Graceful and Prime Labelings -- Algorithms, Embeddings and Conjectures
本文给出了从一个已知的（非）优美图生成优美图的四种算法。给出了图是高优美图和高临界图的若干必要条件。最后对优美图、临界图和高优美图作了一些讨论。将RingelRosa-Kotzig猜想推广到高优美图.本文对MayedaSeshu树生成算法进行了改进，使之能生成p阶树的所有可能的优美标号，并给出了一个用整数模p表示的替代算法，该算法包含了p阶树的所有可能的优美标号，并观察到一些有趣的性质。最佳和优美的图嵌入（不一定是连通的）。另外还给出了将图嵌入优美图的子图和诱导子图的证明。本文提出了一种获得最佳优美嵌入的算法。给出了图是超优美图的一个必要条件。由此得到了几类非超优美图。研究了图到超优美图的嵌入问题。最后给出了至多五个结点的超优美图的一个目录。给出了图的最优优美嵌入和超优美嵌入。列出了素图和超素图的图论性质。给出了非素图最小边数的一个好的上界，并提出了一些猜想，其中特别包含了Entringers素树猜想.本文还提出了一个关于正则素数图的猜想。
2020-06-06 math.CO
On super edge-graceful trees of diameter four
在“On the super edge graceful trees of even orders”中，Chung、Lee、Gao和Schaffer提出了以下问题：刻画直径为4的树是超边优美的。在本文中，我们提供了超级边缘优美的标记，所有的毛毛虫，甚至尺寸龙虾的直径4，允许这样的标签。我们还为几个直径为4的奇数尺寸龙虾家庭提供超级边缘优美的标签。
2011-06-15 math.CO
Graceful Labeling of Two Families of Spiders
Auburn University（奥本大学）
本文研究了双族蜘蛛的优雅标记问题，提出了一种新的方法，证明了特定结构的蜘蛛是优雅的，并给出了显式的标记方法。
2026-05-15 math.CO
On $(k,d)$-Hooked Skolem Graceful Graphs
一个图$(p, q)$图$G = (V, E)$称为$(k, d)$ -hooked Skolem优美的，如果存在一个双射$f:V (G)\rightarrow \{1, 2, \dots, p-1, p+1\}$使得由$g_f (uv) = |f(u) - f(v)|$ $\forall uv \in E$定义的导出边标号$g_f : E \rightarrow \{k, k+d, \dots, k+(n-1)d \}$也是双射的，其中$k$和$d$是正整数.这样的标号$f$称为$G.$的$(k, d)$ -钩Skolem优美标号注意，当$k = d = 1$时，这个概念与图G的钩Skolem（HS）优美标号一致.本文给出了$(k, d)$ -钩Skolem优美图的一些初步结果，证明了$nK_2$是$(2, 1)$ -钩Skolem优美图的充要条件是$n \equiv 1~\mbox{or}~2(\bmod~ 4)$ .
2017-05-18 math.CO
A Note on Set Graceful Labeling of Graphs
我们在[S]中肯定地解决了一个猜想。M. Hegde，Set colorings of graphs，European Journal of Combinatorics 30（4）（2009），986- 995]：如果集合X的某些子集被内射地赋给完全二部图G的所有顶点，使得所有集合的集合是X的所有非空子集的集合，其中每个集合是赋给某条边的端点的集合的对称差，G是一颗星。
2011-01-14 math.CO
One Curious Identity Counting Graceful Labelings
该研究针对素因子含两个不同素数且指数均为n的正整数a、b，证明完全二部图K_{a,b}的本质不同α-优美标号数等于二项式系数四次方的交错和，建立了图论标号与组合恒等式的关联。
2021-01-31 math.CO
Alternating Extremes in Graceful Labelings of Full Binary Trees and Spider Trees
Faculty of Mathematics and Computer Science, University of Bucharest（布加勒斯特大学数学与计算机科学系）
研究完全二叉树和蜘蛛树优美标号中固定形式的交替极值问题，证明了梳状完全二叉树的固定脊柱猜想并计算验证相关完全二叉树，证明蜘蛛树自匹配腿填充定理，给出相关计算结果并表述六臂问题。
2026-07-16 math.CO
On $k$-Super Graceful Labeling of Graphs
该文研究图的$k$-超优美标号问题，给出相关一般性质，得到多类（完全）二部、三部图$k$-超优美性的充分条件，且证明部分条件同时是必要的。
2023-05-04 math.CO
A Study on Integer Additive Set-Graceful Graphs
图$G$的集合标号是一个内射函数$f:V(G)\to \mathcal{P}(X)$，其中$X$是一个有限集合，$G$的集合索引子是一个集合标号，使得由$f^{\oplus}(uv) = f(u){\oplus}f(v)$对每个$uv{\in} E(G)$定义的导出函数$f^{\oplus}:E(G)\rightarrow \mathcal{P}(X)-\{\emptyset\}$也是内射的.整数加性集合标记是内射函数$f:V(G)\rightarrow \mathcal{P}(\mathbb{N}_0)$，$\mathbb{N}_0$是所有非负整数的集合，整数加性集合索引器是整数加性集合标记，使得由$f^+ (uv) = f(u)+ f(v)$定义的导出函数$f^+:E(G) \rightarrow \mathcal{P}(\mathbb{N}_0)$也是内射的。本文将集优美标号的概念推广到图的整数可加集标号，并给出了一些结果。
2015-09-27 math.CO
New graceful diameter-6 trees by transfers
给定图$G$，$G$的标号是内射函数$f:V(G)\rightarrow\mathbb{Z}_{\ge 0}$。在标记$f$下，顶点$v$的标记是$f(v)$，并且边$uv$的诱导标记是$|f(u) - f(v)|$。如果顶点的标号是$\{0, 1, \ldots , |V(G)| - 1\}$，且边的导出标号是不同的，则标号$f$是优美的.图$G$是优美的，如果它有优美标号。优美树猜想，由Kotzig在1960年代后期提出，指出所有的树都是优美的。是否每个直径为6的树都有优美标号是一个公开问题。本文证明了：如果$T$是一棵中心顶点和根都是$v$的树，使得不在最后两层的每个顶点都有奇数个子树，并且$T$满足下列条件（a）-（e）之一，则$T$有优美标号$f$，其中有$f(v) = 0$：（a）$T$是直径为6的完全树;（b）$T$是直径为6的树，使得与$v$的距离为2的两个叶子都不是兄弟，并且与$v$的距离为2的每个叶子都有一个具有偶数个子女的兄弟;（c）$T$是直径- $2r$完全树，使得距离$v$的距离为$r - 1$的顶点的数目，具有偶数个子，不是$3\pmod{4}$ ;（d）$T$是一个直径- $2r$树，使得$r - 1$与$v$的距离（具有偶数个子节点）的顶点数不是$3\pmod{4}$，$r - 1$与$v$的距离没有两个叶子是兄弟姐妹，并且$r - 1$与$v$的…
2015-06-28 math.CO
Further Results On k-Super Graceful Graphs
设$G=(V(G),E(G))$是一个简单的、有限的、无向图，其阶为$p$，大小为$q$ .对于$k\ge 1$，双射$f: V(G)\cup E(G) \to \{k, k+1, k+2, \ldots, k+p+q-1\}$使得对于每条边$uv\in E(G)$的$f(uv)= |f(u) - f(v)|$被称为$G$的$k$ -超优美标记。如果它承认$k$ -超级优雅的标签，我们就说$G$是$k$-超级优雅的。本文研究了某些连通图的$k$ -超紧性，其中每个连通图都是正则或双正则的。
2021-04-03 math.CO
Apportionable matrices and gracefully labelled graphs
本文发起对复矩阵分配问题的研究，揭示了其与图的优美标号等图分解问题的联系，证明了秩一矩阵可酉分配，并给出了矩阵可酉分配的必要条件。
2024-06-01 math.CO
Improved Bounds for Relaxed Graceful Trees
我们引入左和右分层树作为具有特定表示的树，并定义了树的多余部分。应用这些思想，我们给出了一个范围松弛优美的标签，提高了上界的最大顶点标签由Van Bussel。对于树是大小为$m$且直径为$d$的龙虾的情况，标记产生不大于$\frac{3}{2}m-\frac{1}{2}d$的顶点标记。此外，我们发现，任何龙虾$T$与$m$边缘和直径$d$具有边缘松弛优美二部标签至少$\max\{\frac{3m-d+6}{4},\frac{5m+d+15}{8}\}$的边缘权重不同，这是一个改进的边界由罗莎和Širáregon的$α$ -树的大小，$d<\frac{m+22}{7}$和$d>\frac{5m-65}{7}$。我们还表明，存在一个边缘松弛优美的标签（不一定是二分的），至少$\max\left\{\frac{3}{4}m+\frac{d-ν}{8}+\frac{3}{2},ν\right\}$的边缘权重不同，其中$ν$的两倍大小的部分匹配的$T$。这是对Rosa和Širáregon关于$ν$和$d$的某些值的最小尺寸界的改进。我们认为这些结果是朝着Bermond猜想迈出的一步。
2016-11-24 math.CO
Efficient enumeration of graceful permutations
优美n-置换是n-顶点路P_n的优美标号。本文将这类置换个数的渐近下界从（5/3）^n提高到2.37 ^n.这是一个计算机辅助的证明，基于一个有效的算法，枚举优美的n-排列。我们的算法也详细介绍。
2006-08-21 math.CO
Graceful labelings of spiders with three-edge legs and pendant leaves at the center
本文研究了具有三个边腿和中心悬挂叶的蜘蛛树，证明了此类树的优雅标签性质，并展示了该家族在悬挂叶添加和中心零标签条件下的闭合性。
2026-05-14 math.CO
On the Graceful Game
图$G$的优美标号是用从$0$到$m$的不同整数标号$G$的顶点，使得当每条边被指定为其端点标号的绝对差的诱导标号时，所有诱导边标号是不同的.罗莎建立了两个著名的模型：所有的树都是优美的（1966）和所有的三角形仙人掌都是优美的（1988）。为了有助于这两个programmures，我们研究优美标号的背景下，图游戏。优雅游戏由Tuza于2017年推出，是一个连通图上的双人游戏，其中玩家Alice和Bob轮流用从0到$m$的不同整数标记顶点。爱丽丝的目标是优雅地标记图，而鲍勃的目标是防止它发生。本文研究了Alice和Bob在完全图、路径、圈、完全二部图、毛毛虫、棱柱、轮、舵、网、齿轮图、超立方体和路径的幂中的获胜策略。
2020-05-11 cs.DM math.CO
Some Results on Additively Graceful Signed Stars and Double Stars
School of Physical and Applied Sciences, Goa University（果阿大学物理与应用科学学院）
研究有向星和双星的加性优雅标记，针对有向双星提出存在性、唯一性和不存在性结果。
2026-04-22 math.CO
Radio gracefulness of Moore graphs and beyond
该研究围绕无线电频率分配建模的无线电优美标号问题，确定了Moore图等多类低直径高性能计算相关图的无线电优美性，证明了直径3二部图的相关充要条件并算出部分笼图的无线电数。
2025-09-30 math.CO
On the Oberwolfach problem for single-flip $2$-factors via graceful labelings
本文利用优美标号和加倍构造方法，证明了具有单翻转自同构且包含足够大圈的 $2$-正则图的 Oberwolfach 问题及其覆盖与装填版本可解，并显式构造了解。
2020-10-14 math.CO
Radio number of Hamming graphs of diameter 3
对于简单连通图$G$，如果一个顶点标号为$f:V(G)\rightarrow \mathbb{Z}_+$，它对所有不同的顶点$u,v\in V(G)$都满足$|f(u)-f(v)|\geq \operatorname{diam}(G) + 1 - d(u,v)$，则称它为$\textit{radio labeling of}$ $G$。$G$的$\textit{radio number}$是$G$的所有无线电标记上的最小跨度。如果存在对$\{1,2,...,|V(G)|\}$的双射放射标记，则$G$称为$\textit{radio graceful graph}$。我们确定了所有直径$3$ Hamming图的无线电数，并证明了它们的无限子集是无线电优美的。
2020-09-17 math.CO
A proof of the Kotzig-Ringel-Rosa Conjecture
本文通过泛函重构和组合引理，证明了图论中长期存在的Kotzig-Ringel-Rosa猜想，即每棵树都存在优美标号。
2025-01-31 math.CO
