Reverse mathematics and a Ramsey-type König's Lemma
Stephen Flood
在本文中，我们提出了一个弱正则性原理，它类似于弱König引理和Ramsey定理。我们开始研究这个原则的计算强度在反向数学的背景下。然后，我们分析了推广这一原则的不同方法。
In this paper, we propose a weak regularity principle which is similar to both weak König's lemma and Ramsey's theorem. We begin by studying the computational strength of this principle in the context of reverse mathematics. We then analyze different ways of generalizing this principle.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Adjacent Ramsey theory and Higman's lemma
我们展示了一个简短的证明Higman引理使用弗里德曼的相邻拉姆齐定理对。这为Higman引理的逆数学状态及其简化版本的已知上界提供了另一种证明。
Dickson's lemma and weak Ramsey theory
我们探讨了Dickson引理和弱拉姆齐理论之间的联系。我们表明，一个弱版本的巴黎-哈林顿原则对$c$的颜色和小型化的迪克森引理$c$ -元组是等价的$\mathsf{RCA}_0^{\ast}$。此外，我们看看级联的后果弱拉姆齐定理的几个变种。
On the logical strengths of partial solutions to mathematical problems
我们使用逆向数学的框架来解决这样一个问题：给定一个数学问题，找到一个无限的部分解是否比找到一个完整的解更容易。在Flood之后，我们说一个问题的Ramsey型变体是具有相同实例但其解是原问题的无穷部分解的问题。我们研究了与柯尼希引理相关的Ramsey型问题的变体，如柯尼希引理的限制，布尔可满足性问题和图着色问题。我们发现，有时拉姆齐型变体的问题是严格容易比原来的问题（洪水显示与弱柯尼希引理），有时拉姆齐型变体的问题是相当于原来的问题。我们证明了弱柯尼希引理的Ramsey型变体在Montalban意义下是鲁棒的：它等价于自身的几个扰动。通过证明Ramsey型弱König引理等价于寻找对角非递归函数的问题，并且这些问题严格比Ramsey型弱König引理简单，从而阐明了Ramsey型弱König引理与算法随机性之间的关系.这回答了一个关于洪水的问题。
On Galvin's lemma and Ramsey spaces
在拉姆齐空间理论的框架内，证明了高尔文引理的一个抽象版本。一些实例进行了探讨。
The Strength of Ramsey's Theorem For Pairs over trees: I. Weak König's Lemma
令$\mathsf{TT}^2_k$表示组合原理，该组合原理说明全二叉树中的兼容节点对的每个$k$ -着色具有齐次解，即同构子树中的所有兼容节点对具有相同的颜色。设$\mathsf{WKL}_0$是二阶算术的子系统，它由基系统$\mathsf{RCA}_0$和满二叉树的每个无限子树都有无限路的原理（称为弱König引理）组成，我们证明了在$\mathsf{RCA}_0$上，$\mathsf{TT}^2_k$不蕴涵$\mathsf{WKL}_0$ .这解决了二阶算术两个主要子系统之间的相对强度的公开问题。
Carlson-Simpson's lemma and applications in reverse mathematics
本文研究 Carlson-Simpson 引理在逆向数学中的应用，证明 Open Dual Ramsey 定理在 ACA+0 中成立，并探讨其在 Ramsey 理论中的多种应用。
A Ramsey theorem on semigroups and a general van der Corput lemma
算术组合学中的一个主要主题是证明半群上的多重递归结果（如Szemerédi定理），这通常可以使用遍历拉姆齐理论的方法来完成。这类证明的核心通常是，对于半群的作用，某种一递归（沿着滤子混合）将自身放大为多递归。这种放大证明了使用所谓的范德科尔普特差分引理的一个合适的过滤器上的半群。这个引理的特殊例子（对于具体的过滤器）以前已经被证明过（由Furstenberg，Bergelson-McCutcheon等人），在每种情况下都有不同的证明。我们定义了一个概念的微分半群的子集和隔离类的过滤器，尊重这一概念。该类中的滤子（称为$\partial$ -滤子）包括所有已知的van der Corput引理，我们的主要结果是$\partial$ -滤子的van der Corput引理，从而推广了它以前的所有实例。这是通过证明一个Ramsey定理的图上的半群与边缘之间的半群元素标记的比率。
Ramsey-type graph coloring and diagonal non-computability
函数是对角不可计算的（d.n.c.）如果它对泛部分可计算函数对角化。民主党全国委员会函数在算法随机性和逆向数学中起着核心作用。洪水和Towsner问哪些功能h，原则说明存在一个h有界d.n.c.函数（DNR_h）蕴含Ramsey型König引理（RWKL）。本文证明了对任意可计算阶h，存在DNR_h的~ $ω$ -模型，它不是Ramsey型双色图着色原理（RCOLOR 2）的非模型，因此也不是RWKL的模型.证明结合了浓密树强迫和Lerman，Solomon和Towsner介绍的技术，将可计算的非约简转换为分离的omega模型。
The reverse mathematics of the Ordered Variable Word theorem
研究有序变量词定理的逆数学，证明其不蕴含对二染色对的拉姆齐定理，且每个可计算实例有低2度解，进而证明卡尔森-辛普森引理和开对偶拉姆齐定理在ACA0中可证。
An inside/outside Ramsey theorem and recursion theory
受Ramsey定理的启发，Rival和Sands证明了我们所说的内部/外部Ramsey定理：每个无限图$G$包含一个无限子集$H$，使得$G$的每个顶点都不与$H$的任何一个、一个或无穷多个顶点相邻。从逆向数学和Weihrauch度的角度分析了Rival-Sands定理。在逆向数学中，我们发现Rival-Sands定理等价于算术理解，因此比Ramsey定理更强。我们还确定了一个弱形式的Rival-Sands定理，相当于拉姆齐定理对。我们转向Weihrauch度，给出Rival-Sands定理的计算强度的更精细的分析。我们发现Rival-Sands定理是Weihrauch等价于弱König引理的双跳。我们相信，Rival-Sands定理是第一个显示出这种力量的自然定理。此外，通过将我们的结果与Brattka和Rakotoniaina的结果相结合，我们得到，解决Rival-Sands定理的一个实例正好对应于同时解决对的Ramsey定理的可数多个实例。最后，我们表明，弱Rival-Sands定理的统一的计算强度是弱于拉姆齐定理对显示一些著名的后果拉姆齐定理对不Weihrauch减少到弱Rival-Sands定理。我们还解决了一个明显的差距，在文献中关于Weihrauch度对应的上升/下降序列的原则和无限鸽子洞原则之间的关系。
Conservation Strength of The Infinite Pigeonhole Principle for Trees
令$\mathsf{TT}^1$是说明无限满二叉树的每个有限着色都有一个同构子树的组合原理。设$\mathsf{RT}^2_2$和$\mathsf{WKL}_0$分别表示Ramsey对定理和弱König引理的原理。证明了$\mathsf{TT}^1+\mathsf{RT}^2_2+\mathsf{WKL}_0$在基系统$\mathsf{RCA}_0$上是$Π^0_3$ -保守的.因此在$\mathsf{RCA}_0$、$\mathsf{TT}^1$和Ramsey对对定理上证明了相同的$Π^0_3$ -语句。
How strong is Ramsey's theorem if infinity can be weak?
本文研究了在相对较弱的二阶算术理论$\mathrm{RCA}^*_0$上，对于固定的$n, k \ge 2$，$n$ -元组的$k$ -着色的Ramsey定理的一阶结果。利用Chong-Mourad编码引理，我们证明了在$\mathrm{RCA}^*_0 + \neg \mathrm{I}Σ^0_1$模型中，$\mathrm{RT}^n_k$等价于它自己相对于任何适当的$Σ^0_1$可定义割的相对化，所以它的真值在具有相同一阶论域的模型的所有扩展中保持不变.给出了$\mathrm{RCA}^*_0 + \mathrm{RT}^n_k$对$n \ge 3$的一阶结果的公理化。我们表明，他们形成了一个非可公理化的子理论PA的$Π_3$片段是$\mathrm{B}Σ_1 + \exp$和$\ell \ge 1$的$Π_{\ell+3}$片段之间的$\mathrm{I}Σ_\ell \Rightarrow \mathrm{B}Σ_{\ell+1}$和$\mathrm{B}Σ_{\ell+1}$。我们还考虑了$\mathrm{RCA}^*_0 + \mathrm{RT}^2_k$的一阶后果。我们表明，他们形成了一个子理论的$\mathrm{I}Σ_2$的$Π_3$片段是$\mathrm{B}Σ_1 + \exp$和其$Π_4$片段是严格弱于$\mathrm{B}Σ_2$，但不包含在$\mat…
On uniform relationships between combinatorial problems
根据逻辑强度比较数学定理的事业是数理逻辑中的一个活跃领域。在这种情况下，称为反向数学，一个调查哪些定理可证明意味着其他弱形式理论大致对应于可计算数学。由于这种蕴涵的证明发生在经典逻辑中，原则上它们可能涉及对一个特定定理的多重应用的诉求，或者对如何在给定构造中进行的非一致决定的诉求。然而，在实践中，如果一个定理$\mathsf{Q}$蕴涵一个定理$\mathsf{P}$，这通常是因为在精确的意义上，存在由$\mathsf{P}$表示的问题到由$\mathsf{Q}$表示的问题的直接统一转换。我们研究了几个自然组合问题的上下文中的一致约简的概念，并将其与逆向数学中的传统蕴涵概念进行了比较和对比。例如，我们表明，对于所有的$n,j,k \geq 1$，如果$j < k$，那么拉姆齐定理$n$ -元组和$k$许多颜色不一致减少到拉姆齐定理$j$许多颜色。这两个定理在经典意义上是等价的，因此我们的分析给出了一个真正更精细的度量，用来衡量数学命题的相对强度。我们还研究了弱柯尼希引理，薄集定理，和彩虹拉姆齐定理，以及一些他们的变种在文献中调查。一致归约原来与数学原理的顺序形式有关，其中人们希望同时解决一个特定问题的无限多个实例。我们利用这种联系来揭示以前被认为是更密切相关的组合问题之间的新的差异点。
Dominating the Erdos-Moser theorem in reverse mathematics
Erdos-Moser定理（EM）指出，每个无限竞赛图都有一个无限传递子竞赛图。这个原理在理解拉姆齐成对定理（RT^2_2）的计算强度方面起着重要的作用，它提供了一个关于EM和升降序列原理（ADS）的RT^2_2的替代证明。本文研究了EM的计算弱点，构造了同时满足EM、弱König引理和凝聚性原理的标准模型（omega模型），它不是原子模型定理的模型。这种分离回答了Hirschfeldt，Shore和Slaman的一个问题，并表明Erdos-Moser定理的弱点超出了Lerman，Solomon和Towsner证明的EM与ADS的分离。
Separating Principles Below WKL0
在本文中，我们研究拉姆齐型Konig引理，书面RWKL，使用的技术介绍了Lerman，所罗门，和第二作者。该技术使用迭代强迫来构造满足一个原则T_1但不满足另一个原则T_2的omega模型。该技术通常允许将“一步”构造（构建T_2的实例以及T_1的每个可计算实例的解的集合）转换为Ω模型分离（构建T_2的可计算实例以及T_1成立的图灵理想）。我们通过将DNR与DNR分离来说明这种翻译（重新证明Ambos-Spies，Kjos-Hanssen，Lempp和Slaman的结果），然后应用这种技术将RWKL$与DNR分离（Bienvenu，Patey和Schafer分别显示）。
The strength of the tree theorem for pairs in reverse mathematics
目前还没有已知的自然法则严格地介于算术概括公理（ACA）和逆向数学中的拉姆齐对定理（RT^2_2）之间。然而，对的树定理（TT^2_2）是一个很好的候选者。树定理指出，对于满二叉树中可比较节点的元组上的每个有限着色，都有一个与满树同构的单色子树。已知TT^2_2原理位于ACA和RT^2_2对RCA的作用之间，但它的确切强度仍然是未知的。本文证明了RT^2_2和弱柯尼希引理（WKL）并不蕴涵TT^2_2，从而回答了Montalban的一个问题.这种分离是Lerman，Solomon和Towsner设计可计算性理论属性的方法的一个例子，该属性在反向数学中区分两个语句。因此，我们把重点放在导致这种分离的不同步骤上，以便作为反向数学中分离原则的教程。
The reverse mathematics of Hindman's theorem for sums of exactly two elements
Hindman定理（HT）指出，对于$\mathbb N$的每一个具有100多种颜色的着色，存在一个无限集合$H \subseteq \mathbb N$，使得$H$的所有不同元素的非空和具有相同的颜色。近年来，从可计算性理论和逆数学的角度对HT的限制性版本进行研究已成为一条富有成效的研究路线。具体地，HT $^{\leqslant n}_k$是HT限制为至多$n$许多元素的和，允许至多$k$颜色，HT $^{=n}_k$是HT限制为\emph{exactly} $n$许多元素和$k$颜色的和。甚至HT $^{\leqslant 2}_2$似乎也是一个强有力的原则，甚至可能意味着HT本身优于RCA $_0$。相比之下，HT $^{=2}_2$已知严格弱于RCA $_0$上的HT，因为HT $^{=2}_2$直接遵循$2$ -着色对的拉姆齐定理。事实上，HT $^{=2}_2$是否在计算上是正确的，这个问题已经公开了好几年。我们表明，HT $^{=2}_2$和类似的结果与加法取代减法和其他操作是不可证明的RCA $_0$，甚至WKL $_0$。事实上，我们表明，有一个可计算的实例HT $^{=2}_2$，使所有的解决方案可以计算一个函数，是对角不可计算相对于$\emptyset'$。因此，存在HT $^{=2}_2$的可计算实例，而没有$Σ^0_2$解，这是相对于算术层次的最佳可能结…
Countable sets versus sets that are countable in Reverse Mathematics
程序逆向数学（简称RM）旨在确定证明普通数学定理所需的公理，通常使用二阶算术$L_{2}$语言。因此，RM的一个主要主题是研究可数或可近似于可数集的结构。现在，可数集在这里用序列表示，因为通常的“可数集”的高阶定义不能用$L_{2}$表示。工作在Kohlenbach的高阶RM，我们调查各种中心定理，例如，那些由于柯尼希，拉姆齐，博尔扎诺，维尔斯特拉斯和波莱尔，在他们的（往往是原始的）制定涉及通常的定义（S）的'可数集'，而不是'序列'。这个研究结果与作者和Dag Normann最近发展的$\mathbb{R}$的不可数数的逻辑性质密切相关。现在，“可数”可以通过存在对$\mathbb{N}$的内射（Kunen）或存在对$\mathbb{N}$的双射（Hrbacek-Jech）来表达。前一种（而不是后一种）选择产生“爆炸性”定理，即相对弱的陈述，当与不连续泛函结合时变得更强，甚至达到$Π_2^1$ -CA $_0$。尽管如此，用可数集代替序列严重地降低了这些定理的一阶强度，无论使用什么样的集合概念。最后，我们得到“分裂”，涉及例如引理柯尼希和定理从RM动物园，表明后者是“更驯服”时，制定与可数集。
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