The Domination Number of Grids
Daniel Gonçalves, Alexandre Pinlou, Michael Rao, Stéphan Thomassé
本文总结了所有$n\times m$格图的控制数的计算。事实上，我们证明了张的猜想说，对每一个$16\le n\le m$，$γ(G_{n,m})=\lfloor\frac{(n+2)(m+2)}{5}\rfloor -4$。
In this paper, we conclude the calculation of the domination number of all $n\times m$ grid graphs. Indeed, we prove Chang's conjecture saying that for every $16\le n\le m$, $γ(G_{n,m})=\lfloor\frac{(n+2)(m+2)}{5}\rfloor -4$.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Exact values for three domination-like problems in circular and infinite grid graphs of small height
本文研究了三个类支配问题，即识别码、定位支配码和定位全支配码。我们感兴趣的是找到这样的代码在给定高度的圆形和无限网格图的最小基数。我们提供了一个替代证明已知的结果，以及新的结果。这些都是通过计算机搜索的基础上的通用框架，我们开发的较早，搜索的最小标签满足伪d-本地属性的旋转图。
Power domination on triangular grids
权力支配的概念源于对电力系统的监控问题。给定一个图G和一个集合S $\subseteq$ V（G），构造一个监控顶点集合M：首先，M只包含S的顶点和它们的直接邻居，然后每当M中的一个顶点恰好有一个邻居不在M中时，这个邻居就被添加到M中。一个图G的幂控制数是一个集合S的最小尺寸，使得这个过程以包含G的每个顶点的集合M结束。本文证明了边长为k - 1的六边形三角网格T_k的幂控制数正好是$ \lceil k/3 \rceil .
The 2-domination and Roman domination numbers of grid graphs
本文给出任意n×m网格图的2-支配数闭式公式，确认并修正了已有结果，并用动态规划与转移矩阵方法解决罗马支配问题。
Perpetually Dominating Large Grids
在m- \emph{Eternal Domination}博弈中，一组守卫令牌最初占据图$G$上的支配集。然后攻击者选择一个没有守卫的顶点进行攻击，守卫防御攻击：其中一个守卫必须移动到被攻击的顶点，而剩下的每一个守卫可以选择移动到他的一个相邻顶点。新后卫的位置必须再次占据主导地位。这种攻击-防御过程永远持续下去。如果守卫能永远保持一个支配集对抗任何攻击序列，那么守卫就赢了，否则，攻击者就赢了。图$G$的m- \emph{eternal domination number}是在$G$（所有防护移动模型）中使它们战胜任何攻击者策略的防护的最小量。我们研究矩形网格，并提供了第一个已知的一般上界的m-永恒控制数为这些图。我们的新策略实现了一个平方旋转的原则，永远主导$m \times n$网格通过使用近似$\frac{mn}{5}$警卫，这是渐近最优的，即使是普通的统治。
The Connected Domination Number of Grids
$n \times m$网格控制数的封闭形式表达式引起了人们的极大关注，Gonçalves等人在2011年得到了一个精确的表达式。本文给出了$n \times m$网格连通控制数的新下界。Tolouse等人已经解决了具有多达$4$行和具有$6$行的网格的问题，并且目前已知的任意$m,n$的最佳下限是$\lceil\frac{mn}{3}\rceil$。Fujie提出了一个一般的结构，用于构造大小为$\min \left\{2n+(m-4)+\lfloor\frac{m-4}{3}\rfloor(n-2), 2m+(n-4)+\lfloor\frac{n-4}{3}\rfloor(m-2) \right\}$的$n \times m$网格的连通支配集。在本文中，我们调查这种结构是否确实是最佳的。对任意的$m,n \geq 4$证明了一个新的$\left\lceil\frac{mn+2\lceil\frac{\min \{m,n\}}{3}\rceil}{3} \right\rceil$的下界.
A method for eternally dominating strong grids
在永恒控制博弈中，攻击者每回合攻击一个顶点，一队守卫必须移动一名守卫到被攻击的顶点进行防御，守卫只能移动到相邻的顶点，并且一个顶点只能有一名守卫占据。我们的目标是确定一个图的永恒控制数，这是保护图免受无限序列的攻击所需的最小数量的警卫。在本文中，我们继续研究强网格上的永恒控制对策。笛卡尔网格已经被广泛地研究，具有用于小网格（例如$2\times n$、$3\times n$、$4\times n$和$5\times n$网格）的紧边界，并且最近在[Lamprou等人，CIAC 2017，393 - 404]，这些网格的永恒控制数通常在它们的控制数的$O(m+n)$内，其下界了永恒控制数。最近，Finbow等人证明了强网格的永恒控制数是由$\frac{mn}{6}+O(m+n)$定义的上界.我们采用[Lamprou et al.，CIAC 2017，393 - 404]证明了强网格的永恒控制数是由$\frac{mn}{7}+O(m+n)$定义的上界。虽然这在一般情况下并没有改进最近宣布的$\lceil\frac{m}{3}\rceil \lceil\frac{n}{3}\rceil+O(m\sqrt{n})$的界[Mc Inerney，Nisse，Pérennes，CIAC 2019]，但我们证明了我们的界在两个维度中较小的一个至多是$6179$的情况下是一个改进。
Intensive use of computing resources for dominations in grids and other combinatorial problems
我们的目标是证明图论和组合学的新结果，这要归功于计算机的速度，以及智能算法的使用。我们要解决四个问题。四色定理指出，任何地图，其国家连接可以用4种颜色，使邻国有不同的颜色。1989年，这是第一个用计算机证明的结果。我们希望进一步自动化它的证明。我们解释了证明，并提供了一个程序，重放证明。它还可以用同样的方法获得其他结果。我们给出了自动搜索放电规则的想法。我们还研究了网格中的支配问题。最简单的一种是支配。它包括在网格的一些单元格上放置一块石头，这样每个单元格都有一块石头，或者有一块石头的邻居。这个问题在2011年得到了解决，使用计算机证明了一个公式，给出了所需的最小石头数量。我们适应这种方法的第一次变体的统治。我们部分地解决了其他两个问题，并为他们提供了任意大小的网格的下界。我们还解决了控制集的计数问题。对于给定的网格，有多少个控制集？我们研究这个计数问题的控制和三个变种。对于这些问题中的每一个，我们证明了存在的渐近增长率，我们给出的界限。最后，我们研究了多项式和他们可以平铺矩形的方式。我们试图解决1989年的一个问题：是否存在奇数阶的polyomino？它包括找到一个polyomino可以平铺一个矩形与奇数副本，但不能平铺任何更小的矩形。我们没有设法解决这个问题，但我们做了一个程序来枚举polyominoes，并试图找到他们的订单，丢弃那些不能瓷砖矩形。我们还统计的订单polyom…
Optimal Sensor Placement in Power Grids: Power Domination, Set Covering, and the Neighborhoods of Zero Forcing Forts
为了监控整个电网的电气活动并减少停电，可以安装称为相量测量单元的传感器。由于实施成本的原因，期望在确保可以有效地监测电网的同时最小化部署的传感器的数量。这个优化问题激发了图论的幂支配集问题。在本文中，我们提出了一个新的整数规划识别最小功率控制集，制定了一个集覆盖问题。这个问题的约束对应于迫零的邻域;我们研究了它们的结构特性，并表明它们可以分离，从而可以通过行生成来解决所提出的模型。在几个计算实验中，所提出的方法始终表现出一个数量级的改善，在运行时的性能的建议和现有的方法进行了比较。
Some results of domination and total domination in the direct product of two fuzzy graphs
本文给出了两个任意模糊图的直积的一个新定义。在这个新的积图中，我们定义了控制和全控制的概念。得到了乘积模糊图的全控制数的一个上界。进一步定义了全α-控制数的概念，并给出了乘积模糊图的全α-控制数的一个下界。同样的控制数的下界也被发现。
Exact-Distance Domination in Grid Graphs
该论文针对$n\times n$方格图的精确距离$k$-控制集，推导了固定$k\geq3$时其最小密度$\delta_k$的上下界，并得到$k=2$时$\delta_2=1/9$的精确值。
On the multipacking number of grid graphs
本文研究网格图的广播支配数与多重打包数，证明所有高度至少4、宽度至少7的大网格图中两者相等，扩展了强弦图上的已知结果。
Perfect domination, Roman domination and perfect Roman domination in lexicographic product graphs
本文研究字典序乘积图的完美控制数、罗马控制数和完美罗马控制数，给出前两者的闭式公式，为完美罗马控制数提供界限及达到条件，并刻画完美罗马图。
The sub-$k$-domination number of a graph with applications to $k$-domination
本文引入并研究了一个新的由图$G$的度序列导出的图不变量，称为子$k$ -控制数，记作$sub_k(G)$。证明了$sub_k(G)$是$G$的$k$ -控制数的一个计算有效的下界，并改进了几个已知的下界.我们还刻画了几类图的次$k$ -控制数，给出了次$k$ -控制的结构性结果，并探讨了关于点和边的添加和删除的$sub_k(G)$ -临界图的性质.
The domination number of on-line social networks and random geometric graphs
我们考虑在线社交网络的控制数，无论是在随机网络模型，并为现实世界，网络数据。严格推导了无记忆几何多变随机图模型生成的图的控制数的渐近次线性界。我们建立了Facebook 100数据集中图的控制数的次线性界，并且这些界与随机模型预测的那些有很好的相关性。此外，我们还得到了经典随机几何图控制数的渐近值。
Signed and Minus Domination in Complete Multipartite Graphs
本文确定了完全多部图的符号控制数、符号全控制数和负控制数的精确值，这实质上推广了前人对完全多部图的特殊子类如团图和完全二部图的结果.
Effects of Some Operations on Domination Chromatic Number in Graphs
对于一个简单图$G$，$G$的控制染色是一个真点染色，使得$G$的每个顶点至少控制一个色类，并且每个色类至少被一个顶点控制.控制色数记为$χ_{dd}(G)$，是$G$的所有控制着色中的最小颜色数.本文讨论了点（边）删除、点（边）收缩、边细分、圈扩展等典型操作对$χ_{dd}(G)$的影响。
A note on Cops and Robbers, independence number, domination number and diameter
本文研究了连通图$G$的直径$D(G)$、控制数$γ(G)$、独立数$α(G)$和copnumber $c(G)$之间的关系，证明了（i.）$c(G) \leq α(G)-\lfloor \frac{D(G)-3}{2} \rfloor$，和（ii.）$c(G) \leq γ(G) - \frac{D(G)}{3} + O (\sqrt{D(G)})$。
Eternal Domination and Clique Covering
利用大规模计算和解析方法研究了图的永恒控制数与团覆盖数之间的关系。在此过程中，我们回答了克洛斯特迈耶和明哈特的两个开放性问题。我们证明了永远控制数小于团覆盖数的最小图有$10$顶点。确定了永远控制数小于其团覆盖数的$10$ -顶点图和$11$ -顶点图的完全集.我们证明了具有此性质的最小无三角形图的阶为$13$，最小循环图也是如此。我们描述了一种生成无限族无三角形图和无限族永恒控制数小于其团覆盖数的循环图的方法。我们还考虑了可平面图和三次图。最后，我们证明了对任意整数$k \geq 2$，存在无穷多个图的控制数和永恒控制数等于$k$，且含有不是永恒控制集的控制集.
Upper bounds for alpha-domination parameters
本文给出了α-控制数的一个新的上界。这一结果推广了著名的Caro-Roditty界图的控制数。同样的概率结构是用来推广另一个著名的上界的经典控制图。我们还证明了类似的上界的α率控制数，它结合了α控制和k元组控制的概念。
On the $2$-domination number of cylinders with small cycles
本文研究小圈柱面图（圈与路的笛卡尔积）的 $2$-控制数，提出基于 $(\nmin,+)$ 矩阵乘积的两种算法计算 $\gamma_2(C_n\Box P_m)$（$3\leq n\leq 15$），并给出一般公式猜想。
On Domination Coloring in Graphs
图$G$的控制染色是指图$G$的一个真点染色，使得图$G$的每个顶点控制至少一个色类，并且每个色类被至少一个顶点控制.所有控制着色中的最小颜色数称为控制色数，记为$χ_{dd}(G)$。本文通过对任意图证明该问题的NP-完全性，研究了该问题的复杂性，并给出了几类图的一般界和特征。并给出了控制色数$χ_{d}(G)$、控制色数$χ_{dom}(G)$、色数$χ(G)$和控制数$γ(G)$之间的关系.我们给出了几个关于图的$χ_{dd}(G)=χ(G)$的结果。
The k-Power Domination Number in Some Self-Similar Graphs
$k$ -幂控制问题是图论中的一个问题，在许多领域都有应用.然而，由于确定一般图的k-幂控制数是一个NP完全问题，因此很难精确计算出$k$ -幂控制数。我们确定了两个顶点数和边数相同的图：伪分形无标度网和Sierpirobski gasket的精确$k$ -幂控制数。在Sierpienski垫片中，对于$k\ge2$，$k$ -幂控制数变为1，而$k$ -幂控制数相对于伪分形无标度网中的顶点数以指数速率增加。无标度特性可以解释两个图的行为差异。
Using edge contractions to reduce the semitotal domination number
本文考虑了对某些固定的$k \geq 1$，通过收缩$k$边来减少图的总体控制数的问题.我们表明，这总是可以做到最多3边收缩，并进一步证明了那些图需要1，2或3边收缩，分别减少其总控制数。然后，我们研究了问题的复杂性$k=1$，并获得特别是一个完整的复杂性二分法单演类。
Computing m-Eternal Domination Number of Cactus Graphs in Linear Time
在m-永恒控制中，攻击者和防御者在图上博弈。最初，防御者在顶点上放置守卫。在每一轮中，攻击者选择一个顶点进行攻击。然后，防御者可以将每个守卫移动到相邻的顶点，并且必须将一个守卫移动到被攻击的顶点。m-永恒控制数是使图可以被无限防御的最小守卫数。本文研究了仙人掌图的m-永恒控制数。我们考虑了m-永恒控制数的两个变体：一个变体允许多个守卫占据单个顶点，第二个变体要求守卫占据不同的顶点。我们开发了几个工具，获得这些问题的上下限，我们用它们来获得一个算法，计算仙人掌图的两个变种的问题所需的警卫的最小数量。
Minimum status, matching and domination of graphs
图的最小状态是该图的所有顶点的状态的最小值。给出了具有固定阶和匹配数（分别为控制数）的连通图的最小状态的一个精确上界，并刻画了达到该上界的唯一树。我们还确定了唯一树，使其最小状态是尽可能小的顺序和匹配数（控制数，分别）是固定的。
The Italian domination numbers of some products of directed cycles
定义了一个有向图$D$上的意大利控制函数为函数$f : V(D) \rightarrow \{0, 1, 2\}$，使得每个顶点$v \in V(D)$和$f(v) = 0$至少有两个内邻居被分配给$f$下的$1$或一个内邻居被分配给$w$和$f(w) = 2$ .本文确定了某些有向圈积的Italian控制数的精确值。
On the Signed (Total) $k$-Domination Number of a Graph
设$k$为正整数，$G=(V,E)$为最小度至少为$k-1$的图.如果$\sum_{u\in N_G[v]}f(u)\geq k$用于所有$v\in V$，则函数$f:V\rightarrow \{-1,1\}$称为$G$的\emph{signed $k$-dominating function}。$G$的\emph{signed $k$-domination number}是在$G$的所有有符号$k$ -支配函数上取的$\sum_{v\in V}f(v)$的最小值。通过在定义中将封闭邻域$N_G[v]$改变为开放邻域$N_G(v)$，可以类似地定义$G$的\emph{signed total $k$-dominating function}和\emph{signed total $k$-domination number}。\emph{upper signed $k$-domination number}是在$G$的所有\emph{minimal}有符号$k$ -支配函数上取的$\sum_{v\in V}f(v)$的最大值。在本文中，我们从算法复杂性和图论的角度研究这些图参数。我们证明，对于每一个固定的$k\geq 1$，计算这三个参数的问题都是\NP困难的。我们还提出了尖锐的下界的符号$k$ -控制数和符号总$k$ -控制数的一般图在其最小和最大程度，推广了一些已知的结果签署控…
Reducing the domination number of $P_3+kP_2$-free graphs via one edge contraction
本文考虑了如下问题：给定一个连通图$G$，能否仅用一条边收缩来减少$G$的控制数？我们证明了该问题在$P_3+kP_2$ -free图上对任何$k \geq 0$都是多项式时间可解的，结合[1，2]的结果，我们得到了该问题在$H$ -free图上的复杂性二分法.
Eternal distance-k domination on graphs
图的永恒控制是一个动态的过程，通过这个过程，图被保护不受无穷序列的顶点入侵。在永恒距离- $k$控制中，守卫最初占据距离- $k$控制集的顶点.当一个顶点被攻击后，每个守卫都移动距离$k$，形成一个距离- $k$控制集，使得某个守卫占据被攻击的顶点。图的永恒距离- $k$控制数是抵抗任意攻击序列所需的最小守卫数。对于$k=1$ .我们引入了$k > 1$的永恒距离-$k$支配.确定一个给定的集是否是一个永恒的距离- $k$控制集是在EXP中，在本文中，我们提供了一些结果的道路和循环，并与这个参数图的权力和控制一般。对于树，我们使用分解参数来限制永恒距离- $k$控制数，并在完美$m$ -ary树的情况下完全解决了这个问题。
Reducing the domination number of graphs via edge contractions
本文研究了如下问题：给定一个连通图$G$，对于某个固定的整数$k \geq 0$，能否利用$k$边收缩使$G$的控制数至少减少一个？我们提出了积极和消极的结果，关于这个问题的计算复杂性。
On the m-eternal Domination Number of Cactus Graphs
给定一个图$G$，保护被放置在$G$的顶点上。然后顶点受到无限序列的攻击，使得每个攻击必须由从相邻顶点移动的守卫来防御。m-永恒控制数是使图可以被无限防御的最小守卫数。在本文中，我们研究仙人掌图的m-永恒控制数，即连通图的每条边位于最多两个圈，我们考虑了三个变种的m-永恒控制数：第一个变种允许多个警卫占领一个单一的顶点，第二个变种不允许它，并在第三个变种额外的“驱逐”攻击必须防御。我们给出了仙人掌图的m-永恒控制数的一个新的上界，并证明了对于一个叫做Christmas仙人掌图的仙人掌图的子类，其中每个顶点至多位于两个圈内，这三个数是相等的.此外，我们提出了一个线性时间算法来计算它们。
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