Directed Lovász Local Lemma and Shearer's Lemma
Moser和Tardos（2010）在变量框架中给出了不平衡Lovász局部引理（LLL）的算法证明，其中假设每个不期望事件取决于独立随机变量集合的子集。为了证明，他们定义了一个适合这个框架的事件之间的不平衡依赖关系的概念。在这项工作中，我们加强了这一概念，定义了一个新的定向概念的依赖关系，并证明LLL相应的图。我们表明，这个图可以严格稀疏（因此LLL弱的充分条件）与其他现存的不平衡版本的依赖关系相对应的图相比。因此，在某种意义上，我们解决了Szegedy（2013）提出的问题“为约束（在变量框架中）找到其他简单的局部条件，这些条件可以有利地转化为一些抽象的不平衡条件”。我们还给出了一个例子，我们的依赖图的概念给出了更好的结果比经典的希勒引理。最后，我们证明了我们定义的依赖图的希勒引理。对于证明，我们执行直接的概率分析，该分析产生搜索变量的期望分配的算法的概率的指数小的上界，以在$n$步骤内不返回正确答案。相比之下，后来被称为熵方法的证明方法只给出了算法返回正确答案之前的步骤数的期望值，除非概率被修改。
2020-06-15 cs.DM math.CO
Acyclic Edge Coloring through the Lovász Local Lemma
我们对Lovász局部引理（LLL）的Moser型算法进行了概率分析，该算法经过调整以搜索图的非循环边着色。因此，我们提高了最好的已知的上界非循环色指数，也通过分析一个类似的算法，但通过熵的方法（基本上计数参数）。具体地说，我们证明了一个图的最大程度$Δ$有一个非循环的正确的边染色，最多$\lceil 3.74(Δ-1)\rceil+1 $颜色，而以前，最好的界限是$4(Δ-1)$。这项工作的主要贡献是，它包括一个概率分析的Moser型算法适用于事件有关的因变量。
2018-01-07 cs.DM cs.DS math.CO
Infinite computable version of Lovasz Local Lemma
Lovász局部引理（LLL）是一个概率工具，它允许我们在标准概率论证不起作用的情况下（有许多部分独立的条件）证明组合对象的存在性。LLL也可以用来证明一个无限条件集的一致性，使用标准的紧致性参数（如果一个无限条件集是不一致的，那么它的某些有限部分也是不一致的，这与LLL相矛盾）。用这种方法，我们证明了满足所有条件的对象确实存在（尽管这个事件的概率等于~ $0$）。然而，如果我们有兴趣找到一个满足所有约束的可计算解，紧性参数就不再起作用了。Moser和Tardos最近给出了LLL的一个很好的建设性证明。兰斯Fortnow问是否可以应用Moser-Tardos技术来证明存在一个可计算的解决方案。我们证明了这确实是可能的（在几乎与非建设性版本中使用的相同条件下）。
2010-12-02 cs.DM cs.DS math.PR
Sampling Lovász Local Lemma For General Constraint Satisfaction Solutions In Near-Linear Time
本文给出了一般约束满足问题（CSP）在局部引理域中一致解的快速抽样算法。假设CSP具有域大小至多为q的$n$变量，每个约束包含至多k个变量，与至多$Δ$约束共享变量，并且通过均匀随机分配以至多$p$的概率被违反。该算法返回一个几乎一致的满意分配在预期的$\mathrm{poly}(q,k,Δ)\cdot\tilde{O}(n)$时间，只要满足一个局部引理条件：\[ k\cdot p\cdot q^2\cdot Δ^5\le C_0\quad\text{for a suitably small absolute constant }C_0. \]以前，在类似的局部引理条件下，采样算法与运行时间多项式在$n$和$Δ$只知道几乎原子的情况下，每个约束是违反了一个小数目的禁止的局部配置。我们的局部引理条件中的关键项$Δ^5$也改进了以前最知名的一般CSP的$Δ^7$ [JPV 21 b]和原子CSP的$Δ^{5.714}$，包括$k$ -CNF的特殊情况[JPV 21 a，HSW 21]。我们的采样方法离开以前的快速算法采样LLL，这是基于马尔可夫链。我们的算法的一个关键步骤是一个递归的边缘采样器，是独立的利益。在一个局部引理体系中，这个边际采样器可以根据变量的边际分布为变量抽取一个随机值，其代价与CSP的大小无关。
2023-03-09 cs.DM cs.DS
A Counting and Sampling Lovász Local Lemma
Nanjing University（南京大学）；National Institute of Informatics（日本国立情报学研究所）
该研究提出计数型Lovász局部引理，针对一般约束满足问题，在特定局部引理条件下给出近似计数满足赋值的多项式时间算法，核心是新型2-树扩张，条件紧且匹配已知下界。
2026-10-09 cs.DM cs.DS math.PR
Perfect Sampling for (Atomic) Lovász Local Lemma
针对约束满足问题（CSP）的均匀抽样解，给出了一种基于马尔可夫链的完美抽样器。在一些温和的Lovász局部引理条件下，CSP的每个约束都有少量的禁止局部配置，我们的算法是准确和有效的：它输出一个完美的一致随机解，其预期运行时间是拟线性的变量的数量。在我们的工作之前，完美的采样器仅在更严格的条件下存在于CSP中（Guo，Jerrum和Liu，JACM'19）。我们的算法有两个组成部分：1。使用边界链的简单完美抽样算法（Huber，STOC'98; Haggstrom和Nelander，Scandinavian Journal of Statistics'99）。如果每个变量域都很小，则该采样器是有效的。2.一个简单但强大的状态张量化技巧，将大域减少到更小的域。这个技巧是状态压缩的推广（Feng，He，and Yin，STOC'21）。我们分析的关键是一个简单的信息渗透参数，它允许我们实现甚至超过当前最佳近似采样器的边界（Jain，Pham和Vuong，ArXiv'21）。以前的相关工作要么使用复杂的算法，要么需要复杂的分析，甚至两者兼而有之。因此，我们认为我们的算法和分析的简单性是我们工作的优势。
2021-07-08 cs.DM cs.DS math.PR
Beyond the Lovasz Local Lemma: Point to Set Correlations and Their Algorithmic Applications
继Moser和Tardos的Lovasz局部引理（LLL）的开创性算法之后，已经有大量的结果分析了各种约束满足问题的局部搜索算法。考虑的算法分为两大类：rescue算法，通过不同的算法LLL条件分析;和回溯算法，通过熵压缩参数分析。本文介绍了一个新的收敛条件，无缝处理reservation，回溯，和混合算法，即，执行重新搜索和回溯步骤的算法。与过去所有的LLL工作不同，我们的条件通过量化坏事件之间的点到集的相关性来取代依赖或因果关系图的概念。因此，我们的条件同时：（i）~捕获最一般的算法LLL条件称为一个特殊的情况下;（ii）~显着简化熵压缩应用的分析;（iii）~涉及回溯算法，这是概念上非常不同的reservation算法，以LLL;最重要的是（iv）允许分析混合算法，这超出了先前技术的范围。我们给出了几个应用程序，我们的条件，包括一个新的混合顶点着色算法，扩展了最近的突破性成果Molloy着色三角形的自由图到任意图形。
2020-08-19 cs.DM cs.DS math.CO
Deterministic counting Lovász local lemma beyond linear programming
给出了一个简单的组合算法来确定性地近似计算一般约束满足问题（CSP）的满意指派数。假设CSP具有域大小$q=O(1)$，每个约束包含至多$k=O(1)$变量，与至多$Δ=O(1)$约束共享变量，并且通过均匀随机分配以至多$p$的概率被违反。该算法在改进的局部引理机制中以多项式时间返回：\[ q^2\cdot k\cdot p\cdotΔ^5\le C_0\quad\text{for a suitably small absolute constant }C_0. \]这里的关键项$Δ^5$改进了以前最知名的一般CSP的$Δ^7$ [JPV 21 b]和$k$ -CNF的特殊情况的$Δ^{5.714}$ [JPV 21 a，HSW 21]。我们的确定性计数算法是[HWY 22]中最近的快速采样算法的去随机化。该算法与以往的基于线性规划的确定性计数Lovász局部引理算法有很大不同，给出了一种确定性近似计数算法，该算法直接去随机化了快速采样算法，从而将快速采样和确定性近似计数统一在同一算法框架中.为了获得改进的制度，在我们的分析中，我们开发了一个细化的$\{2,3\}$ -树，在以前的分析中使用的计数/采样LLL。类似的技术可以应用到以前的基于LP的算法，以获得相同的改进制度，并可能是独立的利益。
2022-12-30 cs.DM cs.DS math.PR
The Lovász Local Lemma is Not About Probability
给定一个独立事件的集合，其中每个事件都有严格的正概率，所有这些事件发生的概率也是严格的正。Lovász局部引理（LLL）断言，如果事件不是太强的负相关，这仍然成立。引理的公式涉及一个图，每个事件有一个顶点，边表示潜在的负相关。LLL中的“局部”一词反映了负相关的条件可以仅用每个顶点的邻域来表示。与这种局部观点相反，希勒提出了一个精确的标准，要求避免概率严格为正，但它涉及对图的所有独立集求和。在这项工作中，我们做了两个贡献。第一个是开发一个层次结构的日益强大，越来越非本地引理边界的回避概率从下面，每个引理与一组不同的步行图。在它的第二个层次上，我们的层次结构已经比所有已知的局部引理更强了。为了证明它的力量，我们证明了新的界限的负逸度奇异性的硬核模型在几个格子，统计物理学中的一个中心问题。我们的第二个贡献是证明希勒的概率设置和独立集多项式之间的连接持有\emph{arbitrary supermodular}功能，而不仅仅是概率测度。这意味着所有的LLL机制都可以被用来从任意超模函数之下绑定，仅基于关于其在单例集上的值的信息和关于它们的相互作用的部分信息。我们表明，这很容易暗示Ambainis，Kempe和Sattath~[JACM 2012]的量子LLL，以及Sattath，Morampudi，Laumann和Moessner~[PNAS 2016]的量子Shearer判据。
2021-11-16 cond-mat.stat-mech cs.DM math.CO
Variable Version Lovász Local Lemma: Beyond Shearer's Bound
Shearer在几十年前给出了抽象版本的Lovász局部引理（abstract-LLL）成立的严格准则。然而，很少有人知道的可变版本LLL（可变LLL）的事件是由独立的随机变量产生的，虽然这种模型的事件是适用于几乎所有的应用程序的LLL。我们引入了一个必要和充分的标准可变LLL，在事件的概率和事件变量图指定事件之间的依赖关系。基于这一新的准则，我们得到了两个家庭的事件变量图，即循环和树型偶图的边界。这是变量LLL边界完全确定的前两种非平凡情况。作为一个副产品，我们还提供了一个通用的建设性的方法来找到一组事件，其工会有最大的概率，给定的概率向量和事件变量图。虽然确定可变LLL边界通常是P-困难的，但我们可以在一定程度上确定可变LLL边界和相应的抽象LLL边界之间是否存在间隙。特别是，我们表明，间隙的存在可以决定不解决希勒的条件或检查我们的变量LLL标准。配备了这个强大的定理，我们表明，没有间隙，如果事件变量图的基图是一棵树，而间隙出现，如果基图有一个长度至少为4的诱导圈。这个问题几乎完全解决，除了当基图只有3-团时，在这种情况下，我们也得到部分解。一组约简规则的建立，便于推断间隙存在的事件变量图从已知的。作为应用，各种事件变量图，特别是组合的，被证明是gapful/gapless。
2017-09-15 cs.DM math.CO
Generalizing the Sharp Threshold Phenomenon for the Distributed Complexity of the Lovász Local Lemma
最近，Brandt，Maus和Uitto [PODC'19]表明，在限制设置中，分布式Lovász局部引理（LLL）的复杂性对所选择的LLL准则的依赖性表现出尖锐的阈值现象：他们证明了，在LLL准则$p2^d < 1$下，如果每个随机变量影响最多$3$事件，则LLL的确定性复杂性在随机模型中是$O(d^2 + \log^* n)$。与此形成鲜明对比的是，在$p2^d \leq 1$标准下，Brandt等人[STOC'16]给出了$Ω(\log \log n)$的随机下限，Chang、Kopelowitz和Pettie [FOCS'16]给出了$Ω(\log n)$的确定性下限。Brandt、Maus和Uitto指出，相同的行为适用于无限制的设置，其中每个随机变量影响任意多个事件。我们证明了他们的猜想，通过提供一个算法，解决了LLL在时间$O(d^2 + \log^* n)$下的LLL标准$p2^d < 1$，这是紧的有界度图由于$Ω(\log^* n)$下界由钟，佩蒂和苏[PODC'14]。通过Brandt，Maus和Uitto的工作，得到这样一个算法可以归结为证明任意高维函数族中的所有成员在某个特定区域上是凸的。不幸的是，这些功能的分析描述是已知的，只有最多$3$的尺寸，这导致了上述限制他们的结果。虽然获得这些描述的功能（大大）更高的维度似乎达到目前的技术，我们表明，他们的凸性可…
2020-06-08 cs.DC cs.DM cs.DS
Bounds for graph regularity and removal lemmas
本文证明了，对于任意正整数k，存在一个图，它的顶点被均匀划分为k个部分，其中至少有ck^2/ \log^* k对部分不是ε-正则的，其中c，ε>0是绝对常数.这个界限是紧的常数c和地址的问题高尔斯的数量不规则对Szemerédi的规律性引理。为了获得对不规则对的一些控制，另一个正则性引理，称为强正则性引理，由阿隆，费舍尔，Krivelevich和Szegedy开发。对于这个引理，我们证明了一个关于强正则引理中部分个数的Wowzer型下界，它在Ackermann族中比塔函数高一级，本质上与上界相匹配.另一方面，对于导出图移除引理，强正则引理的标准应用，我们找到了一个不同的证明，它产生了一个塔型界。我们还讨论了几个相关的正则性引理的界，包括Frieze和Kannan的弱正则性引理以及最近建立的正则逼近定理。特别地，我们证明了具有近似参数ε的弱划分可能需要多达2^{Ω（ε^{-2}）}个部分。这是紧到隐含常数，并解决了一个问题的研究Lovász和Szegedy。
2011-07-25 cs.DM math.CO
A second moment proof of the spread lemma
本文涉及一个著名的结果，我们称之为“扩展引理”，它建立了在一个随机集中存在（具有高概率）一个所需的结构。传播引理是最近两个著名结果的核心：（a）Alweiss，Lovett，Wu和Zhang（2019）对Erdens-Rado向日葵猜想的改进边界;（b）Frankston，Kahn，Narayanan和Park（2019）对分数Kahn-Kalai猜想的证明。虽然引理最初是通过精细的计数论证证明的（后来又得到了改进），但通过香农的无噪声编码定理（Rao，2019）以及香农熵界的操纵（Tao，2020）也给出了替代证明。在本说明中，我们提出了一个新的证明的传播引理，利用明确的重铸证明的语言贝叶斯统计推断。我们表明，从这个角度来看，在一个简单的和原则性的概率的方式进行证明，导致截断二阶矩计算得出结论的证明。该证明也可以被视为Achlioptas和Coga-Oghlan（2008）在随机约束满足问题研究中引入的“种植技巧”的演示。
2022-10-10 cs.DM math.CO math.PR
Commutative Algorithms Approximate the LLL-distribution
继Lovasz局部引理（LLL）的开创性Moser-Tardos算法之后，一系列工作利用了原始分析的关键成分，即见证树引理，以便：导出用于LLL的确定性、并行和分布式算法，以估计输出分布的熵，以部分地避免坏事件，以处理超多项式的许多坏事件，甚至设计新的算法框架。同时，一个平行的工作线，建立了工具，分析随机局部搜索算法的动机LLL不属于Moser-Tardos框架。不幸的是，上述结果并不适用于这些更一般的设置。这主要是因为证明树引理不再成立。在这里，我们证明了交换算法，一类最近推出的Kolmogorov，并捕获了绝大多数的LLL应用程序，见证树引理不成立。有了这个事实，我们将Haeupler，Saha和Srinivasan的主要结果扩展到交换算法，建立这样的算法的输出很好地近似于LLL分布，即，避免了在所有坏事件条件下得到的分布，并给出了几个新的应用。例如，我们表明，最近的算法Molloy的列表着色数的稀疏，三角形的自由图可以输出指数许多列表着色的输入图。
2019-06-08 cs.DM math.CO math.PR
A short proof that $χ$ can be bounded $ε$ away from $Δ+1$ towards $ω$
1998年第二作者证明了存在一个$ε>0$使得每个图都满足$χ\leq \lceil (1-ε)(Δ+1)+εω\rceil$。第一作者最近证明了任何满足$ω> \frac 23(Δ+1)$的图都包含一个与每个最大团相交的稳定集。本文利用后一个结果对前一个结果给出一个更短、更简单的证明。我们包括，作为简单的证明，一个附录，证明了所有的中间结果，除了霍尔定理，布鲁克斯定理，洛瓦兹局部引理和塔拉格兰德不等式。
2012-11-06 cs.DM math.CO
Few hamiltonian cycles in graphs with one or two vertex degrees
本文完全否定了Haythorpe关于正则哈密顿图中最小哈密顿圈数的一个猜想，从而推广了Zamfirescu的一个结果，并修正和补充了Haythorpe在[Experim. 27（2018）426-430]。然后，我们利用Lovász局部引理推广了Lassen的独立控制集方法。关于这种方法的局限性，我们回答了一个问题的Haxell，Eklone，和Verstraete，并解决了第一个开放的情况下的问题的Eklassen。受Aldred和Aldassen的一个观察的启发，我们证明了：对于每个$κ\in \{ 2, 3 \}$和任何正整数$k$，存在无穷多个连通$κ$的非正则图，其中每个顶点的度都是$3$或$2k$ .
2022-11-15 cs.DM math.CO
