Finite Modules over $\Bbb Z[t,t^{-1}]$
Xiang-dong Hou
设$Λ=\Bbb Z[t,t^{-1}]$是$\Bbb Z$上的Laurent多项式环.我们用$|M|=p^n$对所有的$Λ$ -模$M$进行分类，其中$p$是素数，$n\le 4$是素数.因此，我们对$n\le 4$有一个$p^n$阶的Alexander量子点的分类。
Let $Λ=\Bbb Z[t,t^{-1}]$ be the ring of Laurent polynomials over $\Bbb Z$. We classify all $Λ$-modules $M$ with $|M|=p^n$, where $p$ is a primes and $n\le 4$. Consequently, we have a classification of Alexander quandles of order $p^n$ for $n\le 4$.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Modules over etale groupoid algebras as sheaves
作者以前已经把具有单位$\Bbbk$的交换环和具有局部紧的Hausdorff全不连通的单位空间的Etale广群$\mathscr G$与一个$\Bbbk$ -代数$\Bbbk\mathscr G$联系起来。代数$\Bbbk\mathscr G$不必是单位的，但它总是有局部单位。广群代数类包括群代数、逆半群代数和Leavitt路代数。本文证明了酉$\Bbbk\mathscr G$ -模范畴等价于$\mathscr G$上$\Bbbk$ -模层范畴.作为结果，我们得到了一个新的证明最近的结果，森田等价群胚有森田等价代数。
A new approach to Baer and dual Baer modules
设$R$为环。证明了一个$R$ -模$M$是Baer（分别为.对偶Baer）当且仅当每个正合序列$0\rightarrow X\rightarrow M\rightarrow Y\rightarrow 0$与$Y\in$ Cog $(M_R)$（resp. $X\in$ Gen $(M_R)$）分裂。这表明，是（对偶）Baer是一个森田不变性质。作为进一步的应用，研究了$R$ -模$M^+ $ = Hom $_{\Bbb Z}(M,{\Bbb Q}/{\Bbb Z})$的Baer条件，证明了当$R^+$是Baer $R$ -模时，$R$是von Neumann正则环.研究了具有（弱）链条件的Baer模，当Baer模（分别为. dual Baer）模是相互正交的素数（分别为互质）模块。研究了交换环上的对偶Baer模的生成性
Characterisation and applications of $\Bbbk$-split bimodules
我们描述了双模的结构（有限维代数上），它具有这样一个双模的张量函子将任何模发送到投射模的性质。主要结果是所有这样的双模都是$\Bbbk$ -分裂的，因为它们在$\Bbbk$ -向量空间上因子化（在双模的张量范畴内）。作为一个应用，我们证明了任何简单$2$ -范畴在$\Bbbk$ -分裂双模的$2$ -范畴内都有一个忠实的$2$ -表示.作为另一个应用，我们分类了代数$\Bbbk[x,y]/(x^2,y^2,xy)$上投射双模的$2$ -范畴的简单传递$2$ -表示.
Frobenius-Perron dimensions of integral $\Bbb Z_+$-rings and applications
本文引入整$\Bbb Z_+$ -环的Frobenius-Perron维数的概念，并给出这一概念在具有唯一非平凡单模的有限维拟霍普夫代数，素维数$p$的拟Hopf和霍普夫代数的分类中的一些应用.
Noetherian Rings Whose Annihilating-Ideal Graphs Have finite Genus
设$R$是交换环，${\Bbb{A}}(R)$是具有非零化子的理想集. $R$的零化理想图定义为具有点集${\Bbb{A}}(R)^*={\Bbb{A}}\setminus\{(0)\}$的图${\Bbb{AG}}(R)$使得两个不同的点$I$和$J$相邻当且仅当$IJ=(0)$ .我们刻画了交换诺特环$R$，其零化理想图具有有限亏格$γ(\Bbb{AG}(R))$。证明了若$R$是Noether环，使得$0<γ(\Bbb{AG}(R))<\infty$，则$R$只有2个理想.
Direct products of modules and the pure semisimplicity conjecture
本文证明了，如果$R$是Artin代数或交换Noetherian整环的克鲁尔维数$1$，则$R$ -模的无限直积抵抗直和分解如下：如果$(M_n)_{n \in \Bbb N}$是一族非同构的、非生成的、不可分解的$R$ -模，则$\prod_{n\in \Bbb N} M_n$不是有限生成模的直和.讨论了这种直积条件对纯半单性问题的影响。
Generalised Witt algebras and idealizers
设$\Bbbk$是特征为零的代数闭域，$Γ$是$\Bbbk$的加法子群. Kaplansky-Santharabhane和苏的结果分类中间系列表示的广义维特代数$W_Γ$在三个家庭，一个参数化的${\mathbb A}^2$和两个${\mathbb P}^1$。本文利用第一族构造了一个从包络代数$U(W_Γ)$到${\Bbbk}[a,b]$的斜扩张的同态$Φ$。我们发现，图像的$Φ$包含在一个（双）理想化子环的这种斜扩展和理想化的表示理论解释了这三个家庭。进一步证明了$U(W_Γ)$在$Φ$下的象不是左或右诺特象，从而给出了$U(W_Γ)$不是诺特象的新证明.我们构建$Φ$作为一个应用程序的一般技术，从移位不变的模块家庭创建环同态。设$G$是任意群，$A$是$G$ -分次环.如果$M_g$对于所有$g \in G$都是一维的，则分级$A$ -模块$M$是中间系列模块。给定一个由$X$方案参数化的移位不变的中间级数$A$ -模族，我们构造了一个从$A$到${\Bbbk}[X]$的斜扩张的同态$Φ$. $Φ$的内核由那些零化$X$中所有模块的元素组成。
The geometry of uniserial representations of finite dimensional algebras III: Finite uniserial type
给出了有限维代数上的单模序列${\Bbb S}= (S(0),S(1),\dots,S(l))$的一种刻划，对于这种序列，只有1000个具有连续合成因子$S(0),\dots,S(l)$的唯一单列模.给出了一个代数只允许有有限个单列模的同构类型的充要条件。研究的主要工具是仿射代数簇，它们用合成列${\Bbb S}$参数化幺单列模。
The Annihilating-Ideal Graph of Commutative Rings II
本文继续研究交换环的零化-理想图，这是在第一部分中介绍的（见[5]）。设$R$是交换环，${\Bbb{A}}(R)$是具有非零化子的理想集，$Z(R)$是零因子集。$R$的零化理想图定义为：对于每个不同的$I$和$J$，$I\hspace{-0.6mm}-\hspace{-1.7mm}-\hspace{-1.7mm}-\hspace{-0.5mm}J$是边当且仅当$IJ=(0)$的顶点是$\Bbb{A}(R)^* =\Bbb{A}(R)\hspace{-1mm}\setminus\{(0)\}$的（无向）图${\Bbb{AG}}(R)$.首先，我们研究了${\Bbb{AG}}(R)$的直径。当$R$是Noether环或$Z(R)$不是$R$的理想时，完全根据$R$的理想给出了可能直径的刻画.其次，我们研究了零化理想图的着色。在其他结果中，我们表征当$χ({\Bbb{AG}}(R))\leq 2$或$R$减少和$χ({\Bbb{AG}}(R))\leq \infty$。还表明，对于每个约化环$R$，$χ(\Bbb{AG}(R))= cl(\Bbb{AG}(R))$。此外，如果$χ(\Bbb{AG}(R))$是有限的，则$R$有有限个极小素数，如果$n$是这个数，则$χ(\Bbb{AG}(R))= cl(\Bbb{AG}(R))= n$。最后，我们证明了对Noether环$R$，$cl…
Linear conjugacy
我们称群或半群的两个元素是$\Bbbk$ -线性共轭的，如果它们在$\Bbbk$上的任何线性表示下的像是共轭矩阵.本文刻画了任意域$\Bbbk$上有限半群（特别是有限群）的$\Bbbk$ -线性共轭.
Stable Categories of Graded Maximal Cohen-Macaulay Modules over Noncommutative Quotient Singularities
倾斜对象在三角范畴研究中起着关键作用。Iyama和Takahashi的一个著名结果是商奇点上分次极大Cohen-Macaulay模的稳定范畴有倾斜对象。本文利用非交换代数几何证明了Iyama和Takahashi定理的一个非交换推广。也就是说，如果$S$是Noether AS-正则Koszul代数，且$G$是作用在$S$上的有限群，使得$S^G$是Gorenstein孤立奇点，则分次极大Cohen-Macaulay模的稳定范畴${\underline {\operatorname {CM}}}^{\Bbb Z}(S^G)$有倾斜对象.特别地，范畴${\underline {\operatorname {CM}}}^{\Bbb Z}(S^G)$是三角形等价于有限维代数的导出范畴。
Rings Whose Annihilating-Ideal Graphs Have Positive Genus
设$R$是交换环，${\Bbb{A}}(R)$是具有非零化子的理想集. $R$的零化理想图定义为具有点集${\Bbb{A}}(R)^*={\Bbb{A}}\setminus\{(0)\}$且两个不同点$I$和$J$相邻的图${\Bbb{AG}}(R)$当且仅当$IJ=(0)$ .研究了零化理想图具有正亏格$γ(\Bbb{AG}(R))$的交换环$R$.证明了若$R$是Artin环使得$γ(\Bbb{AG}(R))<\infty$，则$R$有2个理想或$(R,\mathfrak{m})$是Gorenstein环，其极大理想$\mathfrak{m}$和${\rm v.dim}_{R/{\mathfrak{m}}}{\mathfrak{m}}/{\mathfrak{m}}^{2}=2$ .对于任意两个整数$g\geq 0$和$q>0$，对于$R$的每一个极大理想${\mathfrak{m}}$，都有100多个满足以下条件的Artin环$R$的同构类：（i）$γ(\Bbb{AG}(R)) < g$和（ii）$|R/{\mathfrak{m}}| \leq q$.另外，还证明了若$R$是非整环Noether局部环，使得$γ(\Bbb{AG}(R))<\infty$，则$R$是Gorenstein环或$R$是有2个理想的Artin环.
Cayley Digraphs of Matrix Rings over Finite Fields
利用矩阵环上的\emph{unit-graphs}和\emph{special unit-digraphs}证明了当$n>1$时，$\Bbb F_q$上的每个$n \times n$非零矩阵都可以表示为两个$\operatorname{SL}_n$ -矩阵之和.我们计算这些图的Kloosterman和的特征值，并研究其谱性质，并证明，如果$X$是$\operatorname{Mat}_2 (\Bbb F_q)$的大小为$|X| > \frac{2 q^3 \sqrt{q}}{q - 1}$的子集，那么$X$包含至少两个不同的矩阵，其差异有行列式$α$任何$α\in \Bbb F_q^{\ast}$。利用这个结果，我们还证明了一个和积型结果：如果$A,B,C,D \subseteq \Bbb F_q$满足$\sqrt[4]{|A||B||C||D|}= Ω(q^{0.75})$为$q \rightarrow \infty$，则$(A - B)(C - D)$等于$\Bbb F_q$的全部.特别地，如果$A$是具有基数$|A| > \frac{3} {2} q^{\frac{3}{4}}$的$\Bbb F_q$的子集，则子集$(A - A) (A - A)$等于全部$\Bbb F_q$。我们还恢复了一个经典的结果：任何奇数阶的有限环中的每个元素都可以写成两个单位的和。
On finitely graded Iwanaga-Gorenstein algebras and the stable categories of their (graded) Cohen-Macaulay modules
讨论了分次Iwanaga-Gorenstein（IG）代数$A$及其（分次）Cohen-Macaulay（CM）模的表示理论.通过拟Veronese代数的构造，原则上我们可以将研究归结为$A$是平凡扩张代数$A = Λ\oplus C$的情形，其阶数为$ \text{deg} Λ= 0, \ \text{deg} C = 1$ .在前面的研究中，我们利用导出的张量积和导出的Homs，给出了$A$关于$Λ$和$C$是IG的充要条件.为了简单起见，我们假设$Λ$是有限的整体尺寸的续集。本文证明了$A$是IG的条件具有三角范畴解释。证明了若$A$是IG，则CM-模的分次稳定范畴$\underline{\mathsf{CM}}^{\Bbb{Z}} A$可实现为导出范畴$\mathsf{D}^{\mathrm{b}}(\text{mod } Λ)$的容许子范畴.作为推论，我们推出了Grothendieck群$K_{0}(\underline{\mathsf{CM}}^{\Bbb{Z}} A)$是无有限秩的.我们给出了几个应用程序。其中，对于$A_{2}$或$A_{3}$的路径代数$Λ= \Bbb{k} Q$，我们给出了$Λ$ - $Λ$ -双模$C$的完整列表，使得$Λ\oplus C$是IG（resp.有限的整体维度）通过使用上述三角分类解释。
Universal deformation rings of a special class of modules over generalized Brauer tree algebras
本文计算了广义Brauer树代数上周期弦模的泛变形环，并对一类特定广义Brauer树代数中含单模的Ω-稳定分支中的模完成了泛变形环分类，综合运用了Brauer图代数的表示论工具及导出等价理论。
Weakly-morphic modules
设$R$是交换环，$M$是$R$ -模，$φ_a$是$M$的右乘$a\in R$的自同态.如果$M/φ_a(M)\cong \ker(φ_a)$作为$R$-每个$a$的模块，我们就说$M$是{ \it弱形态}。我们研究了这些模，并利用它们构造了环$R/\text{Ann}_R(M)$，其中$\text{Ann}_R(M)$是$M$的右零化子.一个核直接或象直接模$M$是弱态的当且仅当$R/\text{Ann}_R(M)$的每个元素作为$M$的自同态元素是正则的。若$M$是整环$R$上的弱morphic模，则$M$是无挠的当且仅当它是可除的当且仅当$R/\text{Ann}_R(M)$是域.一个非负生成的$\Bbb Z$ -模是弱morphic当且仅当它是有限的;它是morphic当且仅当它是弱morphic并且它的每个主分支都是$(\Bbb Z_{p^k})^n$的形式，对于一些非负整数$n$和$k$。
Ehresmann Semigroups Whose Categories are EI and Their Representation Theory : Extended Version
本文研究了一类Ehresmann半群的单模和投射模，Ehresmann半群是逆半群的一个推广。设$S$是有限右（左）限制Ehresmann半群，其相应的Ehresmann范畴是EI-范畴，即每个自同态都是同构.证明了范畴为EI的有限右限制Ehresmann半群的集合是伪簇。证明了半群代数$\Bbbk S$（域$\Bbbk$上）的单模是由$S$的极大子群的单模通过相应的Schützenberger模导出的.此外，我们证明了在具有良好特征的域上，不可分解的投射模可以用类似的方式描述，但使用广义格林关系代替标准格林关系。作为一个自然的例子，我们考虑的幺半群$\mathcal{PT}_{n}$的所有部分功能的$n$ -元素集。本文给出了复数域上不可分解的投射模的一个自然描述，并得到了它们的维数公式。此外，我们发现某些零元的Cartan矩阵。
A Note on Finite Number Rings
本文定义并研究了有限数环 $\mathbb{Z}_n[\sqrt[m]{r}]$，证明其同构于 $\mathbb{Z}_n[x]/\langle x^m-r\rangle$，并给出素数情形下的结构刻画，提供了一种初等且适合教学的处理方式。
A Criterion for the Normality of Polynomials over Finite Fields Based on Their Coefficients
本文证明了存在基于系数的多项式 $h_n$，当不可约多项式代入系数后不为零时即可判定其正规性，并显式计算了 $n\le5$ 的情况及特征为 $p$ 时的简化判定多项式 $h_{p,n}$，该准则同样适用于具有循环伽罗瓦群的任意域。
Regular evolution algebras are universally finite
本文证明了任意给定域$\Bbbk$上的演化代数是泛有限的。换句话说，给定任何有限群$G$，存在无穷多个正则发展代数$X$使得$Aut(X)\cong G$。证明是建立在建设一个协变的忠实函子从有限简单（非定向）图的类别（有限维）的正规演化代数。最后，我们证明了$\Bbbk$上的任意常数有限代数仿射群概型$\mathbf{G}$同构于正则演化代数的自同构的代数仿射群概型.
The Annihilating-Ideal Graph of Commutative Rings I
设$R$是一个交换环，其${\Bbb{A}}(R)$的理想集具有非零化子.本文及其续篇引入并研究了$R$的{ \it零化理想图}，记为${\Bbb{AG}}(R)$ .它是顶点为${\Bbb{A}}(R)^*:={\Bbb{A}}(R)\setminus\{(0)\}$的（无向）图，两个不同的顶点$I$和$J$相邻当且仅当$IJ=(0)$。首先，我们研究了${\Bbb{AG}}(R)$的一些有限性条件。例如，它表明，如果$R$不是一个域，那么${\Bbb{AG}}(R)$具有ACC（分别，DCC）当且仅当$R$是诺特（分别，Artinian）。当$R$是Artin环或可分解环时，${\Bbb{AG}}(R)$的顶点集和$R$的非零真理想集具有相同的基数.对于环$R$，得到${\Bbb{AG}}(R)$有$n$顶点$(n\geq 1)$当且仅当$R$只有$n$非零真理想。接下来，我们研究了${\Bbb{AG}}(R)$的连通性。证明了${\Bbb{AG}}(R)$是连通图，且$diam(\Bbb{AG})(R)\leq 3$是连通图，若${\Bbb{AG}}(R)$包含圈，则$gr({\Bbb{AG}}(R))\leq 4$是连通图.此外，环$R$的图${\Bbb{AG}}(R)$是完整的或星，以及环$R$的${\Bbb{AG}}(R)$的每个顶点是一个素数（或极大）理想。在第二部分…
Acyclicity test of complexes modulo Serre subcategories using the residue fields
本文针对交换诺特环上的Serre子范畴，提出利用剩余域检验复形无环性的充要条件，给出其在Tor与Ext函子关系中的应用，并得到正则环和Gorenstein环的新刻画。
Direct products of modules and the pure semisimplicity conjecture. Part II
证明了Noether代数的模范畴（即，代数模有限的诺特中心）和域上的仿射诺特PI代数享有以下乘积性质：每当一个直积$\prod_{n \in \Bbb N} M_n$生成的不可分解模$M_n$是一个直和的和生成的对象，有重复之间的同构类型的$M_n$ .具有此性质的环满足纯半单猜想，该猜想规定单侧纯整体维数为零必然有有限表示型。
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