The negative q-binomial
Shishuo Fu, Victor Reiner, Dennis Stanton, Nathaniel Thiem
在-q的q-二项式系数评价的解释进行了讨论。一个（q，t）-版本的建立，包括一个循环筛分现象涉及酉空间的一个例子。
Interpretations for the q-binomial coefficient evaluated at -q are discussed. A (q,t)-version is established, including an instance of a cyclic sieving phenomenon involving unitary spaces.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Note on Ward-Horadam H(x) - binomials' recurrences and related interpretations, II
我们在这里提供第二个新的$\textit{H(x)}-binomials'$递推公式，其中$H(x)-binomials' $阵列是由$Ward-Horadam$序列的功能，在主要考虑的情况下，选择多项式指定。其次，我们提供了一个审查选定的相关组合解释的广义二项式系数。然后，我们还提出了一种转移的解释$p,q-binomial $系数到$q-binomial$系数的解释，从而使我们回到$Gy{ö}rgy Pólya $和唐纳德欧文克努特相关的调查几十年前。
New combinatorial interpretations of the binomial coefficients
利用生成函数和一些平凡双射，本文证明了二项式系数根据交叉数对（123，132）和（123，213）-避免排列的集合进行计数。我们还定义了二次幂的q表，并证明它根据交叉次数来计数（213，312）和（132，312）避免排列的集合。
The Binomial Coefficient for Negative Arguments
根据Γ函数的二项式系数的定义也允许非整数参数。对于非负整数参数，Γ函数可简化为fascal，从而得到著名的杨辉三角形。使用Γ函数的对称公式，这个定义被扩展到负整数参数，使得二项式系数的对称性对所有整数参数都有效。这个定义与其他一些身份和二项式定理的协议进行了调查。
Lattice paths and negatively indexed weight-dependent binomial coefficients
1992年，Loeb考虑了二项式系数到负项的自然扩张，并给出了一个混合集的组合解释。他表明，许多基本性质的二项式系数继续举行在这一扩展设置。最近，Formichella和Straub表明，这些结果可以扩展到$q$ -二项式系数与任意整数值和扩展的工作Loeb进一步通过检查算术性质的$q$ -二项式系数。在本文中，我们给出了另一种组合解释格路径，并考虑扩展更一般的重量依赖的二项式系数，第二作者首次定义，任意整数值。值得注意的是，许多结果勒布，Formichella和斯特劳布继续举行的一般加权设置。我们还研究了重要的特殊情况下的重量依赖的二项式系数，包括普通的，$q$ -和椭圆二项式系数，以及小学和完整的齐次对称函数。
Combinatorial interpretations of binomial coefficient analogues related to Lucas sequences
Let s and t be variables. Define polynomials {n} in s, t by {0}=0, {1}=1, and {n}=s{n-1}+t{n-2} for n >= 2. If s, t are integers then the corresponding sequence of integers is called a Lucas sequence. Define an analogue of the binomial coefficients by C{n,k}={n}!/({k}!{n-k}!) where {n}!={1}{2}...{n}. It is easy to see that C{n,k} is a polynomial in s and t. The purpose of this note is to give two combinatorial interpretations for this polynomial in terms of statistics on integer partitions inside a k by n-k rectangle. When s=t=1 we obtain combinatorial interpretations of the fibonomial coeffic…
The q-Binomial Coefficient for Negative Arguments and Some q-Binomial Summation Identities
利用q-移位阶乘的一个性质，证明了q-二项式系数的一个恒等式，并利用这个恒等式导出了q-二项式系数的负自变量公式.这一结果与文献[1]中关于负自变量的正态二项式系数的结果一致。导出了一些新的q-二项式求和恒等式，并利用负宗量公式将这些求和恒等式相互转换。将一个q-二项式求和恒等式变换为一个新的q-二项式求和恒等式。
A probabilistic approach to some binomial identities
经典的二项式恒等式是通过对被加数给出概率解释而建立的。例子包括范德蒙恒等式和一些推广。
Gaussian binomial coefficients with negative arguments
勒布表明，通常的二项式系数自然扩张到负（整数）条目继续满足许多基本性质。特别是，他给了一个统一的二项式定理以及组合的解释方面选择子集的集合与负数的元素。我们表明，所有这些都可以扩展到高斯二项式系数的情况下。此外，我们证明了几个著名的算术性质的二项式系数也持有的情况下，负的条目。特别是，我们表明，卢卡斯定理的二项式系数模$p$不仅自然延伸到负条目的情况下，但甚至高斯的情况下。
Polynomial identities that involve binomial coefficients, double and rising factorials and their probabilistic interpretations and proofs
我们制定了几个多项式的身份。这些恒等式的一面有一个很好的简单形式。而另一种具有多项式的形式，其系数包含二项式系数双因子或（和）上升因子。这些身份的起源和证明是概率。然而，它们的形式表明在简化表达式方面的普遍应用。文中还提出了许多有用的简化公式。
Combinatorial Interpretations of $q$-Fibonacci Numbers and Their Binomial Analogues
本文提出一个推广Bergeron方法的q-Fibonacci数新模型，为q-Fibonomial系数的阶梯模型提供非双射证明，并展示了涉及该系数的新恒等式，增强了对相关数学对象的组合理解。
On b-ary binomial coefficients with negative entries
抽象的。我们推广了$b$ -ary二项式系数，它是基于早期工作中得到的生成函数。除了一个明确的表达式涉及限制划分，几个性质，如对称性，同余和Pascal的递归进行了研究。最后，我们还提供了两个不同的推广，部分满足Pascal类递归。
Matrix products of binomial coefficients and unsigned Stirling numbers
本文研究二项式系数与无符号斯特林数构成的矩阵乘积和式，分析其闭式表达、组合解释、递推关系及多项式基变换系数意义。
Combinatorial interpretations of Lucas analogues of binomial coefficients and Catalan numbers
卢卡斯序列是s和t中的多项式序列，递归地定义为{0}=0，{1}=1，并且{n}=s{n-1}+t{n-2}，其中n >= 2。在s和t的特殊化上，可以恢复斐波那契数、非负整数和q-整数[n]_q。给定一个用非负整数的乘积和乘积表示的量，通过用{n}替换表达式中n的每个因子，可以得到一个卢卡斯类比。然后，很自然地会问，所得到的有理函数是否实际上是s和t中具有非负整数系数的多项式，如果是，它算什么。第一个简单的组合解释这个多项式类似的二项式系数是由萨根和萨维奇，虽然他们的模型抵制被用来证明身份，这些卢卡斯nomials或扩展他们的想法，以其他组合序列。本文的目的是给出一个新的，甚至更自然的模型，这些Lucasnomials使用格路径，可用于证明各种等式，以及扩展到Catalan数及其亲属，如有限Coxeter群。
On some 2-binomial coefficients of binary words: geometrical interpretation, partitions of integers, and fair words
本文研究二元词的2-二项式系数，给出几何解释，证明等价类图与整数分拆格同构，并证明关于公平词的一个猜想。
Proof of bijection for combinatorial number system
组合数系统将非负自然数表示为二项式系数之和。本文给出了一个归纳证明，证明每个非负自然数$m$都存在唯一的表示为$r$的二项式系数之和。
Probability Mass Function, Moments and Factorial Moments of the Negative Binomial Distribution NB$(k,r)$
本文研究含连续成功游程的 NB$(k,r)$ 负二项分布，给出更简洁的 PMF、矩与阶乘矩表达式，并推广至重叠游程、最小间隔及 II、III 型情形。
On some Binomial Coefficient Identities with Applications
我们提出了一个不同的证明以下身份由于Munarini，推广了一个好奇的二项式身份西蒙斯。其中\begin{align*} \sum_{k=0}^{n}\binomα{n-k}\binom{β+k}{k}x^k &=\sum_{k=0}^{n}(-1)^{n+k}\binom{β-α+n}{n-k}\binom{β+k}{k}(x+1)^k, \end{align*}是非负整数，$α$和$β$是复数，它们不是负整数。我们的方法是基于一个特别有趣的组合的泰勒定理和Wilf-Zeilberger算法。我们还推广了Alzer和Kouba的一个组合恒等式，并给出了一个新的二项式和恒等式。作为应用，我们给出了许多调和数和恒等式。作为例子，我们证明了\begin{equation*} H_n=\frac{1}{2}\sum_{k=1}^{n}(-1)^{n+k}\binom{n}{k}\binom{n+k}{k}H_k \end{equation*}和\begin{align*} \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}^2H_kH_{n-k}=\binom{2n}{n} \left((H_{2n}-2H_n)^2+H_{n}^{(2)}-H_{2n}^{(2)}\right). \end{align*}
Type $1$, $2$, $3$ and $4$ $q$-negative binomial distribution of order $k$
该研究针对概率呈几何变化的二元试验序列，利用枚举组合学推导得到k阶第1、2、3、4类q负二项分布及ℓ重叠情形下的对应分布，解决了指定长度成功游程的等待时间分布问题。
Some elementary remarks on the powers of a partial theta function and corresponding q-analogs of the binomial coefficients
本文研究了偏theta函数的幂及其对应的二项式系数的q-模拟，推导出了该函数正幂和负幂系数的计算公式。
An overpartition analogue of the $q$-binomial coefficients
我们定义了一个高斯多项式（也称为$q$ -二项式系数）的过分区模拟作为一个生成函数的数量过分区拟合内的$M \times N$矩形。我们称这些新的多项式在高斯多项式或$q$ -二项式系数。研究了超$q$ -二项式系数的基本性质及其应用。特别地，通过对q-二项式系数的递归和组合解释，证明了一个Rogers-Ramaujan型分拆定理.
Sums of binomial determinants, non-intersecting lattice paths and positivity of Chern-Schwartz-MacPherson classes
我们给出了一个Chern-Schwartz-MacPherson类的正性猜想的组合解释，正如P. P. Schiffi和作者在以前的论文中所述。它转化为一个积极的性质，由二项式系数组成的p乘p行列式的总和，推广经典的Lindstrom-Gessel-Viennot定理等。我们证明了这个猜想p= 2，3。
A positivity conjecture for a quotient of $q$-binomial coefficients
本文提出关于$q$-二项系数商的正性猜想，并证明了两个非平凡案例，同时将其扩展到假高斯序列，推导出Kreweras单词的循环求和多项式具有非负整数系数。
(q,t)-analogues and GL_n(F_q)
我们从二项式系数的（q，t）-推广开始。它可以被看作是一个多项式在t取决于一个整数q，与组合的解释时，q是一个正整数，和代数解释时，q是一个有限域的顺序。这些（q，t）-二项式系数及其解释在两个方向上进一步推广，一个与Schur函数的列严格表和Macdonald的"第七变分“有关，另一个与排列统计和来自GL_n（F_q）不变量理论的Hilbert级数有关。
Remarkable relations between the central binomial series, Eulerian polynomials, and poly-Bernoulli numbers
负整数处的中心二项级数表示为某两个多项式值的线性组合。我们证明了其中一个多项式是二元欧拉多项式的特殊值，另一个多项式与多伯努利数的反对角和有关。作为应用，我们证明了Stephan在2004年的观察。
Combinatorial Formula for the Partition Function
在这篇文章中，我们将推出一个组合公式的分拆函数p（n）。本文的第二部分将建立划分与q-二项式系数之间的联系，并对q-二项式系数给出新的解释。
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