Clifford algebra unveils a surprising geometric significance of quaternionic root systems of Coxeter groups
秩为3和4的Coxeter（反射）群以及E_8的Coxeter（反射）群的四元数表示在文献中得到了广泛的应用。本文分析了这样的考克斯特群的克利福德几何代数框架，它提供了一个简单的方法来执行反射和旋转，同时更清楚地揭示了底层的几何。克利福德方法表明，四元数表示实际上有非常简单的几何解释。秩为3的群A_1xA_1xA_1，A_3，B_3和H_3用纯四元数表示为确定Coxeter群反射面的Hodge对偶根向量。两个连续的反射导致旋转，由两个反射向量的几何积描述，给出Clifford旋量。秩为3的群A_1xA_1xA_1，A_3，B_3和H_3的旋量给出了二元多面体群的一个新的简单构造。这些又生成秩为4的群A_1 x A_1 x A_1 x A_1，D_4，F_4和H_4，它们广泛使用的四元数表示被证明是伪装的旋量。因此，Clifford几何积实际上是从秩3群导出秩4群。特别是D_4，F_4和H_4群是特殊的结构，我们的研究对它们有新的认识。
2012-05-07 hep-th math-ph math.MP
Snub 24-Cell Derived from the Coxeter-Weyl Group W(D4)
Snub 24-胞腔是由24个二十面体胞腔和120个四面体胞腔组成的四维均匀手性多面体。从Coxeter-Weyl群\textbf{$W(D_{4}).$}的四元数表示中得到了4维半正则多胞体snub 24-胞室的顶点及其576阶对称群${(W(D_{4})\mathord{/{\vphantom {(W(D_{4}) C_{2}}}. \kern-\nulldelimiterspace} C_{2}}):S_{3} $。该对称群是Coxeter-Weyl群\textbf{$W(D_{4})$}的真子群通过Coxeter-Dynkin图\textbf{$D_{4} .$}的置换对称性的扩展。当群作用于矢量\textbf{$Λ=(τ, 1, τ, τ)$}或矢量\textbf{}上时，在带有\textbf{$τ=\frac{1+\sqrt{5}}{2} {\rm and}σ=\frac{1-\sqrt{5}}{2} {\rm .}$}的Dynkin基上，得到了作为群轨道的24-胞。当两个镜像合并时，它在Coxeter-Weyl群\textbf{$W(F_{4}).$}下得到一个拟正则的4D多面体不变量。新多面体的每个顶点由一个立方体和三个截顶八面体共享。还构造了双缓冲器24单元。这些结构与Coxeter群\textbf{$W(H_{4}){\rm and}W(E_{8})$}的相关性…
2011-12-11 math-ph math.MP
Affine Wa(A4), Quaternions, and Decagonal Quasicrystals
我们介绍了一种技术的投影到Coxeter平面上的任意高维晶格所描述的仿射Coxeter群。Coxeter平面由Coxeter图I2（h）的单根确定，其中h是嵌入2h阶二面体群Dh作为极大子群的Coxeter群W（G）的Coxeter数。作为一个简单的应用程序，我们展示了投影的根和重量格A4到Coxeter平面使用带（规范）投影方法。我们证明了仿射Wa（A4）的晶体空间可以分解为两个正交的空间，其点群是忠实地作用在这两个空间中的二面体群D5。根晶格和权晶格的条形投影可以作为十次准晶的模型。本文还修正了用仿射Coxeter群Wa（A3）描述的根格和权格的四元数描述，它们分别对应于面心立方（fcc）格和体心立方（bcc）格.这些格向更高维度的扩展导致群Wa（An）的根格和权格，n>=4。我们还注意到，Wa（A4）的根晶格的Voronoi细胞的投影描述了一个嵌套的十点阵的框架，该框架随着伊斯兰艺术中最近发现的黄金比例的力量而增长。
2013-03-26 cond-mat.other math-ph math.MP
Quaternionic Representation of Snub 24-Cell and its Dual Polytope Derived From E_8 Root System
用具有单位范数的四元数表示四维半正则多面体\textit{snub 24-cell}及其576阶对称群$W(D_{4}):C_{3} $的顶点。它遵循\textbf{$E_{8} $}根系的icosian表示。$H_{4} $的四元根系在$W(F_{4})$和\textbf{$W(H_{4})$}的极大子群之一的\textit{snub 24-cell}的对称群下分裂为24-胞和\textit{snub 24-cell}的顶点.注意，该群同构于$D_{4}$的Weyl群与由$W(D_{4}):C_{3} $表示的3阶循环群的\textbf{}半直积，其Coxeter记法是$[3,4,3^{+}]$。分析了\textit{snub 24-cell}的顶点结构，并将\textbf{$W(H_{4})$}的轨道分解到$W(D_{4}):C_{3} $的轨道下.通过使用群$W(D_{4}):C_{3} $的子群，用四元数明确地分析了snub 24-cell的细胞结构。特别地，证明了在群$W(D_{4}):C_{3} $下，具有120个顶点的对偶多面体600-cell和具有600个顶点的对偶多面体120-cell分别分解为120=24+96和600=24+96+192+288.明确构造了\textit{snub 24-cell}的对偶多面体。附录中给出了阿基米德$W(H_{4})$多面体在群…
2009-09-06 math-ph math.MP
4D Pyritohedral Symmetry with Quaternions, Related Polytopes and Lattices
本文用四元数将五角十二面体对称性推广到4维，证明其为W(F4)和W(H4)的极大子群，并构造了相关的伪扭棱24胞体及其对偶，其极限对应黄金比例，相关格为W(D4)根格。
2016-06-08 math-ph math.MP
Grand Antiprism and Quaternions
用单位范数的四元数表示四维半正则多胞形、\textit{grand antiprism}及其400阶对称群的顶点。它遵循\textbf{$E_{8} $}根系的icosian表示，该表示分解为$H_{4} $根系的两个副本。\textit{grand antiprism}的对称性是Coxeter群$W(H_{4})$的极大子群。它是根据Coxeter图$H_{2} \oplus H'_{2}$的20个四元数根构造的群$Aut(H_{2} \oplus H'_{2})$。$H_{4} $的根系由120阶的二元二十面体群\textit{I}表示，构成规则的4D多面体600胞。当从600个单元的顶点中去除对应于图$H_{2} \oplus H'_{2}$的根的20个四元数顶点时，剩余的100个四元数构成\textit{grand antiprism}的顶点。我们给出了一个详细的分析的\textit{grand antiprism}在四元数方面的细胞的建设。构造了\textit{grand antiprism}的对偶多胞形。
2009-08-18 math-ph math.MP
N=4 Mechanics, WDVV Equations and Polytopes
实直线上N=4超共形n粒子量子力学由两个前势U和F控制，它们服从一个偏非线性微分方程组，推广了Witten-Dijkgraaf-Verlinde-Verlinde（WDVV）方程。解由有限Coxeter系统及其某些变形编码，这些变形可以由特定的多面体编码。我们详细地给出了A_n和B_3的例子。在一个给定的F背景下，对于三个以上的粒子和非零的中心荷，打开前势U是非常受限的。U的标准ananterior失败的所有有限Coxeter系统。三粒子模型更灵活，基于二面角根系。
2008-11-17 hep-th math-ph math.MP
Nested polyhedra and indices of orbits of Coxeter groups of non-crystallographic type
在非晶体学有限反射群$H_2$、$H_3$和$H_4$的背景下，考虑了单李代数有限维表示的不变量，如偶度指数和反常数.使用一个代表轨道替换，指数的定义和性质制定为个别轨道的检查组。确定了$k$轨道张量积的二阶和四阶指数。使用非晶体学Coxeter群的分支规则，嵌入指数的定义类似于表示的Dynkin指数。此外，由于指数的定义可以应用于任何非晶体学类型的轨道，算法允许搜索包含在任何考虑的一个较小半径的轨道的Coxeter群$H_2$和$H_3$。嵌套多面体的几何结构的例子。
2021-01-27 math-ph math.MP
Catalan Solids Derived From 3D-Root Systems and Quaternions
卡塔兰立体是阿基米德立体的顶点，其顶点可以从Coxeter-Dynkin图A3，B3和H3中获得，其简单的根可以用四元数表示。作用在最高权上的各个Weyl群W（A3）、W（B3）和W（H3）产生对应于具有这些对称性的固体的轨道。柏拉图立体和阿基米德立体的顶点是由基本重量导出的轨道。柏拉图立体是彼此对偶的，然而阿基米德立体的第二个是加泰罗尼亚立体，其顶点可以被写为轨道的并集，直到某些比例因子，通过将上述Weyl群应用于每个图的基本最高权（100），（010），（001）获得。这些面由从权重（010）、（110）、（101）、（011）和（111）导出的轨道表示，这些权重对应于阿基米德立体的顶点。用四元数表示Weyl群W（A3），W（B3）和W（H3）简化了计算，而不涉及计算机计算。
2009-08-22 math-ph math.MP
On regular polytopes
规则多面体是三维空间中五个柏拉图立体的推广，存在于任意维$n\geq-1$中;现在在{ \rm dim}中。2，3和4中存在\emph{extra}多面体，而在一般维数中仅存在超四面体，超立方体及其对偶超八面体。我们把这些特殊性和例外归因于这些维中正交群的特殊性质：$\mathrm{SO}(2)=\mathrm{U}(1)$群是（交换的和）\emph{divisible}，与任意边的平面正多边形的存在有关，而$\mathrm{O}(4)$群的李代数的\emph{splitting}将被看作是4维中Schläfli特殊多面体的原因，其中两个会变成三个尽管如此。8也是特殊的（嘉当的\emph{triality}），我们认为为什么没有\emph{extra}多面体，而它有其他后果：特别是存在的三个\emph{division algebras}以上的reals $\mathbb{R}$：复杂的$\mathbb{C}$，四元数$\mathbb{H}$和八元数$\mathbb{O}$也被视为另一个特点的特殊性质的相应正交群，并领域的维度0，1，3和7。
2012-10-01 math-ph math.MG math.MP
Crystallographic groups, strictly tessellating polytopes, and analytic eigenfunctions
晶体结构的数学联系了分析、几何、代数和数论。平面晶体群在19世纪后期被分类。一百年后，贝拉尔证明了所有这些群的基本区都满足一个非常特殊的解析性质：拉普拉斯本征方程的狄利克雷本征函数都是三角函数。在2008年，McCartin证明了在二维空间中，这种特殊的解析性质既有一个等价的代数公式，也有一个等价的几何公式。这里我们把Bérard和McCartin的结果推广到所有维数。证明了以下等价性：多面体上Laplace本征方程的第一Dirichlet本征函数是实解析的，多面体严格镶嵌空间，多面体是晶体学Coxeter群的基本区.此外，我们还证明了在任何一个等价条件下，所有的特征函数都是三角函数。最后，我们将这些问题与Fuglede和Goldbach猜想联系起来，给出了Goldbach猜想的一个纯几何形式。
2020-12-06 math-ph math.DG math.MP
Radii of the E8 Gosset Circles as the Mass Excitations in the Ising Model
Zamolodchikov猜想暗示了特殊李群E8的存在，这一猜想似乎被Coldea等人对一维伊辛模型的量子相变实验所证实。由仿射Toda场论得出的E8模型预测了8个束缚态，其质量关系为递增阶m1，m2= tau m1，m3，m4，m5，m6=tau m3，m7= tau m4，m8= tau m5，其中tau=（1+ \sqrt（5））/2表示黄金比例。Coxeter群W（H4）是Coxeter-Weyl群W（E8）的极大子群。这些质量原来是成比例的半径戈塞特圆的考克斯特平面上获得的正交投影的根系E8。我们还注意到，质量m1，m3，m4和m5对应于通过投影600胞腔的顶点而获得的圆的半径，600胞腔是非晶体学Coxeter群W（H4）的4D多面体。简单根在考克斯特平面上的特殊非正交投影导致束缚态质量的数值精确为0.4745，0.7678，0.9438，1.141，1.403，1.527，1.846和2.270。我们注意到的前两个数值的前两个质量的束缚态所确定的Coldea等惊人的平等。al.
2012-04-28 hep-th math-ph math.MP
Platonic solids generate their four-dimensional analogues
在本文中，我们将展示如何定期凸4-多面体-类似物的柏拉图固体在四维-可以从三维的考虑，有关的柏拉图固体单独构建。通过Cartan-Dieudonne定理，柏拉图立体的反射对称产生旋转。在克利福德代数框架中，产生这种三维旋转的旋量空间具有自然的四维欧几里得结构。由此，由柏拉图立体产生的旋量又可以解释为四维空间中的顶点，从而给出了四维16胞、24胞、F_4根系和600胞多面体的简单构造。特别是，这些多面体有“神秘”的对称性，这几乎是微不足道的，当看到从三维spinorial的观点。事实上，所有这些诱导的多面体也都是已知的根系，因此生成秩为4的考克斯特群，这可以被证明是旋量构造的一般性质。因此，这些考虑也适用于其他的根系，如A_1+I_2（n），它诱导I_2（n）+I_2（n），从而解释了巨反棱柱和snub 24-胞腔的存在及其对称性。我们讨论这些结果在更广泛的数学背景下Arnol'd的三位一体和麦凯对应。因此，这些结果是一个新的三维和四维几何之间的联系，有趣的潜在应用双方的对应关系，真正的3D系统与多面体对称性，如（准）晶体和病毒，以及4D几何出现，例如在大统一理论和弦和M理论。
2013-07-25 hep-th math-ph math.GR
