A sufficient connectivity condition for rigidity and global rigidity of linearly constrained frameworks in $\mathbb{R}^2$
我们研究了$\mathbb{R}^2$中的杆-关节框架，使得某些顶点被约束为位于某些直线上。Streinu和Theran（2010）描述了此类框架的一般刚性。Katoh和Tanigawa（2013）指出，对应的拟阵及其秩函数可以通过使用次模函数来表征。在本文中，我们将把秩函数的这种特征转化为“1-薄覆盖”的值的形式，并得到这些框架的刚性和整体刚性的一个充分连通条件，类似于Lovász和Yemini（1982）的结果。
2022-12-08 math.CO
The Flexibility and Rigidity of Leaper Frameworks
跳跃者框架是杆和关节框架，其关节是形成矩形网格的整数点，并且其杆对应于给定跳跃者在该网格内的所有移动。我们研究了跳跃框架的柔性和刚性。令$p$和$q$是正整数，使得$(p, q)$跳跃器$L$是自由的。József Solymosi和Ethan White在2018年证实，侧边$2(p + q) - 1$的正方形网格上的$L$的跳跃框架，以及所有更大的网格，都是刚性的。我们证明了这个猜想。我们还证明了Solymosi和White的猜想在某种意义上是尖锐的。也就是说，$L$在侧面$2(p + q) - 2$和$2(p + q) - 1$的矩形网格上的跳跃框架，等等所有较小的网格（除了$1 \times 1$网格），是灵活的。特别是，我们完全解决了在正方形网格上的跳跃框架的柔性和刚性问题。我们也建立了一些相关的结果。
2019-11-10 math.CO
Graph connectivity and universal rigidity of bar frameworks
设$G$是$n$节点上的图。本文证明了：若$G$是$(r+1)$ -顶点连通的，即$1 \leq r \leq n-2$，则在$R^r$的一般位置存在一个构形$p$，使得杆框架$(G,p)$是泛刚性的.证明是建设性的，是基于一个定理由Lovasz等人有关正交表示和连通图[12，13]。
2014-08-15 math.CO math.MG
Generic Rigidity and the Grassmannian
本文解决了高维空间中图框架通用刚性的组合特征问题，通过构造全局有效的自应力并利用Plücker关系和Young直化定律的组合学进行验证。
2026-09-03 math.CO
Maxwell-Laman counts for bar-joint frameworks in normed spaces
刚度矩阵是研究杆系结构无穷小刚度特性的基本工具。在本文中，我们推广了这个工具，并介绍了任意有限维实赋范向量空间中杆系框架的刚度矩阵。使用这个新的矩阵，我们得到必要的麦克斯韦-拉曼型计数条件的一个真正的赋范向量空间中的一个位置良好的酒吧联合框架是无穷小刚性。此外，我们推导出了具有非平凡对称群的杆-关节框架是均衡的（即，最小无穷小刚性）。这些条件意味着非常简单的限制，这些结构组件的数量是固定的各种对称操作的框架。最后，我们提供了一些意见和aesthetures关于2维对称，均衡杆联合框架的单位球是一个四边形的组合characterisations。
2014-06-04 math.CO math.MG
Generic Rigidity Matroids with Dilworth Truncations
我们证明了定义$d$维体-杆-杆框架（即，由不相交的体和通过杆相互连接的杆组成的结构）可以通过应用Dilworth截断$n_r$次数的变体从${d+1 \choose 2}$图形拟阵的并集获得，其中$n_r$表示杆的数目。这导致了另一种证明泰的组合特征的通用刚度的杆-杆框架和确定的身体铰链框架。
2012-04-25 cs.DM math.CO math.MG
PyRigi -- a general-purpose Python package for the rigidity and flexibility of bar-and-joint frameworks
PyRigi是一个用于研究图和框架刚性性质的通用开源Python软件包，可实现有限嵌入判定、唯一性检验及去边鲁棒性分析，为刚性理论研究者提供高效计算工具。
2025-06-05 cs.CG cs.SC math.CO
The generic minimal rigidity of a partially triangulated torus
一个单图是$3$ -刚性的，如果它在$R^3$中的一般杆-关节框架是无穷小刚性的。本文给出了一个单图的最小$3$ -刚性的充要条件，该图是由三角化环面的$1$ -骨架通过删除三角化圆盘内部的边而得到的.
2015-09-02 math.CO math.MG
Hyperbanana Graphs
一个杆件和关节框架是一个有限集的点连同指定的距离之间选定的对。在刚性理论中，我们试图理解剩余的两两距离何时也是固定的。如果有一对点在保持给定距离约束的同时相对于另一个点移动，则框架是柔性的;否则，它是刚性的。由于麦克斯韦计数条件给出了一个必要的组合准则一般最小杆和关节的刚度在所有的尺寸。拉曼指出，这些条件对于R^2中的骨架也是充分的。然而，灵活的“双香蕉”表明麦克斯韦条件不足以保证R^3中的刚性。我们提出了一个推广的双香蕉一个家庭的hyperbananas。在3维和更高维中，这些是（无限）灵活的，为拉曼定理的自然推广提供了反例。
2013-08-15 math.CO
Structural rigidity and flexibility using graphs of groups
本文利用群图和群论描述超图实现的铰接运动，提出一种可建模多种情况并简洁描述刚性理论对偶性的方法，并在基础群为 Lie 群时给出了无穷小运动维数的下界。
2024-08-27 math.CO math.GR
Universal Rigidity of Ladders on the line
在“线上的万有刚性，点序”中，回答了Jordán和Nguyen的一个问题，证明了R^1中一般的杆节点框架的万有刚性不仅仅取决于顶点的排序。在那篇论文中使用的图G是一个有三个梯级的梯子。在这里，我们提供了一个一般性的答案，当有三个梯级的梯子是普遍刚性的，当它不是。
2022-07-18 math.CO math.MG
Rigidity of linearly-constrained frameworks
本文考虑了$\mathbb{R}^d$中杆系框架的类属刚度的刻画问题，其中每个顶点被约束在一个给定的仿射子空间中。当$d=2$已由I. Streinu和L. 2010年的Theran。我们将扩展其特性的情况下，当$d\geq 3$和每个顶点被约束到位于一个仿射子空间的尺寸$t$，当$t=1,2$，也当$t\geq 3$和$d\geq t(t-1)$。然后指出，N. Katoh和S. Tanigawa在2013年提出了一个新的方法，当一个图具有一个具有给定线性约束的$d$维体杆框架的刚性实现时，可以使用该方法进行验证。
2018-06-29 math.CO math.MG
Necessary Conditions for the Generic Global Rigidity of Frameworks on Surfaces
Hendrickson、Connelly、Jackson和Jordán的一个结果在其各个部分中为$\mathbb{R}^2$中的一般杆-节点框架提供了一个纯粹的整体刚度的组合特征。已知类似的条件不足以解释高维的一般整体刚性。最近，当顶点被限制在各种表面上时，例如圆柱体和圆锥体，已经获得了$\mathbb{R}^3$中通用框架的刚性的拉曼型特征。本文得到了类似于Hendrickson关于圆柱体、圆锥体和椭球体上一般框架整体刚性的必要条件。
2013-06-10 math.CO math.MG
Injective and non-injective realizations with symmetry
在本文中，我们介绍了一个自然的分类杆和关节框架，具有对称性。这种分类建立了数学基础，扩展了各种结果的刚度，以及无穷小或静态刚度，实现一定的对称性和关节可能会或可能不会被嵌入到空间的框架。特别是，我们引入了一个适应性的概念，“通用”框架相对于这种分类，并表明，“几乎所有”的实现在一个给定的对称类是通用的，所有通用的实现在这个类中共享相同的无穷小刚性属性。在这种分类中，我们还澄清在什么条件下，组表示论技术可以应用于进一步分析（不一定是内射）对称实现的刚性属性。
2008-08-13 math.CO math.MG
Sufficient Conditions for the Global Rigidity of Graphs
我们研究如何找到通用的和全球刚性实现的图在$\mathbb{R}^d$的基础上基本的几何观察。我们的论点导致新的证明的组合特征的整体刚性的图在$\mathbb{R}^2$的杰克逊和Jordán和体直方图在$\mathbb{R}^d$最近显示的Connelly，Jordán和Whiteley。我们还推广了$\mathbb{R}^d$中生成全局刚性图的主要工具1-扩张定理和Connelly合成定理。特别地，我们证明了$\mathbb{R}^d$中的任意顶点冗余刚性图在$\mathbb{R}^d$中是全局刚性的，其中如果$G-v$对任意$v\in V$都是刚性的，则称图$G=(V,E)$为顶点冗余刚性图.
2014-08-10 math.CO
Coincident-point rigidity in normed planes
杆-关节框架$(G,p)$是图$G$和映射$p$的组合，该映射在某个空间中将位置分配给$G$的顶点。框架是刚性的，如果每一个边长保持连续运动的顶点产生的等距空间。我们将分析当空间是（非欧几里德）赋范平面且两个指定顶点映射到同一位置时的刚性。这个非一般性假设使我们得到了一个由Jackson、Kaszanitsky和第三作者首次提出的计数拟阵。我们表明，在这个拟阵的独立性是等价的独立性作为一个适当的定期酒吧联合框架在一个赋范平面上有两个重合点，这表明当一个定期赋范平面重合点框架是刚性的，并允许我们推导出删除合同表征。然后，我们应用这一结果表明，一个重要的建设操作（广义顶点分裂）保持较强的性能，在赋范平面的全球刚性，并使用它来构建丰富的家庭的全球刚性图时，赋范平面是解析的。
2021-12-20 math.CO math.MG
Linking Rigid Bodies Symmetrically
体杆和体铰机构刚度的数学理论为工程、机器人学和生物化学中出现的许多铰接结构的刚度和柔性分析提供了有用的工具。在本文中，我们开发了一个对称的扩展，该理论允许刚度分析的身体杆和身体铰链结构与点群对称。杆体框架的无穷小刚度可以很自然地用外（或格拉斯曼）代数的语言来表述。使用这个代数公式，我们推导出的自适应刚度矩阵分析无穷小刚度的体杆框架与阿贝尔点群对称性在任意维度。特别是，从这些新的矩阵的模式，我们得到的无穷小刚体杆框架是通用的形式$\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\times \dots \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$的点群的组合特征。我们的特征给出了在包装的符号图拟阵的基础上的商图。最后，我们还将我们的方法和结果推广到任意维阿贝尔点群对称的体铰链框架。作为这些结果的特殊情况下，我们得到的组合表征的无限刚性体铰链框架与$\mathcal{C}_2$或$\mathcal{D}_2$对称性-最常见的对称群蛋白质。
2014-02-01 math.CO math.MG
Universal rigidity on the line, point order
我们证明了一个通用的杆和关节框架（G，p）的线上的通用刚度取决于更多的顶点的顺序。特别是，我们构建的一维通用框架的例子具有相同的图形和顶点的顺序，这样一个是普遍刚性的，一个不是。这就否定地回答了乔丹和阮的一个问题。
2021-04-05 math.AG math.CO math.MG
Sufficient conditions for the global rigidity of periodic graphs
Tanigawa（2016）证明了图的顶点冗余刚性意味着它在任意维度上的全局刚性。我们将这一结果推广到固定格表示下的周期图。如果在周期性下删除一个顶点轨道会导致周期刚性图，则称周期图是顶点冗余刚性图。我们的证明与Tanigawa的证明相似，但增加了一些困难。首先，不知道周期性全局刚性是否是一般性质。这个问题通过对Kaszanitzy，Schulze和Tanigawa（2016）的最新结果进行轻微修改来解决。其次，虽然$\mathbb{R}^d$中的有限图在至多$d$顶点上的刚性明显地暗示了它们的全局刚性，但对于周期图证明类似的结果是不平凡的。这是通过将Bezdek和Connelly（2002）关于在$\mathbb{R}^{2d}$中单个图的两个等价$d$维实现之间存在连续运动的结果扩展到周期框架来实现的。作为结果的一个应用，我们给出了任意维一般周期体杆框架具有整体刚度的一个充要条件。这为Connelly，Jordan和Whiteley（2013）关于一般有限体杆框架的整体刚度的结果提供了周期性对应。
2018-04-21 math.CO math.MG
Frameworks with coordinated edge motions
我们开发了一个刚性理论的酒吧联合框架在欧几里得$d$ -空间中，指定类的边缘被允许改变长度在协调的方式，需要保持在每个类的长度差异。这些协调框架的刚性是一个通用的属性，我们的特点是刚性图的冗余刚性在标准的$d$维刚性拟阵。我们还解释我们的主要结果在拟阵工会。
2022-06-11 math.CO math.MG
Rigidity of symmetric frameworks in normed spaces
本文在一般有限维赋范空间中建立了对称杆系框架的组合刚度理论。在旋转对称的情况下，拟阵麦克斯韦型稀疏计数被确定为一个大类的$d$维赋范空间（包括所有的$\ell^p$空间与$p\not=2$）。完整的组合特性获得半圈旋转的$\ell^1$和$\ell^\infty$平面。作为一个关键工具，一个新的Henneberg型归纳构造的拟阵类的$(2,2,0)$ -增益紧图。
2020-04-16 math.CO math.MG
Generalised rigid body motions in non-Euclidean planes with applications to global rigidity
针对一般实赋范平面中杆-铰框架的全局刚性问题，本文引入由解析范数决定的广义刚体运动理论，并据此得出若干几何与组合结论。
2021-08-14 math.CO math.MG
Rigidity and the Lower Bound Theorem for Doubly Cohen-Macaulay Complexes
证明了对于$d\geq 3$，任何$(d-1)$维双Cohen Macaulay（简称2-CM）复形的1-骨架是一般的$d$ -刚性.这意味着以下两个推论（分别由Kalai和Lee）：巴内特的单纯多面体的边界复形的下界不等式对每个2-CM复形（维数为$\geq 2$）成立。此外，2-CM复合物的$g$ -载体（维度为$\geq 3$）的起始部分$(g_0,g_1,g_2)$是$M$ -序列. Björner和Swartz证实2-CM复合物的整个$g$载体是一个$M$序列。
2006-05-05 math.CO
5-regular graphs and the 3-dimensional rigidity matroid
本文证明了Jackson和Jordán的猜想，即满足任意子图边数限制的5-正则图在一般3维刚性拟阵中是独立的。
2025-06-27 math.CO
Global Rigidity of Periodic Graphs under Fixed-lattice Representations
1992年，Hendrickson在$\mathbb{R}^d$中证明了（d+1）-连通性和冗余刚性是一般（非完全）杆系框架全局刚性的必要条件。Jackson和Jordan在2005年证实了这些条件在$\mathbb{R}^2$中也是充分的，给出了在$\mathbb{R}^2$中一般实现是全局刚性的图的组合特征。在本文中，我们建立了类似的这些结果的无限周期框架下固定的格表示。我们的组合表征全球刚性通用周期框架$\mathbb{R}^2$，特别是意味着环形和圆柱形的对应定理的杰克逊和约旦。
2019-09-14 math.CO math.MG
An improved bound for the rigidity of linearly constrained frameworks
本文考虑了$\mathbb{R}^d$中杆系框架的类属刚度的刻画问题，其中每个顶点被约束在一个给定的仿射子空间中。当$d=2$已由I. Streinu和L. Theran在2010年提出的问题，以及每个顶点被约束在$t$维的仿射子空间中的情况，$d\geq t(t-1)$由Cruickshank，Guler和前两位作者在2019年解决。我们扩展后一个结果表明，无论何时$d\geq 2t$，给定的表征持有。
2020-07-02 math.CO math.MG
Rooted-tree Decompositions with Matroid Constraints and the Infinitesimal Rigidity of Frameworks with Boundaries
作为一个经典的树划分问题的扩展，我们考虑分解成边不相交（根）树与一个额外的拟阵约束的图。具体地说，假设我们给定一个图$G=(V,E)$，一个$V$中顶点的多集$R=\{r1,..., r_t\}$，以及一个$R$上的拟阵${\cal M}$。本文证明了$G$分解为$t$边不交子图$G_1=(V_1,T_1),..., G_t=(V_t,T_t)$的一个充要条件，使得（i）对于每个$i$，$G_i$是一个具有$r_i\in V_i$的树，（ii）对于每个$v\in V$，多重集$\{r_i\in R\mid v\in V_i\}$是${\cal M}$的一个基.若${\cal M}$是自由拟阵，则这是$t$边不交生成树的分解，因此，我们的结果是Nash-Williams树划分定理的适当推广.这种拟阵约束是由组合刚性理论激发的。作为我们的分解定理的直接应用，我们提出的无穷小刚度的框架与非通用的“边界”，这扩展了经典的拉曼定理的通用2-刚度的酒吧联合框架和Tay定理的通用$d$ -刚度的身体酒吧框架的特征。
2011-09-05 cs.DM math.CO math.MG
Nucleation-free $3D$ rigidity
当在$\mathbb{R}^{d}$中实现为{ \em杆-关节框架}的图的所有非边距离一般地{ \em隐含}为杆（边）长度时，该图在$\mathbb{R}^{d}$中被称为{ \em刚性}。对于$d=3$，刻画刚性图，确定隐含的非边和{ \em相关}边集仍然是一个难以捉摸的，长期存在的开放问题。一个障碍是确定隐含的非边何时可以存在而没有非平凡刚性诱导子图，即，{ \em成核}，以及如何处理它们。本文给出了生成{ \em无核图}（即，没有任何成核的图）具有隐含的非边缘。因此，我们得到（a）$3D$中没有成核的依赖图;和（b）$3D$无成核{ \em刚性电路}，即，$d=3$中的最小依赖边集。它还遵循真正的刚性严格强于Sitharam和Zhou \cite{sitharam:zhou:tractableADG:2004}给出的基于归纳组合特征的对刚性的易处理的近似。作为一个独立有趣的副产品，我们得到了一个新的归纳构造的独立图在$3D$。目前，与$2D$相比，很少有这样的归纳结构是已知的。
2013-11-19 cs.CG math.CO math.MG
Rigidity of Graphs and Frameworks: A Matroid Theoretic Approach
本文从拟阵论视角系统阐述组合刚性理论的主要结果，揭示图与框架刚性研究在工程、分子构象及矩阵补全等领域的应用及其与组合学其他分支的联系。
2025-07-29 math.CO math.HO
Spectral conditions for graph rigidity in the Euclidean plane
刚性是结构不弯曲的特性。它在离散几何和力学中得到了很好的研究，并在材料科学，工程和生物科学中有应用。杆-关节框架是图$G$的一对$(G,p)$以及$G$的顶点到欧几里得平面的映射$p$。我们将$(G, p)$的边视为条，将顶点视为万向节。只要保持相邻顶点对之间的距离，顶点就可以连续移动。如果任何这样的运动保持所有顶点对之间的距离，则框架是刚性的。1970年，Laman得到了欧氏平面上刚性图的一个组合刻画。1982年，Lovász和Yemini发现了一个新的刻画，证明了每个$6$ -连通图都是刚性的。结合全局刚性的特征，他们的证明实际上意味着每个6-连通图都是全局刚性的。因此，如果Fiedler的代数连通度大于5，则$G$是全局刚性的。本文改进了这一界，证明了对于具有最小度$δ\geq 6$的图$G$，若其代数连通度大于$2+\frac{1}{δ-1}$，则$G$是刚性的;若其代数连通度大于$2+\frac{2}{δ-1}$，则$G$是全局刚性的.我们的结果意味着每个度至少为$8$的连通正则Ramanujan图是全局刚性的。我们还证明了一个更一般的结果，给出了$k$边不相交生成刚性子图存在的一个充分谱条件。同样的条件意味着一个图包含$k$边不相交的生成$2$连通子图。这一结果推广了以前的边不相交生成树的谱条件。
2021-03-01 math.CO math.GT
Infinite Bar-Joint Frameworks, Crystals and Operator Theory
本文建立了一般无限杆系框架（G，p）的柔度和刚度理论。给出了柔度为零时不变形性的判定方法和可变形性的充分条件。无穷小柔度的形式定义在相关的无限刚度矩阵R（G，p）的算子理论。引入了抽象晶体框架的矩阵符号函数，它是$d$ -环面上的矩阵值函数，将R（G，p）表示为希尔伯特空间算子.符号函数与无穷小柔度、变形性和均衡性有关。各种处于麦克斯韦平衡的抽象晶体框架，如某些4-正则平面框架，被证明是平方和无穷刚性的，并且可以以无穷多种方式光滑变形。三维晶体框架的符号函数决定了材料晶体中低能振动模式（RUM）模型中的无限小波弯曲。对于具有反转对称性的晶体框架，它表明，RUMS出现在表面，推广F。韦格纳四面体晶体。
2011-04-20 math.CO math.FA math.MG
Flexible circuits in the $d$-dimensional rigidity matroid
$\mathbb{R}^d$中的杆-关节框架$(G,p)$是刚性的，如果顶点的唯一边长保持连续运动来自$\mathbb{R}^d$的等距。已知当$(G,p)$是泛拟阵时，其刚性仅依赖于底层图$G$，并由泛$d$维刚性拟阵$\mathcal{R}_d$中$G$的边集的秩决定.当$d=1,2$时，这个拟阵的秩函数的完整组合描述是已知的，并且当$d=1,2$时，意味着$\mathcal{R}_d$中的所有电路在$\mathbb{R}^d$中是一般刚性的。确定$\mathcal{R}_d$的秩函数是$d\geq 3$时的一个长期存在的开放问题，并且$d\geq 3$的$\mathcal{R}_d$中非刚性电路的存在是导致该问题如此困难的主要因素。我们开始研究非刚性电路的特点，在$\mathcal{R}_d$，最多有$d+6$顶点的非刚性电路。
2023-03-24 math.CO math.MG
Symmetry-forced rigidity of frameworks on surfaces
一个基本定理的拉曼特征时，一个酒吧联合框架实现一般在欧几里德平面承认一个非平凡的连续变形的顶点。最近，这方面的工作又以两种方式扩大。首先，框架是对称的一些点群，但在其他方面是通用的，其次，在欧几里德3-空间的框架，被限制为躺在2维代数簇。我们结合这两种设置，并考虑在这样的表面上实现的对称框架的刚度。通过推广[32，12]中的轨道矩阵技术，我们证明了框架为受迫刚性的必要条件（即，对于任何群和任何曲面，都没有非平凡的保序运动）。当表面是一个球体，一个圆柱体或一个圆锥体的情况下，我们使用Henneberg型归纳结构的组标记商图证明，这些条件也是足够的一些对称群，包括旋转，反射，反转和二面角对称。对于其余的组-以及其他类型的表面-我们提供了一些观察和说明。
2015-07-30 math.CO math.MG
Geometric aspects of the Jacobian of a hyperplane arrangement
该研究发展超平面构形的弱透视表示理论，形式化并推广超平面构形与刚性理论间的关联，探究组合与几何的相互作用对构形相关代数结构的影响，建立两类研究间的联系。
2023-06-08 math.AC math.AG math.CO
