Classification of the stable solution to biharmonic problems in large dimensions
Juncheng Wei, Xingwang Xu, Wen Yang
本文给出了双调和问题$$Δ^2u=u^p,\quad u>0 in \mathbb{R}^n $$不存在稳定解的指数的一个新的界，其中$p>1, n \geq 20$ .
We give a new bound on the exponent for the nonexistence of stable solutions to the biharmonic problem $$Δ^2u=u^p,\quad u>0 in \mathbb{R}^n $$ where $p>1, n \geq 20$.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Stable proper biharmonic maps in Euclidean spheres
本文构造了从单位球到欧几里得球面的首个显式稳定真弱双调和映射族，通过建立双能量第二变分公式并分析特定映射的稳定性实现。
Stable determination of the first order perturbation of the biharmonic operator from partial data
研究双调和算子在三维及以上领域的一阶扰动的逆边界值问题，通过部分狄利克雷到神经元映射建立对数型稳定性估计。
The Gel'fand problem for the biharmonic operator
研究了一类四阶非线性椭圆型方程在整个空间和有界区域上的稳定解。
On stable solutions of biharmonic problem with polynomial growth
证明了双调和问题$Δ^2 u= u^p$，$u>0$在$\R^N$中对于$1 < p < \infty$和$N < 2(1 + x_0)$的光滑稳定解的不存在性，其中$x_0$是下列方程的最大根：$$x^4 - \frac{32p(p+1)}{(p-1)^2}x^2 + \frac{32p(p+1)(p+3)}{(p-1)^3}x -\frac{64p(p+1)^2}{(p-1)^4} = 0.$$特别地，当$p > 1$为$x_0 > 5$时，我们得到了对于任何$N \leq 12$和$p > 1$的光滑稳定解的不存在性.此外，我们还考虑了半空间$\R^N_+$中的相应问题，或有界光滑区域$Ø$上的椭圆问题$Δ^2 u= ł(u+1)^p$，其Navier边界条件。我们将证明在低维极值解的正则性。我们的结果改进了以前的工作。
Classification of positive solutions to a nonlinear biharmonic equation with critical exponent
对于$n \geq 5$，我们考虑了原点具有不可可去奇点的双调和方程\[ Δ^2 u = u^\frac{n+4}{n-4} \qquad \text{on}\ \mathbb R^n \setminus \{0\} \]的正解$u$.我们证明了$|x|^{\frac{n-4}{2}} u$是$\ln |x|$的周期函数，并对用这种方法得到的所有周期函数进行了分类。这一结果是相关的描述的渐近行为附近的奇点和$Q$ -曲率问题的共形几何。
Liouville theorems for stable Lane-Emden systems and biharmonic problems
本文研究了由{equation} \label{system_abstract}-Δ u = v ^p，\qquad-Δ v = u ^θ，\qquad\{in} \IR^N，{equation}为$ 1 < p \le θ$和四阶标量方程{equation} \label{fourth_abstract} Δ ^2 u = u ^θ，\qquad\{in $ \IR^N$，}{equation}为$ 1 < θ$的椭圆方程组.证明了正稳定解的各种Liouville型定理。例如，我们证明了（\ref{system_abstract}）（分别是）不存在正稳定解.（\ref{fourth_abstract}））提供了$ N \le 10$和$ 2 \le p \le θ$（分别$ N \le 10$和$1 < θ$）。更高的维度的结果也得到了。这些关于全空间上稳定解的结果暗示了{方程} \label{eq_half_abstract}-Δ u = v ^p，\qquad-Δ v = u ^θ，\qquad\{in} \IR^{N-1}，{方程}在$ \partial \IR^N_+$上有$ u=v=0$的正（可能不稳定）有界解的各种Liouville定理.特别地，对于任何$ 2 \le p \le θ$，如果$ N \le 11$，则不存在（\ref{eq_half_abstract}…
Classification of Positive Radial Solutions to A Weighted Biharmonic Equation
本文考虑加权四阶方程$$Δ(|x|^{-α}Δu)+λ\text{div}(|x|^{-α-2}\nabla u)+μ|x|^{-α-4}u=|x|^βu^p\quad \text{in} \quad \mathbb{R}^n \backslash \{0\},$$，其中$n\geq 5$，$-n<α<n-4$，$p>1$和$(p,α,β,n)$属于临界双曲线$$\frac{n+α}{2}+\frac{n+β}{p+1}=n-2.$$.另一方面，设$v(t):=|x|^{\frac{n-4-α}{2}}u(|x|)$，$t=-\ln |x|$，则对于原点具有不可去奇异性的径向解$u$，如果$α\in (-2,n-4)$和$λ$，$μ$满足一定条件，则$v(t)$是周期函数;而对于$α\in (-n,-2]$，存在具有不可去奇异性的径向解，且对应的函数$v(t)$不是周期函数.我们还得到了与Caffarelli-Kohn-Nirenberg型不等式密切相关的最佳常数和对称破缺的一些结果。
Liouville theorem on a half-space for biharmonic problem with Dirichlet boundary condition
本文研究了非线性椭圆型Hénon型方程：$$\D^{2} u= |x|^a|u|^{p-1}u \; \,\,\mbox{in}\,\,\,\, \R^{n}_{+}, \quad \quad u =\frac{\partial u}{\partial x_n} = 0 \quad \mbox{in}\,\,\,\, \partial \R^{n}_{+},$$，其中含有$p>1$和$n\geq 2$ .特别地，我们证明了一些Liouville型定理稳定在无穷远的解决方案。主要的方法是积分估计，Pohozaev型恒等式和单调性公式。
Uniform resolvent estimates and absence of eigenvalues of biharmonic operators with complex potentials
本文研究维数大于四时带复位势的双调和算子，给出保证谱稳定的显式排斥性/小性条件，涵盖临界 Rellich 型位势，并在加权空间中建立均匀预解估计。
Normalized ground states for a biharmonic Choquard equation with exponential critical growth
本文考虑了如下双调和Choquard型问题\begin{align*} \begin{split} \left\{ \begin{array}{ll} Δ^2u-βΔu=λu+(I_μ*F(u))f(u), \quad\mbox{in}\ \ \mathbb{R}^4, \displaystyle\int_{\mathbb{R}^4}|u|^2dx=c^2,\quad u\in H^2(\mathbb{R}^4), \end{array} \right. \end{split} \end{align*}的归一化基态解，其中$β\geq0$，$c>0$，$λ\in \mathbb{R}$，$I_μ=\frac{1}{|x|^μ}$和$μ\in (0,4)$，$F(u)$是$f(u)$的原函数，$f$是在Adams不等式意义下具有指数临界增长的连续函数.利用基于同伦稳定族的极大极小原理，我们得到了上述问题至少存在一个基态正规解。
A Monotonicity Formula and a Liouville-type Theorem for a Fourth Order Supercritical Problem
我们考虑非线性四阶问题$$ Δ^2 u=|u|^{p-1}u\ \{in} \ \R^n,$$的Liouville型和部分正则性结果，其中$ p>1$和$n\ge1$ .我们给出了一个完整的分类的稳定和有限的莫尔斯指数的解决方案（无论是积极的或符号变化），在整个指数范围。我们还计算了奇异极值解集的豪斯多夫维数的上界。我们的方法是由Fleming的切锥分析技术的极小曲面和Federer的降维原理的部分正则性理论。其中一个重要工具是双调和方程的单调性公式。
Classification of the stable solution to the fractional $2<s<3$ Lane-Emden equation
我们对下列非局部Lane-Emden方程的稳定解（正的或变号的，径向的或非径向的）进行了分类：$(-Δ)^s u=|u|^{p-1}u$在$\mathbb{R}^n$中对于$2<s<3$ .
Classification of stable solutions for boundary value problems with nonlinear boundary conditions on Riemannian manifolds with nonnegative Ricci curvature
本文从Sternberg和Zumbrun的经典工作中得到一个Poincaré型几何公式，并给出了具有非负里奇曲率的黎曼流形上具有非线性Robin条件的线性椭圆问题稳定解的分类结果.这里得到的结果是一个完善的结果最近建立的Bandle，Mastrolia，Monticelli和Punzo。
Classification of Solutions to a Critical Fourth-Order Equation on Complete Non-compact Manifolds
研究非紧流形上临界双调和方程，通过Bernstein方法和连续性方法建立最优二阶导数估计，证明若存在正有限能量解则流形等距于欧氏空间并给出解的显式形式。
On the classification of the spectrally stable standing waves of the Hartree problem
考虑了具有一般幂非线性和空间维数的分数阶Hartree模型。我们构造变分的“规范化”的解决方案，相应的Choquard-Pekar模型-特别是一些关键的属性，如光滑性和钟形的建立。作为一个后果的建设，我们表明，这些孤子是光谱稳定的时间相关的Hartree模型的解决方案。此外，我们分析了经典Hartree问题的Moroz-Van Schaftingen孤子在任意维数和幂次非线性下的谱稳定性。一个完整的分类，其中的主要结论是，只有和确切的“正规化”的解决方案（只存在于一部分的范围）是谱稳定的。
Stable solutions to fractional semilinear equations: uniqueness, classification, and approximation results
本文研究带一般 Dirichlet 外部条件的分数阶半线性方程稳定解，建立唯一性、分类及有界稳定解逼近结果，并用于证明低维半 Laplace 情形的内部正则性。
On the Classification of Stable Solutions of some elliptic equations in half-space
本文研究了一类具有混合非线性边界条件的半线性椭圆型问题的稳定解，可能是无界的且变号的。主要利用Pohozaev恒等式、解的单调性公式和一个blowdown序列证明了稳定解的不存在性。
Classification of stable solutions to a non-local Gelfand-Liouville equation
研究了非局部Gelfand-Liouville问题$$ (-Δ)^su=e^u\quad\mathrm{in}\quad \mathbb{R}^n,$$的有限Morse指标解，其中对每个$s\in(0,1)$和$n>2s$都有解.精确地说，我们证明了当奇异解$$u_{n,s}(x)=-2s\log|x|+\log \left(2^{2s}\frac{Γ(\frac{n}{2})Γ(1+s)}{Γ(\frac{n-2s}{2})}\right)$$不稳定时，有限Morse指数解的不存在性。
Classification of the structures of stable radial solutions for semilinear elliptic equations in $\bf R^N$
本文研究了半线性椭圆方程在R^N中稳定径向解的结构分类，通过分析f'(u)F(u)的极限来判断解的存在性与非存在性，并探讨了奇异稳定解与解结构的关系。
On the homotopy classification of elliptic operators on stratified manifolds
我们找到了分层流形上椭圆算子的稳定同伦分类。也就是说，我们建立了模稳定同伦的椭圆算子集与奇异流形的$K$ -同调群的同构。作为推论，我们得到了Atiyah-Bott型阻碍内椭圆算子Fredholm的一个显式公式.
Elliptic Theory on Manifolds with Corners: II. Homotopy classification and $K$-Homology
建立了角点流形上椭圆型伪微分算子的稳定同伦分类，并证明了椭圆型算子的模稳定同伦集同构于某个分层流形的K-同调群.作为应用，推广了Monthubert和Nistor最近的一些结果.
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