When do the r-by-r minors of a matrix form a tropical basis?
Yaroslav Shitov
我们证明了一个d × n矩阵的r × r子式形成它们所生成的理想的热带基当且仅当r<4，或r=min（d，n），或r=4且min（d，n）<7。这回答了M. Chan，A. Jensen和E.鲁贝
We show that the r-by-r minors of a d-by-n matrix of variables form a tropical basis of the ideal they generate if and only if r<4, or r=min(d,n), or else r=4 and min(d,n)<7. This answers a question asked by M. Chan, A. Jensen, and E. Rubei.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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The 4x4 minors of a 5xn matrix are a tropical basis
我们计算了热带秩不超过3的5 × 5矩阵空间，并证明了它与Kapranov秩不超过3的5 × 5矩阵空间，即TP 4中的5个标记共面点空间是一致的。然后，我们证明了每一个5xn矩阵的Kapranov秩等于其热带秩;等价地，一个5xn变量矩阵的4x 4子矩阵形成一个热带基。这回答了一个问题提出的巴丹，桑托斯，和Sturmfels。
The $4 \times 4$ minors of a $5 \times 5$ symmetric matrix are a tropical basis
本文证明了待定$5 \times 5$对称矩阵的$4 \times 4$子式是热带基。
Tropicalizing Principal Minors of Positive Definite Matrices
本文刻画正定矩阵主子式映射像的热带化，证明其等于仿射热带旗簇与次模锥的交集，并据此发现半正定矩阵主子式的新不等式。
Minimal tropical basis for Bergman fan of matroid
拟阵的伯格曼扇是由圈定义的热带超平面的交集。热带基底是定义伯格曼扇的电路集合的子集。Yu和Yuster提出了一个问题，即每个简单正则拟阵是否都有唯一的Bergman扇极小热带基，并对图拟阵、上图拟阵和$R_{10}$证明了这一点.我们证明了每一个简单的二元拟阵都有唯一的极小热带基。由于正则拟阵是二元的，我们肯定地回答了这个问题。
On simple matroids with a unique minimal tropical basis
该研究刻画了简单拟阵的热带基，证明闭回路必含于所有热带基，进而给出具有唯一极小热带基的简单拟阵的特征，解决了Matroid Union Blog的相关问题。
Tropical curves of hyperelliptic type
我们引进超椭圆型热带曲线的概念。这些热带曲线的雅可比矩阵同构于超椭圆热带曲线的雅可比矩阵，是极化热带阿贝尔簇。我们表明，这个属性只依赖于一个热带曲线的基本图形，并保存时，通过属$\geq 2$连接未成年人。主要结果是一个排除未成年人的超椭圆型热带曲线的特征。
Dimension computations for tropical determinantal varieties and prevarieties
本文证明了当待定元$m \times n$矩阵的$r \times r$子式不是热带基时，热带前变种比热带变种有更大的维数。当r > 4时，证明了不定元$n \times n$对称矩阵的$r \times r$子式也是如此.
Stiefel tropical linear spaces
热带Stiefel映射将热带矩阵A与其热带Pluecker向量的极大子式相关联，从而与热带线性空间L（A）相关联。我们把这样得到的L（A）称为Stiefel热带线性空间。我们证明了它们是对偶的某些拟阵细分多面体的横截拟阵，我们与他们的组合的一个典型的相关热带超平面安排。我们还探讨了一个广泛的连接与次风扇的牛顿多面体的产品的所有最大的未成年人的矩阵。此外，我们还研究了由A.
The Ceresa period from tropical homology
本文定义了有限图的Ceresa周期以研究热带Ceresa圈的代数平凡性，证明了该周期为零当且仅当图为超椭圆型，并得出该条件为具有禁用子图$K_4$和$L_3$的子图闭条件。
About finite differential tropical basis for linear ODE's
本文针对线性常微分方程的热带化提出开放问题，以开发计算其经典解收敛半径的方法，研究由Fink等2022年引入的有限差分热带基，初步考察二阶与三阶情况。
A Combinatorial Formula for Principal Minors of a Matrix with Tree-metric Exponents and Its Applications
设$T$是一个顶点集为$\{ 1,2,\dots, N \}$的树。用$d_{ij}$表示顶点$i$和$j$之间的距离。本文给出了矩阵$(t^{d_{ij}})$的主子式的一个显式组合公式，及其在热带几何、多元稳定多项式研究和赋值拟阵表示中的应用.对于与$T$相关的反对称矩阵，我们也给出了一个类似的公式.
Symmetric Kapranov and symmetric tropical ranks
本文证明了当$r = 2$，$r = 3$，$r = n$时，$n \times n$对称矩阵的$r \times r$子式是热带基，而当$4 < r < n$，$r = 4, n > 12$时，$n \times n$对称不定矩阵的$r \times r$子式不是热带基.在这个过程中，引入了两个新的概念的秩的对称矩阵来自热带几何，对称热带和对称Kapranov秩，这是对称版本的标准对应定义的Rumin，Santos和Sturmfels。
On bases of tropical Plücker functions
我们考虑的功能$f:B\to\Rset$，服从热带类似的经典Plücker关系的子矩阵。我们在本文中处理的最一般的集合$B$是$\{x\in \Zset^n\colon 0\le x\le a, m\le x_1+...+x_n\le m'\}$（一个矩形整数框"从下面和上面截断“）的形式。我们构造了一个基础的热带Plücker函数集$\Tscr$ $B$，一个子集$\Bscr\subseteq B$，使限制映射$\Tscr\to\Rset^\Bscr$是双射。此外，我们的特点，在限制的基础上，类的次模，所谓的斜次模，离散凹函数在$\Tscr$，讨论热带类似的Laurentness属性，并提出其他结果。
Computing Tropical Varieties
复系数多项式环中$d$维素理想的热带簇是纯$d$维多面体扇。这个风扇被示出为在余维1中连接。我们提出的算法工具计算的热带品种，我们讨论了我们的实现这些工具中的Gröbner风扇软件\texttt{Gfan}。证明了每个理想都有一个有限的热带基，并给出了一个线性型理想的热带基的大小的下界。
Local tropical linear spaces
本文研究一般的局部热带线性空间：对于热带线性空间L下的拟阵的任何基B，我们定义局部热带线性空间L_B为L的子复形，它由使B成为极大v-权基的所有向量v组成。热带线性空间L可以表示为它的所有局部热带线性空间的并，我们证明了这些局部热带线性空间与欧几里得空间同胚。局部热带线性空间有一个简单的描述方面的多面体拟阵细分，我们证明了它们是对偶的混合细分的Minkowski和的单纯形。使用这种对偶性，我们产生紧密的上界的f-向量。我们还研究了一类热带线性空间，我们称之为锥热带线性空间，我们给出了一个简单的证明，他们满足Speyer的f-向量猜想。
A Sharp Basis-Mass Inequality for Binary Matroids without a Fano Minor
针对不含F₇子式的二元拟阵，证明了基生成多项式最大值的严格上界2^r/(r+1)，明确等号成立条件及该类拟阵的最大子式闭性质。
Tropical bases by regular projections
我们认为热带品种$\mathcal{T}(I)$的素理想$I$所产生的多项式$f_1, ..., f_r$，并重新定期介绍的投影技术，由Bieri和Groves从计算的角度来看。特别是，我们表明，$I$有一个短期的热带基数最多$r + \codim I + 1$的价格增加度，我们提供了一个计算描述这些基地。
Hypergraph characterization of split matroids
我们提供了一个组合的研究分裂拟阵，一类是出于研究拟阵多面体从热带几何的角度来看。分裂拟阵的一个很好的特点是它推广了铺路拟阵，同时在对偶下是封闭的，并且取子式。此外，这些拟阵被证明是有用的，在给出精确的渐近界的Dressian的尺寸，也暗示了新的结果的射线的热带Grassmannian。在本文中，我们引入了初等分裂拟阵的概念，分裂拟阵的一个子类，包含所有连接分裂拟阵。我们给出了初等分裂拟阵的超图刻画，并证明了这类拟阵不仅在对偶和取子式下是闭的，而且在截断下也是闭的。我们进一步表明，在分裂拟阵相反，建议的类可以由一个单一的禁止未成年人。作为应用，我们提供了一个完整的二元分裂拟阵列表。
Primitive elements in the matroid-minor Hopf algebra
引入拟阵-子式余代数C，它将拟阵作为特征基，并通过将拟阵分裂为子拟阵和各种可能的互补收缩给出余积。我们引入两个新的基地C，其中第一个是有关的杰出的基础上的秩保持弱序拟阵的Mobius反演，第二个由Mobius反演的子序不包括拟阵是不可约的自由积操作。我们证明了这些基的子集对应于不可约拟阵的集合是C的本原元的子空间的基。将C投影到拟阵子霍普夫代数H上，得到了H的本原元的子空间的基.
The tropical symplectic Grassmannian
我们展开辛格拉斯曼的热带化的研究，也就是说，所有的线性子空间是各向同性的关于一个固定的辛形式的空间。我们制定热带类似物的几个等价刻画的辛格拉斯曼，并确定它们之间的所有影响。在这个过程中，我们表明，Plücker和辛关系形成一个热带基当且仅当秩是最多2。我们提供了大量的例子表明，辛格拉斯曼的几个功能不举行热带化后。我们确切地表明，当余范范拟阵满足这些特征，以及做同样的非常系数推广。最后，我们提出了进一步研究热带辛格拉斯曼的几个方向。
The Active Bijection 2.a - Decomposition of activities for matroid bases, and Tutte polynomial of a matroid in terms of beta invariants of minors
本文引入并研究了线性序基集上拟阵的滤子，它是一种特殊的集合套序列。一个给定的基可以被分解成一个唯一定义的子式基序列，使得这些基具有等于1/0或0/1的内部/外部活动（在Tutte多项式活动的意义上）。这种分解，我们称之为主动过滤/分区的基础上，细化到内部和外部元素相对于一个给定的基础的地面集的已知分区。它可以由一个特定的闭包操作符构建，我们称之为主动闭包。它只依赖于基的基本二部图，也可以表示为一般二部图在一个线性序顶点集上的分解。由此，首先，在结构上，我们得到的所有基的集合可以是典型的划分和分解，在这样的基础上的未成年人所诱导的过滤。其次，枚举，我们推导出的Tutte多项式的拟阵的β不变量的未成年人方面的表达。该表达式同时细化了基础活动和方向活动（如果拟阵是定向的）方面的经典表达式，以及Tutte多项式的众所周知的卷积公式。第三，在同一系列的配套文件中，（No.2.b），我们使用拟阵基的这种分解，以及类似的定向拟阵的分解，以及以前论文中1/0活动情况下的双射（第一名），定义图的方向/签名/重定向和生成树/单形/基/实超平面排列/定向拟阵，以及各种相关的双射。
Basis Number of Graphs Excluding Minors
本文研究了排除固定小图H的图的基数问题，证明了此类图的基数有界，并通过结合现有结果将上界改进为多项式形式。
Markov bases of binary graph models of K_4-minor free graphs
图的马尔可夫宽度是图的不变量，定义为二进制列联表的相应图模型的马尔可夫基元素的最大度。我们证明了一个图的马尔可夫宽度最多为4当且仅当它不包含$K_4$作为一个未成年人，回答了一个问题的Reynoldin和Sullivant。给出了$Ω(n^{2-\varepsilon})$阶数关于$K_n$的马尔可夫宽度的下界.
Distances on the tropical line determined by two points
令$p',q'\in R^n$。如果$p'-q'$是$(1,\ldots,1)$的倍数，则写入$p'\sim q'$。$R^n/\sim$中的两个不同点$p$和$q$唯一地确定了一条穿过它们的热带线$L(p,q)$，并且在小扰动下是稳定的。这条线是一个平衡的无根半标记树$n$叶。它也是一个度量图。如果$p$和$q$的某些代表$p'$和$q'$是某个实正规幂等阶$n$矩阵$A$的第一列和第二列，我们证明了树$L(p,q)$是由一个矩阵$F$描述的，这个矩阵很容易从$A$得到.我们还证明了$L(p,q)$是毛毛虫。我们证明了$L(p,q)$中的每个顶点都属于连接$p$和$q$的热带线段。$L(p,q)$中存在一个最接近（相对于热带距离）$p$的顶点，表示为$pq$。$q$也是如此。$L(p,q)$中相邻顶点对之间的距离以及距离$\dd(p,pq)$、$\dd(qp,q)$和$\dd(p,q)$是矩阵$|F|$的某些项。此外，如果$p$和$q$是通用的，则树$L(p,q)$是三价的。$F$的条目是差异（即，主对角线之和减去次对角线之和）。
Planar kinematic invariants, matroid subdivisions and generalized Feynman diagrams
在Cachazo，Guevara，Mizera和作者最近的工作中，将双伴随散射振幅$m^{(k)}(\mathbb{I}_n,\mathbb{I}_n)$推广为$\mathbb{CP}^{k-1}$中$n$点的模空间上的积分，其值为运动空间$\mathcal{K}_{k,n}$上某些有理函数的和.在那里，$m^{(3)}(\mathbb{I}_6,\mathbb{I}_6)$和后来的Cachazo和Rojas证明了，当出现在$m^{(3)}(\mathbb{I}_7,\mathbb{I}_7)$中的极点集合与产生称为（非负）热带格拉斯曼多面体的最大面的射线集合对偶时，它们是完全相容的。本文导出了广义运动学不变量空间的一个显著的平面基，它在$k=2$情形下与运动学空间的通常标准平面多质点基是一致的.我们在Mathematica中实现的行动正式的线性组合的平面拟阵细分的边界算子，连同平面的基础上，确定相容性的任何给定的极点出现在扩展的$m^{(k)}(\mathbb{I}_n,\mathbb{I}_n)$，通过计算一定的组合非交叉条件的第二超单纯面$Δ_{2,n-(k-2)}$的$Δ_{k,n}$。该算法是在一个附带的Mathematica笔记本电脑和评估现有的表格的射线，在热带Plucker向量的形式，制表的最好的平面细分的$Δ_{3,8},Δ_{3,9}$和$ Δ_{4,8}$，或…
Sagbi combinatorics of maximal minors and a Sagbi algorithm
该研究通过实验探究未定元矩阵极大子式在不同单项式序下的Sagbi基相关性质，据此实现了依托Normaliz做组合计算的Singular版Sagbi算法，可计算范围较现有工具至少提升一个数量级。
Toric ideals and diagonal 2-minors
设$G$是顶点集$\{1,\ldots,n\}$上的一个单图，其边为$m$.附加到$G$的代数对象是由变量的$n \times n$矩阵的对角2-子式生成的理想$P_{G}$。本文证明了：若$G$是二部的，则$P_{G}$的每个初始理想都是由次数至多为$\left \lfloor{\frac{m+n+1}{2}} \right \rfloor$的无平方单项式生成的.此外，我们完全刻画了所有连通图$G$，其中$P_{G}$是与有限单图相关的复曲面理想。最后，我们计算了$P_{G}$在某些情况下的泛Gr{<$}bner基.
Determinantal Facet Ideals
我们考虑由不定式的$m\times n$ -矩阵的$m$ -子式的一般集合生成的理想。生成器被识别为一个$(m-1)$维纯单纯复形的刻面。由对应于这样一个复形的小平面的子式生成的理想称为行列式小平面理想。给定一个纯单纯复形$Δ$，讨论了它的行列式分面理想$J_Δ$的生成子式构成Gröbner基和$J_Δ$是素理想的问题.
A sagbi basis for the quantum Grassmannian
n次一元多项式的p乘（m + p）矩阵的极大子式本身是np次多项式。由它们的系数生成的子代数是量子Grassmannian的坐标环，量子Grassmannian是（m + p）-空间中p-平面Grassmannian中np次有理曲线空间的奇异紧化。这些子代数生成元形成一个sagbi基。由此产生的从量子格拉斯曼到复曲面簇的平坦变形给出了量子舒伯特微积分中Ravi-Rosenthal-Wang公式的一个新的“Gröbner基样式”证明。量子格拉斯曼的坐标环是一个具有拉直律的代数，它是正规的，Cohen-Macaulay，Gorenstein和Koszul，量子Plücker关系的理想具有二次Gröbner基。这对于斜量子舒伯特簇更普遍地成立。这些结果对于经典Schubert簇（n=0）是众所周知的。我们还表明，行连续的p由p-未成年人的一般矩阵形成一个sagbi的基础，我们给出了一个二次Gröbner基础的代数关系。
A Gröbner Basis for Schubert Patch Ideals
本文利用链结理论方法证明了Schubert斑块理想的本原子式构成Gröbner基，并得出相关的Kazhdan-Lusztig理想等齐次理想是glicci的结论。
Ideals of submaximal minors of sparse symmetric matrices
研究了一般稀疏对称矩阵的次极大子式理想的代数和同调性质。这个理想由对称$n \times n$矩阵的所有$(n-1)$ -子式生成，该矩阵在上三角形中的元素是不同的变量或零，并且零只允许在非对角位置。幸存的非对角条目被编码为具有$n$顶点的单图$G$。我们证明了这个理想的最小自由分解是通过一个简单的修剪过程，推广Boocher的方法，从没有任何零的情况下获得的。这使我们能够计算所有的$n$和$G$的一个单一的不变量的分次贝蒂数。而且，证明了这些理想总是根的，并且具有Cohen-Macaulay等价性当且仅当$G$是连通的或者根本没有边。关键的输入是一些新的Gröbner基的结果与非对角项的顺序相关的$G$。
The binomial edge ideal of a pair of graphs
本文引入了一类由图对所标的不定根$m\times n$ -矩阵的2-子式集生成的理想。这类理想是二项式边理想和由相邻子式生成的理想的自然的共同推广。我们确定了这类理想的极小素理想，并给出了它们的幂零度的下界。在某些特殊情况下，我们计算了它们的Gröbner基，刻画了它们的非混合性和Cohen-Macaulayness性.
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