，在平衡，保证捕获或逃跑的强盗，并表明（由于“自私”的警察球员之间的对抗）的强盗可能，在某些SCAR配置，被抓获后，他会在经典的CR，甚至没有抓获。最后，我们定义了图的自私copnumber，并研究了它与经典copnumber的关系。
2018-09-12 cs.DM cs.GT
Cops and Robbers for Graphs on Surfaces with Crossings
本文研究带交叉的曲面图上的警察与强盗博弈，提出距离d变体，证明当交叉边对之间存在短路径连接时，1-平面图、k-平面图等图类的警察数在较小d值下有界。
2025-07-02 cs.DM math.CO
Simultaneously Moving Cops and Robbers
本文研究了警察和强盗的同时博弈。CCCR遵循与经典回合制游戏相同的规则，除了玩家同时移动。图的并发警察数定义为保证捕获的最小警察数。对于需要在尽可能短的时间内捕获劫匪的变体，我们让捕获时间是CCCR的支付函数; CCCR的（博弈论）值是最优捕获时间，（警察和劫匪）时间最优策略是实现该值的策略。在本文中，我们证明了以下内容。(1)对于每个图G，并发copnumber等于“经典”copnumber。(2)对于每一个图G，CCCR都有一个值，警察有一个最优策略，对于每一个ε>0，强盗有一个ε-最优策略。
2015-06-11 cs.DM
Cops and Robbers on 1-Planar Graphs
研究1-平面图上的警察与强盗追逃博弈，证明一般1-平面图警察数无界，极大1-平面图警察数为3，并刻画了外1-平面图的警察数。
2023-09-07 cs.DM math.CO
A note on Cops and Robbers, independence number, domination number and diameter
本文研究了连通图$G$的直径$D(G)$、控制数$γ(G)$、独立数$α(G)$和copnumber $c(G)$之间的关系，证明了（i.）$c(G) \leq α(G)-\lfloor \frac{D(G)-3}{2} \rfloor$，和（ii.）$c(G) \leq γ(G) - \frac{D(G)}{3} + O (\sqrt{D(G)})$。
2022-03-31 cs.DM math.CO
Cops and robber on variants of retracts and subdivisions of oriented graphs
研究定向图上 Cops and Robber 博弈的三种变体（强、普通、弱警察模型），证明强和普通警察数在相应收缩变体中保持不变，并证实所有变体在 2-degenerate 二部图上仍具计算难度。
2023-07-02 cs.DM math.CO
Optimizing the trade-off between number of cops and capture time in Cops and Robbers
对于警察和强盗的游戏，图$G$的警察节流数$th_c(G)$是$k + capt_k(G)$的最小值，其中$k$是警察的数量，而$capt_k(G)$是在所有可能的游戏中，$k$警察在$G$上捕获强盗所需的最小回合数，在所有可能的游戏中，两个玩家都玩得最好。本文构造了一类具有$th_c(G)= Ω(n^{2/3})$的图，建立了cop节流数的一个次线性上界，并证明了弦图的cop节流数为$O(\sqrt{n})$ .我们还引入了产品警察节流数$th_c^{\times}(G)$作为一个参数，使警察使用的工时最小化。该参数扩展了在并行处理和网络净化的背景下研究的加速概念。我们建立的产品COP节流数的COP节流数的界限，低产品COP节流数的特征图，并显示，对于弦图$G$，$th_c^{\times}=1+rad(G)$。
2019-09-13 cs.DM math.CO
Pushing Cops and Robber on Graphs of Maximum Degree 4
Université Clermont Auvergne, CNRS, Clermont Auvergne INP, Mines Saint-Étienne, LIMOS（克莱蒙奥弗涅大学、法国国家科学研究中心、克莱蒙奥弗涅理工学院、圣艾蒂安国立高等矿业学校、LIMOS实验室）
研究在最大度数为4的图上，通过推动操作扩展了警官和小偷游戏的必胜策略条件。
2025-12-25 cs.DM math.CO
Generalized Cops and Robbers: A Multi-Player Pursuit Game on Graphs
我们介绍和研究了广义警察和强盗游戏（GCR），一个N-局中人追逐游戏的图。双人版基本上相当于经典的警察和强盗（CR）游戏。三人版可以理解为在同一个图上同时进行的两个CR游戏;一个玩家可以同时是追赶者和逃避者。对于四个或更多的玩家也是如此。我们制定GCR作为一个折扣随机博弈的完美信息，并证明，对于三个或更多的球员，它至少有两个纳什均衡：一个位置确定性策略和另一个在非位置的。我们还研究了GCR纳什均衡与图的Cop-number的关系。最后，我们简要地讨论了GCR作为一个更广泛的家庭的多玩家图形追求游戏的一员，而有趣的属性。
2018-07-23 cs.DM cs.GT
The robber strikes back
我们考虑一个新的警察和抢劫犯博弈，它与通常的警察和抢劫犯博弈相同，除了如果抢劫犯移动到一个包含一个警察的顶点，那么这个警察将从博弈中删除。我们研究了在图$G$上捕获一个抢劫犯所需的最少警察数，写为$cc(G)$。在二部图类和直径为2的无$K_{1,m}$图类中，我们给出了$cc(G)$的上界.
2013-08-13 cs.DM math.CO
Cops and Attacking Robbers with Cycle Constraints
本文研究警察与攻击型强盗博弈，刻画了警察数不超过2的无三角形图，证明二部平面图警察数至多为4且构造出达到4的紧例子，并首次构造出警察数差至少为3的图。
2024-08-05 cs.DM math.CO
The Cop Number of the One-Cop-Moves Game on Planar Graphs
《警察与强盗》是一款在图上进行的顶点追踪游戏。在经典的警察和强盗博弈中，一组警察和一个强盗占据图的顶点，并沿着图的边交替移动，并完全知道彼此的位置。如果一个警察最终占据了与劫匪相同的顶点，那么警察就赢了;如果她能无限期地逃避追捕，劫匪就赢了。艾格纳和弗罗默确定，在每个连通平面图中，三名警察足以抓获一名抢劫犯。在本文中，我们考虑一个最近研究的变种的警察和强盗的游戏，交替称为一个积极的警察游戏，一个警察移动游戏或懒惰的警察和强盗游戏，其中最多一个警察可以在任何一轮移动。我们表明，艾格纳和Frommer的结果并没有推广到这个游戏的变种，通过构建一个连接的平面图上，一个强盗可以无限期地逃避三个警察在一个警察移动游戏。这回答了Sullivan、Townsend和Werzanski最近提出的一个问题。
2018-06-09 cs.DM
Bounds on the length of a game of Cops and Robbers
在警察与强盗的游戏中，一队警察试图在图$G$上抓住一个强盗。所有参与者占据$G$的顶点。游戏以回合为单位进行;在每一轮中，警察移动到相邻的顶点，之后强盗也移动到相邻的顶点。保证在$G$上捕获抢劫犯所需的警察的最小数量是$G$的警察数量，表示为$c(G)$，并且他们这样做所需的最小回合数是捕获时间。已知一个具有图的点数为$k$的$n$-顶点图的捕获时间为$O(n^{k+1})$.最近，Bonato，Golovach，Hahn，and Kratochvíl（2009）和Gavenčiak（2010）证明了对于$k = 1$，这个上界不是渐近紧的：对于cop数为1的图，cop总是可以在$n-4$轮中获胜。在本文中，我们证明了当$k \ge 2$：对于固定的$k \ge 2$，我们构造了捕获时间至少为$\left (\frac{\vert V(G) \vert}{40k^4}\right )^{k+1}$的任意大图$G$时，上界是紧的。在证明我们的主要结果的过程中，我们建立了可能具有独立意义的结果。特别是，我们表明，问题的决定是否$k$警察可以捕获一个强盗的有向图是多项式时间等价于决定是否$k$警察可以捕获一个强盗的无向图。作为这一事实的推论，我们得到了Goldstein和Reingold（1995）的一个主要猜想的一个相对简短的证明，该猜想最近由作者（2015）通过其他方法证明。我们还证…
2018-06-19 cs.DM math.CO
The 3x3 rooks graph is the unique smallest graph with lazy cop number 3
在普通版本的追逃对策“警察和强盗”中，一队警察和一个强盗占据一个图的顶点，并沿着图的边缘交替移动，彼此都有完美的信息。如果一个警察落在劫匪身上，警察就赢了;如果劫匪能无限期地躲避警察，他就赢了。在“懒警察和强盗”的变体中，警察只能选择他们班的一名成员在轮到他们时采取行动。最低数量的警察（分别懒惰的警察）需要抓住强盗被称为“警察号码”（分别。“惰性拷贝数”），并表示为$c(G)$（分别为$c_L(G)$）。Beveridge等人的工作证明了Petersen图是唯一的具有$c(G)=3$的10个顶点的图，而所有具有$c(G)\leq 2$的9个或更少顶点的图都具有$c(G)\leq 2$。(This是贝尔德和博纳托通过计算搜索发现的一个结果的完备的数学证明。）在这篇文章中，我们证明了一个类似的结果，即3 × 3车图（$K_3\square K_3$）是唯一的9个顶点的图，需要3个懒惰的警察，和8个或更少的顶点的图需要最多两个懒惰的警察。
2016-06-27 cs.DM math.CO
Complexity results for a cops and robber game on directed graphs
该研究探究有向图警察与小偷博弈的警察数复杂性，证明单警察判定的NP难性与竞赛图的多项式可判定性，给出不同参数下的固定参数可处理性结论，并建立与反向图、矩阵死亡率问题的关联。
2024-10-07 cs.CC cs.DM math.CO
Fast and Furious: A study on Monotonicity and Speed in Cops-and-Robber Games
该研究系统分析了不同可见性、行动模式与速度下警察与强盗博弈的单调性性质，明确了各类变体的警察宽度与路径宽度、树宽度的对应关系，并证明了强盗单调变体与非单调变体间的警察宽度差距有界。
2025-02-21 cs.DM math.CO
Cops and robbers on $2K_2$-free graphs
本文证明了$2K_2$-自由图的警察数至多为2，并证实了$2K_1+K_2$-自由图警察数上界3的最优性，解决了相关猜想。
2021-10-04 cs.DM math.CO
Cops and robber on subclasses of $P_5$-free graphs
警察和强盗的游戏是一个基于回合的顶点追踪游戏，在一个连通图上，一队警察和一个强盗之间进行。警察和强盗沿着图的边缘交替移动。如果警察和强盗在图的同一个顶点上，我们说警察队赢了。在图的每个分量中获胜所需的最小cops数称为图的copnumber。Sivaraman [Discrete Math. 342（2019），pp. 2306-2307]证明了对每个$t\geq 5$，连通无$P_t$图的copnumber至多为$t-3$，其中$P_t$表示$t$ ~-顶点上的路. Turcotte [Discrete Math. 345（2022），pp. 112660]表明，任何$2K_2$ -free图的cop数至多是$2$，这是由Sivaraman和Testa较早证明的。注意，如果一个连通图是无$2K_2$的，那么它也是无$P_5$的. Liu证明了连通（$P_t$，$H$）-free图的copn数至多为$t-3$，其中$H$是长度至多为$t$的圈或爪.所以Sivaraman的猜想对于（$P_5$，$H$）-free图是成立的，其中$H$是长度至多为$5$的圈或爪。本文证明了连通无（$P_5,H$）图的copnumber至多为$2$，其中$H\in \{C_4$，$C_5$，diamond，paw，$K_4$，$2K_1\cup K_2$，$K_3\cup K_1$，$P_3\cup P…
2022-11-29 cs.DM math.CO
A study of cops and robbers in oriented graphs
我们认为，在定向图的背景下，这已经得到了很好的研究警察和强盗的游戏，令人惊讶的是，很少有人关注的日期。我们研究了定向图与其底层无向图的copnumber之间的关系，给出了一个令人惊讶的结果：至少存在一个图$G$，对于该图，$G$的每个强连通方向的copnumber严格小于$G$的copnumber.我们还反驳了一个关于cop-win有向图结构的猜想，研究了外平面图的定向，并研究了线有向图的cop-win数。最后，我们考虑了最优对策的一些方面，特别是警察赢有向图的捕获时间和警察和强盗的相对位置的性质。
2019-01-15 cs.DM math.CO
Hyperopic Cops and Robbers
我们介绍了一个新的变种的游戏的警察和强盗玩的图形，强盗是不可见的，除非外面的邻居集的警察。的hyperopic铜数是相应的模拟的铜数，我们调查的界限和其他性质的这个参数。我们的特点，这个变种的cop-win图，以及图与最大可能的hyperopic copnumber。我们分析了直径为2或至少为3的图的情况，重点是当远视cop数至多大于cop数时。我们证明了对于可平面图，与通常的cop数一样，远视cop数至多为3。研究了可数图的远视cop数，证明了在$[0,1/2].$中，连通图链的远视cop密度可以是任意实数
2017-10-27 cs.DM math.CO
Monotonicity of the cops and robber game for bounded depth treewidth
研究了刻画树宽的警察与强盗博弈变体，证明若k名警察有必胜策略则必有单调必胜策略，由此给出有界深度树宽的新刻画并肯定回答Fluck等人的开放问题。
2024-02-14 cs.DM math.CO
Cops and Robber Game with a Fast Robber on Interval, Chordal, and Planar Graphs
我们考虑一个由Fomin，Golovach，Kratochvil提出的警察和强盗博弈的变体，其中强盗具有无限的速度，也就是说，在她的回合中可以从她的顶点采取任何路径，但她不允许通过一个被警察占据的顶点。我们在区间图、弦图、可平面图和超立方体图上研究了这个博弈。令c_{\infty}（G）表示在该变体中捕获图G中的强盗所需的警察的数量。证明了如果G是区间图，则c_{\infty}（G）= O（sqrt（|V（G）|）），并给出了求区间图中c_{\infty}（G）的多项式时间3-近似算法.证明了对任意n，存在n-顶点弦图G，使c_{\infty}（G）= Omega（n / \log n）.令tw（G）和Delta（G）分别表示G的树宽和最大度。证明了对任意G，tw（G）+ 1 \leq（Delta（G）+ 1）c_{\infty}（G）.利用c_{\infty}（G）的这个下界，我们证明了两件事。第一个是，如果G是一个可平面图（或更一般地说，如果G没有固定顶点图作为子图），则c_{\infty}（G）= Theta（tw（G））。这立即导致O（1）-近似算法计算可平面图的c_{\infty}。第二个是如果G是m-超立方体图，则存在常数eta 1，eta 2>0使得（eta 1）2 ^m/（m sqrt（m））\leq c_{\infty}（G）\leq（eta 2）2 ^m/ m.
2011-04-16 cs.DM math.CO
Cops, Robber and Medianwidth Parameters
在以前的工作中，我们介绍了中值分解，树分解的一个概括，其中一个图可以建模后的任何中值图，随着层次结构的$i$ -medianwidth参数$(mw_i)_{i\geq 1}$开始从树宽和收敛到团数。我们引入了另一个基于中位数分解概念的图参数，称为$i$ -latticewidth，并由$lw_i$表示，为此，我们限制分解的建模中位数图可等距嵌入到$i$路径的笛卡儿积中。序列$(lw_i)_{i\geq 1}$产生从路径宽度开始并收敛到团数的参数层次。本文用图的$i$路分解的袋的最大交来表示图的$i$ -格宽。我们研究了经典的警察和强盗游戏的概括，在那里的强盗发挥对不只是一个，但$i$警察球员。根据强盗是否可见，我们分别显示了与$i$ -medianwidth或$i$ -latticewidth的直接连接。
2016-03-22 cs.DM math.CO
Cops and robber on grids and tori
本文是对图上经典的警察和强盗问题的一个贡献，针对二维网格和环形网格。这些研究通常旨在确定捕获抢劫犯所需的最少警察数量，并提出捕获算法。我们应用一些新的概念，提出了一个新的解决方案，网格上的问题，已经解决了一个不同的方法，并应用这些概念，给出有效的算法，环形网格上的捕获。至于网格，我们证明了两个警察足够，即使在半环面（即一个网格与环面封闭在一维）和三个警察是必要和充分的环面。然后，我们把问题的函数的任何数量k的警察，给出有效的算法，网格和环面和计算上下限的捕获时间。相反，我们确定任何给定的捕获时间所需的k的最小值，并研究可能的加速现象。
2019-01-23 cs.DC cs.DM
The multi-robber damage number of a graph
在图上的警察和强盗游戏的许多变体中，多个警察对抗一个强盗。2019年，Cox和Sanaei推出了一个游戏变体，让劫匪扮演一个比简单地躲避警察更积极的角色。在他们的版本中，强盗试图破坏尽可能多的顶点，而警察试图将这种破坏降到最低。虽然伤害变体最初是用一个警察和一个强盗来研究的，但后来卡尔森等人将其扩展到多个警察。在2021年。我们采取不同的方法，通过研究多个劫匪对一个警察的伤害变量。具体地说，我们引入了图的$s$-强盗破坏数，并得到了这个参数的各种界限。应用这些界限，我们确定了各种图族的$s$-强盗破坏数，并刻画了极端$2$-强盗破坏数的图。
2022-05-14 cs.DM math.CO
Cops and Robbers on Multi-Layer Graphs
University of Glasgow（格拉斯哥大学）；University of Liverpool（利物浦大学）
研究多层图中警卫与劫匪游戏的复杂性，证明多层警卫数无界且提出多项式时间算法，探讨图层划分的最坏情况及Meyniel猜想的多层变体。
2023-11-24 cs.DM cs.DS math.CO
Topological directions in Cops and Robbers
我们调查结果在拓扑图论的交叉点和游戏的警察和强盗，专注于结果，插图，和开放的问题，嵌入在一个表面上的图的警察数。在讨论了可平面图的一些结果之后，我们考虑了高亏格图。2001年，Schroeder证明了如果一个图有亏格$g,$，那么它的cop数至多为$g + 3.$。我们考虑了图在曲面上的捕获时间，并研究了图在非可定向曲面上的嵌入结果。我们提出了一个猜想的第二作者，此外，我们调查结果的懒惰警察数，有向图，僵尸和幸存者。
2018-04-22 cs.DM math.CO
Cops and robbers on $P_5$-free graphs
本文证明了每个连通$P_5$-自由图的警察数至多为二，解决了Sivaraman的猜想，关键方法是利用独立数至少为三时存在的特殊三顶点诱导路径。
2023-01-30 cs.DM math.CO
