Rational extensions of the trigonometric Darboux-Pöschl-Teller potential based on para-Jacobi polynomials
雅可比方程在某些情况下可以有多项式形式的通解，这一点最近被卡洛杰罗和易强调，他们称之为仿雅可比多项式。这样的多项式在这里被用来建立种子函数的达布-贝克隆变换的三角达布-Pöschl-Teller势。其结果是，一步定期有理扩展后者既依赖于一个整数索引$n$和一个连续变化的参数$λ$的构造。对于每个$n$值，这些扩展势的本征态与一个新的$λ$依赖多项式族相关联，该多项式在$\left] -1,1\right[ $上正交。
2014-11-28 math-ph math.MP nlin.SI
$m$-step rational extensions of the trigonometric Darboux-Pöschl-Teller potential based on para-Jacobi polynomials
本文将基于 para-Jacobi 多项式种子函数的三角 Darboux-Pöschl-Teller 势有理扩展从一步 Darboux 变换推广至 $m$ 步，获得了依赖离散与连续参数的新例外正交多项式族，并详细分析了正则性条件对参数的限制。
2025-10-14 math-ph math.MP nlin.SI
Darboux Points and Integrability Analysis of Hamiltonian Systems with Homogeneous Rational Potentials
研究了具有齐次有理位势$V(\vq)$的自然Hamilton系统在Liouville意义下的可积性。通过对微分Galois变分方程组沿某些特解的分析，得到了这类系统可积的强必要条件。这些条件具有对在方程$\grad V(\vd)=\vd$的非零解$\vd$处计算的Hessian $V"(\vd)$的特征值的算术限制的形式。这样的解称为真达布点。最近证明了对于一般多项式齐次位势，位势在所有真达布点上的Hessian特征值之间存在着普遍的关系。关于理性势的这种关系是否存在的问题似乎很难回答。这一现象的原因之一是势及其梯度的不定点的存在。然而，对于两个自由度，我们证明了这种关系存在。这一结果是重要的，因为它允许表明，一组容许值的特征值的海森在适当的达布点的潜力满足必要条件的可积性是有限的。反过来，它提供了一个工具，可积有理势的分类。此外，最近，有人提出，对于多项式齐次势，可积性的附加必要条件可以从不适当的达布点的存在中推导出来，即，点$\vd$，它们是方程$\grad V(\vd)=\vzero$的非零解。这些新的条件也有强加在$V"(\vd)$的特征值的算术限制的形式。本文证明了对于有理位势，非正常达布点给出了同样的可积性必要条件。
2012-05-20 math-ph math.DS math.MP
Analytic Poisson brackets on rational functions on the Riemann sphere and their generalization
我们考虑了黎曼球面上有理函数上的Poisson结构族。这个层次起源于与克莱因弦谱问题相关的可积Camassa-Holm方程理论。以前雅可比恒等式的证明是通过将括号降到正则达布坐标来获得的。本文的主要结果是Jacobi恒等式的一个直接证明。事实证明，雅可比恒等式的直接证明绝非易事。我们还给出了另一个层次的泊松括号的例子，并构造达布坐标。
2016-11-08 math-ph math.MP
Darboux transformations for differential operators on the superline
本文给出了超线上任意非退化微分算子的任意阶达布变换的完整描述。我们证明了这类算子的每个达布变换都分解为一阶初等达布变换。对于普通行上的运算符，也有类似的说法。
2015-05-19 math-ph math.CA math.DG
Quantization of rationally deformed Morse potentials by Wronskian transforms of Romanovski-Bessel polynomials
本文提出了Odake和Sasaki的建议，将有理变形Morse势的本征函数改写为Laguerre多项式的Wronskians的倒数形式。证明了具有Morse势的Schrodinger方程的拟有理种子解是由指数与度无关的广义Bessel多项式构成的。作为一个新的成就，我们可以指出的Darboux-Crum网的构造等谱有理势使用的Wronskian的广义贝塞尔多项式没有正零点。然后证明了Morse势的任何可解的有理Darboux-Crum变换都可以重新表示为后者多项式的Wronskians，并伴有并置的Romanovski-Bessel多项式对。
2022-08-08 math-ph math.MP
On a set of Grassmann-valued extensions of systems of ordinary differential equations
本文利用超场，讨论了在（无穷小）超对称变换下不变的一些Grassmann值常微分方程组的公式，包括$N$ -超空间扩展型.不同的新的例子，并提供了一些方面的方法获得解决方案。从达布理论的启发被认为是一些一般的多项式系统，涉及格拉斯曼变量的概念。
2019-03-28 math-ph math.MP
On computation of Darboux polynomials for full Toda lattice
本文利用待定系数法与符号计算，在全Toda格子上无需额外信息即可计算Darboux不变量，验证了经典方法的可行性。
2025-01-24 math-ph math.DS math.MP
DARBOUX partners of pseudoscalar Dirac potentials associated with exceptional orthogonal polynomials
我们介绍了一种方法，用于构建达布（或超对称）对赝标和标量狄拉克潜在的例外正交多项式。讨论了变换势的性质和正则性条件。作为应用，我们考虑了与有理扩展径向振子的薛定谔模型有关的赝标狄拉克势。赝标合作伙伴的潜力下构造的一阶和二阶达布变换。
2014-09-03 math-ph math.MP quant-ph
The Darboux transformation of the derivative nonlinear Schrödinger equation
n重达布变换（DT）是Kaup-Newell（KN）系统的2 \times 2矩阵。本文用本征函数的$(n+1)\times (n+1)$行列式与$n\times n$行列式之比表示该矩阵的每个元素。利用这些公式，用n重DT法生成了KN系统中的$q^{[n]}$和$r^{[n]}$的表达式。进一步，在约化条件下，利用不同的种子解，给出了微分非线性薛定谔方程的流氓波、有理行波解、暗孤子、亮孤子、呼吸子解、周期解.特别地，流氓波和有理行波解是两种新的解。第页的表格中给出了由单倍DT生成的这些解决方案的完整分类。
2011-09-04 math-ph math.MP nlin.SI
Prepotential approach to solvable rational extensions of Harmonic Oscillator and Morse potentials
我们展示了最近发现的谐振子和Morse势的可解有理扩张是如何以直接和系统的方式构造的，而不需要超对称性、形状不变性、Darboux-Crum和Darboux-贝克隆变换
2011-12-21 math-ph math.MP math.SP
Rational version of Archimedes symplectomorphysm and birational Darboux coordinates on coadjoint orbit of $GL(N,C)$
具有固定Jordan结构的所有线性变换的集合$J$是同构于$GL(N,C)$的余伴随轨道$\mathcal O (J)$的辛流形。任何线性变换都可以沿着其特征空间投影到补维的（至少一个）坐标子空间。像的Jordan结构$\tilde J$由原像的Jordan结构$J$定义，因此投影$\mathcal O (J)\to \mathcal O (\tilde J)$是辛流形的映射.证明了该投影的纤维$\mathcal E$是线性辛空间，映射$\mathcal O(J) \to \mathcal E \times \mathcal O (\tilde J)$是双有理辛类。该过程的迭代给出了$\mathcal O (J)$和线性辛空间之间的同构，线性辛空间是投影的所有纤维的直积。$\mathcal O(J)$上的达布坐标是所讨论的线性空间上的正则坐标的拉回。
2010-07-28 math-ph math.MP math.QA
Generalized Darboux transformation and localized waves in coupled Hirota equations
本文对具有三阶色散项、自陡项和非弹性拉曼散射项等高阶非线性效应的耦合Hirota方程组构造了一个广义达布变换。作为应用，利用直接迭代法，导出了具有相同谱参数的平面背景下的N阶局域波解。特别地，得到了一些半有理多参数局域波解：（1）一阶和二阶流氓波解的矢量推广;（2）一个暗-亮孤子和一个流氓波、两个暗-亮孤子和一个二阶流氓波之间的干涉解;（3）一个呼吸子和一个流氓波、两个呼吸子和一个二阶流氓波之间的干涉解.结果进一步揭示了复杂耦合系统中局域波的显著动力学结构。
2014-04-28 math-ph math.MP
A Generalized Method for the Darboux Transformation
University of Texas at Arlington（阿灵顿得克萨斯大学）；Recep Tayyip Erdogan University（雷杰普·塔伊普·埃尔多安大学）
本文提出了一种通用方法，用于在扰动线性常微分方程组的谱参数下，计算势能和相关波函数的变化。通过引入基本线性积分方程，推导出显式公式，并在多种线性系统中统一应用，与传统达布变换方法形成对比。
2022-03-23 math-ph math.MP
Single-Source Nets of Algebraically-Quantized Reflective Liouville Potentials on the Line I. Almost-Everywhere Holomorphic Solutions of Rational Canonical Sturm-Liouville Equations with Second-Order Poles
本文提出了一种构造有理Liouville势（RLP）超对称阶梯的统一方法，该方法从所谓的“高斯参考”（GRef）势出发，通过经典Jacobi、经典（广义）Laguerre或Romanovski-Routh多项式（指数依赖于能量）在线精确量子化.每个RLP是通过适当的有理规范Sturm-Liouville方程（RCSLE）与二阶极点的刘维尔变换（LT）。所提出的分析利用了典型的Sturm-Liouville方程（CSLE）的一般因式分解的交织“广义”达布算子。我们将后一种算子称为规范刘维-达布变换（CLDTs），以强调它们等价于三步操作：i）从CSLE到薛定谔方程的LT; ii）适当LP的达布变换（DT）; iii）从薛定谔方程到新CSLE的逆LT。证明了CLDT保持RCSLE的有理形式，如果它的分解函数（FF）是RCSLE的几乎处处全纯（AEH）解（或者，换句话说，具有有理对数导数的解）。如本文所解释的，有多达四个规范变换将我们感兴趣的每个RCSLE转换为具有能量依赖多项式系数的二阶微分方程。最重要的结果是，这些方程的多项式解属于Heine多项式序列，它是通过在奇点的固定值处改变自由项和适当的特征指数而得到的。这使我们能够构建网络的多项式解决方案-所谓的“r-，c-或i-Gauss种子”（r-，c-或i-GS）海涅多项式-从雅可比，（广义）拉盖尔或劳斯多项式，分别。
2015-12-09 math-ph math.MP
Rational KdV Potentials and Differential Galois Theory
本文利用微分伽罗瓦理论研究了一维有理含时KdV势薛定谔方程的谱问题。特别地，我们计算与薛定谔方程相关的线性系统的基本矩阵。此外，我们证明了伽罗瓦群的不变性关于时间，一般值的谱参数和达布变换。
2019-06-25 math-ph math.MP
On the GBDT version of the Bäcklund-Darboux transformation and its applications to the linear and nonlinear equations and Weyl theory
讨论了有理依赖于谱参数的系统的Bäcklund-Darboux变换的GBDT形式的一般定理，并给出了它在非线性方程中的应用.回顾了Dirac型系统（包括奇异系统）和辅助$N$波动方程的系统的正问题和反问题的显式解。得到了径向Dirac方程波函数显式构造的新结果。
2009-09-08 math-ph math.CA math.MP
Darboux transformations from the Appell-Lauricella operator
定义了两个同构的微分算子代数：第一个代数由常微分算子组成，包含超几何微分算子;第二个代数由$d$变量的偏微分算子组成，包含Appell-Lauricella偏微分算子.利用这个同构，我们构造了部分微分算子，这是达布变换从多项式的Appell-Lauricella操作。我们证明了这些算子可以嵌入到交换偏微分交换代数中，其中包含相互交换且代数独立的部分微分算子的$d$，可以认为它们是量子完全可积系统.此外，这些代数可以同时对角化的空间上的多项式导致的雅可比多项式的扩展正交的Dirichlet分布的单纯形。
2019-09-17 math-ph math.CA math.MP
Interplay of symmetries, null forms, Darboux polynomials, integrating factors and Jacobi multipliers in integrable second order differential equations
在这项工作中，我们建立了一个连接之间的扩展Prelle-Singer程序（Eschrasekar \textit{et al.} Proc. R。Soc. A 2005）和其他五种在当代文献中广泛用于识别可积系统的分析方法，特别是二阶非线性常微分方程（ODE）。通过综合这些方法，我们揭示了Lie点对称、$λ$-对称、伴随对称、零形式、Darboux多项式、积分因子和Jacobi最后乘子在识别二阶常微分方程描述的可积系统中的相互作用.我们也给我们开发的扩展Prelle-Singer程序的新的观点。我们以修改后的埃姆登方程为例说明了这些微妙的联系。
2014-01-07 math-ph math.MP nlin.SI
WDVV Equations, Darboux-Egoroff Metric and the Dressing Method
Dressing技术用于构造交换Lax算子，该算子提供了Witten-Dijkgraaf-Verlinde-Verlinde方程背后的可积（正则）结构。通勤流与同向流有关。在二维和三维的情况下，给出了典型的可积结构的例子。三维的例子与合理的朗道-金兹伯格潜力。
2002-10-21 hep-th math-ph math.MP
A semi-algorithm to find elementary first order invariants of rational second order ordinary differential equations
本文提出了一种基于Darboux型程序\cite{ManMac,firsTHEOps1,secondTHEOps1}求二阶有理常微分方程初等首次积分的方法。除了实际的计算考虑，该方法将能够告诉我们（达到一定的多项式次数），如果SOODE有一个基本的第一积分，并在积极的情况下，通过求积找到它。
2005-06-14 math-ph math.CA math.MP
Time-dependent Darboux (supersymmetric) transformations for non-Hermitian quantum systems
我们提出了时间相关的达布（超对称）变换，提供了一个计划的计算显式的时间相关的可解的非厄米合作伙伴哈密顿。再加上两个厄米哈密顿，后者形成了一个四重哈密顿，由两个含时戴森方程和两个相互缠绕的关系，以交换图的形式。我们的建设扩展到整个层次的哈密顿量从时间依赖的达布-克拉姆变换。作为一种替代方法，我们还讨论了交织关系的Lewis-Riesenfeld不变量的厄米以及非厄米哈密顿量，减少时间依赖的方程，辅助本征值方程。我们的建议的工作进行了讨论，明确的时间依赖的合理的，双曲，艾里函数和非局部电位的层次。
2018-10-31 math-ph math.MP nlin.SI
Rational extensions of the quantum harmonic oscillator and exceptional Hermite polynomials
我们证明了量子谐振子的每一个有理扩张都是单值自由的，因此可以通过对谐振子施加有限个删除态的达布变换来得到。等价地，通过对经典的Hermite多项式进行Darboux-Crum变换，可以得到每一个Hermite型例外正交多项式系。例外的Hermite多项式系统只存在于偶数余维2 m上，并且它们由m的划分λ来索引。我们提供了明确的表达式，其相应的正交权重和微分算子和一个单独的证明其完整性。例外的埃尔米特多项式满足2l+3递归关系，其中l是分割λ的长度。给出了这种递推关系的显式表达式。
2013-06-21 math-ph math.CA math.MP
An Efficient Method for Computing Liouvillian First Integrals of Planar Polynomial Vector Fields
本文提出了一种计算平面上多项式向量场达布多项式的有效方法。这种方法是restricetd多项式向量场提出了一个Liouvillian第一积分（或等价地，有理一阶微分方程（有理1ODE）提出了一个Liouvillian一般解决方案）。获得这种方法的关键是将求解（非线性）代数系统的过程从将达布多项式存在的条件转化为可行的steos（需要较少内存消耗的过程）的方程中分离出来。我们还提出了一个简短的性能分析的算法开发。
2020-04-20 cs.SC math-ph math.MP
Higher-order rational solitons and rogue-like wave solutions of the (2+1)-dimensional nonlinear fluid mechanics equations
利用Darboux矩阵的Taylor展开式，对（2+1）维Kadomtsev-Petviashvili（KP）方程及其推广给出了新的广义扰动（n，M）重达布变换（DTs）.利用广义微扰（1，N-1）重微分方程，得到了高阶有理孤子解和以行列式表示的流氓波解。详细讨论了这些异常波在不同参数和时间下的动力学行为，显示出有趣的RW和孤子结构，包括三角形，五边形，七边形轮廓等。我们发现了一个新的现象，即参数（a）可以从高阶异常波中控制KP方程的波结构在y=常数的（x，t）-空间中，（a>0或a<0）的高阶有理孤子（a = 0）.这些结果可以预言流体力学模型和其它物理相关系统中相应的动力学现象.
2016-11-26 math-ph math.MP nlin.PS
Hamiltonian representation of isomonodromic deformations of twisted rational connections: The Painlevé $1$ hierarchy
Université de Lyon（里昂大学）；Université Jean Monnet Saint-Étienne（圣艾蒂安让·莫内大学）；CNRS UMR 5208, Institut Camille Jordan（法国国家科学研究中心 5208 联合实验室，卡米尔·若当研究所）；Institut Universitaire de France（法兰西学院）
本文提出了一种基于扭曲连接的哈密顿系统和Lax对，用于研究Painlevé 1级数的不规则单向变形。
2026-10-07 hep-th math-ph math.MP
Differential operators on the superline, Berezinians, and Darboux transformations
本文考虑维数为$1|1$的超流形上的微分算子.我们将非退化算子定义为在“超导数”$D$（它是移位生成元的平方根，偶数变量的偏导数，借助奇不定式）中展开时具有可逆顶部系数的算子。它们与普通的微分算子非常相似。我们表明，每一个非退化运营商可以写在“超级Wronskians”（这是某些Berezinians）。我们将此应用到达布变换（DT），证明了任意非退化算子的每个DT都是初等一阶变换的组合。因此，每个DT对应于源算子的一个不变子空间，并且根据在这个子空间中的基的选择，由超朗斯基公式表示。我们还考虑了着装变换，即，DT对非退化算子系数的影响。我们计算了这些转换的例子，并作出了一些一般性的声明。
2017-03-27 math-ph math.DG math.MP
Confluent Darboux transformations and Wronskians for algebraic solutions of the Painlevé III ($D_7$) equation
本文利用 Schrödinger 算子的合流 Darboux 变换构造 Painlevé 方程代数解的 Wronskian 公式，并给出对应 $D_7$ 型 Painlevé III 方程代数解的 Ohyama 多项式新表示。
2025-03-16 math-ph math.CA math.MP
Confluent Chains of DBT: Enlarged Shape Invariance and New Orthogonal Polynomials
通过两步合流达布变换构造了达布-Pöschl-Teller势和保序势的有理扩张.前者与初始势严格等谱，而后者只是准等谱。两者都与新的正交多项式的家庭，其中，在第一种情况下，取决于一个连续的参数。我们还证明了这些扩展的潜力具有扩大的形状不变性。
2015-07-28 math-ph math.MP nlin.SI
Finding Elementary First Integrals for Rational Second Order Ordinary Differential Equations
本文给出了求二阶有理常微分方程初等首次积分的一个算法。在\cite{PS2}中，我们提出了处理SOODE的第一种算法方法，介绍了目前工作的基础。在\cite{royal}中，作者使用这些结果，并开发了一种方法来处理SOODE和分类。我们目前的算法是基于一个更坚实的理论基础（许多定理），并涵盖了更广泛的家庭SOODE比以前，因为我们不工作与限制的Anonymous。此外，我们目前的方法允许一个简单的可积性分析的SOODE和更快的实际计算。
2005-07-29 math-ph math.CA math.MP
Rational solitons of wave resonant interaction models
1+1维中两个或多个波的共振相互作用的可积模型在几个领域具有应用价值。本文考虑一个三波耦合方程组，它包括矢量非线性Schroedinger方程和描述三波共振相互作用的方程。孤子解的Darboux-Dressing构造适用于解对坐标具有有理或混合有理指数依赖的条件。我们的代数结构依赖于使用幂零矩阵及其约旦形式。我们系统地搜索所有有界理性（混合理性指数）的解决方案，并发现，第一次，我们所知，一个广泛的家庭，这样的解决方案的三波共振相互作用方程。
2013-05-28 math-ph math.MP nlin.SI
Darboux transformation of the second-type derivative nonlinear Schrödinger equation
二阶导数非线性薛定谔方程（DNLSII）是在1979年作为可积模型引入的。最近，DNLSII方程已被实验证明是一个模型的光脉冲的演变，涉及自陡峭没有伴随的自相位调制。本文利用行列式构造了耦合DNLS Ⅱ方程的$n$ -折叠达布变换（DT）$T_n$.与通常的孤子方程差分法相比，这种差分法是不寻常的，因为$T_n$在迭代过程中包含了对种子解的复杂积分。通过繁琐的分析，这些积分在$T_n$中被消除，除了种子解的积分。此外，该$T_n$在归约条件下被归约为DNLSII方程的DT。作为$T_n$的应用，给出了DNLSII方程的孤子解、有理孤子解、呼吸子解、流氓波解和多流氓波解的显式表达式。
2015-04-11 math-ph math.MP nlin.SI
Time-dependent Schroedinger equation in dimension $k+1$: explicit and rational solutions via GBDT and multinodes
对$k+1$维上的非定常Schroedinger方程构造了一种二元达布变换，其中$k$是空间变量个数，$k \geq 1$ .这是一个迭代的GBDT版本。得到了新的非奇异有理势族和解。有些结果对于$k=1$的情况也是新的。对M.S. Livsic和L.A. Sakhnovich成功地用于我们的建设。
2011-04-13 math-ph math.AP math.FA
A new use of nonlocal symmetries for computing Liouvillian first integrals of rational second order ordinary differential equations
Universidade do Estado do Rio de Janeiro（里约热内卢州立大学）
本文提出一种基于非局部对称性的高效方法，用于计算有理二阶常微分方程的李维利安首积分。
2025-12-10 math-ph math.MP nlin.CD
On certain analytical methods in finding integrable systems and their interconnections
本文首先回顾了六种不同的分析方法，它们被广泛用于导出二阶非线性常微分方程的对称性、积分因子、乘子、达布多项式和积分。我们通过考虑一个非线性振子方程作为例子来说明每种方法背后的算法。在本文的第二部分中，我们研究了这些方法之间的相互联系。我们建立了一个路线图之间的扩展Prelle-Singer程序与所有其他方法引用上述，从而证明了李点对称性，$λ$ -对称性，伴随对称性，零形式，积分因子，达布多项式，雅可比乘子的二阶可积常微分方程之间的相互作用。最后用同一个例子说明了这种互连。
2015-02-13 math-ph math.MP nlin.SI
Dynamics of higher-order rational solitons for the nonlocal nonlinear Schrodinger equation with the self-induced parity-time-symmetric potential
研究了具有自诱导宇称时间对称势的可积非局域非线性薛定谔方程[Phys. Rev. Lett. 110（2013）064105]，这是标准NLS方程的可积扩展。利用非局域形式的广义微扰（1，N-1）重达布变换，得到了新的高阶有理孤子.这些有理孤子说明了对于不同参数选择的丰富的波结构（例如，明、暗有理孤子的强相互作用和弱相互作用）。此外，我们还在数值模拟的基础上研究了这些高阶有理孤子在小噪声作用下的动力学行为。
2017-04-09 math-ph math.AP math.MP
Algebras of commuting differential operators for integral kernels of Airy type
微分算子与积分算子可交换是在C. Tracy和H. Widom [37，38]的方法，并用于推导随机矩阵理论中出现的积分算子的弗雷德霍姆行列式的渐近展开。最近，人们已经证明，所有合理的，对称达布变换的贝塞尔，艾里和指数双谱函数产生交换积分和微分算子[6，7，8]，大大推广了已知的例子在文献中。本文利用作用在（无限维）Airy Adelic Grassmannian的Lagrange轨迹上的微分伽罗瓦群的不动点子流形，对Airy函数的有理对称Darboux变换进行了分类，并开始了与每一个积分算子交换的微分算子的全代数的研究.利用文献[8]的一般理论，我们得到了两个最低阶的微分算子的显式公式，这些微分算子与达布过程中得到的第一级和第二级积分算子中的每一个可交换.证明了每对微分算子都是可交换的。在第一级的情况下，交换算子满足一个代数关系定义的椭圆曲线。
2021-12-22 math-ph math.CA math.MP
Disconjugacy, regularity of multi-indexed rationally-extended potentials, and Laguerre exceptional polynomials
通过重新考察k阶超对称量子力学或多步Darboux-贝克隆变换方法中导出的同调振子（或径向振子）势的扩展，说明了二阶薛定谔型微分方程的不共轭性质在检验与特殊正交多项式相联系的有理扩展量子势的正则性方面的威力.证明了在势分母中产生的函数是一个具有非零常数项的多项式，其值由k上的归纳法计算。该项的符号与已知的最高次项的符号相同，势分母在定义区间的两端具有相同的符号，这是势构造中使用的种子本征函数所共有的属性。由于不共轭性，这样的性质意味着本征函数和所得势的无节点特征。
2012-12-09 math-ph math.MP quant-ph
High-order rogue waves for the Hirota equation
Hirota方程比非线性薛定谔方程更适合于深海波的近似。利用参数化达布变换构造了Hirota方程的高阶有理解.根据解的结构将这类解分为几类。
2013-04-26 math-ph math.MP nlin.SI
Prepotential approach to solvable rational potentials and exceptional orthogonal polynomials
我们展示了如何所有的量子系统有关的例外拉盖尔和雅可比多项式可以直接和系统的方式来构建，而不需要形状不变性和达布-克拉姆变换。此外，前势不需要先验地假设。前势、变形函数、势、本征函数和本征值都是在同一框架下导出的。例外多项式可表示为变形函数及其导数的双线性组合。
2011-08-06 math-ph math.MP math.SP
An integrable generalization of the Toda law to the square lattice
我们将Toda晶格（或Toda链）方程推广到正方形晶格;即，我们构造了一个可积的非线性方程，对于在正方形格子上取值并依赖于连续（时间）变量的标量场，其特征在于在正方形格子的两个离散方向上的相互作用的指数律。我们构造了这种格的Darboux-Backlund变换，并给出了描述它们的叠加的相应公式。最后，我们使用这些达布-Backlund变换生成指数型和有理型的显式解的例子。指数解描述了一维和二维光滑激波在正方形格子上的演化。
2004-09-24 cond-mat.stat-mech math-ph math.MP
The rational solutions of the mixed nonlinear Schrödinger equation
混合非线性薛定谔（MNLS）方程是考虑自陡效应和自相位调制效应的等离子体中Alfvén波和光纤中超短光脉冲的传播模型，也是可积Wadati-Konno-Ichikawa（WKI）系统的第一个非平凡流。给出了MNLS方程的n重达布变换（DT）的行列式表示$T_n$.通过迭代和行列式表示证明了由$T_{2k}$生成的解$q^{[2k]}$在非退化和双重退化两种情况下的光滑性。从一个周期种子（平面波）出发，利用DT和Taylor展开构造了MNLS方程的双参数有理解$a$和$b$.两个参数表示解中两个非线性效应的贡献。我们展示了一个不寻常的结果：对于给定的$a$值，通过解析形式和图形，证明了随着$b$值的增大，有理解的局部性逐渐受到破坏.得到了一个新的具有非零边界和变高度的双峰有理解。
2014-07-25 math-ph math.MP nlin.SI
Rogue waves, rational solitons, and modulational instability in an integrable fifth-order nonlinear Schroedinger equation
研究了一类含三个自由参数的可积五阶非线性薛定谔（FONLS）方程的Rogue波（RW）解和有理孤子。它包括，作为特殊情况下，通常的NLS，广田，和Lakshmanan-Porsezian-Daniel（LPD）方程。我们提出了连续波（CW）的解决方案和条件，其调制不稳定性在这个模型的框架。将达布变换应用于CW输入，解析地得到了FONLS方程的一阶和二阶RW解，特别是用解析和数值方法得到了一阶和二阶RW轮廓的峰和凹的运动轨迹.解决方案还包括新发现的合理和W形的一个和两个孤子模式。结果预测了非线性纤维光学和其他物理相关的可积系统的扩展模型中相应的动力学现象。
2015-09-19 math-ph math.MP nlin.PS
Lectures on exceptional orthogonal polynomials and rational solutions to Painlevé equations
这些是2018年10月5日至12日在杜阿拉（喀麦隆）举行的\textit{AIMS-Volkswagen Stiftung Workshop on Introduction to Orthogonal Polynomials and Applications}教授的特殊多项式课程的讲义。他们总结的基本结果和建设的特殊多项式，在过去的十年中发展。此外，还给出了潘勒韦方程PIV及其高阶推广的有理解的构造的一些新结果，这些高阶推广属于$A_{2n}^{(1)}$ -Painlevé族.该构造基于薛定谔算子的缀饰链，其势是谐振子的有理扩展。这里介绍的一些材料（Sturm-Liouville算子，经典正交多项式，Darboux-Crum变换等）。是经典的，可以在许多教科书中找到，而一些结果（属，交错和循环玛雅图）是新的，并首次在这套讲义。
2019-12-14 math-ph math.CA math.MP
Biorthogonal Polynomial System Composed of X-Jacobi Polynomials from Different Sequences
本文研究了Jacobi方程的有理达布变换（RDTs），重点讨论了无穷区间两端Dirichlet边界条件下的Sturm-Liouville问题（SLP）[1，inf].为了能够将分析扩展到达布-克拉姆网的有理SL方程（SLEs）下所引用的DBCs多指标正交例外Romanovski-Jacobi（XR-Jacobi）多项式的解决方案，我们只考虑种子功能，代表主Frobenius解决方案（PFS）附近的奇异端点之一。.有三种不同类型的解决方案，没有零内选定的间隔：两个无穷序列形成的PFS附近的下端点和一个有限序列形成的PFS附近的无穷大。证明了以经典的雅可比多项式为种子函数，得到了由正交的X_m-雅可比多项式以相反的幅角构成的双指标流形.作为推论，我们断言，只要X_m-Jacobi多项式的指数受导出的XR-雅可比多项式的指数约束的限制，每个m + n次的X_m-Jacobi多项式在-inf和-1之间恰好有m个例外零点。
2018-01-26 math-ph math.CA math.MP
Rational degeneration of M-curves, totally positive Grassmannians and KP2-solitons
利用KP方程孤子的有限隙理论，建立了全正Grassmannian理论与$\mathtt M$曲线理论之间的新联系.这里和下面的KP方程表示Kadomtsev-Petviashvili 2方程，它是KP层次结构的第一个流。我们还假设所有的KP时间都是真实的。在实全正Grassmannian $Gr^{TP} (N,M)$的任意点上，我们关联一条可约曲线，该曲线是最小亏格$g=N(M-N)$的$\mathtt M$ -曲线的有理退化曲线，并且我们为底层的实有界多线KP孤子解重建了实代数几何数据á la Krichever.从这个结构可以看出，这些多线孤子可以显式地通过退化对应于光滑$ M$曲线的正则实数有限间隙解得到。在我们的方法中，我们规则的每个新的合理的组成部分，通过一个基本的达布变换对应于一个特定的投影$Gr^{TP} (r+1,M-N+r+1)\mapsto Gr^{TP} (r,M-N+r)$的一部分的光谱曲线。
2018-03-19 math-ph math.MP nlin.SI
Quaternion-Valued Breather Soliton, Rational, and Periodic KdV Solutions
本文利用行列式生成了非交换 KdV 方程的四元数值解，涵盖孤子、有理、周期及其混合解，给出了非奇异参数的完整刻画，并基于 Darboux 变换的非线性叠加原理推导出一般 2-孤子相互作用的相移公式。
2019-11-12 math-ph math.MP nlin.SI
Rational symplectic coordinates on the space of Fuchs equations $m \times m$-case
本文给出了一种在空间上构造Darboux坐标的方法，该空间是关于$GL(m})$在$GL(m)$的余伴表示的$N$轨道的笛卡尔积上的对角作用的辛约化.该方法给出了一个显式的辛双有理同构之间的约化空间一方面和笛卡尔积的$N-3$ coadjoint轨道的尺寸$m(m-1)$的轨道上的尺寸$(m-1)(m-2)$的另一方面。在一般情况下的可对角化矩阵，它只给出同构，这是双理性和辛之间的一些开放的，在一个Zebraki拓扑，域的减少空间和笛卡尔产品的轨道问题。该方法基于上三角矩阵、下三角矩阵和对角矩阵的乘积上的矩阵的高斯分解。它对可对角化或不可对角化矩阵所形成的轨道一致有效。详细讨论了最大维数为$m(m-1)$的轨道。
2008-07-12 math-ph math.MP math.SG
A generalization of the S-function method applied to a Duffing-Van der Pol forced oscillator
在[1，2]中，我们已经开发了一种方法（我们称之为S-函数方法），它成功地处理了某些类型的有理二阶常微分方程（有理2 ODE），这些方程对典型的Lie方法和Darbouxian方法特别具有“抵抗力”。本文推广了S-函数方法，使之能够处理一类由初等函数表示的初等2 ODE。然后，我们将这种方法应用于Duffing-Van der Pol强迫振子，得到了整个一类第一积分。
2017-11-05 math-ph math.MP nlin.CD
A Semi-Algorithmic Search for Lie Symmetries
在[Solving second order ordinary differential equations by extending the Prelle-Singer method，J.Phys.A：Math.Gen.，34，3015-3024（2001）]中定义了一个函数（我们称之为S），该函数与一个有理二阶常微分方程（有理2 ODE）相关联，该方程与积分因子的搜索相关联。在这项工作中，我们研究这些$S$ -函数和有理2 ODE的李对称性之间的关系。基于这个关系，我们可以构造一个半算法的方法来找到一个2 ODE的李对称性，即使在它不存在李点对称性的情况下。
2010-07-16 math-ph math.MP nlin.SI
The Chazy XII Equation and Schwarz Triangle Functions
Dubrovin [数学讲义，Vol.1620，Springer，Berlin，1996，120-348]证明了Chazy XII方程$y'''- 2yy''+3y'^2 = K(6y'-y^2)^2$，$K \in \mathbb{C}$等价于具有射影结构的一维复流形上的仿射联络的射影不变方程。通过利用这种几何连接，它表明，Chazy XII的解决方案，对于某些值的$K$，可以表示为$y=a_1w_1+a_2w_2+a_3w_3$其中$w_i$解决广义达布-赫伦系统。该关系仅适用于系数$(a_1,a_2,a_3)$和达布-赫伦参数$(α, β, γ)$的某些值，这些值在表2中列举。因此，Chazy XII解$y(z)$由用于表示Darboux-Huberen系统的解$w_i$的特定类Schwarz三角函数$S(α, β, γ; z)$参数化。本文只考虑了$α+β+γ<1$ .相关的三角函数通过从超几何函数的经典代数变换导出的有理映射相互关联。的Chazy十二方程也被证明是相当于一个Ramanujan型微分系统的三重$(\hat{P}, \hat{Q},\hat{R})$。
2017-12-25 math-ph math.CA math.MP
Bispectrality of KP Solitons
现在已经知道KP族有理解的波函数（可以作为纯n孤子解的极限得到的那些）在谱参数中满足常微分算子的附加本征值方程。这种性质被称为“双谱”，并已被证明是既有趣又有用的。本文证明了KP族的某些（非有理）孤子解满足由谱参数中的常微分算子和谱参数中的平移算子构成的非局部算子的本征方程，因而也具有双谱形式.考虑到将普通双谱与有理卡洛格罗-莫泽粒子系统的自对偶性联系起来的结果，这种新形式的双谱似乎应该与鲁伊斯塞纳尔系统的对偶性联系起来。
1998-06-04 math-ph math.MP math.QA
