On the Stern sequence and its twisted version
在ArXiv最近的预印本中，Bacher介绍了Stern序列的扭曲版本。他的论文包含特别是三个有关生成系列的斯特恩序列和扭曲斯特恩序列。不久之后，库恩斯发表了两篇论文{ \it整数}：首先，他证明了这些programmures，第二，他用他的结果，以获得相关型身份的斯特恩序列。我们在这里回顾一个简单的结果Reznick和我们国家一个类似的结果扭曲斯特恩序列。我们推出一个简单的证明库恩的身份，和一个简单的证明巴彻的身份。此外，我们证明身份相似的库恩'的斯特恩序列，包括巴赫尔序列的变化。
2012-08-30 math.CO math.NT
A natural probability measure derived from Stern's diatomic sequence
Stern的双原子序列与$2$的连续幂之间的内在重复和细化结构产生了单位区间上的相当自然的概率测度。我们构造这个措施，并表明，它是纯粹的奇异连续，严格增加，Hölder连续分布功能。此外，我们将这个函数与Stern双原子序列的膨胀方程的解联系起来。
2018-03-15 math.NT
Largest values of the Stern sequence, alternating binary expansions and continuants
本文研究了Stern双原子阵列的第$r$行的最大值。特别地，我们证明了Lansing的一些定理.我们的主要工具是斯特恩序列之间的联系，交替二进制扩展和连续。这使得我们可以将Stern序列元素的排序问题简化为连续序列的排序问题。我们描述了一个操作，增加了连续的值，使我们能够减少最大连续的问题，订购非常特殊形状的连续。最后，我们使用一些涉及斐波那契数的恒等式和不等式对这些特殊的连续序列进行了排序。
2016-08-30 math.NT
Modified Stern-Brocot Sequences
给出了经典的Stern-Brocot树，并对0到1之间的所有有理数都出现在该树中这一事实给出了一个新的证明.然后，我们推广thestern-Brocot树，允许任意选择的起始条款，并证明在所有情况下，树保持的财产，每一个有理数之间的两个起始条款出现一次。
2013-01-29 math.NT
Statistical distribution of the Stern sequence
我们证明了斯特恩双原子序列是渐近分布根据正常的法律，在对数尺度上。这是通过研究复矩和转移算子的解析性质得到的。
2018-04-11 math.DS math.NT
The Farey Sequence, Stern Brocot Tree and Euclids Theorem
法里数列是一个众所周知的程序，用来产生从0到1的真分数。法里序列常用于无理数的有理逼近、福特圆和黎曼假设。因此，在本文中，我们的目标是使用的性质的法瑞序列来证明流行的gcd定理。
2020-11-12 math.NT
A function from Stern's diatomic sequence, and its properties
我们定义了一个函数的改进斯特恩的双原子序列。我们将其命名为{ \it汇编函数}。它是严格连续递增的。第一个和第二个主要定理是关于作用于函数的。第三个定理是关于函数在有理点的可微性。
2020-04-01 math.FA math.NT
Record-Setters in the Stern Sequence
Stern双原子系列，用$(a(n))_{n \geq 0}$表示，由$n \geq 1$的递归关系$a(2n) = a(n)$和$a(2n + 1) = a(n) + a(n + 1)$以及初始值$a(0) = 0$和$a(1) = 1$定义。序列$(s(n))_{n \geq 0}$的记录设置器是索引$v$，使得$s(i) < s(v)$对所有$i < v$保持。在本文中，我们给出了一个完整的描述的Stern序列的记录设置者。
2022-05-12 math.CO math.NT
Proof of Northshield's conjecture concerning an analogue of Stern's sequence for $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$
通过确定Northshield关于$\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$的Stern序列的模拟的极大序模，证明了Northshield的一个猜想.特别地，如果$b$是Northshield的类似物，我们证明了$$\limsup_{n\to\infty}\frac{2b(n)}{(2n)^{\log_3 (\sqrt{2}+1)}}=1.$$
2017-09-06 math.CO math.NT
A dichotomy between uniform distributions of the Stern-Brocot and the Farey sequence
我们采用无穷遍历论证明了偶数Stern-Brocot序列和法里序列关于某些规范权重是模1均匀分布的。作为推论，我们得到了连分数和水平集的勒贝格测度的精确渐近性，以及与几何和算术限制的庞加莱级数的渐近性态的联系.此外，我们给出的关系，我们的主要结果的Stern-Brocot树的基本意见。
2010-09-09 math.DS math.NT
Binary Signed-Digit Integers and the Stern Diatomic Sequence
Stern双原子序列是一个研究得很好、定义简单的序列，具有许多迷人的特征。整数的二进制带符号数字表示是整数的另一种表示，在高效计算、编码理论和密码学中有很多用途。我们在这里链接这两个想法，表明$i$位二进制符号数表示的整数$n$与$n<2^i$是$(2^i-n)^\text{th}$元素斯特恩的双原子序列。这种对应关系使得斯特恩双原子序列的大量结果可用于研究二进制符号数整数。
2021-10-06 math.CO math.NT
Denominators in the Farey Sequence, the Stern Sequence, and the Frobenius Problem with Relatively Prime Multipliers
该研究针对带系数互素限制的弗罗贝尼乌斯开放问题，证明此类问题仍存在无法表示的最大整数，并探究其与斯特恩序列等的关联及相关性质。
2026-10-14 math.NT
Arithmetic properties of the sequence of degrees of Stern polynomials and related results
令$B_{n}(t)$是$n$次Stern多项式，并令$e(n)=\op{deg}B_{n}(t)$是它的次数。在本说明中，我们继续我们的研究开始在\cite{Ul}的算术性质的序列的斯特恩多项式和序列$\{e(n)\}_{n=1}^{\infty}$。我们还研究了序列$d(n)=\op{ord}_{t=0}B_{n}(t)$。除其他事项外，我们证明，$d(n)=ν(n)$，其中$ν(n)$是2的最大功率，整除数$n$。我们还计算了方程$e(m)=i$和$e(m)-d(m)=i$在区间$[1,2^{n}]$内的解的个数。我们还得到了一个有趣的封闭表达式，一定的总和涉及斯特恩多项式。
2011-02-24 math.CO math.NT
Non-standard binary representations and the Stern sequence
本文证明整数的短二进制有符号数字表示数量等于 Stern 序列对应项，并以直接、双射、生成函数及 Monroe 的结果给出多种论证。
2023-08-14 math.CO math.NT
The maximal order of Stern's diatomic sequence
我们回答了Calkin和Wilf关于Stern双原子序列的极大序模的一个问题.具体地说，我们证明了$$\limsup_{n\to\infty}\frac{a(n)}{φ^{\log_2 n}}=\frac{φ^{\log_2 3}}{\sqrt{5}},$$，其中$φ=(\sqrt{5}+1)/2$是黄金比例。这改进了Berlekamp、Conway和Guy先前给出的结果，他们表明极限值的上界为1.25，Calkin和Wilf给出的结果表明精确值在区间$[(φ/{\sqrt{5}})({3}/{2})^{\log_2φ},(φ+1)/{\sqrt{5}}].$内
2014-06-17 math.CO math.NT
A Matrix Related to Stern Polynomials and the Prouhet-Thue-Morse Sequence
由$s(0;x)=0$、$s(1;x)=1$定义的Stern多项式以及由$s(2n;x)=s(n;x^2)$和$s(2n+1;x)=x\,s(n;x^2)+s(n+1;x^2)$定义的用于$n\geq 1$的Stern多项式仅具有0和1作为系数。我们构造了一个与$s(n;x)$的系数相关的无限下三角形矩阵，并证明了它的逆矩阵只有0，1和$-1$作为元素，我们明确地发现了这一点。特别地，条目的符号分布由Prouhet-Thue-Morse序列确定。我们还获得了这个矩阵和一个相关的Pascal型矩阵，涉及加泰罗尼亚，斯特林，斐波那契，罚款，和帕多万数的其他属性。进一步的结果涉及组成的整数，Sierpierski矩阵，并身份连接斯特恩和Prouhet-图厄-莫尔斯序列。
2021-06-19 math.CO math.NT
A multidimensional continued fraction generalization of Stern's diatomic sequence
连分数与斯特恩双原子序列0，1，1，2，1，3，2，3，1，4，.相连。（由递归关系a_2n=a_n和a_{2n+1} = a_n + a_{n+1}给出，其中a_0=0和a_1=1），这是早已公知的。使用一种特殊的多维连分数算法（Farey算法），我们将把双原子序列推广到一个自然应该被称为三原子序列（或具有记忆序列的二维Pascal）的数的集合。由于连分数和双原子序列可以被认为是来自单位区间的系统细分，这种新的三原子序列将通过三角形的系统细分而产生。我们将讨论三原子序列的一些代数性质。
2013-09-10 math.CO math.NT
Sums with Stern-Brocot sequences and Minkowski question mark function
本文肯定回答了 Moshchevitin 关于 Stern-Brocot 序列余项在 n 趋于无穷时是否趋于 0 的问题，并给出了关于 Minkowski 问号函数逆函数 Fourier-Stieltjes 系数定理的正确证明与扩展结果。
2025-09-17 math.NT
Lacunary formal power series and the Stern-Brocot sequence
设$F(X) = \sum_{n \geq 0} (-1)^{\varepsilon_n} X^{-λ_n}$是实缺项形式幂级数，其中$\varepsilon_n = 0, 1$和$λ_{n+1}/λ_n > 2$ .已知其连分式展开式的收敛式的分解子$Q_n(X)$是系数为$0, \pm 1$的多项式，且$Q_n(X)$中非零项的个数是Stern-Brocot序列的第$n$项.我们表明，取代索引$n$由任何2-adic整数$ω$是有意义的。我们证明了$Q_ω(X)$是多项式当且仅当$ω\in {\mathbb Z}$。在所有其他情况下$Q_ω(X)$是一个无限形式的幂级数，我们讨论的代数性质的特殊情况$λ_n = 2^{n+1} - 1$。
2013-01-29 math.CO math.NT
The Stern diatomic sequence via generalized Chebyshev polynomials
本文研究 Stern 二原子序列，证明其在变量取特定值时可通过求值广义 Chebyshev 多项式得到，并推导出用奇偶性交替递增整数集合表示多项式的公式，同时给出了基于单位矩阵与特定三对角矩阵之和的行列式表达式。
2015-11-15 math.NT
Weighted Mediants and Fractals
在本文中，我们研究了一个自然推广的Stern-Brocot序列，它来自于加权中位数的引入。我们将注意力集中在$k = 3$的情况下，其中$(2a + c)/(2b + d)$和$(a + 2c)/(b + 2d)$是插入在$a/b$和$c/d$之间的两个中间词。本文给出并证明了Stern-Brocot序列与$k = 3$的交差的几个性质，并证明了描述单位$k = 3$ Stern-Brocot序列（即具有通常起始项$0/1, 1/1$和分数约化的序列）交差的类分形规则.
2017-11-04 math.NT
Binary Signed-Digit Integers and the Stern Polynomial
整数的二进制符号数字表示用于各种设置中的高效计算。Stern多项式是Stern双原子序列的一个多项式扩展，它本身已经被深入研究。在本文中，我们展示了BSD表示和斯特恩多项式之间以前未知的连接。我们推导出一个权重分布定理$i$位BSD表示的整数$n$的斯特恩多项式的$2^i-n$的系数和程度的条款。然后，我们显示新的递归斯特恩多项式，并从这些和重量分布定理获得类似的BSD递归和快速$\mathcal{O}(n)$算法，计算的数量和数量的$0$的最佳BSD表示的所有整数的NAF位长度$\log(n)$一次，然后可以比较。
2021-08-27 math.NT
Zeros and convergent subsequences of Stern polynomials
我们调查Dilcher和Stolarsky的多项式模拟斯特恩双原子序列。基本信息获得有关其零点在平面上的分布。此外，发现了无数的双折射，每个收敛到一个唯一的解析函数上的开放单位盘。因此，我们推广结果Dilcher和Stolarsky从他们的第二篇论文的主题。
2012-09-18 math.CV math.NT
Automated Generation of Generating Functions Related to Generalized Stern's Diatomic Arrays in the footsteps of Richard Stanley
本文提出并实现了基于符号动态规划的 Maple 算法，用于自动生成广义 Stern 阵列的生成函数，并将其推广到由常系数线性递推序列定义的更一般阵列。
2024-10-20 math.CO math.NT
Regularity properties of the Stern enumeration of the rationals
Stern序列（s（n））定义为s（0）= 0，s（1）= 1，s（2n）= s（n），s（2n+1）= s（n）+ s（n+1）。Stern在1858年证明了gcd（s（n），s（n+1））= 1，并且对于每对互素的正整数（a，b），存在唯一的n，使得s（n）= a和s（n+1）= b。我们证明了，在一个强意义下，s（n）/s（n+1）的平均值是3/2，并且对于所有d，（s（n），s（n+1））均匀分布在模d的所有可行同余类对之间。d = 2和3时给出了更精确的结果。
2006-10-19 math.CO math.NT
Zeros of Stern polynomials in the complex plane
本文研究Stern多项式序列在复平面上的零点分布，利用复连分数收敛性的Parabola定理证明圆盘$|w-2|\leq 1$内无根，从而部分推进Dilcher等人的猜想，并由此证明素数指标下Stern多项式在整数环上不可约。
2025-11-05 math.CO math.NT
Strong arithmetic property of certain Stern polynomials
令$B_{n}(t)$为$n$第Stern多项式，即，序列的第$n$项递归地定义为$B_{0}(t)=0, B_{1}(t)=1$和$n\in\N$的$B_{2n}(t)=tB_{n}(t), B_{2n+1}(t)=B_{n}(t)+B_{n-1}(t)$。众所周知，多项式$B_{n}(t)$中的第$i$个系数计数恰好包含$i$数字1的$n-1$的超二进制表示的数目。本文研究了同余关系\begin{equation*} B_{n}(t)\equiv 1+rt\frac{t^{e(n)}-1}{t-1}\pmod{m}, \end{equation*}的奇解的存在性，其中$m\in\N_{\geq 2}$和$r\in\{0,\ldots,m-1\}$是固定的，$e(n)=\op{deg}B_{n}(t)$ .证明了对于$m=2$和$r\in\{0,1\}$以及$m=3$和$r=0$，有无穷多个奇数$n$满足上述同余式.我们还提出了一些数值计算的结果。
2019-09-24 math.NT
Enumerating the rationals from left to right
证明了法里序列、Stern-Brocot序列、Calkin-Wilf序列都是通过几乎相同的二阶递归关系生成的。这些序列具有组合、计算和几何应用，并且对于枚举有理数很有用。
2010-11-12 math.NT
Palindromic sequences of the Markov spectrum
本文研究了由马尔可夫谱中元素的连分数表示导出的马尔可夫序列的周期。这个谱是特殊规格化的不定二进制二次型的极小值的集合。我们发现，这些序列的周期是回文后，一些循环的移位，移位的数量由斯特恩的双原子序列。
2018-09-02 math.NT
Dichotomic random number generators
本文介绍了几类伪随机序列，它们是经典随机数产生方法的自然扩张。序列是从标记二叉树上的结构中获得的，推广了著名的Stern-Brocot树。
2016-03-04 math.CO math.NT
Generalized $k$-regular sequences II:digital pattern and transcendence
本文证明了由数字模式序列生成的不可数实数量给出了超越数。这一结果给出了Morton和Mortant [MortM]中的主要定理的推广，该定理指出由数字模式序列生成的可数实数给出了超越数。我们的方法依赖于Adamczewski-Bugeaud [AdB 2]建立的组合定量超越准则和作者[Mi2]引入的广义$k$ -正则序列的性质。
2021-12-10 math.NT
Algorithmic classification of noncorrelated binary pattern sequences
我们表明，它是可能的算法验证，如果一个给定的模式序列是不相关的。作为应用，我们计算出了长度为$\leq 4$的$2272$不相关二元模式序列。如果我们把我们的注意力限制在不以$\mathtt{0}$结尾的模式上，我们给出了一个模式序列不相关的充分条件。我们猜想这个条件也是必要的，并验证了长度$\leq 5$的猜想。
2021-08-22 math.CO math.DS math.NT
Digital pattern and transcendence via generalized $k$-regular sequences
本文证明了存在不可数多个实超越数，它们是由数字模式序列生成的。这推广了Morton和Reynant的主要定理，该定理陈述了存在可数的许多相似数。我们的方法依赖于Adamczewski和Bugeaud建立的组合定量超越准则和本文引入的广义k-正则序列的性质。
2021-12-10 math.CO math.NT
Balance and pattern distribution of sequences derived from pseudorandom subsets of $\mathbb{Z}_q$
令$q$为正整数，且$\mathcal{S}=\left\{x_0,x_1,\ldots,x_{T-1}\right\}\subseteq\mathbb{Z}_q=\{0,1,\ldots,q-1\}$具有$$0\leq x_0<x_1<\ldots< x_{T-1}\leq q-1.$$，我们从$\mathcal{S}$推导出三个（有限）序列。1.对于整数$M\geq 2$，令$(s_n)$为由\begin{eqnarray*} s_n\equiv x_{n+1}-x_n \bmod M, \qquad n=0,1,\ldots, T-2. \end{eqnarray*} 2定义的$M$ -ary序列。对于整数$m\geq 2$，令$(t_n)$为由\begin{eqnarray*} t_n=\left\{\begin{array}{ll} 1, & \hbox{if } 1\leq x_{n+1}-x_n\leq m-1, \\ 0, & \hbox{otherwise}, \end{array}\right. \qquad n=0,1,\ldots, T-2. \end{eqnarray*} 3定义的二进制序列。以$(u_n)$为$\mathcal{S}$，\begin{eqnarray*} u_n=\left\{\begin{array}{ll} 1, & \hbox{if…
2021-11-10 math.CO math.NT
