When is a scale-free graph ultra-small?
本文研究了位形模型中度具有渐近无穷方差时的典型距离。我们假设经验度分布遵循指数为$τ\in (2,3)$的幂律，对于某些$β_n\gg (\log n)^{-γ}$和$γ\in(0,1)$，直到值$n^{β_n}$。幂律i.i.d.满足该假设度，并且还包括截断幂律分布，其中（可能是指数）截断发生在$n^{β_n}$。我们发现，两个统一选择的顶点之间的图形距离中心周围$2 \log \log (n^{β_n}) / |\log (τ-2)| + 1/(β_n(3-τ))$，与紧密的波动。因此，无论何时$1/β_n=o(\log\log n)$，该图都是\emph{ultrasmall world}。我们确定这个值周围的波动的分布，特别是我们证明，这些是非收敛的紧随机变量，显示$\log \log$ -周期性。我们描述的拓扑结构和最短路径的数量：我们表明，最短路径的数量是为了$n^{f_nβ_n}$，其中$f_n \in (0,1)$是一个随机变量，振荡与$n$。任何最短路径的两个末端段的长度为$\log \log (n^{β_n}) / |\log (τ-2)|$ +tight，并且总度在这些段上向路径的中间增加。连接中间线段的长度为$1/(β_n(3-τ))$ +tight，并且它只包含度至少为$n^{(1-f_n)β_n}$阶的顶点，因此该线段上的所有度都与最大度相当。我们的定理…
2017-08-04 math.CO math.PR
A note on loglog distances in a power law random intersection graph
我们考虑一个随机交图的巨分支的顶点之间的典型距离，该图具有幂律（渐近）顶点度分布，且具有无限的二阶矩。给定巨分支的两个顶点，我们构造连接它们的最短路径长度的O（log log n）上界（概率）。
2009-11-26 math.CO math.PR
Logarithmic typical distances in preferential attachment models
Eindhoven University of Technology（埃因霍温理工大学）
研究优先连接模型典型距离，用路径计数、矩方法及谱半径收敛证明，得出典型距离接近对数形式。
2026-07-07 math.PR
Diameters in preferential attachment models
在本文中，我们研究了优先连接（PA-）模型中的直径，从而量化了这些模型是小世界的说法。这里研究的模型是这样的，边缘连接到与度加常数成比例的旧顶点，即，我们考虑仿射PA模型。有大量的文献证明，PA-图具有幂律指数τ>2的幂律度序列。我们证明了PA-模型的直径是由一个常数乘以\log{t}上界，其中t是图的大小。当幂律指数τ超过3时，我们证明了\log{t}是正确的阶数，并证明了这个阶数的一个下界，包括直径和典型距离.这表明，当τ>3时，距离的量级为\log{t}。对于τ \in（2，3），我们将上界改进为常数乘\log \log{t}，并证明了直径的一个同阶下界.不幸的是，这个证明并不适用于典型的距离。这些结果确实表明直径为\log \log{t}级。这些界限部分地证明了物理学家的预言，即PA-图中的典型距离与其他无标度随机图中的相似，例如配置模型和各种非齐次随机图模型，其中典型距离已经被证明当τ \in（2，3）时是\log \log{t}阶，当τ>3时是\log{t}阶。
2010-04-13 math.CO math.PR
Sharp asymptotics for the maximal distance from the boundary to the nucleus of a typical Poisson-Voronoi cell
本文研究d维欧氏空间中典型Poisson-Voronoi胞腔顶点到核的最大距离D，推导其尾分布精确渐近，证实相关极值指数猜想并确定尾概率估计中的显式常数。
2025-11-14 math.PR
Typical distances in the directed configuration model
我们分析了两个节点之间的距离的分布，均匀随机抽样，通过定向配置模型产生的有向图，在超临界状态。在入度和出度之间的协方差是有限的假设下，我们证明了距离在图的大小上呈几何增长。与无向情况相反，即使在度的方差无限大的情况下也会发生这种情况。在分析的主要工具是一个新的耦合之间的广度优先图的探索过程和一个合适的分支过程的基础上的Kantorovich-Rubinstein度量。这种耦合在勘探过程中比现有的步骤多得多的步骤中一致成立，因此具有独立的意义。
2017-04-21 math.PR
Weighted distances in scale-free preferential attachment models
我们研究了三个偏好连接模型，其中参数使得渐近度分布具有无穷大的方差。每条边都有一个非负的同分布。重量.我们研究了随机均匀选取的两个顶点之间的加权距离，即典型的加权距离，以及这条路径上的边数，即典型的跳数。证明了权重分布存在两种普适类，即爆炸类和保守类。在爆炸类，我们表明，典型的加权距离收敛分布的总和两个独立同分布。有限随机变量。在保守类中，我们证明了典型的加权距离趋于无穷大，我们给出了一个明确的表达式的主要增长项，以及跳数。在对权重分布的一个温和的假设下，围绕主项的波动是紧密的。
2020-04-30 cs.SI math.CO math.PR
Longest path distance in random circuits
研究了一类随机有向无圈图的距离性质。在DAG中，距离的许多自然概念都是可能的，因为节点对之间存在多条路径。回路的感兴趣距离是两个节点之间路径的最大长度。我们给出了随机DAG中典型深度（到根的距离）和最小深度的大数定律。这完成了由Devroye和Janson（2009+）发起的随机DAG中的自然距离研究（在均匀情况下）。我们还得到了分支随机游动的最小值的大偏差界，这可以看作是我们的主要结果的简化版本。
2012-05-28 math.CO math.PR
Maximal Steiner Trees in the Stochastic Mean-Field Model of Distance
考虑$n$顶点上的完全图，边权重独立于具有单位均值的指数分布绘制。Janson表明，两个顶点之间的典型距离尺度为$\log{n}/n$，而直径（任何两个顶点之间的最大距离）尺度为$3\log{n}/n$。Bollobás等人证明，对于任何固定的k，连接$k$典型顶点的Steiner树的权重为$(k-1)\log{n}/n$，这恢复了Janson对$k=2$的结果。我们扩展这一结果表明，最坏的情况下$k$ -施泰纳树，在所有的选择$k$顶点，有重量缩放为$(2k-1)\log{n}/n$，最后，我们将这一结果推广到施泰纳树的典型和最坏的情况下的顶点的混合物。
2015-07-17 math.PR
Weighted distances in scale-free configuration models
本文研究了经验度分布服从指数为$τ\in (2,3)$的幂律分布的组态模型中的首次通过渗流。我们分配独立同分布（i.i.d.）将权重添加到图的边缘。我们研究两个均匀选择的顶点之间的加权距离（最短加权路径的长度），称为典型距离。当潜在的年龄依赖的分支过程近似的本地社区的顶点被发现产生无限多个个人在有限的时间-称为爆炸分支过程-巴罗尼，霍夫斯塔德和第二作者表明，典型的距离收敛于分布到一个有界的随机变量。当潜在的分支过程不是爆炸性的时，对于$τ\in (2,3)$情况，典型距离的数量级保持开放。我们关闭这一差距，确定在这个政权的任意，没有必要的连续边缘权重分布，产生一个非爆炸性的年龄相关的分支过程无限平均幂律后代分布的典型距离的第一个数量级。这个序列随着顶点的数量趋于无穷大，并且通过选择适当的权重分布，可以被调整为任何增长函数，即$O(\log\log n)$，其中$n$是图中的顶点数。我们表明，结果仍然有效的擦除配置模型，以及，在那里我们删除循环和任何第二个和进一步的两个顶点之间的边缘。
2017-09-27 math.PR
Distance from the Nucleus to a Uniformly Random Point in the 0-cell and the Typical Cell of the Poisson-Voronoi Tessellation
考虑$d$维Poisson-Voronoi（PV）镶嵌的分别从细胞核到0-细胞和典型细胞中的均匀随机点的距离$\tilde{R}_o$和$R_o$。本文的主要目的是刻画$\tilde{R}_o$和$R_o$的精确分布。首先，利用0-细胞和典型细胞之间的关系，我们证明了随机变量$\tilde{R}_o$是等效的分布的泊松点过程的接触距离。接下来，我们推导出$R_o$的精确分布的多重整式.此外，我们推导出一个封闭形式的近似表达式的分布的$R_o$，这是一个平均值的接触分布校正的一个因子等于0细胞和典型细胞的平均体积的比率。我们的分析的另一个结果是一个众所周知的PV电池的球形属性具有一个大的inball的直接证明。
2019-12-05 cs.IT math.IT math.PR
Distances and large deviations in the spatial preferential attachment model
本文研究了E. Jacob and P. Mörters（2013）.首先，在一个政权的强线性强化，我们表明，典型的距离是最多的双对数顺序。其次，我们推导了经验邻域结构的大偏差原理，并将速率函数表示为平稳标记点过程空间中熵最小化问题的解。
2018-09-27 math.PR
Degrees and distances in random and evolving Apollonian networks
本文研究了任意 d 维下随机与演化 Apollonian 网络的极限度分布及最短路径渐近行为，严格证明了 EANs 在占据参数趋于 0 时收敛于 RANs 的幂律度分布，并确立了典型距离、泛洪时间与图直径的常数倍 log n 规模及中心极限定理。
2013-10-14 math.PR
The distance problem on measured metric spaces
研究度量测度空间中两点距离的分布问题，猜想所有支撑含0的密度分布均可实现，并给出部分证明。
2024-03-16 math.MG math.PR
Distances in critical long range percolation
研究了$\mathbb{Z}$上的长程渗流模型，其中$i$和$j$以概率$β|i-j|^{-s}$连接.图距离现在很好地理解所有指数$s$，除了在$s=2$的情况下，模型表现出非平凡的自相似缩放。建立一个猜想的Benjamini和Berger \cite{BenBer:01}，我们证明了典型的距离从网站0到$n$增长作为一个幂律$n^{θ(β)}$到一个乘法常数为一些指数$0<θ(β)<1$作为一个框的长度$n$的图的直径。
2015-11-07 math.PR
On the robustness of power-law random graphs in the finite mean, infinite variance region
我们考虑一个条件泊松随机图模型的平均度，“能力”，遵循幂尾分布与有限的平均值和无限的方差。这样一个图的大小$N$有一个巨大的组成部分，这是超小的意义上，顶点之间的典型距离是$\log\log N$的顺序。最短路径通过由具有高平均度的节点组成的核心。在本文中，我们推导出的典型距离的上界时，核心的上部被删除，包括整个核心被删除的情况下。
2008-01-07 math.PR
The shortest distance in random multi-type intersection graphs
使用相关联的分支过程作为我们的近似的基础上，我们表明，典型的点间距离在多类型的随机交图有缺陷的分布，这是很好地描述了一个混合物的翻译和缩放Gumbel分布，失踪的质量对应的事件，顶点是不是在同一个组件的图形。
2010-01-29 math.PR math.ST stat.TH
On the absence of ferromagnetism in typical 2D ferromagnets
我们认为伊辛系统在$d$维最近邻铁磁相互作用和远程排斥（反铁磁）的相互作用，衰减的权力，$s$，的距离。这种模型的物理背景进行了讨论，这主要是$d=2$和$s=3$，在长距离，真正的磁偶极子之间的真正的磁相互作用是这种形式。我们证明了当衰变功率高于$d$且不超过$d+1$时，则在所有温度下，自发磁化强度为零。与此相反，我们还表明，超过$d+1$（与$d\ge2$）磁顺序的权力可以发生。
2006-12-07 cond-mat.stat-mech math-ph math.MP
Asymptotic behaviour of gossip processes and small world networks
随机网络的小世界模型，偶尔长距离连接和偶尔长距离信息传输的八卦过程具有相似的特征行为。长距离元素明显地减少了典型点对之间在空间或时间上测量的有效距离。在本文中，我们表明，他们的共同行为可以解释为产品的局部分支性质的模型。特别是，它表明，两个典型的点之间的距离和空间的比例，可以达到在给定的距离或时间内，可以近似的公式涉及的极限随机变量的分支过程。
2013-01-21 cs.SI math.PR physics.soc-ph
Directed distances in bipolar-oriented triangulations: exact exponents and scaling limits
该研究针对均匀无限双极定向三角剖分（UIBOT）及有限双极定向三角剖分，构造Busemann函数研究有向路径距离，得到标度极限下的稳定Lévy过程、距离的幂律阶与标度维数，技术可推广至其他相关模型。
2025-10-30 math-ph math.CO math.MP
Total variation distance and the Erdős-Turán law for random permutations with polynomially growing cycle weights
我们研究了多项式增长周期权重的$n$对象的随机置换模型，该模型最近被Ercolani和Ueltschi等人所考虑。利用鞍点分析方法，证明了统计$1, 2, ..., b$大小的循环的过程与独立Poisson随机变量的过程$(Z_1, Z_2, ..., Z_b)$之间的全变差距离收敛于$0$当且仅当$b=o(\ell)$，其中$\ell$表示该模型中典型循环的长度.利用这一结果，我们证明了置换阶的一个中心极限定理，从而将Erdens-Turán定律推广到这一测度上.进一步证明了小圈的布朗运动极限定理。
2014-10-20 math.PR
Subsequential scaling limits for Liouville graph distance
对于$0<γ<2$和$δ>0$，我们考虑Liouville图距离，它是$γ$ -Liouville量子引力测度中最多$δ$的并包含两个端点之间的连续路径的最小欧氏球数.在本文中，我们证明了重整化距离是紧的，因此在$δ\to 0$具有连续标度极限。特别是，我们表明，对于所有的$δ>0$的直径相对于刘维图的距离具有相同的顺序作为两个端点之间的典型距离。
2019-10-03 math-ph math.MP math.PR
Sharp Typical Distance and Exponential Small-Ball Bounds in One-Step-Cliff Nielsen Geometry
Institute for Theoretical Sciences, Westlake University（西湖大学理论科学研究院）
本文证明单步悬崖Nielsen度量下Haar随机元素到恒等元的归一化距离依概率收敛于$\pi/\sqrt3$，并给出指数级小球的精确测度界，方法结合Jacobi行列式比较与Weyl积分。
2026-09-10 math-ph math.MP math.PR
Anomalous diffusion of random walk on random planar maps
证明了均匀无限平面三角剖分（UIPT）上的简单随机游动在$n$单位时间内最多可走$n^{1/4 + o_n(1)}$.结合Gwynne和Miller（2017）证明的互补下界，这表明$n$步骤后行走的典型图形距离位移是$n^{1/4 + o_n(1)}$，如Benjamini和Curien（2013）所述。更一般地说，我们证明了在$γ\in (0,2)$的$γ$ -Liouville量子引力（LQG）普适类中的某类随机平面映射上的简单随机游动--包括生成树加权映射，双极定向映射和配对CRT映射--通常以$n$时间单位旅行图距离$n^{1/d_γ+ o_n(1)}$，其中$d_γ$是映射上度量球体积的增长指数，Ding和Gwynne（2018）证明存在并仅依赖于$γ$。由于$d_γ> 2$，这表明这些地图上的简单随机游动是次扩散的。我们的证明是基于嵌入的随机平面地图考虑到$\mathbb C$，其中图形距离球可以比较欧几里德球模次多项式错误。这种嵌入产生于给定的随机平面映射与配对CRT映射的耦合以及后者映射与SLE装饰LQG的关系。
2020-07-04 math-ph math.MP math.PR
The distance exponent for Liouville first passage percolation is positive
具有参数$ξ> 0$的离散刘维尔第一通道渗流（LFPP）是通过为每个顶点$z$分配$e^{ξh(z)}$的权重而获得的$\mathbb Z^2$的子图上的随机度量，其中$h$是离散高斯自由场。我们证明了离散LFPP的距离指数对所有$ξ> 0$都是严格正的。更精确地，对于取决于$ξ$的指数$α> 0$，大小为$2^n$的离散环的内边界和外边界之间的离散LFPP距离通常至少为$2^{αn}$。这是一个关键的输入，在证明LFPP承认非平凡的连续标度极限的所有$ξ> 0$，也有理论上的影响，在刘维量子引力的距离的研究。
2021-10-16 math-ph math.MP math.PR
