On Taylor series and Kapteyn series of the first and second type
Diego Dominici
研究了表示同一函数的Taylor级数和Kapteyn级数的系数之间的关系。我们计算明确的公式表达一个方面的其他，并给出例子来说明我们的方法。
We study the relation between the coefficients of Taylor series and Kapteyn series representing the same function. We compute explicit formulas for expressing one in terms of the other and give examples to illustrate our method.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
An application of Kapteyn series to a problem from queueing theory
利用Kapteyn级数的性质，得到了一个由排队论引起的问题的精确解.
On Kapteyn-Kummer Series' Integral Form
在这篇简短的研究笔记中，我们得到了由库默尔的$M$（或合流超几何${}_1F_1$）函数建立的Kapteyn型级数的二重定积分表达式。这些系列以自然的方式统一了最近由Pogány，Süli，Baricz和Jankov Maširević建立的Neumann，Schlömilch和Kapteyn-Bessel系列的类似时尚结果。
Some observations on a Kapteyn series
我们研究Kapteyn系列$% %TCIMACRO{\dsum \limits_{n=1}^{\infty}}% %BeginExpansion {\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{\infty}} %EndExpansion t^{n}\mathrm{J}_{n}(nz) $。我们找到一个级数表示的$z$的权力，并分析其收敛半径。
Solving Kepler's equation via nonlinear sequence transformations
三个多世纪以来，开普勒方程一直是测试新计算技术的重要基准。在本论文中，经典的Kapteyn级数解开普勒方程最初设想的拉格朗日和贝塞尔将重新从不同的角度来看，提供了相对较新的，仍然在很大程度上未开发的框架，所谓的非线性序列变换。本文的主要内容是提供数值证据支持开普勒方程的Kapteyn级数解可能是Stieltjes级数。为了支持这一猜想，我们将利用Levin型序列变换（Levin $d$ -和Weniger $δ$ -变换）来归纳由贝塞尔函数的德拜表示导出的几个广泛发散级数.作为一个有趣的副产品，这种分析，一个有效的递归算法，以产生任意高阶德拜多项式将开发。这样的“Stieltjeness”猜想也将通过直接使用Levin型变换来加速开普勒方程的复Kapteyn级数解而得到数值验证。$d$ -和$δ$ -转换均显示指数收敛，其速率将通过数值估计。一些结论性的话，再加上一些提示，未来的扩展方向更一般的类Kapteyn系列，最终关闭文件。
Integral representations and summations of modified Struve function
已知Struve函数$\mathbf H_ν$和修改的Struve函数$\mathbf L_ν$与第一类$J_ν$的Bessel函数和第一类$I_ν$的修改的Bessel函数密切相关，并且具有通过更高超越函数如广义超几何${}_1F_2$和Meijer $G$函数的表示。此外，NIST项目和Wolfram公式集合包含一组$\mathbf L_ν(x)$的Kapteyn类型系列展开式。本文首先利用D. Jankov和作者。其次，我们给出了由Sonin-Gubler公式连接的$I_ν(x)$和$\mathbf L_ν(x)$以及相应的修正的Struve微分方程所构造的不同类型的Neumann，Kapteyn和Schlömilch级数的求和结果.最后，通过求解第一类Fredholm型卷积积分方程，导出了第一类Bessel函数$J_ν$和相应的广义Schlömilch级数的Bromwich-Wagner线积分表达式.
On summation of the Taylor series of the function 1/(1-z) by the theta summation method
考虑泰勒级数族f_ε（z）= \sum \limits_{0\leq{}n<\infty} e^{-εn^2}z^n，其中枚举该级数族的参数ε遍历]0，\infty [.研究了该族的极限行为为ε \to +0.
Taylor series for the Askey-Wilson operator and classical summation formulas
泰勒公式的一个类似物，它产生由Askey-Wilson型的均差算子取代的经典导数，在这里开发。我们研究了相应的泰勒级数的收敛性。我们的结果补充了伊斯梅尔和斯坦顿最近的工作。令人惊讶的是，在某些情况下，泰勒多项式收敛到一个不同于原始函数的函数。我们给出了积分余项的显式表达式。作为应用，我们得到了基本超几何级数的一些求和公式。据我们所知，其中一个是新的。最后，我们通过研究不同形式的二项式定理在这种情况下。
Taylor series for generalized Lambert W functions
Lambert W函数给出简单指数多项式的解。广义Lambert W函数由Mezö和Baricz定义，并在延迟微分方程和物理学中得到应用。在这篇文章中，我们描述了一个更一般的功能，反产品的权力的线性函数和一个指数项。我们表明，这些功能的泰勒级数的系数可以描述的多变量超几何函数的参数。我们还提出了一个令人惊讶的猜想的收敛半径的泰勒级数，一个粗略的证明。
Approximate solutions by truncated Taylor series expansions of nonlinear differential equations and the related shadowing property
本文研究了一类非线性微分方程的解的误差和跟踪性，该方程在任意容许的初始条件下，在一定区间上具有唯一解.类的微分方程被假定为近似的适定截断泰勒级数展开到一定的顺序获得的某些，在一般情况下，非周期，采样点的解决方案。
The generalized Taylor series approach is not equivalent to the homotopy analysis method
在最近关于非线性微分方程解的近似方法领域的工作中，有人提出所谓的广义泰勒级数方法等价于同伦分析方法。在本文中，我们证明了这种观点只在非常特殊的情况下是有效的，一般同伦分析方法是更强大的。特别是，只有当解表示为自变量的幂级数时，等价性才有效。正如已经多次证明的那样，交替基函数可以大大改善同伦解的误差性质，并且当基函数不是多项式或幂函数时，不再有广义泰勒级数方法与同伦分析方法等价的说法。我们证明了这一点考虑的一个例子，其中广义泰勒级数必须始终有一个有限的收敛半径（因此有限的适用性），而同伦解决方案是有效的整个无限域。然后，我们给出第二个例子，其中的精确解不是解析的，因此它将不同意在域上的广义泰勒级数。我们的结论是广义泰勒级数方法是不等价的同伦分析方法。特别地，广义泰勒级数只能恢复解的局部信息，而同伦分析方法只要选择适当的基函数，就能全局地恢复解.这样的结果有重要的影响，如何计算系列时，近似解非线性微分方程。
Power series with Taylor coefficients of sum-product type and algebraic differential equations /SP-series and the interplay between their resurgence and differential properties
本文基于处理SP级数（和积级数）时出现的内生成元（奇点）的微分性质，SP级数是泰勒系数可以写成和积组合的幂级数。这是一个详细的数字和一些明确的计算第6章的联合文章与Ecalle对这些系列。对于所有多项式输入$f$和所有单项输入$F$，对应于它们的内部生成器验证具有多项式系数的线性齐次类型的常微分方程。数值结果强烈表明不存在的常微分方程的功能$F$是合理的，但不是单项，即不是形式${(1-ax)}^p$，$p \in \mathbb{Z}$。
Inequalities for the exponential remainder of the Taylor series
这是1992年的预印本，有一些更新。研究了指数函数泰勒级数的截面。G.Hardy，Kesava Menon，W. Gautschi，H.Alzer and others.本预印本的主要目的是研究具有最佳常数的主要不等式及其多重推广的新证明。一些公式化（其中一些最近被证明，见2016年的评论）。
From Taylor series of analytic functions to their global analysis
我们分析了泰勒系数的解析函数的条件，承认全球解析延拓，补充了最近的论文布鲁尔和西蒙自然边界形成的一般条件。本文提出了一种新的求和方法，将一类较广的无穷和局部展开式转化为积分。的整表示产量的全球信息，如解析连续性，位置的奇点，渐近大值的变量和渐近位置的零点。
Convolution series and the generalized convolution Taylor formula
本文研究了卷积级数，它是传统幂级数和分数阶指数的幂级数的广泛推广，其中包含了Mittag-Leffler型函数。特别注意的是最有趣的情况下，由Sonine内核生成的卷积系列。本文首先给出并证明了Riemann-Liouville型和Caputo型的一般分数次积分和$n$ -重一般序列分数次导数的第二基本定理。然后利用这些结果推导出两种不同形式的广义卷积泰勒公式，用于将函数表示为卷积多项式，其余数分别为Riemann-Liouville型和Caputo型的$n$ -倍一般分数次积分和$n$ -倍一般序列分数阶导数的组合.讨论了卷积级数形式的广义Taylor级数，并推导了其系数用$n$ -重一般序列分数阶导数表示的公式。
Power series with sum-product Taylor coefficients and their resurgence algebra
本文研究SP型的幂级数，即系数在语法上是和积组合。除了它们在解析纽结理论和所谓的“体积猜想”中的应用外，SP-级数本身也很有趣，至少有四个方面：（i）它们产生非常独特的复苏代数（ii）它们是那些相对罕见的情况下，复苏性质必须直接从泰勒系数导出的情况之一（iii）它们中的一些产生奇异性，意外地验证有限-阶微分方程（iv）所有这些都可以借助于两个显著的无限阶积分-微分变换“mir”和“nir”来最好地处理。
Exponential Taylor Series
本文提出将可微复值函数表示为 $(1-e^{λx})$ 幂次之和的方法，给出余项显式公式，证明在适当条件下无穷级数可恢复 $C^\infty$ 原函数，并应用于计算涉及 Stirling Numbers 的无穷级数。
On Taylor series expansion of $(1+ z)^{A}$ for $|z|>1$
众所周知，$(1+ z)^{A}$的泰勒级数展开对于其中A是不等于零或正整数的实数的$|z|>1$不收敛。本文将$|z|>1$作为收敛级数的乘积，得到了该表达式的一个有限级数展开式.
Complete systems of recursive integrals and Taylor series for solutions of Sturm-Liouville equations
考虑定义在有限段$[a,b]\subset \mathbb{R}$上的任意复值、二次连续可微、非零函数$ϕ$。让我们介绍一个无限系统的功能，建立在以下方式。每个后续函数都是前一个函数的基元，交替地乘以或除以$ϕ$。所得到的函数系是幂系${(x-x_{0}%)^{k}}_{k=0}^{\infty}$的推广。我们研究了它的完备性以及它的子集在不同函数空间中的完备性。这一系统的递归积分的结果是密切相关的所谓的$L$ -基地所产生的理论嬗变运营商的线性常微分方程。除了结果的完整性系统的递归积分，我们显示了一个深刻的类比之间的展开的递归积分和泰勒展开。我们证明了一个推广的泰勒定理与拉格朗日形式的余项，并找到一个明确的公式转换的广义泰勒展开的函数的递归积分到一个通常的泰勒展开。作为公式的直接推论，我们得到了关于Sturm-Liouville方程解的下列新结果。给定方程$y^{\prime\prime}+q(x)y=0$的正则非零复值解$y_{0}$，$x\in(a,b)$，假定它在一点$x_{0}% \in\lbrack a,b]$是$n$次可微的.我们提出了明确的公式计算的第一$n$衍生物在$x_{0}$方程$u^{\prime\prime}+q(x)u=λu$的任何解决方案。即，构造将$y_{0}$的泰勒展开变换为$u$的泰勒展开的显式映射。
Fractional order Taylor's series and the neo-classical inequality
证明了T. J. Lyons [Rev. Mat. Iberoamericana 14（1998）215-310]。为了证明，我们引入了带剩余项的分数阶泰勒级数。他们的应用程序，以一个特定的功能提供了一个身份，推导出最佳的新古典不等式。
Series and integral representations of the Taylor coefficients of the Weierstrass sigma-function
本文给出了复平面$\mathbb{C}=\mathbb{R}^2$上任意格点$Γ$的Weierstrass $σ$ -函数$σ(\cdot;Γ)$的泰勒系数的两种表示形式--第一种表示形式是$Γ$上的Hermite-Gauss级数，第二种表示形式是$\mathbb{C}$上的Hermite-Gauss积分.
The area of Hügelschäffer curves via Taylor series
该研究针对Hügelschäffer曲线卵形部分的面积计算问题，借助椭圆积分推导面积公式，提出标准与双泰勒近似的新型近似计算式，还得到了1/π的级数表达形式。
Elliptic Hypergeometric Summations by Taylor Series Expansion and Interpolation
利用椭圆泰勒级数的展开和插值方法，导出了椭圆超几何级数的一些求和式。我们扩展到良好的平衡椭圆形的情况下，在$q$的情况下，以前已经获得了库珀和伊斯梅尔和斯坦顿的结果。我们还提供了涉及S的恒等式。Bhargava的三次θ函数。
Universal Taylor Series on products of planar domains
利用平面紧集乘积的Mergelyan型定理，建立了平面单连通域Ω i，i=1，. . .，d.通过平面紧集Ki（i=1，.）乘积上的通用函数的Taylor展开式的部分和实现了通用逼近. . .，d，使得Ki的补数是连通的，并且对于至少一个i0，集合Ki 0与Ω i0不相交。
Taylor Series as Wide-sense Biorthogonal Wavelet Decomposition
基于Dirac、doublet和delta的进一步导数，引入了点支撑广义小波。广义双正交分析导致标准泰勒级数和新的双泰勒级数，可以解释为劳伦特施瓦茨分布。一个Parseval式的身份也来自泰勒级数，表明泰勒级数支持的能量定理。引入了称为导数图的信号的新表示法，其类似于谱图。这种方法证实了小波在现代信号分析中的影响。
Partially Smooth Universal Taylor Series on products of simply connected domains
利用最近的Mergelyan型定理，证明了在平面单连通域Oi的乘积上存在泛泰勒级数，其中Oi在Oi与Si的并集的乘积上连续扩展，Si是Oi的边界的子集，在相对拓扑中是开的.泛逼近发生在紧集Ki的每一个乘积上，使得C-Ki是连通的，并且对于某些i 0，它认为Ki 0包含在Oi 0与Si 0的闭包的并集的补中。此外，我们介绍了泛泰勒级数的一些拓扑性质，导致某些家庭的功能无效。
Universal Taylor series with respect to a prescribed subsequence
对于开单位圆盘$\mathbb{D}$和$ζ\in\mathbb{D}$中的全纯函数$f$，$S_n(f,ζ)$表示$f$在$ζ$处的泰勒展开的$n$次部分和。给定一个正整数递增序列$μ=(μ_n)$，我们考虑类$\mathcal{U}(\mathbb{D},ζ)$（分别为. $\mathcal{U}^{(μ)}(\mathbb{D},ζ)$），使得部分和$\{S_n(f,ζ):n=1,2,\dots\}$（分别$\{S_{μ_n}(f,ζ):n=1,2,\dots\}$）在具有连通补的紧集$K\subset\{z\in\mathbb{C}:\vert z\vert\geq 1\}$上一致逼近所有多项式.证明了这两类泛泰勒级数重合的充要条件是$\limsup_n\left(\frac{μ_{n+1}}{μ_n}\right)<+\infty$。在同样的精神，我们证明，对于$ζ\ne 0,$，我们有平等$\mathcal{U}^{(μ)}(\mathbb{D},ζ)=\mathcal{U}^{(μ)}(\mathbb{D},0)$当且仅当$\limsup_n\left(\frac{μ_{n+1}}{μ_n}\right)<+\infty$。最后讨论了实泛泰勒级数的情形。
Taylor's series expansions for real powers of functions containing squares of inverse (hyperbolic) cosine functions, explicit formulas for special partial Bell polynomials, and series representations for powers of circular constant
本文利用两个两个平方和的有限乘积的展开式，借助于函数的复合函数的级数展开式，（双曲）正弦和余弦函数与反正弦和余弦函数，并根据部分Bell多项式的性质，建立了两个含平方倒数的函数的实幂的泰勒级数展开式用第一类Stirling数表示的（双曲）余弦函数，给出了在含有反余弦函数平方的函数的导数列上的特定部分Bell多项式的显式表达式，导出了涉及第一类Stirling数的几个组合恒等式，给出了圆周常数Pi及其实幂的几种级数表示，恢复了反（双曲）正弦函数的正整数幂的第一类Stirling数的级数展开式，并导出了其它有用的、有意义的、有意义的结论.
Closed ideals of the algebra of absolutely convergent Taylor series
设$Γ$为单位圆，$A(Γ)$为Fourier系数级数绝对收敛的连续函数的Wiener代数，$A^+$为负系数为零的函数的$A(Γ)$的子代数.若$I$是$A^+$的闭理想，则用$S_I$表示$I$的非零元素的内因子的最大公约数，用$I^A$表示$I$在$A(Γ)$中生成的闭理想.证明了等式$I^A= S_I H^\infty \cap I^A$对每个闭理想$I$成立.我们展示了一个大类$\scr F$完美的$Γ$的子集，包括三元康托集，使上述等式持有时，$h(I)\capΓ\in\scr F$。我们还给出了该猜想的反例。
Universal Taylor Series in several variables depending on parameters
建立了平面单连通域$Ω_i$的积$Ω= \prod Ω_i$上的泛泰勒级数的通有存在性，其中泛逼近在平面紧集的积$K$上成立，并给出了$K \cap Ω= \emptyset$ .这些类是关于一个或几个中心的扩展和普遍的逼近是在功能或在所有的衍生物的水平。此外，如果对于所有$i$连接$K \cap \overlineΩ = \emptyset$和$\{\infty\} \cup [\mathbb{C} \setminus \overlineΩ_i]$，则通用函数可以平滑到边界。所有以前的泛级数都可能依赖于某些参数，那么可逼近函数也可能依赖于相同的参数，如本文所示。这些普适性是拓扑和代数通用的。
On the Taylor Coefficients of the Hurwitz Zeta Function
我们找到了Hurwitz zeta函数的Maclaurin系数的一个表示，它是用包含伯努利多项式和第一类Stirling数的半收敛级数表示的.特别地，这给出了黎曼ζ函数的系数的表示。我们的主要工具是一定的级数变换公式。一个类似的结果也证明了麦克劳林系数的Lerch zeta函数。
Inequalities for Taylor series involving the divisor function
设$$ T(q)=\sum_{k=1}^\infty d(k) q^k, \quad |q|<1, $$，其中$d(k)$表示自然数$k$的正约数。我们提出的单调性定义的$T$方面的功能。更具体地说，我们证明了$$ H(q) := T(q)- \frac{\log(1-q)}{\log(q)} $$在$ (0,1) $中严格递增，而$$ F(q) := \frac{1-q}{q} \,H(q) $$在$ (0,1) $中严格递减。然后应用这些结果得到各种不等式，其中之一指出双重不等式$$ α\,\frac{q}{1-q}+\frac{\log(1-q)}{\log(q)} < T(q)< β\,\frac{q}{1-q}+\frac{\log(1-q)}{\log(q)}, \quad 0<q<1, $$与最佳可能常数因子$α=γ$和$β=1$成立。这里，$γ$表示欧拉常数。这改进了Salem用$α=1/2$和$β=1$证明不等式的一个结果.
Universal partial sums of Taylor series as functions of the centre of expansion
V. Nestorian证明，如果$Ω$是$\mathbb{C}$的一个不包含$0$的单连通子集，并且$S(Ω)$是所有函数$f\in \mathcal{H}(Ω)$的集合，具有集合$\left\{T_N(f)(z)\coloneqq\sum_{n=0}^N\dfrac{f^{(n)}(z)}{n!} (-z)^n : N = 0,1,2,\dots \right\}$在$\mathcal{H}(Ω)$中稠密的性质，则$S(Ω)$是$\mathcal{H}(Ω)$中稠密的$G_δ$集合。在$Ω$是一个不含$0$的开放圆盘$D(z_0,r)$的特殊情况下，我们肯定地回答这个猜想。
On series solutions of Volterra equations
我们推导出计算Volterra积分方程系统解的泰勒系数的公式，包括线性和非线性的，无论是没有奇异性还是具有Abel型和对数型奇异性。我们还获得了某些系统的第一类Volterra方程的解决方案。在所有情况下，除了对数奇点的情况下，我们得到的泰勒系数的计算递归公式。在某些情况下，我们给出了收敛性的证明和严格的估计的收敛半径。
扫码添加微信好友，提出您的宝贵建议 👇
💡 备注请填写：网站反馈
发表机构由 AI 从论文文本抽取，如发现错误，欢迎反馈修正建议。