Calculation of Minimum Spanning Tree Edges Lengths using Gromov--Hausdorff Distance
在本文中，我们展示了如何可以计算的最小生成树的边的长度构造一个有限的度量空间，从这个空间的Gromov-Hausdorff距离足够大的直径的单形。这里的单形是指有限的度量空间，它们的非零距离都是相同的。作为应用，我们把寻找Steiner最小树长或最小填充长度的问题归结为最大化作为Gromov-T2空间的点的有限个单形的总距离.
2016-05-05 math.MG
One-dimensional minimal fillings with negative edge weights
Ivanov和Tuzhilin开始研究Gromov极小填充问题的一个特殊情况（推广到分层流形的情况）。利用具有非负权函数的权图作为有限度量空间的极小填充。本文引入广义极小填充，即权函数不一定非负的极小填充。证明了对于任何有限的度量空间，其最小填充在该空间的所有广义填充类中具有最小权。
2011-01-15 math.MG
Steiner Problem in Gromov-Hausdorff Space: the Case of Finite Metric Spaces
证明了有限度量空间的每个有限族，作为Gromov-T2 T2空间的一个子集，都可以用Steiner极小树连通.
2016-04-07 math.MG
Uniformizing Gromov hyperbolic spaces with Busemann functions
给定一个完备的Gromov双曲空间$X$，该空间在其Gromov边界$\partial_{G}X$上的点$ω$是近似星形的，我们利用基于$ω$的Busemann函数构造了一个不完全的无界一致度量空间$X_{\varepsilon}$，其边界$\partial X_{\varepsilon}$可以正则地与$X$相对于$ω$的Gromov边界$\partial_ωX$一致.这种单值化构造推广了从双曲平面得到欧几里得上半平面的过程。此外，我们表明，对于任意度量空间$Z$，有一个双曲线填充$X$的$Z$，可以均匀化的方式，边界$\partial X_{\varepsilon}$有biLipschitz识别与完成$\bar{Z}$的$Z$。我们还证明了这种均匀化过程可以在CAT $(-1)$空间的情况下，往往是最佳的指数。
2021-01-03 math.MG
On the Gromov hyperbolicity of the minimal metric
本文研究$\u211d^d$中有界强极小凸域关于最小度量的Gromov双曲性，证明其Gromov紧化等价于欧几里得闭包，并探讨了与Hilbert度量的关系。
2024-08-19 math.CV math.DG math.MG
Polyhedral structure of maximal Gromov hyperbolic spaces with finite boundary
该研究刻画了有限边界的极大Gromov双曲空间的多面体结构，证明其等距于嵌入ℝⁿ的有限多面体复形，还给出了这类空间为单射度量空间的简化证明，并定义了相关的Teichmuller空间。
2024-11-01 math.MG
Lectures on Hausdorff and Gromov-Hausdorff Distance Geometry
该课程于2019年秋季在北京大学开设。主要内容包括：（1）一般拓扑学、超空间、度量与伪度量空间、图论。(2)度量空间中的图，最小生成树，Steiner最小树，Gromov最小填充。(3)Hausdorff距离，Vietoris拓扑，极限理论，完备性继承，完全有界性，超空间紧性。(4)Gromov-Hausdorff距离，三角不等式，紧空间等距类的正定性，有界紧空间的反例。(5)可分空间在\ell_\有限空间中的等距像的Gromov-Hausdorff距离，对应，对应的Gromov-Hausdorff距离。(6)Epsilon-isometries和Gromov-Hausdorff距离(7)不可约对应和Gromov-Hausdorff距离(8)格罗莫夫-豪斯多夫收敛，当格罗莫夫-豪斯多夫收敛时度量和拓扑性质的继承. (9)Gromov-T2空间（GH-空间），最优对应，紧度量空间的闭最优对应的存在性，GH-空间是测地的。(10)GH-空间的覆盖数、堆积数、完全有界性、完备性和可分性。(11)用到单形的GH-距离表示的mst-谱，GH-空间中的Steiner问题。(12)到多点单形的GH-距离，到至多相同点数单形的GH-距离。(13)广义Borsuk问题，广义Borsuk问题的GH-距离解，简单图的团覆盖数和色数，它们的对偶，用GH-距离计算这些数。
2020-12-01 math.MG
Probabilistic properties of topologies of finite metric spaces' minimal fillings
在这项工作中，我们提供了一种方法来引入一个有限的可加度量空间的最小填充空间上的概率测度，以及它的计算算法。对于计算实例，由解析解得到的概率值与计算机模拟结果相吻合。此外，所建立的技术使得有可能找到的比率的渐近图结构的家庭。
2013-08-21 math.MG
Gromov hyperbolicity of intrinsic metrics from isoperimetric inequalities
本文利用线性等周不等式刻画Gromov双曲性，证明具有边界扩张性质的Kobayashi、Hilbert及极小度量均为Gromov双曲，并给出新证明及极小度量双曲凸域的刻画。
2024-11-10 math.CV math.DG math.MG
On the Sormani-Wenger Intrinsic Flat Convergence of Alexandrov Spaces
研究了积分流空间序列$(X_j,d_j,T_j)$，使得积分流结构$T_j$具有权$1$且无边界，且所有$(X_j,d_j)$都是曲率自下而上一致有界且直径自上而下一致有界的闭Alexandrov空间.我们证明，对于这样的序列，要么他们的极限崩溃或Gromov-Hausdorff和Sormani-Wenger内在平坦的限制同意。后者通过传递到填充体积估计来完成，表明在Gromov-Hausdorff极限空间的任何正则点处质量测度的低$n$维密度是正的。在附录中，我们表明，标准的$n$维积分电流空间的填充体积来自一个$n$维球半径$r>0$在欧几里得空间等于$r^n$倍的$n$维积分电流空间的填充体积来自$n$维球半径$1$。
2018-09-19 math.DG math.MG
Length minimization of filling pairs on hyperbolic surfaces
本文研究了双曲面上极小填充对的分类和最短长度确定问题。
2026-01-21 math.GT math.MG
Filling minimality of Finslerian 2-discs
我们证明了2-圆盘上的每一个黎曼度量，使得它的所有测地线都是极小的，是它的边界的极小填充（在同胚于圆盘的填充类内）。这改进了作者早先的结果，去掉了边界是凸的假设。更一般地说，我们证明了这一结果的Finsler度量的面积定义为二维霍姆斯-汤普森体积。这意味着普的isostiolatic不等式芬斯勒度量的推广，无论是霍姆斯-汤普森和Busemann定义的芬斯勒面积。
2009-10-16 math.DG math.MG
Minimal Fillings of Finite Metric Spaces and Convex Polyhedra
该研究针对有限度量空间的最小参数化广义填充问题，为连接度量空间的每棵树构造凸多面体，证明多面体顶点集的并集构成极值子集，明确了最小填充权重的计算方式。
2026-07-31 math.MG math.OC
Volume comparison via boundary distances
本文主要研究Gromov填充体积与由边界距离函数确定紧致区域中黎曼度量的边界刚性问题之间的关系。用巴拿赫空间中的极小曲面表示黎曼度量，并通过研究填充体积不等式中的等式情形来证明刚性是一种卓有成效的方法.我讨论了最近的结果与这种方法和相关问题在芬斯勒几何。
2010-04-14 math.DG math.MG
Warped products, solid hyperbolic fillings, and the identity $D^{1,p} = N^{1,p} + \mathbb{R}$
本研究通过度量测度空间与带指数权重正实轴的扭曲乘积构造双曲填充族，证明其满足特定Sobolev空间恒等式，并验证了该空间的Gromov双曲性及边界的拟对称性。
2025-08-03 math.AP math.MG
Gromov--Hausdorff Distance to Simplexes
出现在Gromov-Hausdorff距离公式中的度量空间的几何特征，从这些空间到所谓的单形，即，到度量空间，研究了所有非零距离相同的度量空间。相应的计算基本上使用这些空间的分区的几何形状。在有限情形下，给出了最小生成树的长度。对于紧度量空间，以前也有类似的理论。本文将这些结果推广到任何有界度量空间，并简化了一些证明。
2019-06-23 math.FA math.MG
Essential Circles and Gromov-Hausdorff Convergence of Covers
本文给出了紧致测地空间X中本质圆的各种应用。本质圆完全决定了X的同伦临界谱，我们证明它正好是Sormani-Wei覆盖谱的2/3。我们使用有限集合的基本圆定义“圆覆盖”，它扩展并包含作为特殊情况的δ覆盖的Sormani和魏（相当于ε覆盖的作者）;建设是度量适应的那些利用Berestovskiii-Plaut在建设环境覆盖的一致空间。我们表明，不像δ-和ε-覆盖，圆覆盖在某种意义上是封闭的格罗莫夫-豪斯多夫收敛，我们证明了一个有限性定理关于他们的甲板群，不持有覆盖地图一般。这使我们能够完全理解Delta覆盖的Gromov-Hausdorff极限的结构。利用本质圆加强了E. Cartan通过找到一个新的（即使是紧的黎曼流形）有限集的生成元的基本群的半局部单连通紧测地空间。我们猜想，在所有的生成集中，总有一个这样的生成集具有最小的基数。
2014-01-22 math.MG
On Carrasco Piaggio's theorem characterizing quasisymmetric maps from compact doubling spaces to Ahlfors regular spaces
本文解构并探讨了Carrasco Piaggio的一个定理的组成部分，该定理将紧致加倍度量空间的Ahlfors正则共形规范与度量空间的Gromov-双曲填充上的权联系起来.我们考虑一个建设的双曲填充比卡拉斯科Piaggio考虑的一个简单，我们确定的效果的四个属性假设卡拉斯科Piaggio上的紧凑的度量空间的诱导度量。
2022-07-25 math.AP math.MG
Systolic inequalities for metric surfaces via filling minimality
University of Fribourg（弗里堡大学）
研究与亏格为1的环面或实射影平面同胚的长度空间的最优收缩不等式，通过分析万有覆盖渐近体积增长等方法，推广了黎曼和芬斯勒曲面的经典结果，证明依赖相关理论并基于前人工作。
2026-07-27 math.DG math.MG
Filling minimality and Lipschitz-volume rigidity of convex bodies among integral current spaces
本文证明了凸体在积分流空间中是其边界度量的唯一极小填充，并具有Lipschitz-体积刚性性质，同时回答了关于Plateau问题极小化序列内蕴平坦收敛的Perales问题。
2022-10-27 math.DG math.FA math.MG
Linear isoperimetric filling inequalities in Hadamard spaces at and above the asymptotic rank
该研究针对具有有限渐近纳塔维数和有限渐近秩的阿达马空间，证明了维度不低于渐近秩的整周满足线性等周填充不等式，将相关结果的指数优化至最优线性情况并推广至任意有限渐近秩。
2026-08-27 math.GR math.GT math.MG
Search of fractal space-filling curves with minimal dilation
本文介绍了一种在大型曲线类中搜索极值分形曲线的算法。它大量使用SAT-求解器--为CNF布尔公式找到模型的启发式算法。我们的算法被实现，并应用于搜索的分形满射曲线$γ\colon[0,1]\to[0,1]^d$与最小的膨胀$$ \sup_{t_1<t_2}\frac{\|γ(t_2)-γ(t_1)\|^d}{t_2-t_1}. $$我们报告的新结果，搜索的情况下，欧几里德范数。我们发现了一个新的曲线，我们称之为“YE”，一个自相似的（单分形）平面曲线的属$5\times 5$膨胀$5\frac{43}{73}=5.5890\ldots$。在$3$维中，我们发现了具有膨胀$<17$的亏格$2\times2\times 2$的面门双分形（我们称之为“弹簧”）。在维数$4$中，我们得到了存在一条扩张曲线$<62$ .证明了更广泛的三次可分解曲线类的膨胀的一些下界。
2021-12-23 cs.CG math.MG
The space of minimal structures
对于至少有一个常数符号的签名L，如果L-结构没有适当的子结构，则称L-结构是最小的。设S_L是极小L-结构的同构类型集。S_L的元素可以用无量词L-语句的布尔代数的超滤子来标识，因此可以在S_L上定义一个Stone拓扑。S_L上的这个拓扑推广了n-标记群空间的拓扑。本文在SL上引入了一个自然超度量，证明了SL上的Stone拓扑与超度量空间SL的拓扑一致当且仅当SL是紧的当且仅当L是局部有限的（即对任意n，L包含n个n元符号）.作为Stone拓扑紧性在SL上的应用之一，我们证明了某些类度量空间在Gromov-Hausdorff拓扑中的紧性.这稍微完善了已知的结果的基础上格罗莫夫的想法，任何一致完全有界类的紧度量空间是预紧的。
2013-03-02 math.GR math.LO math.MG
Extension and trace results for doubling metric measure spaces and their hyperbolic fillings
本文研究了紧致度量空间$Z$上的Besov函数空间与一致整环$X_\varepsilon$上的Newton-Sobolev函数空间之间的联系.这个统一的域是作为一个（Gromov）双曲填充$Z$的均匀化。要做到这一点，我们构建了一个家庭的双曲填充的风格的工作邦克和克莱纳和工作的波登和Pajot。然后对每个参数$β>0$，构造了$Z$上的加倍测度$ν$到$X_\varepsilon$的提升$μ_β$，证明了$μ_β$是加倍的，并且支持$1$-Poincaré不等式.然后，我们表明，对于每个$θ$与$0<θ<1$和$p\ge 1$有一个选择的$β=p(1-θ)\logα$，使Besov空间$B^θ_{p,p}(Z)$是牛顿- Sobolev空间$N^{1,p}(X_\varepsilon,μ_β)$的迹空间时，$\varepsilon=\logα$。最后，我们利用$X_\varepsilon$上的势理论工具得到了$B^θ_{p,p}(Z)$中函数的精细性质，如它们的拟连续性和具有$q=s_νp/(s_ν-pθ)$的$L^q$-Lebesgue点的拟处处存在性，其中$s_ν$是$Z$上与测度$ν$相关联的一个加倍维数.应用这一点的紧致子集的欧几里德空间改进后的结果Netrusov在$\mathbb{R}^n$。
2021-03-06 math.AP math.MG
The non-arithmetic cusped hyperbolic 3-orbifold of minimal volume
证明了双曲空间$\mathbb{H}^3$与四面体Coxeter群$Γ_*=[5,3,6]$的1-尖商在所有非算术尖双曲3-轨中具有最小的体积，因此它是唯一确定的.此外，晶格$Γ_*$不可与任何Gromov-Piatetski-Shapiro型晶格相比拟。我们的方法起源于C.亚当斯我们大大扩展这种方法通过几何形状的基本horoball配置引起的尖点。
2021-06-23 math.GT math.MG
Filling metric spaces
我们证明了一个新的等周不等式：给定正实$m$，Banach空间$B$，度量空间$X$的闭子集$Y$和具有$f(Y)$紧致$$\inf_FHC_{m+1}(F(X))\leq c(m)HC_m(f(Y))^{\frac{m+1}{m}},$$的连续映射$f:Y \rightarrow B$，其中$HC_m$表示$m$维Hausdorff内容，在所有连续映射$F:X\longrightarrow B$的集合上取下确界，使得对于所有$F(y)=f(y)$，而$c(m)$只依赖于$m$。此外，可以找到具有几乎最小$HC_{m+1}$的$F$，使得其图像位于$f(Y)$的$C(m)HC_m(f(Y))^{1\over m}$ -邻域中，除了具有零$(m+1)$ -维Hausdorff测度的子集。本文还包含一个非常一般的Hausdorff容度的coarea不等式及其修正。作为应用，我们证明了Larry Guth提出的一个不等式，它将紧致度量空间的$m$维Hausdorff容度与它的$(m-1)$维Urysohn宽度联系起来.我们发现，这一结果意味着新的收缩不等式，既加强了经典的Gromov的收缩不等式的基本黎曼流形，并将此不等式扩展到更广泛的一类非单连通流形。
2021-02-24 math.DG math.MG
Small genus, small index critical points of the systole function
本文计算了Teichmüller空间上systole函数一族临界点的指标，该族的存在暗示Thurston脊柱中systole不决定同调基的层；并研究了最小填充集，确定了亏格5中基数为8的例子及正则直角m边形镶嵌相关的最小填充集的基数范围，使用整数线性规划和对称性破坏技术。
2025-04-25 math.GT math.MG
Space of minimal discs and its compactification
研究了一类满足一致二次等周不等式且边界圆长度有一致界的测地度量圆。我们证明了这个类的封闭作为Gromov-T2空间的一个子集是密切相关的一类测地度量盘收缩满足可比的界限。这种光盘自然出现在解决高原的问题，在度量空间的Lytchak和温格作为推广的极小曲面。
2019-04-29 math.AP math.DG math.GT
