关于平面对合的全局线性化
On global linearization of planar involutions
摘要：
设$ϕ:\R^2\to\R^2$是一个保向的$C^1$对合，使得$ϕ(0)=0$和${\rm Spc}\,(ϕ)=\{{\rm Eigenvalues\,\,of}\,\, Dϕ(p)\mid p\in\R^2\}$ .证明了如果对某些$ε>0$有${\rm Spc}\,{(ϕ)}\subset\R$或${\rm Spc}\,(ϕ)\cap [1,1+ε)=\emptyset$，则$ϕ$通过共轭性$h=(I+Dϕ(0)ϕ)/2$与线性对合$Dϕ(0)$全局共轭，其中$I:\R^2\to\R^2$是恒等映射.类似地，如果$ϕ$是取向反转的$C^1$对合，使得对于所有$p\in\R^2$都是$ϕ(0)=0$和${\rm Trace}\,\big(Dϕ(0)Dϕ(p)\big)>-1 $，则$ϕ$通过共轭性$h$与线性对合$Dϕ(0)$全局共轭。最后，我们表明，$h$可能无法成为一个全球的线性化$ϕ$，如果上述条件不满足。
英文摘要：
Let $ϕ:\R^2\to\R^2$ be an orientation--preserving $C^1$ involution such that $ϕ(0)=0$ and let ${\rm Spc}\,(ϕ)=\{{\rm Eigenvalues\,\,of}\,\, Dϕ(p)\mid p\in\R^2\}$. We prove that if ${\rm Spc}\,{(ϕ)}\subset\R$ or ${\rm Spc}\,(ϕ)\cap [1,1+ε)=\emptyset$ for some $ε>0$ then $ϕ$ is globally $C^1$ conjugate to the linear involution $Dϕ(0)$ via the conjugacy $h=(I+Dϕ(0)ϕ)/2$, where $I:\R^2\to\R^2$ is the identity map. Similarly, if $ϕ$ is an orientation-reversing $C^1$ involution such that $ϕ(0)=0$ and ${\rm Trace}\,\big(Dϕ(0)Dϕ(p)\big)>-1 $ for all $p\in\R^2$ then $ϕ$ is globally $C^1$ conjugate to the linear involution $Dϕ(0)$ via the conjugacy $h$. Finally, we show that $h$ may fail to be a global linearization of $ϕ$ if the above conditions are not fulfilled.
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