Tropical Geometry over Higher Dimensional Local Fields
S. Banerjee
本文介绍了定义在高维局部域上的环面的闭子概形的热带化。我们研究这种热带化的基本不变式。这是将Einslieder，Kapranov，Lind，Speyer和Sturmfels的结果推广到更高的局部域。
We introduce the tropicalization of closed subschemes of a torus defined over a higher dimensional local field. We study the basic invariants of such tropicalizations. This is a generalization of the results of Einslieder, Kapranov, Lind, Speyer and Sturmfels to higher local fields.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Geometry over the tropical dual numbers
引入了热带对偶数作为热带半环的推广。通过这种创新，人们可以使用诚实的理想，而不是同余，并恢复仿射热带空间上的欧氏拓扑，类似于Zebraki在经典代数几何中的方法。热带对偶数上的理想的弯曲轨迹与热带半环上的同余的弯曲轨迹重合，这使得热带对偶数可以作为热带几何的代数结构。仿射热带空间的闭集是热带对偶数上的理想的非线性轨迹的热带Zebriki拓扑提供了Giansiracusa定义的强Zebriki拓扑的另一种观点。
Geometry in the tropical limit
复杂的代数簇在达到所谓的热带极限后就变成了简单的分段线性对象。这些限制对象的几何形状被称为热带几何。在这个简短的综述中，我们来看看这个极限背后的动机和直觉，并考虑几个经典几何和热带几何之间的对应原理的简单例子。
Tropical Geometry and its applications
这些笔记概述了热带几何的一些基本概念，并调查了它在经典（实数和复数）几何问题中的一些应用。发表在《马德里国际会议记录》上。
Generic root counts of tropically transverse systems -- An invitation to tropical geometry in OSCAR
本文研究热带横截参数化多项式系统的通用解数，将其表示为修正系统的混合体积，并用初等热带几何学重新证明了耦合非线性振子平衡点数量的结果，同时介绍了OSCAR中的热带几何功能。
Tropical algebraic geometry
热带代数几何是一个活跃的数学新领域，它建立和研究一些非常普遍的原则，将代数几何问题转化为纯粹的组合问题。本文介绍了这些新技术，特别强调了最近在计数几何问题中的应用。
Tropical vertex and real enumerative geometry
本文证明了精化热带顶点群中的交换子关系可由环面曲面上特定实有理曲线的枚举来刻画，建立了热带几何与实枚举几何之间的联系。
Mirror symmetry and tropical geometry
利用热带几何，我们提出了一个镜像建设的单项退化的Calabi-Yau品种复曲面Fano品种。该结构再现了镜像结构由Batyrev的Calabi-Yau超曲面和由Batyrev和Borisov的Calabi-Yau完全相交。我们将这种构造应用于Pfwean例子，并恢复了Rodland给出的由一般线性7 × 7斜对称矩阵的Pfwean定义的PP ^[6]中14次卡-丘三重镜像。我们提供了必要的背景知识进入热带镜像建设，如复曲面几何，Groebner基地，热带几何，希尔伯特计划和变形。热带的方法产生一个算法，我们说明了一系列明确的例子。
Tropical geometry over the tropical hyperfield
在这篇文章中，我们将围绕热带超场的思想与有序蓝图理论相结合，给出了热带方案理论的一个新的表述。关键的见解是，一个非阿基米德绝对值可以被认为是到热带超场的态射。反过来，有序的蓝图使人们有可能考虑一个经典品种的热带超场的基础变化。我们把这种基本变化称为经典簇的图式理论热带化。我们的第一个主要结果描述的Berkovich analytification和热带化的一个经典品种的有理点的计划理论tropicalizations，包括表征各自的拓扑结构。我们的第二个主要结果表明，Giansiracusa弯曲关系可以通过一个自然的结构从方案理论的热带化。
Geometry and a natural symplectic structure of phase tropical hypersurfaces
首先，我们根据$(\mathbb{C}^*)^n$中光滑复代数超曲面的退化数据定义了相位热带超曲面。其次，我们证明了复超平面是退化的复超平面，称为相热带超平面。更一般地说，使用Mikhalkin的分解成对裤子的光滑代数超曲面，我们表明，相位热带超曲面光滑热带化，自然具有光滑的可微结构。此外，我们证明了相热带超曲面具有自然的辛结构。
Tropical Plane Geometric Constructions: a Transfer Technique in Tropical Geometry
引入了尺规作图法的概念。这个概念允许在代数平面和热带平面中比较入射构形。我们提供了一个算法，这样，给定一个尺规作图法的热带实例，它计算充分条件有一个代数对应的热带化。我们还提供了充分条件，在一个尺规作图法，以确保代数对应总是存在的。利用尺规作图法将经典定理转移到热带框架中，给出了关联定理的概念，并证明了经典定理的几个热带版本，如逆Pascal，Fano平面或Cayley-Bacharach.
On moduli spaces of roots in algebraic and tropical geometry
本文构造了一个参数化热带曲线上因子根的热带模空间。研究了该空间与稳定曲线上极限根网的Jarvis模空间骨架之间的关系。我们表明，热带根的模空间的组合是由偏序集的流量，偏序集参数化某些流图。
Generalising Kapranov's Theorem For Tropical Geometry Over Hyperfields
Kapranov定理是热带几何中的一个基本结果。它指出，一个超曲面上的点的热带化集合与定义多项式的热带化的热带变种精确地一致。本文的目的是推广Kapranov定理，取代了赋值映射的作用，从一个域到实数并负无穷大，具有更一般的超域同态类，其目标是热带超域，并满足一个相对的代数闭包条件。为了提供这样一个超域同态的例子，从复热带超域到热带超域的映射进行了研究。有一个简短的大纲的充分条件的超域同态满足相对代数闭包条件。
Tropical geometry and correspondence theorems via toric stacks
本文推广了Mikhalkin和Nishinou-Siebert的对应定理，给出了代数热带曲线和参数热带曲线之间的对应关系。我们还给出了一个典型的热带化过程的代数曲线的启发Berkovich的骨架的解析曲线的建设。在一定的假设下，我们构建一个一对一的对应关系代数曲线满足复曲面约束和某些组合定义的对象，称为“堆叠热带减少”，可以列举的热带曲线满足线性约束。类似地，我们构造了一个一对一的对应椭圆曲线与固定的$j$不变满足复曲面约束和“堆叠热带减少”，可以列举在热带椭圆曲线与固定的热带$j$不变满足线性约束。我们的定理推广以前发表的对应定理在热带几何，我们的证明是代数几何。特别地，定理在很大程度上是正的。
Quadratically Enriched Tropical Intersections
本文将热带几何方法应用于$\mathbb{A}^1$-枚举几何的丰富设置中，通过证明Bézout定理及其推广Bernstein-Kushnirenko定理，为在Grothendieck-Witt环中丰富的热带超曲面提供了理论基础。
Higher balancing for locally tropically convex tropical varieties
在本文中，我们表明，局部热带凸热带品种在$\mathbb{R}^n$有当地的一个典型的多面体结构，满足更高的平衡条件，在所有细胞的正余维。
A Tropical Toolkit
本文介绍了热带几何的基本知识，并证明了热带相交理论中的一些结果。本文的第一部分是一个介绍热带几何的研究人员在代数几何的角度来看退化的品种使用投影不一定正规环面品种。第二部分是热带相交理论的基础说明，并证明了一些与经典相交理论有关的新定理。修订版包括许多更正，更多的例子，并改善了说明。
Gröbner theory and tropical geometry on spherical varieties
设$G$是一个连通的约化代数群.我们发展了一个Gröbner理论的多重性自由$G$ -代数，以及一个热带几何的子计划在一个球面齐性空间$G/H$。我们定义的概念，一个球形的热带品种，并证明了一个基本定理的热带几何在这种情况下。我们还提出了一个球形阿米巴在$G/H$的定义。我们的工作部分建立在Vogiannou以前的球面热带化工作的基础上，在某些方面是互补的。
On rational equivalence in tropical geometry
本文讨论了热带几何中的有理等价概念（并取代了旧的不完善的arXiv：0811.2860版本）。我们给出了无边界点的热带簇的基本定义，并证明了一些基本性质。然后，我们计算的“有界”周组的$\mathbb{R}^n$通过显示，他们是同构的风扇循环。在证明的主要步骤是独立的利益：我们表明，在$\mathbb{R}^n$的每一个热带循环是（翻译）风扇周期的总和。这也证明了热带循环的交环是在余维1中生成的（通过超曲面）。
Balancing conditions in global tropical geometry
我们使用Berkovich的形变收缩在全球背景下研究热带几何。我们的状态和证明的广义平衡条件在这种情况下。从一个严格半稳定的形式概形出发，利用解析平展上同调计算出若干个消失圈层，然后利用这些圈来解释热带权.根据特殊纤维上的相交理论，得到了与形式概形相关联的骨架上热带曲线的平衡条件。我们的方法适用于任何完整的离散赋值域。
Construction of schemes over $F_1$, and over idempotent semirings: towards tropical geometry
本文给出了一般谱函子的范畴描述，定义它为整体瓣函子的伴随。广义谱函子包括$F_1$和半环的谱函子。
Tropical curves and covers and their moduli spaces
这是一篇为Jahresberichte der DMV撰写的调查文章。热带几何是研究代数几何退化问题的有效组合工具。摘要热带曲线本质上是度量图，热带曲线的覆盖映射在满足一定条件的度量图之间。在这个简短的调查中，我们提供了一个介绍的组合理论的抽象热带曲线和覆盖的曲线，和他们的模空间，我们展示了三个结果，证明了这个理论可以应用于代数几何。
Constructing polynomial systems with many positive solutions using tropical geometry
定义在实数域中的两个二元多项式的系统的正解的数目不能超过15，其中总共有5个不同的单项式。所有已知的例子最多有5个正解。热带几何是构造具有多个正解的多项式方程组的有力工具。经典的组合拼接方法是在热带超曲面横截相交的情况下产生的。本文证明了用这种方法构造的方程组至多有6个正解。我们还表明，这个界限是尖锐的。此外，利用热带曲线的非横截交，我们构造了一个具有7个正解的方程组。
Tropical linear spaces and tropical convexity
在经典几何中，线性空间是在线性组合下闭合的空间。在热带几何中，由赋值拟阵定义的热带变种是线性空间的热带类似物，这是一个长期的共识。不难看出，每个这样的空间都是热带凸的，即在热带线性组合下是封闭的。然而，我们也将证明，反过来也是正确的：每一个热带品种，也是热带凸的支持上的复杂的估值拟阵。我们还证明了一个热带局部到整体原则：任何封闭的，连通的，局部热带凸集是热带凸的。
Space of prime congruences in tropical geometry
受经典概型理论启发，研究热带代数上的素同余空间及其几何，引入热带环面概型并给出素同余有限生成的条件。
Kontsevich's formula and the WDVV equations in tropical geometry
利用Gromov-Witten理论，通过3d-1个一般给定点的d次复平面有理曲线的个数可以用由所谓WDVV方程导出的Kontsevich公式递归计算。在本文中，我们建立了相同的结果完全在热带几何的语言。特别是这表明如何模空间的概念稳定的曲线和地图，（评价和健忘）态射，交重数和他们的不变性下变形可以结转到热带世界。
Clutching and gluing in tropical and logarithmic geometry
稳定标记代数曲线的模栈之间的经典离合和胶合映射不是对数的，即它们不会在对数方案的范畴上诱导态射，因为它们通过边界因子。从热带几何的洞察力，我们丰富的对数计划的类别，包括所谓的次对数态射，并表明，抓和胶合地图自然是次对数。在Cavalieri，Chan，Wise和第三作者最近开发的框架的基础上，我们进一步开发了这些地图在热带世界中的堆栈理论对应物，并表明由此产生的地图自然地与热带化过程交换。
Lefschetz (1,1)-theorem in tropical geometry
本文证明热带流形上由热带循环基本类给出的 (n-1,n-1) 度热带同调类恰为特征波映射的核，通过建立有理多面体空间的热带 Lefschetz (1,1)-定理并结合庞加莱对偶性得出。
The Caporaso-Harris formula and plane relative Gromov-Witten invariants in tropical geometry
几年前Caporaso和Harris利用Gromov-Witten不变量找到了一个计算d次亏格为g的复平面曲线通过3d+g-1个一般点的个数N（d，g）的好方法。最近，Mikhalkin发现了一种方法来重新解释数字N（d，g）在热带几何和计算他们通过计数某些格路径的整体多面体。我们将这两个结果定义一个类似的相对Gromov-Witten不变量和重新推导的Caporaso-Harris公式在热带几何和晶格路径。
Newton polyhedra, tropical geometry and the ring of condition for $(C^*)^n$
定义的条件环C. De Concini和C. Procesi是球面齐性空间中代数圈的相交理论。本文考虑群$(C^*)^n$的条件环。在很大程度上，该环可约化为光滑投射环面簇的上同调环。这个环也可以用热带几何学来描述。我们回顾这些已知的结果，并提供了一个新的描述，这个环的凸积分多面体。
On Bands and Limit Theorems in Tropical Geometry
本文基于Baker-Jin-Lorscheid提出的带理论，研究了带方案在热带化、解析化和F₁几何中的应用，并证明了通过带方案的极限得到Payne极限定理的方案论增强。
Enumeration of Complex and Real Surfaces via Tropical Geometry
证明了实三维空间中奇异热带曲面的一个对应定理，该定理将奇异代数曲面以适当的复曲面三重形式恢复为给定的奇异热带曲面.此外，我们开发了一个三维版本的Mikhalkin的晶格路径算法，枚举奇异热带表面通过一个适当的配置点在真正的三个空间。作为应用，我们证明了在射影空间中存在至少包含$(3/2)d^3+O(d^2)$奇异曲面的次数为$d$的实曲面束，它与束中所有复奇异曲面的个数$4(d-1)^3$渐近可比.我们的结果依赖于奇异热带曲面的分类（arXiv：1106.2676）。
Tropical geometry and Newton-Okounkov cones for Grassmannian of planes from compactifications
我们构造了一类2-平面的格拉斯曼簇的仿射锥的紧化。我们表明，热带品种的Plücker理想和熟悉的估值与建设牛顿Okounkov机构的格拉斯曼品种可以恢复从这些紧化。通过这种方式，我们统一了不同的观点来构建复曲面退化的旗帜品种。
Abel Maps for nodal curves via tropical geometry
我们认为阿贝尔映射的节点曲线的值在Esteves紧雅可比正则光滑。一般来说，这些映射都是有理的，一个有趣的问题是找到一个明确的解决方案。我们把这个问题转化为一个明确的组合问题，通过热带和环面几何。我们表明，组合问题的解决方案产生了一个明确的决议的阿贝尔映射。我们可以用这种方法构造和研究所有的一次Abel映射。
Skeleta in non-Archimedean and tropical geometry
我描述了代数几何理论的Eketa，它提供了一个统一的设置为研究热带品种，Eketa的非阿基米德解析空间，和仿射流形的奇异性。拓扑半环是具有拓扑半环的结构层的空间，并且局部地以拓扑半环的谱为模型。本文的主要结果是：非阿基米德解析空间的拓扑空间可以局部地从其解析函数的“逐点赋值”层恢复.
Counting curves on Hirzebruch surfaces: tropical geometry and the Fock space
我们研究的静态后裔Gromov-Witten理论的复曲面相结合，并扩展了一系列的技术-热带曲线，地板图，和福克空间。利用复曲面的极大退化，建立了复曲面上热带曲线与其后代不变量之间的对应定理。一个中间退化，然后显示，引起地板图，给出了这个著名的簿记工具在热带几何的几何解释。在这个过程中，我们扩展地板图技术，包括后代在任意属。这些地板图，然后用于连接热带曲线计数的代数的玻色子福克空间上的运营商，并显示符合费曼图的适当运营商。这扩展了许多研究人员的工作，包括布洛克-Göttche，库珀-Pandharipande和布洛克-Gathmann-Markwig。
Differential forms and cohomology in tropical and complex geometry
本文改进 Ducros、Hrushovski 和 Loeser 的微分形式映射，为复射影簇建立热带上同调到 Dolbeault 上同调的自然映射，并证明其与半代数集及加权热带化上的积分相容。
Tropical geometry in torus bundles
本研究针对环面丛中曲线的热带化问题，提出并证明了平衡条件的类似物，揭示非平凡丛下常规平衡条件的失效可由线丛第一陈类刻画，并通过相交理论视角解释权重来源及平衡条件的约束机制。
Tropical geometry of moduli spaces of weighted stable curves
加权稳定曲线的Hassett模空间构成了带标记点的平滑曲线的模空间的一类重要的交错模紧化。在这篇文章中，我们定义了一个热带类似的这些模空间，并表明，天真的集理论tropicalization地图可以确定一个自然的形变收缩到非阿基米德骨架。这个结果推广了Abramovich，Caporaso和Payne关于带标记点的平滑曲线的模空间的Deligne-Knudsen-Mumford紧化的工作.我们还研究了重言式映射的热带类似物，研究了热带模空间对权重数据的依赖性，并考虑了Losev-Manin空间的例子。
A short survey on Newton polytopes, tropical geometry and ring of conditions of algebraic torus
本说明的目的是给一个博览会的一些有趣的组合学和凸几何的概念，出现在代数几何的关系计数的解决方案的一个系统的多项式方程在多个变量超过复数。博览会的目的是在数学的一般观众，我们希望能够接触到本科以及先进的高中学生。讨论的主题属于相对较新的，密切相关的分支代数几何通常被称为热带几何和环面几何。这些领域使代数和多项式几何的研究与分段线性函数的组合和凸几何研究之间的联系。本文讨论的主要结果是代数环面的所谓“条件环”的描述。
Degeneration of Linear Series From the Tropical Point of View and Applications
在这篇综述中，我们讨论了热带曲线上的线性级数及其与经典代数几何的关系，描述了这一主题的主要技术，并调查了该领域最近的一些主要发展，重点是Brill-Noether理论和算术几何问题的应用。
Tropical methods in the moduli theory of algebraic curves
近年来热带几何和非阿基米德几何的一系列显著进展为代数曲线及其雅可比行列式的模理论带来了新的见解。本次调查的目标是我在2015年AMS代数几何研讨会和AGNES 2016上的演讲的扩展版本，旨在展示这一领域的一些成果。
The Fundamental Theorem of Tropical Differential Algebraic Geometry
设$I$是系数在实域$(K,v)$中的Laurent多项式环$K[x_1^{\pm1},\ldots,x_n^{\pm1}]$的理想.热带代数几何的基本定理陈述了封闭子概型$V(I)\subset (K^*)^n$的热带化$\text{trop}(V(I))$和与理想$\text{trop}(I)$的热带化相关联的热带变种$V(\text{trop}(I))$之间的等式$\text{trop}(V(I))=V(\text{trop}(I))$。在这项工作中，我们证明了一个类似的结果，微分理想$G$的环的微分多项式$K[[t]]\{x_1,\ldots,x_n\}$，其中$K$是一个不可数代数闭域的特征零。我们定义了$G$的解集$\text{Sol}(G)\subset K[[t]]^n$的热带化$\text{trop}(\text{Sol}(G))$，以及与理想$\text{trop}(G)$的热带化相关联的解集。这两个集合通过热带化态射$\text{trop}:\text{Sol}(G)\longrightarrow \text{Sol}(\text{trop}(G))$连接。证明了等式$\text{trop}(\text{Sol}(G))=\text{Sol}(\text{trop}(G))$，回答了D.格里戈里耶夫今年早些时候。
Introduction to tropical algebraic geometry
这是一个简要介绍热带代数几何的基础上，我的讲座在研讨会上热带几何和可积系统在格拉斯哥，2011年7月4日至8日，并在ELGA 2011年学校代数几何和应用在布宜诺斯艾利斯，2011年8月1日至5日。
A guide to tropicalizations
热带化形成了代数几何和凸几何之间的桥梁。我们推广的基本结果，从热带几何是众所周知的特殊基域任意非阿基米德值域。为了实现这一点，我们开发了一个理论的复曲面计划的赋值环秩1。作为一个基本的工具，我们使用非阿基米德分析的技术。
Convergent Hahn Series and Tropical Geometry of Higher Rank
我们建议研究由多重不定式收敛哈恩级数产生的热带几何。一个应用是一个新的观点稳定相交的热带超曲面。另一个是扰动秩一热带多面体，这是有益的算法的目的。
A bit of tropical geometry
这个友好的介绍热带几何是为了方便一年级学生在数学。这里讨论的主题是基本的热带代数，热带平面曲线，一些热带交叉，和维罗的拼接。每个定义都用具体的例子和插图来解释。在很大程度上，这篇文章是第一作者从法语文本翻译的更新。还有一个新增加的部分，突出了热带几何的新发展和观点。此外，最后一节提供了关于这一主题的广泛参考文献清单。
Connectedness of the Moduli Space of Genus 1 Planar Tropical Curves
热带几何是一个相对较新的数学领域，作为代数几何中某些问题的简化模型而创建。介绍了抽象热带曲线和平面热带曲线的定义及其组合型和组合次数等性质。我们还讨论了模空间，一个几何对象，参数化所有可能类型的抽象或平面热带曲线受到一定的条件。我们的研究集中在亏格为1的任意d次平面热带曲线的模空间上，并且研究了任意数量的有标记的无界边。我们证明了这些模空间是连通的。
Enumeration of plane unicuspidal curves of any genus via tropical geometry
该研究利用热带枚举几何，枚举了环面上满足多点约束的特定复曲线，并将该技术推广，证明了实平面$r$尖点曲线数量与对应复曲线总数的渐近可比关系。
From deformation theory to tropical geometry
本文是第八届ICCM特邀报告文稿，综述了与合作者关于通过半平坦Calabi-Yau流形复结构形变的Maurer-Cartan方程渐近分析来研究热带对象起源的工作。
Deformation of tropical Hirzebruch surfaces and enumerative geometry
我们说明了热带方法的使用一般化的公式由于阿布拉莫维奇和伯特伦，后来延长瓦基尔。也就是说，我们展示的Hirzebruch表面$Σ_n$和$Σ_{n+2}$，通过变形的第一个表面，后者获得的枚举不变量之间的关系。我们的策略涉及热带对应的变形Hirzebruch表面，热带枚举几何的热带表面在三个空间。
Tropical analytic geometry, Newton polygons, and tropical intersections
本文利用热带代数几何与刚性解析几何之间的联系，证明了两个主要结果。本文用热带方法证明了一个关于多元收敛幂级数的牛顿多边形的定理：如果f_1，.，f_n是系数在非阿基米德域K中的n个收敛的n元幂级数，我们给出了f_1，.，的公共零点的赋值和重数的公式f_n。我们使用刚性分析的方法表明，稳定的完全相交的热带超曲面计算代数多重性，即使相交不是热带适当的。这些结果是自然制定和证明使用的刚性-解析空间的热带化理论，介绍了Einsiedler-Kapranov-Lind [EKL 06]和Gubler [Gub 07 b]。我们写这篇论文是尽可能可读的热带和算术geometers。
Tropical geometry
热带数学重新定义了算术规则，用取最大值代替加法，用加法代替乘法。在简要讨论了热带版本的线性代数，我们研究多项式建立这些新的操作。这些方程定义了称为热带品种的分段线性几何对象。我们探索这些热带品种的二维和三维，建立离散的工具来研究它们，并确定它们的几何特性。然后，我们讨论了热带几何和代数几何之间的关系，认为通常的多项式方程定义的形状。
Brief introduction to tropical geometry
本文由作者在2014年5月的Gökova几何\&拓扑会议上给出的迷你课程的讲义组成。我们开始与热带曲线在平面上的博览会和他们的应用问题，在经典的枚举几何，并继续与更一般的热带品种和他们的同调论看看。
Root bounds of vertical systems using tropical geometry
本文利用热带几何研究垂直参数化系统的根界，证明了其复零点数与热带线性空间与经典线性空间的交数关系，并在特定情况下用混合体积表示，同时给出正零点数的上界和下界。
A guide to tropical modifications
本文综述了热带修改，用于热带交集理论、热带Hodge理论及奇点研究，介绍了其在超几何、Berkovich空间和非标准分析中的解释，并提出新的贡献：非正交交集的可实现障碍和Weil互易律的热带版本。
Introduction to Tropical Geometry (notes from the IMPA lectures in Summer 2007)
这些压缩笔记处理热带几何的一些基本概念（品种，周期，修改，等价）。这些主题将被扩展，说明和包括到即将到来的图书项目http://www.math.toronto.edu/mikha/book.pdf。
Period integrals of hypersurfaces via tropical geometry
本文利用热带几何方法计算环面簇中一参数复超曲面的周期积分渐近，并给出 d=1 时极限处的极化对数 Hodge 结构。
Geometry of tropical extensions of hyperfields
该研究聚焦超域热带扩张的几何问题，通过引入“富集赋值”框架并建立Kapranov定理及热带几何基本定理的超域类似物，定义精细热带簇并证明其基于初始理想的结构定理。
A Riemann-Roch theorem in tropical geometry
最近，Baker和Norine证明了有限图的Riemann-Roch定理。我们将他们的结果推广到度量图，从而建立了（抽象）热带曲线上因子的Riemann-Roch定理。
Counting Algebraic Curves with Tropical Geometry
热带几何是代数几何的分段线性“影子”。它允许计算代数簇的几个上同调不变量。特别是，它的应用枚举代数几何导致重大进展。在这篇综述中，我们介绍了代数曲线计数问题的热带几何技术。我们还调查了一些最近的事态发展，特别强调的程度计算的塞维品种的复杂的射影平面和其他复曲面以及Hurwitz数和应用程序，真正的枚举几何。本文基于作者在2011年7月格拉斯哥热带几何和可积系统研讨会上的演讲。
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