Singularity of random symmetric matrices revisited
令$M_n$从所有$\pm 1$对称$n \times n$矩阵中均匀地画出。我们发现，概率$M_n$是奇异的是最多$\exp(-c(n\log n)^{1/2})$，这是一个自然的障碍，在最近的方法来解决这个问题。除了改进以前著名的Campos，Mattos，Morris和Morrison的$\exp(-c n^{1/2})$的奇异概率上的界限，我们的方法是不同的，相当简单。
2020-11-05 math.CO math.PR
On random $\pm 1$ matrices: Singularity and Determinant
本文给出了随机$n \times n$ Bernoulli矩阵的两个结果。首先，我们证明了概率趋于1的行列式有绝对值$\sqrt {n!} \exp(O(\sqrt(n log n)))$。其次，我们证明了一个新的上界$.939^n$的概率矩阵是奇异的。我们还对其它随机矩阵模型进行了推广。
2008-06-30 math.CO math.PR
Singularity of Random Matrices over Finite Fields
令$A$是$q$阶有限域上的具有iid元素的$n \times n$随机矩阵。假设对于某个固定的$0 < α< 1$，条目在字段的任何加性陪集中不取概率大于$1 - α$的值。我们表明，奇异概率收敛到一致的限制指数小的误差只依赖于$α$。我们还表明，分布的行列式$A$收敛到其极限分布的指数率。
2013-07-23 math.CO math.PR
The singularity probability of random diagonally-dominant Hermitian matrices
本文描述了实数、复数和四元数上对角占优非负埃尔米特矩阵的奇异轨迹。这产生了明确的表达式的概率，这样的矩阵，随机选择，是奇异的。例如，在由对称的零对角$\{\pm 1/(n-1)\}$ -伯努利矩阵扰动的单位$n \times n$矩阵的情况下，该概率结果等于$2^{-(n-1)(n-2)/2}$。作为推论，我们发现$n\times n$对称$\{\pm 1\}$矩阵具有特征值$n$的概率为$2^{-(n^2-n+2)/2}$ .
2014-03-06 math.CO math.PR
Mutually annihilating matrices, and a Cohen--Lenstra series for the nodal singularity
给出了有限域上相互零化的$n\times n$矩阵$(A, B)$对个数的生成函数，即$AB=BA=0$ .这个生成函数可以被看作是科恩和伦斯特拉所考虑的一系列的奇异模拟。我们表明，这个生成函数有一个因子分解，使它能够亚纯扩展到整个复平面。我们也用它来计数相互零化的幂零矩阵对。本文主要研究了$\mathbb C[u,v]/(uv)$上模的多样性以及具有节点奇点的代数曲线上相干层的模叠加.
2022-12-13 math.AG math.CO
Inverse Littlewood-Offord problems and The Singularity of Random Symmetric Matrices
令$M_n$用$n$矩阵表示随机对称$n$，其上对角元素是iid Bernoulli随机变量（其以概率1/2取值-1和1）。改进了Costello，Tao和Vu的结果，证明了对于任意正的常数$C$，$M_n$是非奇异的，概率为$1-O(n^{-C})$.证明使用逆Littlewood-Offord结果的二次型，这是它自己的利益。
2012-12-31 math.CO math.PR
Singularity of random symmetric matrices -- a combinatorial approach to improved bounds
令$M_n$表示随机对称$n \times n$矩阵，其上对角项是独立且相同分布的伯努利随机变量（其分别以概率$1/2$取值$1$和$-1$）。普遍认为$M_n$是奇异的，概率至多为$(2+o(1))^{-n}$。另一方面，由于Vershynin（2011），$M_n$的奇异概率的最著名的上限是$2^{-n^c}$，对于一些未指定的小常数$c > 0$。这改进了Costello，Tao和Vu（2005）的多项式奇点界，以及Nguyen（2011）的界，表明奇点概率比任何多项式衰减得更快。本文改进了已有的结果，证明了对所有充分大的$n$，$M_n$的奇异概率至多为$2^{-n^{1/4}\sqrt{\log{n}}/1000}$.证明利用并扩展了一种新的组合方法离散随机矩阵理论，这是最近推出的作者与Luh和Samotij。
2019-09-09 math.CO math.PR
On the singularity of random symmetric matrices
一个著名的猜想指出，一个随机对称的$n \times n$矩阵的元素在$\{-1,1\}$是奇异的概率为$Θ\big( n^2 2^{-n} \big)$。本文证明了该事件的概率至多为$\exp\big( - Ω( \sqrt{n} ) \big)$，改进了Ferber和Jain最近得到的$\exp\big( - Ω( n^{1/4} \sqrt{\log n} ) \big)$的最佳已知界.主要的新成分是一个逆Littlewood-Offord定理在$\mathbb{Z}_p^n$，适用于非常温和的条件下，其声明的灵感来自超图容器的方法。
2020-10-16 math.CO math.PR
Singularity of sparse random matrices: simple proofs
考虑一个随机的$n\times n$ 0 - 1矩阵，具有“密度”$p$，根据以下两个模型之一进行采样：每个条目都独立地取为1，概率为$p$（“伯努利”模型），或者每行都独立地从所有长度- $n$ 0 - 1向量的集合中均匀采样，恰好具有$pn$ 1（“组合”模型）。我们给出了简单的证明（基本上是最好的可能）的事实，在这两个模型中，如果$\min(p,1-p)\geq (1+\varepsilon)\log n/n$的任何常数$\varepsilon>0$，那么我们的随机矩阵是非奇异的概率$1-o(1)$。在伯努利模型中，这一事实已经众所周知，但在组合模型中，这解决了艾格纳-霍列夫和珀森的一个猜想。
2021-04-20 math.CO math.PR
Permutation Matrices, Their Discrete Derivatives and Extremal Properties
对于置换$π$和相应的置换矩阵，我们引入{ \em离散导数}的概念，通过取$π$中连续元素的差而获得。我们的特点可能的衍生物的排列，并考虑问题的排列与某些性质所满足的衍生物。例如，我们考虑具有不同导数的排列，以及与所谓的Costas阵列的关系。
2019-08-10 math.CO
On the singularity of adjacency matrices for random regular digraphs
本文证明了均匀随机$d$ -正则有向图在$n$顶点上的（非对称）邻接矩阵是渐近几乎必然可逆的，假设对充分大的常数$C>0$有$\min(d,n-d)\ge C\log^2n$。该证明利用了随机正则有向图的耦合，该有向图是通过“洗牌”一对顶点的邻域形成的，以及作者最近获得的边分布的集中结果（arXiv：1410.5595）。我们还应用我们的一般方法来证明a.a.s.。Hadamard积$Σ\circ Ξ$的可逆性，其中$Ξ$是iid一致$\pm1$符号的矩阵，而$Σ$是其相关有向图满足某些“扩展”性质的0/1矩阵。
2015-11-09 math.CO math.PR
Singularity of $\{\pm 1\}$-matrices and asymptotics of the number of threshold functions
建立了关于门限函数$P(2, n)$个数和随机$n\times n$ Bernoulli矩阵奇异概率${\mathbb P}_n$的两个结果。我们引入了定义在${\bf RP}^n,$有限子集上的一个超模函数$η^{\bigstar}_n : 2^{{\bf RP}^n}_{fin} \to \mathbb{Z}_{\geq 0},$，它使我们能够得到${\mathbb P}_{n+1}.$的一个下界，这个下界与L.Schläfli著名的上界一起，给出了$$P(2, n) \thicksim 2 {2^n-1 \choose n},\quad n\to \infty.$$的渐近性。同时，证明了关于${\mathbb P}_n$的一个长期猜想的正确性：$$\mathbb{P}_n \thicksim (n-1)^22^{1-n}, \quad n\to \infty .$$
2021-10-31 math.AT math.CO math.PR
Random Discrete Matrices
本文讨论了关于离散分布随机矩阵的一些基本问题。一些新的结果，工具和示意图将被提交。
2006-11-10 math.CO math.PR
Singularity of discrete random matrices
令$ξ$是具有有限支撑的非常数实值随机变量，并且令$M_{n}(ξ)$表示具有$ξ$的独立副本的条目的$n\times n$随机矩阵。对于$ξ$是不统一的支持，我们表明，\begin{align*} \mathbb{P}[M_{n}(ξ)\text{ is singular}] &= \mathbb{P}[\text{zero row or column}] + (1+o_n(1))\mathbb{P}[\text{two equal (up to sign) rows or columns}], \end{align*}，从而证实了民间传说猜想。作为特殊情况，我们得到：（1）对于$ξ= \text{Bernoulli}(p)$，当$p \in (0,1/2)$固定时，\[\mathbb{P}[M_{n}(ξ)\text{ is singular}] = 2n(1-p)^{n} + (1+o_n(1))n(n-1)(p^2 + (1-p)^2)^{n},\]确定奇异概率为两个渐近项.以前，在随机矩阵奇异性的研究中，还没有这样精确的结果。(2)对于具有固定$p \in (1/2,1)$的$ξ= \text{Bernoulli}(p)$，\[\mathbb{P}[M_{n}(ξ)\text{ is singular}] = (1+o_n(1))n(n-1)(p^2 + (1-p)^2)…
2021-05-05 math.CO math.PR
Adjacency matrices of random digraphs: singularity and anti-concentration
设${\mathcal D}_{n,d}$是所有$d$ -正则有向图在$n$顶点上的集合.设$G$是从${\mathcal D}_{n,d}$中均匀随机选取的图，$M$是它的邻接矩阵.我们证明了$M$是可逆的概率至少$1-C\ln^{3} d/\sqrt{d}$为$C\leq d\leq cn/\ln^2 n$，其中$c, C$是正的绝对常数。为此，我们建立了PDMATHAMN-正则有向图的一些性质。其中之一，Littlewood-Offord型抗浓度特性，具有独立利益。令$J$是具有$|J|\approx n/d$的$G$的顶点的子集。令$δ_i$为顶点$i$连接到$J$的事件的指示符，并定义$δ= (δ_1, δ_2, ..., δ_n)\in \{0, 1\}^n$。则对于每个$v\in\{0,1\}^n$，$δ=v$的概率是指数小的。即使图的一部分被“冻结”，此属性也有效。
2016-10-18 math.CO math.PR
Discrete Tomography: Reconstruction under periodicity constraints
本文研究了二元矩阵的重建问题，这些矩阵只能通过对它们的离散X射线的一些评估来获得。这样的问题是突出的动机在材料科学的需求，开发一种工具，用于重建晶体结构，从他们的高分辨率透射电子显微镜获得的图像。已经提出了各种方法来解决一般问题的重建二元矩阵，给出了他们的离散X射线在一些方向上，但更多的工作要做的不适定性的问题。我们可以通过使用适当的先验信息，将可能的解集限制为仅那些包含我们希望重建的未知矩阵的矩阵类的合理典型解来解决这种不适定性。从数学上讲，这些信息被建模为解决方案必须属于的一类二进制矩阵。几篇论文研究了二元矩阵类上的一些连通性和凸性约束的问题。本文研究了一类新的具有周期性的二元矩阵的重构问题，提出了一种从它们的正交离散X射线重构这些二元矩阵的多项式时间算法。
2002-05-27 math.CO
On the singularity of random Bernoulli matrices - novel integer partitions and lower bound expansions
我们证明了随机$\pm 1$矩阵是奇异的概率的下界扩展，并推测这种扩展管理的实际概率奇异性。这些扩展基于命名伯努利矩阵可以是奇异的最可能、第二最可能等等的方式;最可能的方式是具有$e_i \pm e_j$形式的零向量，其对应于整数分区11，具有大小为1的两个部分。第二种最可能的方式是具有$e_i \pm e_j \pm e_k \pm e_\ell$形式的零向量，其对应于分区1111。第五最可能的路对应于分区21111。我们定义并描述了在本系列中出现的“新分区”。作为一个家族，新的分区足以检测奇异性，即，任何奇异伯努利矩阵都有一个左零向量，其基础整数划分是新颖的。并且，关于这个性质，新划分族是最小的。我们证明了只有11，1111，21111，111111，221111，311111和322111是具有6个或更少部分的新分区。我们证明有14个新的分区有7个部分。我们制定了一个猜想，分区是“第一名和亚军”，在有关的Erdens-Littlewood-Offord界。证明了左右零向量相互作用的一些界。
2012-05-22 math.CO math.PR
Shuffling matrices, Kronecker product and Discrete Fourier Transform
我们定义并研究了一类作用于一组$N=n_1\cdots n_m$元素的置换矩阵，称为洗牌矩阵，其中对于任何$i=1,\ldots, m$，$m\geq 2$和$n_i\geq 2$。这些元素用具有分支索引$(n_1,\ldots, n_m)$的有根树的第$m$层的顶点来标识。每个这样的矩阵是由$Sym(m)$的置换引起的，并且事实证明，在考虑循环置换$(1\ \ldots\ m)$的情况下，对应的置换是经典的完全混洗。我们给出了一个组合的解释，这些排列的字典顺序的顶点的树。这使我们能够描述它们的固定点。我们表明，我们的置换矩阵可以用来让矩阵的克罗内克积交换，或更一般地说，在任意顺序重新排列。此外，我们表明，由这样的置换所产生的组不依赖于树的分支索引，但它是独立于它们的顺序。在这种情况下，这些指数一致，我们证明了相应的组是一个副本的$Sym(m)$内$Sym(n^m)$。最后，我们给出了洗牌矩阵在离散傅里叶变换中的一个应用。
2016-05-31 math.CO
The singularity probability of a random symmetric matrix is exponentially small
令$A$从所有元素在$\{-1,1\}$中的$n\times n$对称矩阵的集合中随机均匀抽取。我们表明，\[ \mathbb{P}( \det(A) = 0 ) \leq e^{-cn},\]其中$c>0$是一个绝对常数，从而解决了一个众所周知的猜想。
2021-06-08 math.CO math.PR
Enumerating traceless matrices over compact discrete valuation rings
本文根据紧离散赋值环的有限元上的无迹方阵的象大小，给出了它们的个数。我们表示相关的有理生成函数的统计对称和超八面体群，即考克斯特群的类型A和B，分别。这些有理函数也可以被解释为局部表示zeta函数与一个无限族的n-生成的2-幂零群的成员。作为我们工作的副产品，我们根据超八面体群的统计得到了固定秩的有限域上无痕方阵数量的描述。
2017-11-08 math.CO math.GR
Further results on discrete unitary invariance
在arXiv：1607.06679中，马库斯证明了多个矩阵的某些函数，当在立方体的对称性上求和时，分解为原始矩阵的函数。本文将Marcus的结果推广到一类更大的多重矩阵函数。我们还回答了马库斯论文中提出的一个问题。
2017-08-21 cs.DM math.CO
The convergence of discrete period matrices
本文研究紧多面体曲面作为黎曼曲面及其离散化，证明了离散 Dirichlet 能量与离散周期矩阵的收敛性，并通过调整锥奇点附近的四边形剖分将收敛速率提升为最大边长的线性函数。
2023-07-28 math.CO math.CV
Toric networks, geometric $R$-matrices and generalized discrete Toda lattices
我们利用复曲面网络的组合学和双仿射几何$R$ -矩阵来定义离散Toda格的三参数推广族。我们构造了这个系统的运动积分和谱图。由$R$ -矩阵的作用所产生的通勤时间演化族在谱曲线的雅可比矩阵上被明确线性化。利用黎曼θ函数构造了初值问题的解。
2016-06-21 math.AG math.CO nlin.SI
Convergence of discrete period matrices and discrete holomorphic integrals for ramified coverings of the Riemann sphere
研究离散全纯函数在黎曼球面分支覆盖中的收敛性，通过三角剖分和立体投影定义离散调和函数，并证明离散周期矩阵收敛于连续情形，同时给出误差估计和离散全纯积分的收敛结果。
2018-09-13 cs.NA math.CO math.CV
Sparse recovery properties of discrete random matrices
受压缩感知问题的启发，我们确定了随机$n\times d$ $\pm 1$矩阵$M_{n,d}$关于“每个$s$列是线性无关“的阈值行为。特别是，我们表明，对于每一个$0<δ<1$和$s=(1-δ)n$，如果$d\leq n^{1+1/2(1-δ)-o(1)}$，那么有很高的概率$M_{n,d}$的每一个$s$列是线性无关的，如果$d\geq n^{1+1/2(1-δ)+o(1)}$，那么有很高的概率有一些$s$线性相关的列。
2022-09-08 math.CO math.PR
Period matrices and homological quasi-trees on discrete Riemann surfaces
University of Luxembourg（卢森堡大学）；Tongji University（同济大学）；National Yang Ming Chiao Tung University（国立阳明交通大学）
本文研究离散周期矩阵与同调近树的关系，推导了Teichmüller空间上的Weil-Petersson势的组合类比，并探讨了其在圆平面网络中的作用。
2026-02-02 math-ph math.CO math.CV
Reconstructing binary matrices under window constraints from their row and column sums
本文讨论了在给定子式元素个数和模式的附加约束下，由二元矩阵的行和与列和重构二元矩阵的离散反问题。虽然经典的一致性和重建问题的两个方向的离散层析成像可以在多项式时间内解决，事实证明，这些窗口的限制，导致各种意想不到的复杂性来回跳跃，从多项式时间的可解性$\mathbb{N}\mathbb{P}$ -硬度。
2017-02-20 cs.DS math.CO
Small Matrices with Large Inverses: Unimodular $4 \times 4$ Cases
研究n×n幺模矩阵离奇异性的距离，固定n = 4，通过评估(2k + 1)元及(k + 1)元情形取得显著进展，为研究幺模矩阵性质提供新视角。
2026-08-18 cs.DM math.CO math.NT
