Drawing cubic graphs with the four basic slopes
Padmini Mukkamala, Dömötör Pálvölgyi
我们证明了每一个三次图都可以只用四个基本斜率$\{0,π/4,π/2,3π/4\}$在平面上画出直线边。我们还证明了四个斜率具有这个性质当且仅当我们可以用它们画出$K_4$。
We show that every cubic graph can be drawn in the plane with straight-line edges using only the four basic slopes $\{0,π/4,π/2,3π/4\}$. We also prove that four slopes have this property if and only if we can draw $K_4$ with them.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Drawing planar graphs of bounded degree with few slopes
我们解决了Dujmović，Eppstein，Suderman和Wood的一个问题，证明存在一个函数$f$，其性质是每个具有最大度$d$的可平面图$G$都允许使用最多$f(d)$不同的斜率绘制不相交的直线边。如果我们允许边由具有{ \em one}弯曲的多边形路径表示，那么2d斜率就足够了。允许每条边有{ \em两}个弯曲，每个具有最大度$d\ge 3$的可平面图都可以使用最多$\lceil d/2\rceil$不同斜率的线段来绘制。只有一个例外：由八面体的边形成的图是4-正则的，但它需要3个斜率。这些界限无法改善。
Graph drawings with one bend and few slopes
我们考虑绘图的图形在平面中的边缘表示的多边形路径与最多一个弯曲和这些路径的所有部分所使用的不同的斜率的数量是小的。我们证明了$\lceil\fracΔ{2}\rceil$边斜率满足最大度外平面图$Δ\geq 3$的外平面图的外平面图的绘制.这符合明显的下限。我们还表明，$\lceil\fracΔ{2}\rceil+1$边缘斜率足以绘制一般的图形，提高了以前的界的$Δ+1$。此外，我们改进了以前的上界的平面图和二分平面图的平面绘图所需的斜率的数量。
Outerplanar graph drawings with few slopes
我们考虑外平面图的直线外平面图，其中使用少量不同的边斜率，即表示边的线段平行于少量方向。我们证明了$Δ-1$边斜率对于每一个最大度为$Δ\ge 4$的外平面图都是足够的。这改进了$O(Δ^5)$的上界，该上界是针对平面部分3-树（外平面图的超类）而给出的。边界很紧：对于每一个$Δ\ge 4$，存在具有最大度$Δ$的外平面图，该外平面图在外平面直线图中需要至少$Δ-1$不同的边斜率。
Drawings of Planar Graphs with Few Slopes and Segments
研究了具有较少线段和斜率的可平面图的直线图。所有的树都得到了最优结果。得到了外平面图、2-树和平面3-树的紧界。证明了$n$顶点上的3连通平面图有一个至多有${5/2}n$段和至多有$2n$斜率的平面图.本文证明了每一个三次3连通平面图都有一个平面图，它有三个斜率（和三个外表面的弯曲）。在一个配套文件中，也考虑了非可平面图的几个斜率的绘图。
Graph Drawings with Few Slopes
图$G$的“斜率数”是在平面中$G$的直线图中不同边斜率的最小数目。证明了对$Δ\geq5$和所有大$n$，存在一个$Δ$ -正则$n$ -顶点图，其斜率至少为$n^{1-\frac{8+ε}{Δ+4}}$ .这是有界度图的斜率数的最佳下界。证明了完全二部图的斜率数的上界和下界。本文证明了任意图的斜率的带宽的一个一般上界。区间图、余可比图和AT-自由图的斜率数至多是最大度的函数。证明了度和树宽有界的图的斜率数至多为$O(\log n)$。最后，我们证明了每一个图都有一个每边有一个弯曲的图，其中斜率的数目至多比最大度数多一个。在一篇配套论文（http：//arxiv.org/abs/math/0606450）中，还考虑了具有很少斜率的图的平面图。
We prove the NP-completeness of the following problem. Given a set $S$ of $n$ slopes and an integer $k\geq 1$, is it possible to draw a complete graph on $k$ vertices in the plane using only slopes from $S$? Equivalently, does there exist a set $K$ of $k$ points in general position such that the slope of every segment between two points of $K$ is in $S$? We then present a polynomial algorithm for this question when $n\leq 2k-c$, conditional on a conjecture of R.E. Jamison. For $n=k$, an algorithm in $\mathcal{O}(n^4)$ was proposed by Wade and Chu. For this case, our algorithm is linear and doe…
Smallest Cubic Non-1-Planar Graphs
本文证明最小的三次非1-平面图有30个顶点，并借助SAT求解器与k-灵活性方法，避免了穷举四十亿个图的计算。
Obstacles, Slopes, and Tic-Tac-Toe: An excursion in discrete geometry and combinatorial game theory
如果$G$的顶点由平面中的不同点表示，并且每条边由连接相应的顶点对并且不穿过$G$的任何其他顶点的直线段表示，则图的绘图被称为{ \em直线绘图}。$G$的直线图中的最小斜率数称为$G$的斜率数。我们证明了每一个三次图都可以只用四个基本斜率$\{0,π/4,π/2,-π/4\}$在平面上画出直线边。我们还证明了四个斜率具有这个性质当且仅当我们可以用它们画出$K_4$。给定图$G$，$G$的{ \em障碍表示}是表示$G$的顶点的平面中的点的集合，连同障碍（连接的多边形）的集合，使得$G$的两个顶点通过边连接，当且仅当对应的点可以通过避开所有障碍的线段连接。$G$的{ \em障碍数}是$G$的障碍表示中障碍的最小数目。证明了$n$顶点上存在障碍数为$Ω({n}/{\log n})$的图.我们发现，有一个$m=2n+o(n)$，这样，在制造商-断路器游戏发挥$\Z^d$在制造商需要把至少$m$他的标记连续在$n$给定的获胜方向，断路器可以迫使平局使用配对策略。这改进了Kruczek和Sundberg的结果，他们表明如果是$m\ge 3n$，则存在这样的配对策略。一个简单的论证表明，如果只允许Breaker使用配对策略，则$m$必须至少为$2n+1$，因此我们的界的主项是最优的。
Counting points of slope varieties over finite fields
一个图的斜率簇是一个代数集，它的点对应于一个图的图形。补可约图（或上图）是指没有导出四点路的图.本文构造了$\mathbb{F}_2$上$n$顶点上完全图的斜率簇的零点与$n$顶点上补可约图的斜率簇的零点之间的双射.
Bounded-Degree Graphs have Arbitrarily Large Geometric Thickness
图G的几何厚度是使G有一条直线图且其边集被划分为k个平面子图的最小整数k。Eppstein [将厚度与几何厚度分开。在：走向几何图形的理论，第342卷的Contemp。数学、AMS，2004]问是否每个有界最大度的图都有界几何厚度。通过证明存在具有任意大几何厚度的Delta-正则图，我们否定地回答了这个问题。特别地，对所有Delta >= 9和所有大的n，存在一个几何厚度至少为c Delta^{1/2} n^{1/2 - 4/Delta -n}的Delta-正则图.类似的结果，有关图的图纸，很少的边缘斜率也提出了，从而解决了开放的问题Dujmovic'等人。第12届国际研讨会《论图形绘制》（GD '04），《计算机讲义》第3383卷。科学，Springer，2004]和Ambrus et al. [The slope parameter of graphs. Tech. MAT-2005-07，丹麦技术大学数学系，2005年]。
The Planar Slope Number of Planar Partial 3-Trees of Bounded Degree
每个可平面图都有一个平面嵌入，其中边由不相交的直线段表示。我们研究了平面斜率数，在具有最大度$Δ$的可平面图中，不同边斜率的最小数目。我们证明了每个平面部分3-树的平面斜率数至多为$O(Δ^5)$，并且每个平面部分3-树的平面斜率数至多为$O(Δ^5)$。特别是，我们回答了Dujmović等人的问题[计算几何38（3），pp. 194- 212（2007）]是否存在函数$f$，使得可以使用至多$f(Δ)$斜率来绘制平面最大外平面图。
Unbent Collections of Orthogonal Drawings
本文研究了如何用无弯集合表示平面4图，证明了最小绘图数为3，并展示了最小总弯数的近似算法。
Consider the following problem: Given a planar graph $G$, what is the maximum number $p$ such that $G$ has a planar straight-line drawing with $p$ collinear vertices? This problem resides at the core of several graph drawing problems, including universal point subsets, untangling, and column planarity. The following results are known for it: Every $n$-vertex planar graph has a planar straight-line drawing with $Ω(\sqrt{n})$ collinear vertices; for every $n$, there is an $n$-vertex planar graph whose every planar straight-line drawing has $O(n^σ)$ collinear vertices, where $σ<0.986$; every $n$-…
Decomposition of Geometric Set Systems and Graphs
本文研究了组合几何中的两个分解问题。第一部分讨论平面的多重覆盖的分解。我们说一个平面集合是覆盖可分解的，如果存在一个常数m使得平面的任何m重覆盖及其平移都可分解为整个平面的两个不相交覆盖。Pach证明了每个凸集都是覆盖可分解的。我们验证了他的猜想多边形。此外，如果m足够大，我们证明了任何m重覆盖甚至可以分解成k个覆盖。然后，我们表明，在3维的情况正好相反，对于任何多面体和任何$m$，我们构造的空间是不可分解的m-折叠覆盖。我们还给出了结构，表明凹多边形通常是不可覆盖分解的。我们开始的第一部分，详细调查的所有结果覆盖分解的多边形。第二部分研究了另一个与图的平面表示有关的几何划分问题。一个图G的斜率数是最小的数s，它满足G是一条直线图，最多有s条不同斜率的边，且没有弯曲。我们研究了有界度图的斜率数。我们的主要结果是，如果最大度至少是5，那么随着顶点数的增加，斜率数趋于无穷大，但每个最大度至多为3的图只能嵌入5个斜率。我们还证明了这样的嵌入存在的相关概念称为斜率参数。最后，我们研究了平面斜率数，仅定义为可平面图的最小数s的性质，该图有一个直线画在平面上没有任何交叉，使边缘是只有s个不同的斜率的片段。证明了度有界的可平面图的平面斜率数是有界的。
The Topology of Bendless Three-Dimensional Orthogonal Graph Drawing
我们考虑3-正则图嵌入到三维笛卡尔坐标中，使得两个顶点相邻当且仅当它们的三个坐标中的两个相等（即，如果它们位于轴平行线上）并且没有三个点位于同一轴平行线上;我们称具有这样嵌入的图为xyz图。我们描述了xyz图和面色嵌入的图形到二维流形之间的对应关系，我们涉及的xyz图的可定向性的基础拓扑表面的二分性。利用这种对应关系，我们表明，平面图是xyz图当且仅当它们是二分的，立方的，和三连通的，它是NP-完全的，以确定是否一个任意的图是xyz图。我们还描述了一个运行时间为O（n2 ^{n/2}）的算法来测试一个给定的图是否是xyz图。
Adding one edge to planar graphs makes crossing number and 1-planarity hard
一个图是近平面的，如果它可以通过添加一条边从平面图获得。我们发现了一个令人惊讶的事实，即计算近平面图的交叉数是NP-困难的。一个图是1-平面的，如果它有一个图，其中每个边最多与另一个边相交。我们证明了判定一个给定的近平面图是否是1-平面图是NP-困难的。在这两个减少的主要思想是考虑的问题，同时绘制两个平面图内的磁盘，其一些顶点固定在边界的磁盘。这导致了锚定嵌入的概念，这是独立的利益。作为一个有趣的结果，我们得到了一个新的，几何证明的NP-完全性的交叉数的问题，即使是限制在三次图。这就解决了一个关于林书豪的问题。
A note on dilation coefficient, plane-width, and resolution coefficient of graphs
本文研究并比较了与平面图的“紧性”有关的三个图不变量：膨胀系数，定义为最长边与最短边的最小可能商，平面宽度，定义为任意两点之间的最大距离与最短边的最小可能商;和分辨率系数，最长边长度和任意两点之间的最小距离之间的最小可能商。这三个不变量对于完全图是一致的。我们证明了具有大膨胀系数或大平面宽度的图有一个大效价的顶点，但存在具有任意大分辨系数的三次图。令人惊讶的是，这三个不变量的一维类似物允许我们重新审视三个众所周知的图形参数：圆色数，色数和带宽。我们还研究了有界分辨率系数和小闭图类之间的联系。
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