Singularity of Random Matrices over Finite Fields
令$A$是$q$阶有限域上的具有iid元素的$n \times n$随机矩阵。假设对于某个固定的$0 < α< 1$，条目在字段的任何加性陪集中不取概率大于$1 - α$的值。我们表明，奇异概率收敛到一致的限制指数小的误差只依赖于$α$。我们还表明，分布的行列式$A$收敛到其极限分布的指数率。
2013-07-23 math.CO math.PR
Approximate Spielman-Teng theorems for the least singular value of random combinatorial matrices
随机$n\times n$方阵$M_n$的最小奇异值$s_n(M_n)$的近似Spielman-Teng定理是以下形式的陈述：存在常数$C,c >0$使得对所有$η\geq 0$，$\Pr(s_n(M_n) \leq η) \lesssim n^{C}η+ \exp(-n^{c})$。本文的目标是开发一个简单而新颖的框架来证明离散随机矩阵的结果。作为应用，我们证明了$\{0,1\}$值矩阵的一个近似Spielman-Teng定理，该矩阵的每一行是一个独立向量且恰有$n/2$零分量.这改善了以前的工作阮和武，是第一个这样的结果在一个“真正的组合”设置。
2019-04-24 math.CO math.PR
Inverse Littlewood-Offord problems and The Singularity of Random Symmetric Matrices
令$M_n$用$n$矩阵表示随机对称$n$，其上对角元素是iid Bernoulli随机变量（其以概率1/2取值-1和1）。改进了Costello，Tao和Vu的结果，证明了对于任意正的常数$C$，$M_n$是非奇异的，概率为$1-O(n^{-C})$.证明使用逆Littlewood-Offord结果的二次型，这是它自己的利益。
2012-12-31 math.CO math.PR
On Mixing Distributions Via Random Orthogonal Matrices and the Spectrum of the Singular Values of Multi-Z Shaped Graph Matrices
本文介绍并分析了一种新的运算$\circ_{R}$，它通过一个随机正交矩阵混合两个分布$Ω$和$Ω'$。特别地，我们将$Ω\circ_R Ω'$作为$DRD'$的奇异值分布的极限作为$n \to \infty$，其中$D$和$D'$是其对角项分别具有分布$Ω$和$Ω'$的$n \times n$对角矩阵，并且$R$是随机$n \times n$正交矩阵。我们发现，$\circ_R$有几个很好的性质。我们首先观察到$\circ_R$是可交换的和结合的，并根据$Ω$和$Ω'$的矩计算$Ω\circ_R Ω'$的矩。然后，我们表明，$\circ_R$互动非常好的Z形和多Z形图矩阵的奇异值的频谱。这使我们能够回答我们以前的论文提出的问题，如何描述的Z形和多Z形图矩阵的奇异值的谱时，输入分布不是$\{-1,1\}$。在我们的分析中，我们表明，我们的分布的时刻是紧密相连的非交叉分区，并证明了一些新的结果，非交叉分区可能是独立的利益。
2022-12-28 math.CO math.PR
Singular Values Distribution of Squares of Elliptic Random Matrices and Type B Narayana Polynomials
我们考虑具有参数$ρ$的大小为$N \times N$的高斯椭圆随机矩阵$X$，即，矩阵，其条目对$(X_{ij}, X_{ji})$是相互独立的高斯向量，$E X_{ij} = 0$、$E X^2_{ij} = 1$和$E X_{ij} X_{ji} = ρ$。我们感兴趣的是矩阵$W =\frac{1}{N^2} X^2 X^{*2}$特征值的渐近分布。我们已经表明，这个分布是由它的时刻，我们提供了一个经常性的关系，这些时刻。我们证明了（对称化的）渐近分布是由它的自由累积量决定的，它是B型Narayana多项式：$$c_{2n} = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}^2 ρ^{2k}.$$
2016-04-08 math.CO math.PR
On the singularity of random symmetric matrices
一个著名的猜想指出，一个随机对称的$n \times n$矩阵的元素在$\{-1,1\}$是奇异的概率为$Θ\big( n^2 2^{-n} \big)$。本文证明了该事件的概率至多为$\exp\big( - Ω( \sqrt{n} ) \big)$，改进了Ferber和Jain最近得到的$\exp\big( - Ω( n^{1/4} \sqrt{\log n} ) \big)$的最佳已知界.主要的新成分是一个逆Littlewood-Offord定理在$\mathbb{Z}_p^n$，适用于非常温和的条件下，其声明的灵感来自超图容器的方法。
2020-10-16 math.CO math.PR
On the singularity of random combinatorial matrices
证明了随机$(0,1)$矩阵的行是完全由$n/2$零分量组成的独立随机向量，且对任意的$C>0$，矩阵以概率$1-O(n^{-C})$非奇异.证明使用了一个非标准的逆型Littlewood-Offord结果。
2011-12-04 math.CO
On the sum of k largest singular values of graphs and matrices
近年来，图的迹范数在图能量的名义下得到了广泛的研究。迹范数是Ky Fan k-范数的一种，由k个最大奇异值之和给出，本文对这类范数进行了更一般的研究。概述了与色数、谱半径、扩展和其它基本参数的关系。一些结果被推广到更一般的矩阵。
2010-08-04 math.CO
Graphs and Hermitian matrices: discrepancy and singular values
引入了埃尔米特矩阵的一个偏差度量，建立了埃尔米特矩阵的第二奇异值与其偏差之间的一个不等式.应用这些结果回答了范冲关于图的特征值的两个问题。
2004-05-10 math.AC math.CO
The Spectrum of the Singular Values of Z-Shaped Graph Matrices
针对图矩阵相关研究匮乏的问题，该文确定了Z形图矩阵奇异值谱的极限分布，并将结果部分推广到$m$层Z形图矩阵，推进了对图矩阵的理解。
2024-06-25 cs.DM math.CO
Groups of singular alternating sign matrices
本文研究由奇异交错符号矩阵构成的乘法群，给出构造方法，证明任意有限群均可如此表示，并探讨矩阵大小、秩与乘法阶的关系。
2024-05-22 math.CO math.GR math.RA
Singular polynomials of generalized Kasteleyn matrices
Kasteleyn通过考虑邻接矩阵的一个突变：Kasteleyn矩阵K来计算矩形的多米诺骨牌的数量。本文给出了Kasteleyn矩阵的一个推广和KK^ \ast的特征多项式（我们称之为奇异多项式）的系数的组合解释，其中K是平面二部图的广义Kasteleyn矩阵.我们还提出了一个Q-版本的这些想法和一些结果，如矩形的特殊区域的平铺。
2000-12-30 math.CO
Structure of singular and nonsingular tournament matrices
锦标赛是由完全图的方向产生的有向图;因此，如果$M$是锦标赛的邻接矩阵，则$M + M^T$是对角线上有$0$且所有其他条目等于$1$的矩阵。竞赛图理论中的一个突出问题是对奇异（或非奇异）竞赛图的邻接矩阵进行分类。我们研究这个问题使用的结构的比赛图，特别是他们的循环结构。更具体地说，我们发现，尽可能精确地，周期的长度为3，决定了相应的比赛矩阵是奇异或非奇异的数量。我们还给出了具有指定数量的长度为3的圈的竞赛图的结构分类。
2022-10-22 math.CO
Studying the singularity of LCM-type matrices via semilattice structures and their Möbius functions
关于LCM矩阵的可逆性及其Hadamard幂的研究，多年来已有许多学者进行了大量的研究。Bourque和Ligh在1992年证明了任何GCD闭集$S=\{x_1, x_2, \ldots, x_n\}$上的LCM矩阵$[S]=[[x_i, x_j]]$是可逆的，但在1997年这被证明是错误的。然而，目前有许多公开的关于LCM矩阵及其Hadamard功率由Hong提出。本文利用格论结构和默比乌斯函数来解释经典LCM矩阵的奇异性及其阿达玛幂。与此同时，我们最终推翻了洪的一些论点。利用初等数学分析证明了对于大多数半格结构，存在一个正整数集合$S=\{x_1, x_2, \ldots, x_n\}$和一个实数$α>0$，使得$S$具有这种结构，并且幂LCM矩阵$[[x_i, x_j]^α]$是奇异的.
2014-03-21 math.CO
On the singularity probability of discrete random matrices
令$M_n$是$n$乘$n$的随机矩阵，其中每个条目以概率1/2独立地为+1或-1。我们的主要结果意味着$M_n$是奇异的概率至多是$(1/\sqrt{2} + o(1))^n$，改进了之前由Tao和Vu在arXiv：math/0501313 v2中证明的$(3/4 + o(1))^n$的最佳上界。本文遵循类似的方法，陶和Vu的结果，包括使用他们的结构定理的变体。我们还扩展了这种类型的指数上界的概率，一个随机矩阵是奇异的一大类离散随机矩阵的值在复数，其中的条目是独立的，但不一定是相同的分布。
2009-05-04 math.CO
Singular difference graphs of vector spaces of square matrices
Manipal Institute of Technology, Manipal Academy of Higher Education（马尼帕尔理工学院，马尼帕尔高等教育学院）
本文研究域上方阵矩阵空间的奇异差图Γ，证明其为直径2的连通正则图，在有限域上推导顶点度数公式与欧拉图判定条件，确定独立数和团数并构造对应结构，还给出控制数上界。
2026-08-31 math.CO
On the singularity probability of random Bernoulli matrices
设$n$是一个大整数，$M_n$是一个随机的$n$乘$n$矩阵，其元素是独立同分布的。伯努利随机变量（每个条目是概率为1/2的$\pm 1$）。我们表明，概率$M_n$是奇异的是最多$(3/4 +o(1))^n$，改善了早期的估计卡恩，Komlós和Szemerédi，以及早期的工作由作者。关键的新成分是应用Freiman型逆定理和其他工具从添加剂组合。
2008-08-06 math.CO
Block LU factorization of M-matrices
众所周知，任何非奇异M-矩阵都允许LU分解为M-矩阵（L和U分别为下三角和上三角），任何奇异M-矩阵都是类似于允许LU分解为M-矩阵的M-矩阵的置换。Varga和Cai建立了奇异M-矩阵（无置换）允许L非奇异LU分解的充要条件.我们将这些结果推广到两个方向。首先，我们得到了奇异M-矩阵存在LU分解的充要条件，其中L和U都允许是奇异的。其次，当L和U是M-矩阵时，我们建立了奇异M-矩阵的块LU分解所能具有的最小块结构。
1998-03-21 math.CO math.RA
Singular 0/1-matrices, and the hyperplanes spanned by random 0/1-vectors
令$P(d)$是大小为$d \times d$的随机0/1-矩阵是奇异的概率，并且令$E(d)$是由d-1个随机独立0/1-向量所张成的线性子空间中的0/1-向量的期望数目。(So $E(d)$是立方体顶点所跨越的随机仿射超平面上的立方体顶点的期望数目。）我们证明，$P(d)$上的界限是等价的$E(d)$上的界限：\[ P(d) = (2^{-d} E(d) + \frac{d^2}{2^{d+1}}) (1 + o(1)). \]我们还报告有关这些数字的计算实验。
2008-12-17 math.CO math.MG
