On the Sn/n-Problem
Chow-Robbins博弈是Chow和Robbins在1965年提出的一个经典的停止问题。你反复掷硬币。每次抛硬币后，你决定是否把正面朝上的分数作为回报，否则继续。作为一个更一般的停止问题，这读作\[V(n,x) = \sup_{τ}\operatorname{E} \left [ \frac{x + S_τ}{n+τ}\right]\]，其中$S$是随机游动。当$S$具有亚高斯增量时，我们给出了$V$的一个紧上界.我们这样做是通过使用一个标准的布朗运动作为驱动过程的类似的时间连续问题。由此，我们得到了一个简单的证明存在的最佳停时的离散情况。对于Chow-Robbins博弈，我们也给出了一个紧的下界，并使用这些来计算，在整数上，完全连续和停止集的问题$n\leq 10^{5}$。
2021-10-06 math.PR
Reflected BSDEs when the obstacle is not right-continuous and optimal stopping
本文的第一部分研究了下障碍反射倒向随机微分方程，假设下障碍反射倒向随机微分方程是右上连续的，但不一定是右连续的。在适当的巴拿赫空间中，我们证明了这类RBSD方程解的存在唯一性.这个结果是利用一般过程理论中的一些工具建立的，例如可选强（但不一定是右连续）上鞅的Mertens分解，最优停止理论中的一些工具，以及Gal'chouk和Lenglart的It{<$}公式的适当推广。在本文的第二部分中，我们提供了第一部分中研究的RBABMM和最优停止问题之间的一些联系，其中金融头寸$ξ$的风险由$f$ -条件期望$\mathcal{E}^f(\cdot)$（其中$f$是Lipschitz驱动程序）评估。我们的“价值函数”的问题的特点是在我们的RBBACK的解决方案。在$ξ$的左上连续性的假设下，证明了最优停时的存在性.我们还将Mertens分解推广到了强$\mathcal{E}^f$ -上鞅的情形.
2017-05-10 math.PR q-fin.CP q-fin.RM
Optimal Stopping with Expectation Constraints
在一般的非马尔可夫框架下，我们分析了一系列不等式型和等式型期望约束下的最优停止问题。我们表明，在任意概率设置的期望约束（OSEC）的最优停止问题是等价的约束问题在弱制定（优化联合法律的停止规则与布朗运动和状态动力学上的一个扩大的规范空间），从而OSEC值。利用一个鞅问题公式，给出了弱公式中概率类的一个等价刻画，这意味着OSEC值函数是上半解析的。然后，我们利用一个可测量的选择参数，建立一个动态规划的原则，在弱制定的OSEC价值函数，其中的条件预期成本作为额外的状态约束水平在中间的地平线。
2023-02-09 math.OC math.PR
Optimal Stopping with Randomly Arriving Stopping Opportunities
University of Amsterdam（阿姆斯特丹大学）；Tinbergen Institute（蒂尔堡研究所）；CentER（中央经济研究中心）；Weierstrass Institute（韦伊斯特拉斯研究所）
针对带随机到达停止机会的最优停止问题，本文提出基于模拟的方法，通过随机时间尺度转化问题，结合策略迭代、鞅对偶及扩展的反向动态规划，经三类示例验证了方法的性能与适用性。
2026-09-01 math.OC math.PR
Drift Control with Discretionary Stopping for a Diffusion
研究无限时间范围内扩散过程漂移的带自主停止随机控制，在固定运行成本和控制相关运行成本下最小化凸终端成本期望，证明最优控制为可显式计算的常数且最优策略为首次访问适当区间时停止，并考虑约束版本可转化为无约束问题求解。
2025-06-23 math.OC math.PR
Upper bounds for the maximum of a random walk with negative drift
考虑具有负漂移的随机游动$S_n=\sum_{i=0}^n X_i$。本文讨论了这种随机游动的最大$M=\max_{n\ge 1}S_n$的上界在不同的设置的功率矩存在。由于通常导出上界，我们截断被加数。因此，我们使用的方法分裂的时间轴的停时到随机的，但有限的长度的间隔，然后选择一个水平的截断每个间隔。由此，我们可以将寻找$M$的上界的问题简化为寻找$M_τ=\max_{n\le τ}S_n$的上界的问题。此外，我们测试我们的不平等，在高负荷服务制度的情况下，经常变化的尾巴。
2011-07-27 math.PR
From optimal martingales to randomized dual optimal stopping
本文研究了最优停止问题的对偶形式中的最优鞅，并对其进行了分类。在这方面，我们区分弱最优和肯定最优鞅。证明了弱最优鞅族和必然最优鞅族可能相当大。另一方面证明了在随机扰动下，Doob-鞅，即Snell包络的鞅部分，在一定意义下是最鲁棒的必然最优鞅.这种新的见解导致一种新的随机对偶鞅最小化算法，不需要嵌套模拟。作为一个主要特征，在一个可能的最优鞅的大家庭的算法有效地选择一个鞅，是尽可能接近的Doob鞅。结果得到了低方差最优停止问题的对偶上界。
2021-02-02 math.OC math.PR q-fin.CP
On an Optimal Stopping Problem of an Insider
我们考虑由Shiryaev在2012年9月由Steklov数学研究所组织的高级随机优化问题国际会议上提出的最优停止问题$v^{(\eps)}:=\sup_{τ\in\mathcal{T}_{0,T}}\mathbb{E}B_{(τ-\eps)^+}$。这里，$T>0$是固定的时间范围，$(B_t)_{0\leq t\leq T}$是布朗运动，$\eps\in[0,T]$是常数，而$\mathcal{T}_{\eps,T}$是取$[\eps,T]$中的值的停止时间的集合。该问题的解由一个与路径相关的反射倒向随机微分方程组来描述，由此得到了$\eps \to v^{(\eps)}$的连续性。对于足够大的$\eps$，我们得到一个明确的表达式为$v^{(\eps)}$和小$\eps$，我们有下限和上限。本文的主要结果是$v^{(\eps)}$作为$\eps\searrow 0$的渐近性。作为一个副产品，我们还获得了Lévy的连续模结果在$L^1$意义。
2015-04-06 math.PR q-fin.GN
Optimal Stopping of BSDEs with Constrained Jumps and Related Double Obstacle PDEs
本文研究带约束跳的BSDE最优停止问题与双障碍PDE的关系，通过Feynman-Kac表示和压缩论证证明非局部情形下粘性解的存在唯一性，并建立新型非线性Snell包络。
2024-09-03 math.OC math.PR
DeepMartingale: Duality of the Optimal Stopping Problem with Expressivity and High-Dimensional Hedging
The Chinese University of Hong Kong（香港中文大学）
DeepMartingale通过深度学习框架解决高维最优停止问题，提供紧致的对偶上界和可扩展的delta对冲策略。
2026-02-26 cs.LG cs.NA math.NA
Stochastic Control/Stopping Problem with Expectation Constraints
本文在非马尔可夫框架下研究带期望约束的随机控制/停止问题，证明其等价于弱形式约束问题，并通过鞅问题表述和可测选择论证建立动态规划原理，推广了已有结果。
2023-05-30 math.OC math.PR
Generalized Dynkin Games and Doubly Reflected BSDEs with Jumps
引入了一个由带跳的倒向随机微分方程（Boundary）导出的具有非线性条件期望${\cal E}$的广义Dynkin对策问题.令$ξ, ζ$是两个具有$ξ\leq ζ$的RCLL适应过程。标准由\begin{equation*} {\cal J}_{τ, σ}= {\cal E}_{0, τ\wedge σ} \left(ξ_τ\textbf{1}_{\{ τ\leq σ\}}+ζ_σ\textbf{1}_{\{σ<τ\}}\right) \end{equation*}给出，其中$τ$和$ σ$是在$[0,T]$中取值的停止时间。在Mokobodski条件下，我们建立了这个博弈的价值函数的存在性，即$\inf_σ\sup_τ {\cal J}_{τ, σ} = \sup_τ \inf_σ {\cal J}_{τ, σ}$。这个值可以通过双反射的反射率来表征。利用这一刻画，我们给出了这类方程的一些新结果，如比较定理和先验估计。当$ξ$和$ζ$沿停时为左上连续时，证明了鞍点的存在性.我们还研究了一个广义的混合对策问题，当局中人有两个行动：连续控制和停止。然后，我们解决广义Dynkin游戏中的马尔可夫框架和它的联系与抛物偏积分微分变分不等式的两个障碍。
2014-10-02 math.PR
Existence and uniqueness for reflected BSDE with multivariate point process and right upper-semi-continuous obstacle
本文研究多元点过程驱动、下障碍仅右上半连续的反射 BSDE，利用 Mertens 分解、推广 Itô 公式与最优停止工具证明解的存在唯一性，并建立比较定理。
2023-09-29 math.PR
On the Robust Optimal Stopping Problem
University of Michigan（密歇根大学）；University of Pittsburgh（匹兹堡大学）
针对一组相互奇异概率测度，研究鲁棒最优停止问题，通过定义上Snell包络和相应的非线性期望，证明最优停止时间的存在性及零和博弈的值。
2016-04-11 cs.SY eess.SY math.OC
Convergence of the Backward Deep BSDE Method with Applications to Optimal Stopping Problems
Fudan University（复旦大学）；University of California, Santa Barbara（加州大学圣巴巴拉分校）
本文针对传统深度BSDE方法无法求解最优停时问题的局限，为后向深度BSDE方法提供严格理论支撑，推导后验误差估计与损失函数上界，并通过数值算例验证了理论一致性。
2023-08-23 cs.LG cs.NA math.NA
The Last Success Problem with Samples
本文研究带样本的最后成功问题，在仅有每个分布样本而非完整信息时，提出单样本下最优策略保证1/4获胜概率，并证明常数样本可逼近经典最优1/e。
2024-07-23 cs.GT math.PR
Optimal Prediction of the Last-Passage Time of a Transient Diffusion
对于任意非负时间均匀瞬态扩散$X$，我们确定了到最后通过时间$γ_z$到给定水平$z>0$的最小$L^1$ -距离的可积停时$τ_*$.我们证明了$τ_*$实际上是$X$第一次假定半开区间$[0,r_*)$之外的值。该区间的上边界$r_*>z$的特征在于或者作为一维优化问题的解，或者作为自由边界问题的解的一部分。一些具体的例子说明了这一结果。
2013-12-26 math.PR
On the adjustment coefficient, drawdowns and Lundberg-type bounds for random walk
考虑一个随机游动，其（轻尾）增量具有正均值。为随机游动的期望最大值提供下限和上界，直到它经历给定的下降d。这些界限与金融学中的卡尔马比率有关，根据保险风险文献的调整系数α（E[exp{-alpha X}]=1），对于某些K>1，其形式为（exp{alpha d}-1）/alpha和（K exp{alpha d}-1）/alpha。它的倒数1/alpha最近由Aumann和Serrano推导出来，作为随机变量X的风险指数。本文还补充了Lundberg指数随机上界和Cramer-Lundberg近似的期望最小值的随机游动，与指数随机下界。尾概率界分别为C exp{-alpha x}和exp{-alpha x}的形式，其中1/K < C < 1。我们的处理问题涉及Skorokhod嵌入的随机游动在鞅，特别是通过Azema-Yor和Dubins停时，适应从标准布朗运动到指数鞅。
2008-07-22 math.PR
Duality and DeepMartingale for High-Dimensional Optimal Switching: Computable Upper Bounds and Approximation-Expressivity Guarantees
The Chinese University of Hong Kong（香港中文大学）
本文研究有限时间最优切换问题，提出基于深度学习的对偶框架，通过马尔可夫惩罚项推导对偶表示，并建立收敛性保证，同时提供神经网络的表达性分析，证明在高维情况下可避免维度灾难。
2026-04-09 cs.NA math.NA math.OC
Adaptive sampling for linear state estimation
Chalmers University of Technology（查尔姆斯理工大学）；University of Patras（帕特雷大学）；University of Maryland（马里兰大学）
针对传感器通过有限速率网络传输测量值以估计状态的问题，研究了因果采样策略的最优设计，通过将问题转化为最优停时序列，证明了Delta采样性能较差，并给出了布朗运动情形下的解析解。
2011-07-20 cs.SY eess.SY math.OC
