Improved Recovery Guarantees for Phase Retrieval from Coded Diffraction Patterns
在这项工作中，我们分析了随机衍射图案的傅立叶测量的相位恢复的问题。为此，我们考虑最近推出的PhaseLift算法，该算法用凸优化的语言来表达问题。我们提供了需要O（log^2 d）不同衍射图案的恢复保证，从而改进了Candes等人的最近结果。[arXiv：1310.3240]，其需要O（log^4 d）不同图案。
2016-01-26 cs.IT math.IT quant-ph
Phase Retrieval Using Unitary 2-Designs
我们考虑相位恢复问题的一个变体，其中向量被酉矩阵代替，即，未知信号是酉矩阵U，测量值由平方内积组成|Tr（C*U）|由观察者选择的酉矩阵C。当未知过程是幺正操作时，这个问题可以应用于量子过程层析成像。我们表明，相位电梯，相位恢复的凸规划算法，可以适应这个矩阵设置，使用测量采样从酉4-和2-设计。在酉4-设计测量的情况下，我们表明，PhaseLift可以重建所有酉矩阵，使用接近最佳数量的测量。这扩展了以前使用球形4-设计的PhaseLift工作。在酉2-设计测量的情况下，我们表明，PhaseLift平均仍然工作得很好：它恢复几乎所有的信号，直到一个恒定的附加误差，使用接近最佳的测量数量。这些2-设计测量对于量子过程层析成像是方便的，因为它们可以通过随机基准测试技术来实现。这是使用2-设计的PhaseLift的第一个正面结果。
2017-05-12 cs.IT math.IT math.ST
Stable low-rank matrix recovery from 3-designs
RWTH Aachen University（亚琛工业大学）
本文研究了从3设计中稳定恢复低秩矩阵的方法，通过核范数最小化建立了与4设计相似的恢复保证，解决了3设计的恢复问题。
2025-12-12 cs.IT math.IT
Robust Outlier Bound Condition to Phase Retrieval with Adversarial Sparse Outliers
研究从含对抗性稀疏离群值的无相位测量中恢复信号的问题，证明 Robust-PhaseLift 模型在离群值比例 $s<0.1185$ 时能精确恢复信号，并在 $s>0.1185$ 时以高概率失败。
2023-11-22 cs.IT math.FA math.IT
Phase Retrieval Without Small-Ball Probability Assumptions
在相位恢复问题的上下文中，已知某些自然类别的测量（诸如傅立叶测量和随机伯努利测量）不会导致所有可能信号的唯一重构，即使与某些实际可行的随机掩模组合。为了避免这个困难，分析通常被限制为满足小球概率条件的测量集合（或掩模），以确保重建是唯一的。本文给出了一个补充结果：对于随机伯努利测量，仍然有一大类信号可以唯一地重建，即那些信号是“非峰值”的。事实上，这个结果更普遍：它适用于从任何亚高斯分布D中采样的随机测量，没有任何小球条件。这是证明在两个方面：第一，证明的稳定性和唯一性，第二，一个统一的恢复保证的相位提升算法。在所有这些情况下，测量的数量m接近信息理论的下限。最后，对于随机Bernoulli测量与擦除，它表明，相位电梯实现统一恢复的所有信号（包括峰值的）。
2017-09-11 cs.IT math.IT math.ST
Fixed point theory and semidefinite programming for computable performance analysis of block-sparsity recovery
Washington University in St. Louis（华盛顿大学圣路易斯分校）
本文利用固定点理论和半定规划计算凸块稀疏恢复算法的性能界，通过将优度度量与半定规划定义的函数的固定点关联，实现了可计算的性能界。
2011-10-05 cs.IT cs.NA math.IT
Sparse Signal Recovery from Quadratic Measurements via Convex Programming
Department of Mathematics, Stanford University（斯坦福大学）；Department of Mathematics, University of California, Berkeley（加州大学伯克利分校）
本文研究从二次测量中恢复稀疏信号的问题，提出通过凸优化程序以高概率恢复信号（至多相差一个常数因子），并给出稀疏度的充分和必要条件。
2012-09-21 cs.IT cs.NA math.IT
Low rank matrix recovery from rank one measurements
我们研究了通过核范数最小化从欠采样测量中恢复厄米特低秩矩阵$X \in \mathbb{C}^{n \times n}$。我们考虑其中测量是Frobenius内积的特定场景，其中对于一些测量向量$a_1,...,a_m$，具有形式为$a_j a_j^*$的随机秩一矩阵，即，测量值由$y_j = \mathrm{tr}(X a_j a_j^*)$给出。要恢复的矩阵$X=x x^*$是秩1的情况减少到无相估计的问题（从测量，通过最近引入的PhaseLift方法的$y_j = |\langle x,a_j\rangle|^2$）。我们推导出的测量，保证成功的统一恢复的Hermitian秩$r$矩阵，无论是矢量$a_j$，$j=1,...,m$，被独立地随机选择根据一个标准的高斯分布，或$a_j$被独立地从一个（近似）复杂的投影$t$设计与$t=4$的测量数$m$的界限。在高斯情况下，我们需要$m \geq C r n$测量，而在$4$设计的情况下，我们需要$m \geq Cr n \log(n)$。我们的结果是一致的，在这个意义上，一个随机选择的测量向量$a_j$保证恢复所有秩$r$ -矩阵同时具有高概率。此外，我们证明了鲁棒性的恢复扰动下的测量噪声。近似$4$ -设计的结果推广和改进了最近的绑定由于格罗斯，Kueng和Krahmer的相位恢复。此外，它在量子态层析成像中也有应用。我们的…
2014-10-25 cs.IT math.IT math.PR
Phase Transitions and Cosparse Tomographic Recovery of Compound Solid Bodies from Few Projections
University of Heidelberg（海德堡大学）；University of Applied Sciences（应用科学大学）
研究有限角度断层测量中从二维和三维域中恢复唯一稀疏信号的方法，通过线性规划实现唯一恢复，实验表明其在实际应用中表现良好。
2013-11-03 cs.IT cs.NA math.IT
An Elementary Proof of Convex Phase Retrieval in the Natural Parameter Space via the Linear Program PhaseMax
相位恢复问题已经获得了显着的关注，因为相位提升算法的发展，这是一个凸的程序，在提升空间的矩阵。由于大量的计算成本，由于提升，相位恢复的许多方法已被开发，包括非凸优化算法，在自然参数空间中操作，如Wirtinger流。最近，一种称为PhaseMax的凸公式已经被发现，并且已经被证明可以在最佳样本复杂度下通过自然参数空间中的线性规划来实现相位恢复。目前PhaseMax的证明依赖于统计学习理论或几何概率理论。在这里，我们提出了一个简短而基本的证明，PhaseMax完全恢复实值向量从随机测量下的最佳样本复杂度。我们的证明只依赖于标准的概率集中和覆盖参数，比那些需要统计学习理论，几何概率或类似Wirtinger Flow方法的高度技术参数的证明更简单，更直接。
2016-11-12 cs.IT math.IT math.OC
Exact and Stable Covariance Estimation from Quadratic Sampling via Convex Programming
Stanford University（斯坦福大学）
本文研究了通过凸优化从二次采样中提取高维数据协方差结构的方法，探讨了低秩、Toeplitz低秩、稀疏性等结构假设，并展示了在无噪声情况下能实现准确的协方差估计。
2015-03-19 cs.IT cs.LG cs.NA
Stable Recovery and Benign Overparameterized Landscapes for Phase Retrieval from Coded Diffraction Patterns
The Hong Kong University of Science and Technology（香港科技大学）；The Hong Kong Polytechnic University（香港理工大学）
针对编码衍射图样相位恢复，证明使用对数数量随机掩模时，PhaseLift型凸程序达到高斯型稳定恢复界，且非凸分解损失在过参数化宽度下具有良性景观，所有临界点对应真实信号。
2026-09-28 cs.IT math.IT
Linear Programming Bounds for Locally Recovery Codes II
提出一个多项式规模线性规划界，用于$q$元全符号局部可修复码，通过保留三块联合汉明重量而非单一距离，在多数测试案例中优于现有界，并精确确定多个最大码大小和线性维数。
2026-09-16 cs.DM cs.IT math.CO
Sparse Recovery Beyond Compressed Sensing: Separable Nonlinear Inverse Problems
从非线性测量中提取信息是数据分析中的一个基本挑战。在这项工作中，我们考虑可分离的反问题，其中的数据被建模为一个线性组合的功能，非线性地依赖于某些参数的兴趣。这些参数可以表示人脑中的神经元活动、电磁波的频率、细胞中的荧光探针或生物组织的磁弛豫时间。可分离的非线性反问题可以转化为欠定稀疏恢复问题，并利用凸规划求解。这种方法在从物理学到医学成像的各个领域都取得了经验性的成功，但缺乏理论依据。特别是，压缩感知理论不适用，因为测量算子是确定性的，并违反非相干条件，如限制等距属性。我们的主要贡献是稀疏恢复适应确定性设置的理论。我们表明，凸规划成功地恢复感兴趣的参数，只要它们的值是足够不同的测量算子的相关结构。通过数值实验说明了两个应用程序的理论结果：热源定位和估计脑电数据的大脑活动。
2020-07-05 cs.IT cs.NA eess.SP
Strongly Convex Programming for Exact Matrix Completion and Robust Principal Component Analysis
National University of Defense Technology（国防科技大学）；University of Iowa（爱荷华大学）
在矩阵完备（MC）和鲁棒主元分析（RPCA）中，一个共同的任务是从给定的数据矩阵中恢复一个低秩矩阵。近年来，特别是Cand`es等人的开创性工作发表后，这些问题引起了应用科学各领域的极大关注。MC和RPCA中的一个基本结果是，基于核范数的凸优化在适当的条件下导致精确的低秩矩阵恢复。在本文中，我们扩展了这一结果表明，强凸优化可以保证准确的低秩矩阵恢复以及。本文的结果不仅提供了强凸模型导致精确低秩矩阵恢复的充分条件，而且对实际算法中如何选择合适的参数具有指导意义。
2012-01-05 cs.IT cs.LG math.IT
Minimization of the $q$-ratio sparsity with $1 < q \leq \infty$ for signal recovery
在本文中，我们提出了一个通用的尺度不变的方法，通过最小化的$q$比稀疏稀疏信号恢复。当采用$1 < q \leq \infty$时，给出了基于$q$ -比率约束最小奇异值（CMSV）的理论分析和基于非线性分式规划的实用算法。数值实验表明，所提出的方法优于最先进的稀疏恢复方法的优越性能。
2020-10-07 cs.IT math.IT
Blind Deconvolutional Phase Retrieval via Convex Programming
我们考虑的任务是恢复两个真正的或复杂的$m$ -矢量从无相位傅立叶测量其循环卷积。我们的方法是一种新的凸松弛，是基于一个提升矩阵恢复配方，允许一个非平凡的凸松弛的卷积的双线性测量。我们证明，如果这两个信号属于已知的随机子空间的尺寸$k$和$n$，那么它们可以恢复到固有的缩放模糊度与$m >> (k+n) \log^2 m$无相测量。我们的方法提供了第一个理论上的恢复保证这个问题的计算效率的算法，并不需要一个解决方案估计计算初始化。我们的证明基于Rademacher复杂性估计。此外，我们提供了一个ADMM实现的方法，并提供数值实验，验证理论。
2018-06-21 cs.IT math.IT
Stochastic Block Model for Hypergraphs: Statistical limits and a semidefinite programming approach
New York University（纽约大学）
研究了一个随机超图模型中的社团发现问题，我们称之为$k$ -一致超图的随机块模型（$k$ -SBM）.我们研究了$k$ -SBM中的精确恢复问题，并证明了在一个阈值附近会发生急剧的相变：在阈值以下，不可能以非零概率恢复社区，但在阈值以上，存在一个几乎渐近肯定地恢复社区的估计。我们还考虑了一个简单的，有效的算法的精确恢复问题是基于半定松弛技术。
2018-07-08 cs.IT cs.LG math.IT
Simultaneous Phase Retrieval and Blind Deconvolution via Convex Programming
我们考虑的任务是恢复两个真正的或复杂的$m$ -矢量从无相位傅立叶测量其循环卷积。我们的方法是一种新的凸松弛，是基于一个提升矩阵恢复配方，允许一个非平凡的凸松弛的卷积的双线性测量。我们证明，如果这两个信号属于已知的随机子空间的尺寸$k$和$n$，那么它们可以恢复到固有的缩放模糊度与$m \gg (k+n) \log^2 m$无相测量。我们的方法提供了第一个理论上的恢复保证这个问题的计算效率的算法，并不需要一个解决方案估计计算初始化。我们的证明是基于Rademacher复杂性估计。此外，我们提供了一个交替方向的乘法器（ADMM）的实现方法，并提供数值实验，验证理论。
2019-05-11 cs.IT math.IT
Phase Retrieval Meets Statistical Learning Theory: A Flexible Convex Relaxation
我们提出了一个灵活的凸松弛的相位恢复问题，在自然域的信号。因此，我们避免了禁止计算成本与“提升”和半定规划（SDP）的方法，如PhaseLift和最近开发的非凸相位检索技术的竞争。我们放松的二次方程的无相测量不等式约束，其中每个代表一个对称的“板”。通过一个简单的凸规划，我们提出的估计找到一个极值点的交叉点，这些板块是最好的对齐与给定的锚向量。我们表征几何条件，证明成功的建议估计。此外，使用统计学习理论中的经典结果，我们表明，随机测量的几何证书持有概率高，在最佳的样本复杂度。我们的估计器的相变是通过模拟评估。我们的数值实验还表明，所提出的方法可以解决相位恢复问题的编码衍射测量以及。
2017-03-16 cs.IT cs.LG math.FA
Cutoff for exact recovery of Gaussian mixture models
我们确定的信息理论截断值的聚类中心分离的集群标签的确切恢复$K$组件高斯混合模型具有相等的集群大小。此外，我们表明，一个半定规划（SDP）放松的$K$ -均值聚类方法实现精确恢复，而无需假设对称的聚类中心，这样的尖锐的阈值。
2020-11-30 cs.DS cs.IT math.IT
Joint Sparsity Recovery for Spectral Compressed Sensing
压缩感知（Compressed Sensing，CS）是一种有效的方法，可以减少先验基础上重建稀疏信号所需的样本数，但可能会受到基础失配的严重影响。在本文中，我们研究的问题，同时恢复多个频谱稀疏的信号，支持在相同的频率位于任意单位圆。我们提出了一个原子范数最小化问题，它可以被看作是一个连续的对应的离散CS制定和有效地解决通过半定规划。通过数值实验，我们表明，每个信号的样本数可以进一步减少利用联合稀疏模式的多个信号。
2014-02-03 cs.IT math.IT
Complex phase retrieval from subgaussian measurements
相位恢复是指从形式为$y_i = \big\vert \langle ξ^{\left(i\right)}, x_0 \rangle \big\vert^2 $的$m$测量重构未知矢量$x_0 \in \mathbb{C}^n$或$x_0 \in \mathbb{R}^n $的问题，其中$ \left\{ ξ^{\left(i\right)} \right\}^m_{i=1} \subset \mathbb{C}^m $是已知测量矢量。虽然高斯测量允许恢复任意信号，只要测量的数量在维度的数量上至少线性地缩放，但是已经表明，对于某些其他类别的测量$ \left\{ ξ^{\left(i\right)} \right\}^{m}_{i=1}$，例如伯努利测量或傅立叶测量，可能出现模糊性。在本文中，我们将证明，即使当一个亚高斯向量$ ξ^{\left(i\right)} \in \mathbb{C}^m $不满足小球概率假设，相位提升方法仍然能够重建一个大类的信号$x_0 \in \mathbb{R}^n$的测量。这将Krahmer和Liu最近的工作从实值扩展到复值。然而，我们的证明策略是完全不同的，我们希望一些新的证明思想在其他几个测量场景中也是有用的。然后，我们扩展我们的结果$x_0 \in \mathbb{C}^n $到一个额外的假设，正如我们所示，是必要的。
2020-07-17 cs.IT math.IT math.ST
Super-Resolution of Point Sources via Convex Programming
Center for Data Science, NYU（纽约大学数据科学中心）
本文通过凸优化方法解决低分辨率数据中点源恢复问题，证明在源间距大于1.26/f时可实现精确恢复，并展示了该方法在混合正弦和脉冲以及共享支撑点源估计中的扩展应用。
2016-09-08 cs.IT cs.NA math.IT
Adaptive Variable Step Algorithm for Missing Samples Recovery in Sparse Signals
恢复任意位置的样本是在稀疏信号中丢失最近吸引了显着的研究兴趣。具有严重损坏的任意位置的样本的稀疏信号可以通过省略损坏的样本并将它们视为在恢复过程期间不可用而以与压缩感测信号相同的方式进行分析。缺失样本的重建是通过使用一种公知的重建算法来完成的。在本文中，我们将提出一个非常简单和有效的自适应变步长算法，直接适用于浓度的措施，没有重新制定的标准线性规划形式内的重建问题。直接应用梯度方法的不可微形式的措施，导致我们引入一个可变步长的算法。提出了一种自适应算法参数变化的判据。以稀疏信号（包括近似稀疏信号和含噪稀疏信号）为例说明了结果。
2013-09-23 cs.IT math.IT
Community Detection with Known, Unknown, or Partially Known Auxiliary Latent Variables
The University of Texas at Dallas（德克萨斯大学达拉斯分校）
经验观察表明，在实践中，社区成员资格并不能完全解释观察图的边缘之间的依赖关系。图边缘的残差依赖性在本文中建模，一阶，辅助节点的潜变量，影响图边缘的统计，但没有携带有关感兴趣的社区的信息。然后，我们研究了图中的社区发现服从随机块模型和截尾块模型与辅助潜变量。当这些辅助潜变量是未知的，代表未知的滋扰参数或模型不匹配时，我们分析了精确恢复的条件。我们还分析了确切的恢复时，这些次要的潜在变量已被完全或部分揭示。最后，我们提出了一个半定规划算法恢复所需的标签时，二级标签是已知的或未知的。我们表明，精确的恢复是可能的半定规划下降到各自的最大似然精确恢复阈值。
2023-01-08 cs.IT cs.LG cs.SI
A Theory of Super-Resolution from Short-Time Fourier Transform Measurements
虽然尖峰序列显然不是带限的，但超分辨率理论告诉我们，如果尖峰之间的最小间距$Δ$不太小，则可以从低通傅立叶变换测量中完美恢复未知尖峰位置和权重。具体而言，对于$f_c$的测量截止频率，Donoho [2]表明，如果尖峰（在$\mathbb{R}$上）位于晶格和$Δ> 1/f_c$上，则精确恢复是可能的，但没有指定相应的恢复方法。Cand $\text{è}$ s和Fernando-Granda [3，4]提供了一种用于恢复周期性尖峰序列的凸规划方法（即，在环面$\mathbb{T}$上的尖峰序列），如果$Δ> 2/f_c$和$f_c \geq 128$或者如果$Δ> 1.26/f_c$和$f_c \geq 10^3$，则其可证明成功，并且不需要基本周期内的尖峰位于晶格上。在本文中，我们开发了一个理论的超分辨率从短时傅里叶变换（STFT）的测量。具体地说，我们提出了一个恢复方法类似的精神[3]中的纯傅立叶测量。对于宽度为$σ= 1/(4f_c)$的STFT高斯窗函数，如果$Δ> 1/f_c$，则该方法可证明成功，而对$f_c$没有限制。我们的理论是基于测量理论制定的恢复问题，这导致相当大的普遍性的意义上的结果是网格免费和适用于尖峰列车上的$\mathbb{R}$和$\mathbb{T}$。$\mathbb{R}$上的尖峰列车的情况伴随着重大的技术挑战。对于恢复尖峰列车$\mathbb…
2017-01-23 cs.IT math.IT
Exact Sparse Recovery with L0 Projections
Cornell University（康奈尔大学）；Rutgers University（罗格斯大学）
许多应用涉及稀疏信号，例如，从监控摄像机拍摄的连续图像之间的差异中检测异常。本文主要研究在N维空间中恢复K-稀疏信号x的问题。在压缩感测（CS）的主流框架中，通过诸如线性编程（LP）的某种优化过程，从M个非自适应线性测量y = xS恢复向量x，其中S（大小为NXM）通常是高斯（或类高斯）设计矩阵。在我们提出的方法中，设计矩阵S是从具有$α\approx 0$的$α$稳定分布生成的。我们的解码算法主要需要一个线性扫描的坐标，其次是几个迭代的少数坐标是“未定”在前一次迭代。与两个强基线，线性规划（LP）和正交匹配追踪（OMP）的比较表明，我们的算法可以显着更快的解码速度和更准确的恢复质量，为准确的备用恢复的任务。我们的方法对测量噪声是鲁棒的。即使没有足够的测量，我们的算法仍然可以可靠地恢复非零坐标的重要部分。为了提供理解我们的方法的直觉，我们还通过假设一个理想化的设置来分析该过程。有趣的是，当K=2时，“理想化”算法仅用3次测量就实现了精确恢复，而与N无关。对于一般K，“理想化”算法所需的样本量约为5 K。
2013-02-04 cs.IT cs.LG math.IT
Unified Theory for Recovery of Sparse Signals in a General Transform Domain
压缩感知为稀疏信号提供了数据采集范例。值得注意的是，已经表明，实用算法提供了从以接近最佳采样率获得的噪声线性测量的鲁棒恢复。在许多实际应用中，感兴趣的信号通常不是在正则基中而是在某个变换域（例如小波或有限差分）中是稀疏的。压缩感知的理论被扩展到分析稀疏模型，但已知的扩展仅限于传感矩阵和稀疏化变换的特定选择。本文利用凸规划方法给出了一般变换域上稀疏信号鲁棒恢复的统一理论。特别是，我们的研究结果适用于一般的收购和稀疏模型，并显示如何恢复的测量数量取决于测量和稀疏化变换的属性。此外，我们还提供了我们的结果的情况下，在变换中的原子具有不同的不相干参数和未知的信号表现出结构化的稀疏模式的扩展。特别是，部分傅立叶恢复稀疏信号的循环变换，我们的主要结果表明，均匀随机采样。数值结果表明，变密度随机抽样我们的主要结果提供了优越的恢复性能比已知的采样策略。
2017-08-02 cs.IT math.IT
Sparse Recovery from Nonlinear Measurements with Applications in Bad Data Detection for Power Networks
University of Iowa（爱荷华大学）；Rensselaer Polytechnic Institute（伦斯勒理工学院）；Cornell University（康奈尔大学）
本文提出一种迭代混合ℓ1和ℓ2凸规划方法，通过局部线性化非线性测量实现状态估计，并给出线性与非线性测量下的性能界与收敛条件，应用于电力网络不良数据检测。
2013-01-05 cs.IT cs.LG cs.SY
One-bit compressed sensing by linear programming
我们给出了一位压缩感知问题的第一个计算上易于处理且几乎是最优的解决方案，展示了如何从x的O（s log^2（n/s））随机线性测量的符号中准确地恢复R^n中的s-稀疏向量x。回收率是通过一个简单的线性规划。这个结果扩展到近似稀疏向量x。我们的结果是普遍的意义上说，以高概率，一个测量方案将成功地恢复所有稀疏向量同时。该论点是基于解决一个等价的几何问题随机超平面镶嵌。
2012-03-16 cs.IT math.IT math.PR
Phase Transitions in Recovery of Structured Signals from Corrupted Measurements
Beijing Institute of Technology（北京理工大学）
本文研究了从相对较少的随机测量中恢复结构化信号的问题。尖锐的相变已在实践中观察到数值时，不同的凸规划程序来解决这个问题。本文致力于提出这些现象的理论解释，采用高斯过程理论的一些基本工具。具体来说，我们确定的精确位置的相变约束和惩罚恢复程序。我们的理论结果表明，这些相变是由一些几何结构的措施，例如，切锥的球面高斯宽度和到缩放次微分的高斯（平方）距离。利用已建立的相变理论，我们进一步研究了这两种恢复过程之间的关系，并揭示了在惩罚恢复过程中选择折衷参数的最优策略（在Lagrange理论意义下）.数值实验验证了我们的理论结果。
2021-01-03 cs.CV cs.IT math.IT
Convex recovery of a structured signal from independent random linear measurements
本章对从独立随机线性测量中恢复结构化信号的凸规划方法进行了理论分析。这种技术提供的采样复杂性的界限，与最近的结果类似的标准高斯测量，但该参数适用于更广泛的一类测量合奏。为了证明这种方法的力量，本文提出了一个简短的分析相位恢复的轨迹范数最小化。关键的技术工具是一个框架，由于门德尔松和合著者，为界定一个非负的经验过程。
2014-12-03 cs.IT math.IT math.ST
A Unified Recovery of Structured Signals Using Atomic Norm
本文提出利用原子范数在通用框架下统一恢复结构化信号，证明凸规划在零空间性质满足时能稳定鲁棒恢复，并推导出稀疏信号和低秩矩阵的新恢复结果。
2023-11-10 cs.IT math.FA math.IT
Phase Retrieval via Linear Programming: Fundamental Limits and Algorithmic Improvements
最近提出的相位恢复问题的凸公式估计未知信号通过求解一个简单的线性规划。这种新的方案，称为PhaseMax，是计算效率相比，标准的凸松弛方法的基础上提升技术。在本文中，我们提出了一个精确的性能分析的PhaseMax高斯测量下的大系统限制。与文献中已知的性能界限相比，我们的结果是渐近精确的，并且它们还揭示了尖锐的相变现象。此外，从我们的分析中获得的几何见解使我们的相位恢复问题的一个新的非凸制定和相应的迭代算法的基础上连续线性化和最大化的多面体。这种新的算法，我们称之为PhaseLamp，已证明优于原来的PhaseMax方法的恢复性能。
2017-10-14 cs.IT math.IT
Sparse Channel Reconstruction With Nonconvex Regularizer via DC Programming for Massive MIMO Systems
大规模多输入多输出系统的稀疏信道估计是近年来研究的热点。当稀疏信道状态向量可以从几个测量值中重构时，所需的导频大大减少。稀疏重建的一种流行方法是用凸正则化来解决最小二乘问题。然而，凸正则化要么太松，以强制稀疏或导致有偏估计。本文通过非凸正则化函数最小化最小二乘目标来求解稀疏信道重构问题，该正则化函数能够准确地表达稀疏约束，避免在解中引入严重的偏差。提出了一种新的算法，通过凸函数规划的差异和梯度投影下降来解决所产生的非凸优化。仿真结果表明，该算法快速准确，在重建误差方面优于现有的稀疏恢复算法。
2021-02-15 cs.IT math.IT
Multi-Structural Signal Recovery for Biomedical Compressive Sensing
压缩传感在生物医学领域已经显示出巨大的前景。它从次奈奎斯特随机线性测量重建信号。经典的方法只利用了一个域中的稀疏性。许多生物医学信号具有额外的结构，如多稀疏在不同的域，分段光滑，低秩等，我们提出了一个框架，利用所有可用的结构信息。利用多个凸结构诱导约束和线性测量拟合约束，构造了一个新的凸规划问题。利用附加的先验信息求解欠定系统，可以提高信号恢复性能。在数值实验中，我们比较了所提出的方法与经典的方法。模拟数据和现实生活中的生物医学数据。实验结果表明，新方法在L1和L2误差方面都取得了更好的重建精度性能。
2013-06-27 cs.IT math.IT stat.AP
Exact and Stable Recovery of Rotations for Robust Synchronization
特殊正交群$SO(d)$上的同步问题包括从它们的成对比率$R_{i}^{-1}R_{j}$的子集的噪声测量估计一组未知旋转$R_1,R_2,...,R_n$。这个问题已经在计算机视觉、计算机图形学和传感器网络定位等领域得到了应用。它的最小二乘解可以近似的频谱松弛或半定规划其次是一个舍入过程，类似于近似算法的\textsc{Max-Cut}。本文的贡献有三个方面：首先，我们引入了一个包含非平方偏差和的鲁棒罚函数，并导出了一个松弛函数，该松弛函数导致了一个凸优化问题：其次，我们应用交替方向法来最小化罚函数;最后，在测量噪声的特定模型下，对于完全测量图和随机测量图，我们证明了旋转是准确和稳定的恢复，表现出一个相位的转变行为的噪声测量的比例。数值模拟证实了我们的方法的相变行为，以及与现有方法相比，其提高的精度。
2013-07-15 cs.IT math.IT
Shannon Theoretic Limits on Noisy Compressive Sampling
在本文中，我们研究了在存在噪声的情况下，从压缩样本中恢复具有$L$非零系数的${\mathbb C}^M$中的稀疏信号所需的测量次数。对于一些不同的恢复标准，我们证明了$O(L)$（一个渐进的线性多个$L$）测量是必要的和充分的，如果$L$线性增长的函数$M$。这改进了现有文献，其主要集中在基于凸规划的特定恢复算法的变体上，为此需要$O(L\log(M-L))$测量。我们还表明，$O(L\log(M-L))$测量需要在次线性政权（$L = o(M)$）。
2007-11-02 cs.IT math.IT
From Blind deconvolution to Blind Super-Resolution through convex programming
本文讨论了未知信号$x\in \mathbb{R}^L$与一个未知滤波器$h \in \mathbb{R}^L$卷积后的恢复问题。这个问题，也被称为盲反卷积，已经被信号处理和应用数学界广泛研究，导致基于滤波器及其输入的各种假设的证明和算法的多样性。这种滤波器的稀疏性，或者相反，其傅里叶变换的非零性是这种假设的实例。本文的主要结果表明，在完全未知的信道的情况下，只要通过几个$N \gtrsim μ^2_m K^{1/2}$输入信号$x_n = C_n m_n$，$n=1,\ldots,N,$来探测该信道，就可以通过核范数松弛来解决盲反卷积，这些信号存在于$\mathbb{R}^L$的已知$K$维子空间$C_n$中。当$L\gtrsim K^{3/2}$和$N\gtrsim K^{1/2}$达到对数因子时，这个结果在子空间$C_n$的泛型上以很高的概率成立。我们的证明系统依赖于底层凸程序的最优性证书的构建。该证书扩展为一个诺依曼系列，并显示满足条件的矩阵编码的未知数的恢复控制在这个系列中的条款。本文的结果的一个附带的后果，从缺乏对过滤器的假设，是核范数松弛可以从盲反卷积盲超分辨率，只要未知的理想低通滤波器具有足够大的支持相比，环境尺寸$L$。数值实验支持的理论，以及它的应用盲超分辨率。
2017-09-26 cs.IT math.IT
Multi-Sparse Signal Recovery for Compressive Sensing
KU Leuven（荷语鲁汶大学）；University of Oldenburg（奥尔登堡大学）
针对在多个域中稀疏的信号，提出一种结合多稀疏约束和线性测量拟合约束的凸规划模型，以提高信号恢复性能，并以肌电信号为例验证了方法的有效性。
2012-06-04 cs.IT cs.SY eess.SY
Exact Joint Sparse Frequency Recovery via Optimization Methods
从叠加正弦信号的离散样本中恢复/估计频率是统计信号处理中的经典而重要的问题。它的研究最近已经推进了原子范数技术，利用信号的稀疏性，直接在连续频率上工作，并完全解决了以前的压缩感知方法的网格失配问题。在这项工作中，我们调查的频率恢复问题中存在的多个测量向量（MMVs）共享相同的频率分量，称为联合稀疏频率恢复和自然产生的阵列处理应用。为了研究MMVs的优势，我们首先提出了一个$\ell_{2,0}$规范一样的方法，利用联合稀疏性，并表明，可恢复的频率的数量可以增加，除了在一个平凡的情况下。虽然由此产生的优化问题被证明是秩最小化，不能实际解决，然后，我们提出了一个MMV原子规范的方法，是一个凸松弛，可以被看作是一个连续的对应的$\ell_{2,1}$规范方法。我们表明，这种MMV原子范数的方法可以解决半定规划。我们还提供了理论结果表明，在适当的条件下，频率可以准确地恢复。上述结果将MMV压缩感知结果从离散扩展到连续设置，或者将最近的超分辨率和连续压缩感知框架从单个测量向量情况扩展到多个测量向量情况。大量的仿真结果验证了我们的理论研究结果，他们也意味着，所提出的MMV原子范数方法可以提高性能方面减少所需的测量和/或放松频率分离条件。
2016-05-30 cs.IT math.IT
Sharp thresholds for high-dimensional and noisy recovery of sparsity
基于被噪声污染的观测一致地估计向量$\betastar \in \real^\mdim$的稀疏模式的问题出现在各种上下文中，包括回归中的子集选择、图形模型中的结构估计、稀疏近似和信号去噪。我们分析的行为$\ell_1$约束二次规划（QP），也被称为套索，恢复稀疏模式。我们的主要结果是建立一个尖锐的问题尺寸$\mdim$之间的关系，在$\betastar$中的非零元素的数量$\spindex$，和可靠的恢复所需的观测数$\numobs$。对于一类广泛的高斯系综满足相互不相干的条件，我们建立存在和计算明确的阈值$\ThreshLow$和$\ThreshUp$的值具有以下性质：对于任何$ε> 0$，如果$\numobs > 2 (\ThreshUp + ε) \log (\mdim - \spindex) + \spindex + 1$，那么套索成功地恢复稀疏模式的概率收敛到一个大的问题，而对于$\numobs < 2 (\ThreshLow - ε) \log (\mdim - \spindex) + \spindex + 1$，那么成功恢复的概率收敛到零。对于均匀高斯系综的特殊情况，我们证明了$\ThreshLow = \ThreshUp = 1$，使阈值是尖锐的，准确地确定。
2006-05-30 cs.IT math.IT math.ST
Off-the-grid Recovery of Time and Frequency Shifts with Multiple Measurement Vectors
我们解决的问题，估计的时间和频率偏移的一个已知的波形中存在的多个测量矢量（MMVs）。这个问题自然出现在雷达成像和无线通信中。具体地，观察信号系综，其中系综的每个信号由共享相同的连续值时间和频率分量的已知波形的少量缩放的、时间延迟的和频移的版本的叠加形成。目标是从少量的观测值中恢复连续值的时频对。在这项工作中，我们提出了一个半定规划，准确地恢复$s$对时频偏移从$L$定期间隔样本的测量向量之间的最小分离条件下的时频偏移。此外，我们证明了时频偏移的数量$s$与样本的数量$L$成线性比例，直到对数因子。大量的数值结果也被提供来验证所提出的方法的有效性在单一的测量向量（SMVs）的问题。特别是，我们发现，我们的方法导致一个宽松的最小分离条件和减少所需的样本数量。
2021-02-26 cs.IT math.IT
Corrupted Sensing: Novel Guarantees for Separating Structured Signals
我们研究的问题，损坏的感知，压缩感知的推广，其中一个目的是恢复一个信号从收集损坏或不可靠的测量。虽然在面对任意损坏时不能恢复任意信号，但是当信号和损坏都被适当地结构化时，易于处理的恢复是可能的。我们量化的信号恢复和两个几何措施的结构，高斯复杂性的切线锥和高斯距离的次微分之间的关系。我们采取凸规划的方法来解开信号和腐败，分析惩罚方案，权衡信号和腐败的复杂性，和约束方案，约束信号或腐败的复杂性时，先验信息是可用的。在每种情况下，我们提供的条件，从结构化腐败和稳定的信号恢复结构化腐败与非结构化噪声。我们的模拟表明，我们的理论恢复界限和在实践中观察到的尖锐的相变之间的密切协议。此外，我们提供了新的可解释的高斯复杂性的稀疏向量，块稀疏向量，低秩矩阵，这导致更清晰的保证恢复时，结合我们的结果和文献中的。
2014-02-04 cs.IT math.IT math.OC
Thresholded Basis Pursuit: An LP Algorithm for Achieving Optimal Support Recovery for Sparse and Approximately Sparse Signals from Noisy Random Measurements
Boston University（波士顿大学）
在本文中，我们提出了一个线性规划的解决方案，从噪声随机投影信号的稀疏信号的符号模式恢复。我们考虑两种类型的噪声模型，输入噪声，其中噪声在随机投影之前进入;和输出噪声，其中噪声在随机投影之后进入。符号模式恢复涉及到稀疏信号符号模式的估计。我们的想法是假装没有噪声存在，并解决无噪声的$\ell_1$问题，即$\min \|β\|_1 ~ s.t. ~ y=G β$和量化的结果的解决方案。我们表明，量化的解决方案完美地重建一个足够稀疏的信号的符号模式。具体来说，我们发现，一个任意的k-稀疏，n维信号$x$的符号模式可以恢复与$SNR=Ω(\log n)$和测量缩放为$m= Ω(k \log{n/k})$的所有稀疏水平$k$满足$0< k \leq αn$，其中$α$是一个足够小的正常数。令人惊讶的是，这个界限匹配的最佳\emph{Max-Likelihood}性能界限方面的$SNR$，所需的数量的测量，并允许稀疏水平，在有序的意义。与我们的研究结果相比，以前的结果的基础上LASSO和最大相关技术要么假设显着较大的$SNR$，次线性稀疏水平或限制性假设信号集。我们的证明技术是基于无噪声$\ell_1$问题的噪声扰动，在此，我们估计的最大容许噪声电平之前，符号模式恢复失败。
2010-05-08 cs.IT cs.LG math.IT
MAP Support Detection for Greedy Sparse Signal Recovery Algorithms in Compressive Sensing
Intel Labs（英特尔实验室）；University of Texas at Austin（德克萨斯大学奥斯汀分校）
一个可靠的支持检测是必不可少的贪心算法从压缩和噪声测量准确地重建稀疏信号。提出了一种新的贪心算法支持度检测方法--\textit{maximum a posteriori (MAP) support detection}。不同于现有的支持检测方法，确定支持指数的幅度最大的相关值，每次迭代，所提出的方法选择他们的最大似然比计算下的真实和空的支持假设，同时利用传感矩阵，稀疏信号和噪声的分布。利用这种技术，MAP匹配追踪（MAP-MP）首次提出了利用建议的支持检测方法的优点，并推导出了一个充分条件时，稀疏信号是二进制的情况下，完美的信号恢复。随后，一组迭代的贪心算法，称为MAP-广义正交匹配追踪（MAP-gOMP），MAP-压缩采样匹配追踪（MAP-CoSaMP），和MAP-子空间追踪（MAP-SP），以证明所提出的支持检测方法现有的贪心算法的适用性。实验结果表明，所提出的贪心算法具有高可靠性的支持检测，可以更好，更快，更容易实现比通过线性规划的基追踪。
2016-01-28 cs.IT cs.LG math.IT
Complete Dictionary Recovery over the Sphere II: Recovery by Riemannian Trust-region Method
Columbia University（哥伦比亚大学）
我们考虑恢复完整的（即，平方和可逆的）矩阵$\mathbf A_0$，由$\mathbf Y \in \mathbb{R}^{n \times p}$和$\mathbf Y = \mathbf A_0 \mathbf X_0$构成，条件是$\mathbf X_0$足够稀疏。这个恢复问题是字典学习的理论理解的核心，字典学习寻求输入信号集合的稀疏表示，并在现代信号处理和机器学习中找到许多应用。我们给出了第一个有效的算法，可证明恢复$\mathbf A_0$时，$\mathbf X_0$有$O(n)$非零每列，在适当的概率模型$\mathbf X_0$。我们的算法流水线围绕解决具有球形约束的特定非凸优化问题，因此自然地用流形优化的语言来表达。在一篇配套论文（arXiv：1511.03607）中，我们已经证明了我们的非凸公式很可能没有“虚假”局部极小值，并且在任何鞍点周围目标函数都有负方向曲率。在本文中，我们利用特殊的几何结构，并描述了一个黎曼信赖域算法，可证明收敛到一个局部极小从任意初始化。这样的极小化器给出了对$\mathbf X_0$行的极好的近似。然后通过线性规划舍入和收缩来恢复行。
2016-09-01 cs.CV cs.IT math.IT
Binary Signal Recovery in Undersampling: Iterative SDP with Majority Voting and Successive Interference Cancellation
Yaşar University（亚沙尔大学）；Boğaziçi University（博阿齐奇大学）
针对欠采样下二进制压缩感知的精确恢复难题，提出ISDP-MVSIC方法，结合随机半定规划采样、多数投票和连续干扰消除，在m/k低至0.4时仍能实现精确恢复。
2026-06-29 cs.IT eess.SP math.IT
Decoding binary node labels from censored edge measurements: Phase transition and efficient recovery
我们考虑通过观察顶点相关性的子集将图$G$聚类成两个社区的问题。具体地说，我们考虑的逆问题与观察变量$Y=B_G x \oplus Z$，其中$B_G$是图$G$的关联矩阵，$x$是未知顶点变量的向量（具有一致的先验）和$Z$是一个噪声向量与伯努利$(\varepsilon)$ i.i.d.条目所有的变量和操作都是布尔的。该模型的动机是编码，同步和社区检测问题。特别是，它对应于一个随机块模型或两个社区和删失边缘的相关聚类问题。在没有噪声的情况下，$x$的精确恢复（直到全局翻转）是可能的，当且仅当图$G$是连通的，对于Erdens-Rényi随机图，在边缘概率$\log(n)/n$处具有尖锐的阈值。本文的第一个目标是确定边缘概率PDMATHAMT需要如何缩放，以允许在存在噪声的情况下精确恢复。定义度（过采样）率的图由$α=np/\log(n)$，它表明，准确的恢复是可能的，当且仅当$α>2/(1-2\varepsilon)^2+ o(1/(1-2\varepsilon)^2)$。换句话说，$2/(1-2\varepsilon)^2$是用于在低SNR下精确恢复的信息理论阈值。此外，一个有效的恢复算法的基础上半定规划，并成功地在阈值制度的两倍的最佳速率。对于一个确定性图$G$，定义度率为$α=d/\log(n)$，其中$d$是图的最小度，结果表明，该方法实现了率$α> 4((1+λ)/(…
2014-11-04 cs.DS cs.IT math.IT
Semidefinite Programs for Exact Recovery of a Hidden Community
我们研究了一个半定规划（SDP）松弛的最大似然估计精确恢复一个隐藏的社区的基数$K$从$n \times n$对称数据矩阵$A$，其中不同的指标$i,j$，$A_{ij} \sim P$，如果$i, j$都在社区和$A_{ij} \sim Q$否则，对于两个已知的概率分布$P$和$Q$。我们确定了一个充分条件和SDP的一般模型的成功的必要条件。对于伯努利的例子（$P={\rm Bern}(p)$和带有$p>q$的$Q={\rm Bern}(q)$）和高斯情况（$P=\mathcal{N}(μ,1)$和$Q=\mathcal{N}(0,1)$ with $μ>0$），分别对应于种植稠密子图的恢复问题和子矩阵的定位问题，得到了如下结论：（1）如果$K=ω( n /\log n)$，SDP达到了具有尖锐常数的信息论恢复极限;（2）如果是$K=Θ(n/\log n)$，则SDP是阶次最优的，但严格地是次最优的，但相差一个常数因子;（3）如果是$K=o(n/\log n)$和$K \to \infty$，则SDP是阶次最优的.相同的关键缩放$K$被发现持有，直到常数因子，SDP的性能随机块模型的$n$顶点划分成多个社区的大小相等的$K$。必要条件证明的一个关键组成部分是一个原始可行解的真实集群矩阵的随机扰动的基础上建设。
2016-06-03 cs.IT cs.SI math.IT
Highly robust error correction by convex programming
本文讨论了一个程式化的通信问题，其中一个人希望发送一个实值信号x在R^n（一个块的n条信息）到远程接收器。我们问它是否有可能可靠地传输此信息时，传输的码字的一部分被任意的粗差损坏，以及当此外，码字的所有条目被较小的错误（例如量化误差）污染。我们表明，如果一个编码的信息为Ax，其中A是一个合适的m × n的编码矩阵（m >= n），有两个解码方案，允许恢复块的n条信息x几乎相同的精度，如果没有发生重大错误传输（或等效的，如果一个有一个预言提供完美的信息的网站和幅度的重大错误）。此外，这两种解码策略都是非常具体的，只涉及解决简单的凸优化程序，无论是线性规划或二阶锥规划。我们补充我们的研究与数值模拟表明，编码器/解码器对执行非常好。
2006-12-22 cs.IT math.IT math.PR
