Arithmetic topology in Ihara theory II: Milnor invariants, dilogarithmic Heisenberg coverings and triple power residue symbols
我们引入模$l$ Milnor不变量的伽罗瓦元素与Ihara的伽罗瓦表示的亲$l$基本群的穿孔射影线（$l$是一个素数），作为算术模拟的纯辫子的Milnor不变量。然后，我们表明，三重二次（resp。三次）剩余符号的素数在有理（分别）。Eisenstein）数域分别用mod $2$表示。mod $3$）Frobenius元的三重Milnor不变量。为此，我们对模$l$ Heisenberg群上的格，引入了$\mathbb{P}^1$的双对数模$l$ Heisenberg分歧覆盖${\cal D}^{(l)}$，它可以看作是双对数函数的高级模拟，并研究了$l=2,3$上某些函数沿Frobenius元的pro-$l$列在${\cal D}^{(l)}$上的单值变换.
2019-06-03 math.NT
The norm residue symbol for formal Drinfeld modules
American University of the Middle East (AUM)（中东美国大学）
研究具有稳定约化高度为一的形式 Drinfeld 模的库默尔配对，通过形式 Drinfeld 模的对数等元素给出明确描述，推广了相关结果并扩展了公式。
2026-07-15 math.NT
Applications of circulant matrices to determinants involving $k$-th power residues
本文利用有限域上的循环矩阵和超椭圆曲线，研究了某些涉及Legendre符号和$k$次剩余的行列式的算术性质.
2021-09-27 math.NT
The norm residue symbol for higher local fields
自从高级局部类域论发展以来，已经构造了几个显式的互反律。特别地，存在描述高维希尔伯特符号的公式，其中M给出。Kurihara，A. Zinoviev和S.沃斯托科夫K.加藤也有明确的公式为高维库默尔配对相关的某些（一维）$p$ -可除群。在本文中，我们构造了一个明确的倒易律描述库默尔配对与任何（一维）形式群。这些公式是Kolyvagin互易律在高维局部域的推广。所得到的公式用多维$p$ -adic微分、形式群的对数、广义迹和Milnor K-群上的范数来描述配对的值。在本文的第二部分中，我们将应用这里得到的结果给出与Lubin-Tate形式群相关的广义Hilbert符号和Kummer配对的显式公式。第二篇文章的结果是Artin-Hasse，K. Iwasawa和A.怀尔斯
2018-08-25 math.NT
On Triple Quadratic Residue Symbols in Real Quadratic Fields
Kyushu University（九州大学）
针对窄类群平凡的实二次域，引入三次二次剩余符号，通过模2算术三重Milnor不变量定义，并刻画其在8次二面体扩张中的分解律，推广了Rédei的三次符号。
2026-06-12 math.NT
On mod 3 triple Milnor invariants and triple cubic residue symbols in the Eisenstein number field
我们引入模3三重Milnor不变量和三重三次剩余符号的某些素数的爱森斯坦数域$\mathbb{Q}(\sqrt{-3})$，以下的类比之间的纽结和素数。我们的三重符号推广了三次剩余符号和Rédei的三重符号，并描述了一个素数在$\mathbb{Q}(\sqrt{-3})$上27次模3海森堡扩张中的分解律，我们具体构造了类似于Rédei在$\mathbb{Q}$上的二面角扩张的形式。我们还给出了一个上同调的解释，我们的符号的三重Massey产品在伽罗瓦上同调。
2018-01-19 math.AT math.GT math.NT
Computational aspects of rational residuosity
本文考虑Jacobi符号的一种推广，即有理$2^k$次幂剩余符号.在第三节中，我们证明了Zolotarev引理的一个新的推广。在第4、5和6节中，我们证明了几个困难的计算问题是多项式时间可简化的，可以计算这些剩余符号，例如获得关于半素数因子的非平凡信息。我们还得到了关于二次剩余问题的准则。
2017-07-16 math.NT
The tame Hilbert symbol via K-theory and central extensions
令$K$是其剩余域具有基数$q$的混合特征局部域，并且令$n$是整除$q-1$的整数。在本文的第一部分中，我们构造了$K$理论上的$n$次幂剩余符号$K^\times \times K^\times \rightarrow μ_n$的增强。在第二部分中，我们通过$μ_n$构造了$GL_m(K)$的中心扩张，并且我们用一个由$m=1$得到的扩张定义的符号来表示$n$次幂剩余符号。我们的构造都依赖于对有限自由点$μ_n$ -集的研究。
2020-10-15 math.KT math.NT
Quadratic residues and domino tilings
该研究发现多米诺骨牌平铺数公式与Legendre符号公式的相似性，探究二者关联并证明了用多米诺骨牌平铺表示Jacobi符号的公式，搭建起数论与组合数学间的新联系。
2024-02-01 math.CO math.NT
Products of quadratic residues and related identities
本文研究了二次剩余模奇素数的乘积，证明了涉及二次剩余的几个恒等式。例如，假设$p$是一个奇素数。证明了若$p\equiv5\pmod8$，则有$$\prod_{0<x<p/2,(\frac{x}{p})=1}x\equiv(-1)^{1+r}\pmod p,$$，其中$(\frac{\cdot}{p})$是Legendre符号，$r$是区间$(0,p/2)$中$4$模$p$的次幂剩余数.我们的工作涉及到类数公式、四次高斯和、Stickelberger同余式以及Dirichlet L-级数在负整数上的值。
2021-04-07 math.NT
Power residue symbols and the exponential local-global principle
本文通过幂剩余符号证明了指数局部-全局原理（Skolem 猜想）的一些全新二次及退化三次特例。
2025-01-31 math.NT
Root numbers of elliptic curves in residue characteristic 2
为了确定定义在数域上的椭圆曲线的全局根数，需要了解所有的局部根数。这些已被分类，除了在2以上的地方，在本文中，我们试图完成分类。在大于2的地方，我们用范剩余符号表示局部根数（分别是：显式1维字符的根数）的情况下，当野生惯性作用通过循环（相应地，四元数）商。
2006-12-02 math.NT
Proof of three conjectures on determinants related to quadratic residues
本文确定了Z. W.太阳的决定因素。我们首先证明了任何奇数$n>3$整除行列式$$\left|(i^2+dj^2)\left(\frac{i^2+dj^2}n\right)\right|_{0\le i,j\le (n-1)/2},$$，其中$d$是任何整数，$(\frac{\cdot}n)$是雅可比符号。然后证明了关于$|(i+dj)^n|_{0\le i,j\le n-1}$和$|(i^2+dj^2)^n|_{0\le i,j\le n-1}$的一些整除性结果，其中$d\not=0$和$n>2$是整数.最后，对任意奇素数$p$和整数$c$，$d$，以及$p\nmid cd$，我们完全确定了Legendre符号$(\frac{S_c(d,p)}p)$，其中$S_c(d,p):=|(\frac{i^2+dj^2+c}p)|_{1\le i,j\le(p-1)/2}$ .
2020-11-16 math.NT
A General Reciprocity Law for Symbols on Arbitrary Vector Spaces
这项工作的目的是提供一个通用的理论互惠法律的符号在任意向量空间，并表明，经典的明确的互惠法律的特殊情况下，这一理论（总和的估值在一个完整的曲线，留数定理，韦伊互惠法和互惠法的希尔伯特范剩余符号）。此外，D. V. Osipov，A. N.帕尔申岛霍罗佐夫岛霍罗佐夫- M。Kerr和作者--连同D. Hernández Serrano-，也可以从这个一般表达式推导出来。
2013-05-30 math.AG math.NT
Modeling Chebyshev's Bias in the Gaussian Primes as a Random Walk
切比雪夫偏差的一个方面是一个素数$ q $模另一个素数$ p$的现象，实验上似乎比二次剩余更有可能是非二次剩余。我们认为将这种残差偏差建模为使用Legendre符号值作为步骤的“随机”行走是很有趣的。这样的模型可以让我们很容易地看到偏见。此外，我们还可以将我们的模型扩展到其他数域。在本报告中，我们首先概述了我们研究的基本理论和一些动机。在第二部分中，我们提出了我们的发现在有理数素数。我们发现的证据表明，切比雪夫的偏见，如果建模为一个勒让德符号$ \left(\frac{q}{p}\right)$步行，可能会有所减少，只允许$ q$的素数与非二次剩余（mod $ 4$）。在最后一节中，我们扩展我们的勒让德符号行走高斯素数，并提出我们的主要发现。设$ π_1 = α+βi$和$ π_2 = β+αi$。我们观察到$ \left[\frac{a+bi}{π_1}\right]$和$ \left[\frac{a+bi}{π_2}\right]$的高斯勒让德符号游走之间的强（$ \pm$）相关性，其中$ N(π_1) = N(π_2)$和$ a+bi$在第一象限中的高斯素数上迭代。我们试图解释为什么，对于某些规范，图为$ π_1$和$ π_2$有很强的正相关性，而对于其他规范，图有很强的负相关性。我们希望以这样一种方式写作，使读者在没有受过数论正规训练的情况下也能理解我们的观察。
2016-09-05 math.NT
A new theorem on quadratic residues modulo primes
令$p>3$为素数，令$(\frac{\cdot}p)$为勒让德符号。设$b\in\mathbb Z$和$\varepsilon\in\{\pm 1\}$。本文主要证明了$$\left|\left\{N_p(a,b):\ 1<a<p\ \text{and}\ \left(\frac ap\right)=\varepsilon\right\}\right|=\frac{3-(\frac{-1}p)}2,$$，其中$N_p(a,b)$是正整数$x<p/2$与$\{x^2+b\}_p>\{ax^2+b\}_p$的个数，而$\{m\}_p$与$m\in\mathbb{Z}$是$m$模$p$的最小非负剩余.
2022-10-06 math.NT
Invitation to higher local fields, Part I, section 4: Cohomological symbol for henselian discrete valuation fields of mixed characteristic
本文简述了Bloch-Kato定理证明的主要步骤，该定理指出范剩余同态K_q（K）/\to ^q（K，\Bbb Z/m（q））是特征为0的Hensel离散赋值域K与正特征的剩余域的同构。
2000-12-18 math.AG math.NT
Distribution of prime ideals of higher residue degree across ideal classes in the class groups
本文研究了数域$L$的类群中剩余度大于1的素理想在理想类中的分布.给出了剩余度为$f>1$的素理想类生成$L$类群的一个判据.此外，一些后果，这项研究的可解性的范数方程的$L/\mathbb{Q}$和零化子的相对扩展的问题进行了讨论。
2017-01-29 math.NT
Quadratic residues and quartic residues modulo primes
本文研究了与模素数的二次剩余和四次剩余有关的积。设$p$是一个奇素数，$A$是任意整数。我们主要完全确定乘积$$f_p(A):=\prod_{1\le i,j\le(p-1)/2\atop p\nmid i^2-Aij-j^2}(i^2-Aij-j^2)$$模$p$ ;例如，如果$p\equiv1\pmod4$，则$$f_p(A)\equiv\begin{cases}-(A^2+4)^{(p-1)/4}\pmod p&\text{if}\ (\frac{A^2+4}p)=1, \\(-A^2-4)^{(p-1)/4}\pmod p&\text{if}\ (\frac{A^2+4}p)=-1,\end{cases}$$，其中$(\frac{\cdot}p)$表示Legendre符号。我们还确定了$$\prod^{(p-1)/2}_{i,j=1\atop p\nmid 2i^2+5ij+2j^2}\left(2i^2+5ij+2j^2\right) \ \text{and}\ \prod^{(p-1)/2}_{i,j=1\atop p\nmid 2i^2-5ij+2j^2}\left(2i^2-5ij+2j^2\right)$$模$p$。
2020-09-10 math.NT
When the number of divisors is a quadratic residue
设$q > 2$为素数，定义$λ_q := \left( \fracτ{q} \right)$，其中$τ(n)$为$n$的约数，$\left( \frac{\cdot}{q} \right)$为Legendre符号。当$τ(n)$是模$q$的二次剩余时，则$\left( λ_q \star \mathbf{1} \right) (n)$可以接近于$n$的约数。这是这项工作的目的是比较平均值的功能$λ_q \star \mathbf{1}$的$τ$众所周知的平均顺序。证明表明，结果严重依赖于$\left( \frac{2}{q} \right)$的值。本文还利用某些光滑曲线附近的整数点理论的深刻结果，给出了$q=5$情形下短和的一个界。
2017-01-09 math.NT
Large sieve inequality for sums of Legendre symbols over short intervals
Université Jean Monnet, Centrale Lyon, INSA Lyon, Université Claude Bernard Lyon 1, CNRS, ICJ UMR5208（让·莫内大学、里昂中央理工学院、里昂国立应用科学学院、里昂第一大学、法国国家科学研究中心、ICJ UMR5208）；School of Mathematics and Statistics, University of New South Wales（新南威尔士大学数学与统计学院）；Department of Mathematics, University of Bristol（布里斯托大学数学系）；School of Mathematical Sciences, Shanghai Jiao Tong University（上海交通大学数学科学学院）
本文利用Burgess界和Selberg筛法，研究Legendre符号在短区间上的二次矩界，并在特定条件下获得对h的幂次改进。
2026-08-06 math.NT
Some determinants involving quadratic residues modulo primes
该研究计算了若干模素数二次剩余相关的行列式，证明了一类含正切函数的矩阵行列式在特定素数和整数条件下的精确取值公式，并提出了后续研究的相关猜想。
2024-07-11 math.NT
Residues : The gateway to higher arithmetic I
卡尔·弗里德里希·高斯（Carl Friedrich Gauss）在《算术研究》中用同余的定义将给定模的余数引入数学。它们非凡的性质为算术范式的改变提供了基础。通过限制剩余物的除法留下的剩余物彼得古斯塔夫Lejeune狄利克雷-高斯的继任者在哥廷根-消除了他的“讲座数论”的肥沃的概念残留物和归因于与数论方法残留物超过一个半世纪，以掩盖高斯的范式转变数学从小学到高等算术。
2012-11-18 math.HO math.NT
Reciprocity Laws for the Higher Tame Symbol and the Witt Symbol on an Algebraic Surface
算术曲面上的Parshin高阶Witt配对可以与高阶Tame配对结合，形成一个在函数域的绝对交换伽罗瓦群中取值的符号。我们证明互惠法律这个符号使用技术的莫罗的维特符号和罗莫的更高驯服的符号。
2013-04-23 math.NT
Quartic residues and sums involving $\binom{4k}{2k}$
令$p$是奇素数，令$m\not\equiv 0\pmod p$是有理p-adic整数。本文揭示了四次剩余与和$\sum_{k=0}^{[p/4]}\binom{4k}{2k}\frac 1{m^k}$之间的关系，其中$[x]$是不超过$x$的最大整数.设$q$是一个素数，其形式为$4k+1$，因此$q=a^2+b^2$与$a,b\in\Bbb Z$。当$p\nmid ab(a^2-b^2)q$时，我们证明了对于$r=0,1,2,3$，$p^{\frac{q-1}4}\equiv (\frac ab)^r\pmod q$当且仅当$$\sum_{k=0}^{[p/4]}\binom{4k}{2k}\Big(\frac{a^2}{16q}\Big)^k\equiv (-1)^{\frac{p^2-1}8a+\frac{p-1}2\cdot \frac{q-1}4}\Big(\frac pq\Big) \Big(\frac ab\Big)^r\pmod p,$$，其中$(\frac pq)$是Legendre符号。我们还建立了$m=17,18,20,32,52,80,272$病例中$\sum_{k=0}^{[p/4]}\binom{4k}{2k}\frac 1{m^k}\pmod p$的全等性。
2013-12-02 math.NT
Invitation to higher local fields, Part II, section 2: Adelic constructions for direct images of differentials and symbols
本文介绍了相对情形下二维情形下微分和符号的直接象的阿德利奇构造。特别是，互惠法律的差异和符号的相对残留的陈述和应用到周群的Gysin映射的建设。
2000-12-18 math.AG math.NT
Grothendieck's trace map for arithmetic surfaces via residues and higher adeles
建立了算术曲面上微分形式留数沿竖曲线的倒易律，并将曲面的Grothendieck迹图描述为一个留数之和。无穷远点，然后纳入理论和互惠法扩展到所有的曲线上的表面。讨论了算术曲面的广义对偶性的应用。
2011-11-07 math.AG math.NT
On a polynomial involving quadratic residues modulo primes
School of Mathematics, Nanjing University（南京大学数学系）
本文通过伽罗瓦理论研究多项式G_p(x)在单位根处的值，验证了某些猜想，特别是针对特定素数模数的根单位情况，给出了多项式值的表达式。
2026-05-11 math.NT
On the kernel and the image of the rigid analytic regulator in positive characteristic
我们将用公式表示并证明一个互反律，该互反律将来自芒福德曲线的K_2的微分符号dlog ^2的某些留数与作者在前一篇文章中构造的刚性解析调节器联系起来。我们将使用这个结果推导出一些后果的核和图像的刚性解析调节器类似的一些旧的代数贝林森和布洛赫的复解析调节器。我们还将我们的建设所定义的符号轮廓，卡雷尔和加藤的剩余同态，我们表明，韦伊的互惠法直接意味着互惠法的安德森和罗莫。
2009-12-16 math.KT math.NT
Two_Generalizations_for_Quadratic_Residue_Codes_over_Finite_Fields
众所周知，有限域上的二次剩余码由于其较高的最小距离而成为一类有趣的循环码。设$g$是正整数，$p,p_{1},\ldots, p_{g}$是不同的奇素数，本文将长度为$p$的二次剩余码的构造推广为长度为$n=p_{1}\cdots p_{g}$的二次剩余码，并推广为有限域上长度为$p$的$m$次剩余码，其中$m\geq 2$是正整数.进一步得到了这类码是自正交码或互补对偶码的一个判别准则，并给出了相应的计数公式。特别地，确定了所有24个四元二次剩余码$[15,8]$的最小距离。
2020-01-07 math.NT
A generalization of the Ross symbols in higher K-groups and hypergeometric functions II
本文是“高阶K-群和超几何函数I中Ross符号的推广”一文的续篇，在文中我们引入了超几何概型的高阶$K$ -群中的高阶Ross符号，并讨论了Beilinson调节器。本文给出了它的p-adic对应，并应用于Picard数为20的K3曲面的$p$ -adic Beilinson猜想.
2022-04-19 math.NT
The field-of-norms functor and the Hilbert symbol for higher local fields
利用模域函子从高阶局部域中特征p > 2的Witt符号的显式公式推导出混合特征情形下Hilbert符号的显式互易公式.它表明，一个“非常特殊的情况下”，这一建设给予沃斯托科夫的明确公式
2010-10-04 math.NT
On some determinants arising from quadratic residues
本文研究二次剩余相关的行列式模素数问题，补全了S_{p-2}(d,p)在(-d/p)=1情形下的模p结果，并确定了部分特殊情形中S_{p-3}、S_{p-4}对应的勒让德符号，推进了相关行列式的数论性质研究。
2024-04-17 math.NT
Proof of some conjectures involving quadratic residues
我们确认了几个涉及二次剩余模奇素数的Sun图。对任意素数$p\equiv 1\pmod 4$和整数$a\not\equiv0\pmod p$，证明了\begin{align*}&(-1)^{|\{1\le k<\frac p4:\ (\frac kp)=-1\}|}\prod_{1\le j<k\le(p-1)/2}(e^{2πiaj^2/p}+e^{2πiak^2/p}) \\=&\begin{cases}1&\text{if}\ p\equiv1\pmod 8,\\\left(\frac ap\right)\varepsilon_p^{-(\frac ap)h(p)}&\text{if}\ p\equiv5\pmod8,\end{cases} \end{align*}和\begin{align*}&\left|\left\{(j,k):\ 1\le j<k\le\frac{p-1}2\ \&\ \{aj^2\}_p>\{ak^2\}_p\right\}\right| \\&+\left|\left\{(j,k):\ 1\le j<k\le\frac{p-1}2\ \&\ \{ak^2-aj^2\}_p>\frac p2\right\}\right| \\\equiv&\left|\left\{1\le k<\frac p4:\ \left(\frac kp\right)=\le…
2020-03-12 math.NT
A generalization of the Ross symbols in higher K-groups and hypergeometric functions I
Ross符号被定义为费马曲线z^n+w^m=1的K_2中的元素{1-z，1-w\}。Ross通过计算Beilinson调节器证明了它是无挠的。本文引入了簇（1-x_0^{n_0}）\cdots（1-x_d^{n_d}）=t的K_{d+1}中Ross符号的推广.主要结果是：Beilinson调节器可用超几何函数{}_{d+3} F_{d+2}描述.
2021-09-13 math.NT
Integrality of the higher Rademacher symbols
本文证明 Duke 关于高阶 Rademacher 符号取整数值的猜想，借助 Bernoulli 数性质及 Kummer 同余的推广，阐明相关实二次域 zeta 值分母的简洁性。
2023-07-16 math.NT
Local certification of residual squareclasses in $\mathbb Q(\sqrt{2},\sqrt{pq},\sqrt{ps})$: one-bit, affine, and finite-choice Hilbert-symbol frameworks
FPT University（FPT大学）
本文通过局部准则和 Hilbert 符号解决了八次多二次域 $\mathbb{Q}(\sqrt{2}, \sqrt{pq}, \sqrt{ps})$ 中单位生成元的剩余比特选择问题，并建立了局部认证的层次结构。
2026-05-26 math.NT
On a dynamical approach to some prime number sequences
在本文中，我们将展示如何从动力系统理论到数论的跨学科技术转移可以是一个富有成效的研究途径。我们说明了这个想法，从一个非线性和符号动力学的观点探索某些模式出现在一些剩余序列产生的素数序列。我们发现，由素数模$k$的残留物形成的序列是最大的混乱，而缺乏禁止的模式，显示一个非平凡的频谱Renyi熵这表明，每个块的大小$m>1$，而容许的，发生不同的概率。$m>1$的块的这种非均匀分布与保证$m=1$的等概率的狄利克雷定理相反。然后，我们以类似的方式探索主要缺口残基的序列。这个序列也是混沌的（Kolmogorov-Sinai熵为正），但是混沌更弱，因为我们发现每个大小为$m>1$的块都有禁止模式。我们将这些禁止模式的出现与整数的整除性质联系起来，并通过Hardy-Littlewood $k$ -tuple猜想估计了空位块残基的密度。我们使用这个估计认为，可容许块的数量是非均匀分布的，这支持了Renyi熵的频谱在这种情况下再次是非平凡的事实。我们完成了我们的分析，通过应用混沌游戏，这些符号序列，并比较IFS吸引子的实验序列与适当的空模型。
2018-02-22 math.DS math.NT
Modular Dedekind symbols associated to Fuchsian groups and higher-order Eisenstein series
设$E(z,s)$是模群$SL(2,{\mathbb Z})$的非全纯Eisenstein级数。经典的Kronecker极限公式表明，$E(z,s)$在$s=1$上的Laurent展开式的第二项本质上是Dedekind eta函数的对数.这个eta函数是一个加权$1/2$模形式，而戴德金则用戴德金和表示其乘子系统。Goldstein的工作的基础上，我们将这些结果从模群推广到更一般的富克斯群$Γ$。eta函数的模拟有一个乘数系统，可以用一个映射$S:Γ\to {\mathbb R}$来表示，我们称之为模戴德金符号。我们通过极限公式得到了这些符号的详细性质。将通常的具有加性同态的幂的爱森斯坦级数从$Γ$扭曲到${\mathbb C}$，产生高阶爱森斯坦级数。这些级数共享$E(z,s)$的许多性质，尽管它们具有更复杂的自同构条件。它们满足Kronecker极限公式，并产生高阶Dedekind符号$S^*:Γ\to {\mathbb R}$。作为一般结果的应用，我们证明了亏格为1的同余群$Γ_0(N)$的高阶Dedekind符号是有理数的.
2016-10-21 math.NT
Representation Defects and Cassels Pairings for Congruent Number Curves: Rédei Symbols and Governing Fields
Nanjing University（南京大学）
该研究针对同余数曲线，建立了Qin归一化表示缺陷奇偶性与Cassels配对Pfaffian的关系，推导了特定条件下的同余数相关同余式并推广了相关结论。
2026-09-09 math.NT
On Finite Fields and Higher Reciprocity
本文系统阐述有限域、乘法特征及 Gauss/Jacobi 和，并在此基础上建立三次互反律、讨论素数2的三次剩余条件，最后综述四次互反律。
2024-08-03 math.NT
A higher-dimensional Contou-Carrère symbol: local theory
我们构造了一个高维Contou-Carrère符号，并研究了它的各种基本性质。通过$K$ -群的边界映射定义了高维Contou-Carrère符号。我们证明了它的泛性质。给出了$\mathbb Q$上高维Contou-Carrère符号的一个显式公式，并证明了该公式的完整性.与高维维特配对的关系也进行了研究。
2016-03-02 math.AG math.KT math.NT
Invitation to higher local fields, Part I, section 8: Explicit formulas for the Hilbert symbol
这是一个审查的广大地区的显式公式（野生）希尔伯特符号（不仅在一维的情况下，但在高维的情况下，以及）。广泛的bilbiography包括在内。
2001-02-13 math.AG math.NT
Invitation to higher local fields, Part I, section 13: Abelian extensions of absolutely unramified complete discrete valuation fields
本文介绍了作者关于具有特征p的任意剩余域的绝对非分歧完备离散赋值域K的循环p-扩张的理论.在这个理论中，从K的特征标群的p-部分到其剩余域上的Witt向量构造了一个同态.
2000-12-18 math.AG math.NT
Higher-dimensional Contou-Carrère symbol and continuous automorphisms
证明了环上的迭代洛朗级数代数的高维Contou-Carrère符号在连续自同构下是不变的.应用这一性质，我们得到了一个新的显式公式的高维Contou-Carrère符号。与以前已知的公式不同，这个公式是在任意环上给出的，不一定是$\mathbb Q$ -代数，也不涉及代数$K$ -理论。
2016-11-18 math.AG math.KT math.NT
Higher-Weight Limiting Modular Symbols
本文通过对 Shokurov 的高权模符号进行极限过程，定义了端点为无理实数的高权极限模符号，并证明该极限等价于连分数展开逼近，方法借鉴了权 2 情形下的编码空间转移策略。
2023-10-19 math-ph math.MP math.NT
Invitation to higher local fields, Part I, section 15: On the structure of the Milnor K-groups of complete discrete valuation fields
这项工作包含了一个列表的所有已知结果的商过滤的Milnor K-群的一个完整的离散赋值领域的微分模的剩余域。利用指数映射和同伦复形研究了特征为0的弱分歧域与特征为p的剩余域的情形。
2000-12-18 math.AG math.NT
A Generalized Contou-Carrère Symbol and its Reciprocity Laws in Higher Dimensions
我们推广的理论Contou-Carrère符号到更高的维度。对于$(n+1)$元组$f_0,\dots,f_n \in A((t_1))\cdots((t_n))^{\times}$，其中$A$表示域$k$上的交换代数，我们关联一个元素$(f_0,\dots,f_n) \in A^{\times}$，该元素与$k = A$的更高驯服符号以及Contou-Carrère的$n = 1$和Osipov-Zhu的$n = 2$的早期构造兼容。我们的定义是基于\emph{higher commutators}的概念为中心的扩展组的频谱，从而扩展的方法Arbarello-德Concini-卡茨和安德森-Pablos罗莫。按照Beilinson-Bloch-Esnault对于$n=1$的情形，我们允许$A$是任意的，而不限于Artinian $A$。以前的工作的作者泰特对象的确切类别，并在代数$K$ -理论的索引图是必不可少的锚定我们的方法，它的前辈。我们也重新审视范畴的正式完成，在稳定的$\infty$范畴的背景下。使用这些工具，我们描述了更高的轮廓-Carrère符号作为代数$K$理论中的边界映射的组合，并通过证明更高轮廓-Carrère符号的Parshin-Kato互易性来结束本文。
2021-05-10 math.AG math.KT math.NT
