Substitutions and 1/2-Discrepancy of $\{n θ+ x\}$ \rm{II}
David Ralston
遍历性质的研究1/2-差异和旋转驱动的重正化过程进行了研究，与相应的影响几乎肯定这些差异和增长率的界限。
Ergodic properties of a renormalization procedure for studying the 1/2-discrepancy sums driven by rotations are studied, with corresponding implications for almost-sure bounds on the growth rates for these discrepancy sums.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Substitutions and 1/2-discrepancy of $\{n θ+ x\}$
$\{x + i θ\bmod 1\}$的1/2差异和的序列是通过在三个符号的字母表上的替换序列来实现的;特别注意的是$x=0$。第一个应用是表明，任何渐近增长率的差异总和不平凡禁止可以实现。第二个应用是证明对于不好逼近的$θ$和任何$x$，在$i=0,1,...n-1$上取值域与$\log(n)$渐近相似，这是一个比Denjoy-Koksma不等式更强的结论。
We construct a family of ergodic measures on random substitution subshifts (RS-subshifts) associated to a primitive random substitution. In particular, the word frequencies of every finite legal word exist for almost every element of the random substitution subshift with respect to these measures. As an application, we show that for a certain class of random substitutions the measures of maximal entropy are frequency measures.
Deviation of ergodic averages for substitution dynamical systems with eigenvalues of modulus one
研究了具有模为1的特征值矩阵的置换动力系统的遍历和的偏差。在定理1.1中，我们证明了遍历和的下极限对相空间中的每一点都是有界的。在定理1.2中，我们证明了对于常长替换，极限分布沿一定的指数时间序列的存在性。在附加的假设下，我们证明了遍历积分满足中心极限定理（定理1.3，定理1.9）。
A classification of intrinsic ergodicity for recognisable random substitution systems
本文研究了由随机替换生成的动力系统，探讨了内在ergodic性和多最大熵测度的分类，证明了最大熵测度通过适当的对称关系不变性分类，并给出了内在ergodic性的充分条件。
Statistical Stability for Multi-Substitution Tiling Spaces
给定作用于$\rd$中的某个有限数量（直到平移）的瓦片的替换映射的有限集${S_1...,S_k}$，我们考虑与每个序列$\bar a\in {1,...,k}^{\mathbb{N}}$相关联的多替换瓦片空间。在这样的空间上平移的作用产生唯一遍历的动力系统。本文研究了贴片频率的遍历极限收敛速率，并证明了这些极限随$\bar a$连续变化。
Measure theoretic entropy of random substitution subshifts
本文研究了随机置换子移位的测度论熵，提出计算频率测度熵的新方法，并证明了某些情况下存在具有最大熵的唯一测度。
Substitutions on compact alphabets
该研究建立紧Hausdorff字母表上连续替换的系统研究框架，推广Perron–Frobenius理论至Banach格，给出替换算子拟紧性的可计算判据，可验证多类替换的唯一遍历性。
On ergodic averages for parabolic product flows
本文考虑了置换动力系统上的悬浮流与任意遍历流的直积，并给出了这类系统的遍历积分的收敛速度的定量估计。我们的论证依赖于替代动力系统上悬浮流谱测度的新的统一估计。本文回答了Jon Chaika的一个问题。
Invariant measures for non-primitive tiling substitutions
我们考虑欧几里得空间中的自仿射镶嵌置换和相应的镶嵌动力系统。众所周知，在原始情况下，动力系统是唯一遍历的。研究了当置换不是本原的，且平铺动力系统是非极小的时的不变测度。我们证明了所有的遍历不变概率测度都是极小分支支持的，但也存在其它自然遍历不变测度，它们是无穷的.在适当的假设下，我们完全刻画了圆柱集上有限的正的$σ$ -有限不变测度。关键一步是在我们的环境中建立非周期性平铺的可识别性。例子包括“整体Sierpienski垫圈和地毯”瓷砖。对于这样的平铺唯一不变的概率测度支持平凡的周期平铺，但有一个完全支持的$σ$ -有限不变测度，这是局部有限的和唯一的缩放。
Dynamical systems arising from random substitutions
随机替换是其经典的“确定性”对应物的自然概括，由此在迭代替换的每一步，不是用预定的单词替换字母，而是根据概率分布，每个字母独立地被来自有限的可能单词集合的单词替换。我们讨论了与这种替换相关的子移位，并探讨了这些系统的动力学和遍历性质，以便为系统的研究奠定基础。在其他结果中，我们表明，在合理的条件下，这样的系统是拓扑传递的，有空或密集集的周期点，有密集集的线性重复元素，很少严格遍历，并有积极的拓扑熵。
We study the spectral properties of ergodic Schrödinger operators that are associated to a certain family of non-primitive substitutions on a binary alphabet. The corresponding subshifts provide examples of dynamical systems that go beyond minimality, unique ergodicity and linear complexity. In some parameter region, we are naturally in the setting of an infinite ergodic measure. The almost sure spectrum is singular and contains an interval. Some criteria for the exclusion of eigenvalues are fully characterized, including the existence of strongly palindromic sequences. Many of our structural …
We introduce a formalism for handling general spaces of hierarchical tilings, a category that includes substitution tilings, Bratteli-Vershik systems, S-adic transformations, and multi-dimensional cut-and-stack transformations. We explore ergodic, spectral and topological properties of these spaces. We show that familiar properties of substitution tilings carry over under appropriate assumptions, and give counter-examples where these assumptions are not met. For instance, we exhibit a minimal tiling space that is not uniquely ergodic, with one ergodic measure having pure point spectrum and ano…
Deviations of Ergodic sums for Toral Translations I : Convex bodies
我们证明了环面上的随机平移的充分规范化的差异函数相对于严格凸$\cC$的极限分布$\cD_\cC$的存在性。使用之间的对应关系的傅里叶级数的差异函数和晶格的小因子，并混合对角流的空间的晶格，我们确定$\cD_\cC$的水平集的分布定义的产品的空间的晶格与一个无限维环面的功能。我们应用我们的结果来计算晶格点在倾斜的圆柱体和时间花费在一个给定的球由一个随机测地线上的平坦环面。
We consider substitution tilings and Delone sets without the assumption of finite local complexity (FLC). We first give a sufficient condition for tiling dynamical systems to be uniquely ergodic and a formula for the measure of cylinder sets. We then obtain several results on their ergodic-theoretic properties, notably absence of strong mixing and conditions for existence of eigenvalues, which have number-theoretic consequences. In particular, if the set of eigenvalues of the expansion matrix is totally non-Pisot, then the tiling dynamical system is weakly mixing. Further, we define the notion…
We study the Kronecker sequence $\{nα\}_{n\leq N}$ on the torus ${\mathbb T}^d$ when $α$ is uniformly distributed on ${\mathbb T}^d.$ We show that the discrepancy of the number of visits of this sequence to a random box, normalized by $\ln^d N$, converges as $N\to\infty$ to a Cauchy distribution. The key ingredient of the proof is a Poisson limit theorem for the Cartan action on the space of $d+1$ dimensional lattices.
Thermodynamic formalism and $k$-bonacci substitutions
我们研究了$k$ -Bonacci取代。对于每一个，我们定义了一个重正化算子与它相关联，并检查其迭代在一定的类的潜力。我们还研究了压力函数在这一类的潜力，并证明了存在的冻结相变，这是实现了唯一的遍历措施的subshift相关的替代。
Interval exchange transformations are typically uniquely ergodic maps and therefore have uniformly distributed orbits. Their degree of uniformity can be measured in terms of the star-discrepancy. Few examples of interval exchange transformations with low-discrepancy orbits are known so far and only for $n=2,3$ intervals, there are criteria to completely characterize those interval exchange transformations. In this paper, it is shown that having low-discrepancy orbits is a conjugacy class invariant under composition of maps. To a certain extent, this approach allows us to distinguish interval e…
Birkhoff sum fluctuations in substitution dynamical systems
考虑了替换动力系统的Birkhoff和沿固定轨道的偏差。我们证明了替换矩阵本征函数的伯克霍夫和的分布收敛性。对于模为1的非共边界特征函数，我们得到了一个中心极限定理。对于其他本征函数，我们证明了收敛到分布支持康托集。我们还给出了这样的特征函数是上边界的一个新判据，以及有界偏差的替换动力系统的一个新刻画
Eigenfunctions for substitution tiling systems
我们证明了，对于唯一遍历${\bf R}^d$行动与一个原始的替代平铺有限的局部复杂性，每个可测量的特征函数符合连续函数几乎处处。因此，拓扑弱混合等价于测度论弱混合。如果置换的扩张映射是由$θ>1$进行的纯扩张，并且置换有一个不动点，则弱混合的失败等价于$θ$是一个Pisot数。
Paper withdrawn; will be replaced by revised version containing application to lattice models as well. We study hierarchical properties of Sturmian words. These properties are similar to those of substitution dynamical systems. This approach allows one to carry over to Sturmian dynamical systems methods developed in the context of substitutions. For example, it allows for a very simple proof of a uniform ergodic type theorem for additive functions taking values in a Banach space. We then focus on establishing various versions of uniform subadditive ergodic type theorems. The main result states…
Skew-product systems over infinite interval exchange transformations
本文研究以旋转里程计为底的无限区间交换变换 ℤ-扩张斜积系统，分析其递归、偏差、扩散与遍历性，并关联无限亏格阶梯流形上的平行流。
Ergodic properties of a simple deterministic traffic flow model re(al)visited
我们研究了一类作用于整数序列空间的映射的统计性质，它模拟了简单确定性交通流的动力学。我们根据各种模式的密度统计，得到了这些映射对应于任意初始组态的轨迹的渐近性质（当时间趋于无穷大时），并描述了这些系统的弱吸引子及其收敛速率.以前只有所谓的规则的初始配置（具有密度，只有有限的波动的部分和它周围）的情况下，一个慢粒子模型（最大速度为1）已被严格研究。应用从替代动力学中借用的思想，我们能够将对应于多车道交通和具有快粒子（速度大于1）的流的交通流模型的分析减少到具有单车道交通和慢粒子的流的最简单的情况，其中关键的技术步骤是导出给定粒子簇的精确寿命。最后讨论了该方法在多车道交通流优化重定向中的应用。
Birkhoff Measures, Birkhoff Sums, and Discrepancies
研究由固定无理数ρ旋转生成的圆上点序列分布，分析伯克霍夫测度的支撑长度与偏差的关系，并证明当n为ρ的连分数分母时，测度图近似为等腰梯形。
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