Mean and variance of balanced Pólya urns
Uppsala University（乌普萨拉大学）
本文研究了平衡Pólya urn的均值和方差，通过渐近分析证明其收敛于极限正态分布的均值和方差。
2019-12-17 math.PR
Negatively Reinforced Balanced Urn Schemes
本文考虑了具有多个颜色的加权负加强瓮方案。如果颜色的选择概率与颜色比例的权重$w$成比例，其中$w$是非增函数，则将瓮方案称为负增强的。在对置换矩阵$R$和权函数$w$作一定的假设，如$w$可微和$w(0) < \infty$，我们得到了瓮模型随机构形的几乎必然收敛.特别是，我们表明，如果$R$是双随机的骨灰盒的随机配置收敛到统一的向量，和渐近正态性举行，如果在骨灰盒中的颜色的数量是足够大的。
2018-08-02 math.PR
Stochastic Approximation with Random Step Sizes and Urn Models with Random Replacement Matrices Having Finite Mean
随机逼近算法是概率论和统计学中一种长期以来得到成功开发的实用技术。在随机逼近中使用的步长通常被认为是确定性的，对于漂移也是如此。然而，具体的应用与随机替换矩阵的瓮模型促使我们考虑随机逼近的设置，其中的步长和漂移是随机的，但序列是一致有界的。当误差的可忽略性条件仅在概率上成立时，问题变得有趣。我们首先证明了一个关于随机逼近的结果，这在文献中是新的。然后，作为应用，我们研究了具有随机替换矩阵的瓮模型。在瓮模型中，替换矩阵既不需要是独立的，也不需要是同分布的。我们假设替换矩阵仅与在整个过去条件下的同一轮中绘制的颜色无关。我们放宽了文献中关于替换矩阵的二阶矩假设，只要求一阶矩是有限的。我们要求给定过去的替换矩阵的条件期望在适当的意义下接近不可约矩阵。我们不要求任何矩阵是平衡的或非随机的。我们证明了收敛的比例向量，组成向量和计数向量在$L^1$，因此在概率。值得注意的是，相关的微分方程是Lotka-Volterra型的，可以直接分析。
2018-11-16 math.PR
On Edgeworth Expansions in Generalized Urn Models
广义瓮模型中频率的随机向量被视为条件独立的随机变量，给定它们的和。这样的表示被利用来获得这样的频率的函数的总和的埃奇沃思展开。将这些结果应用于瓮模型，如有和无替换抽样方案，以及EscherichPolya-Egenberger模型，获得了新的结果卡方统计，在没有替换方案的样本和，并为所谓的狄克逊统计，这是有用的比较两个样本。
2014-01-17 math.PR
Almost Sure Convergence of Randomized Urn Models with Application to Elephant Random Walk
我们考虑一个随机瓮模型与许多颜色的对象。替换矩阵是随机的，并且有条件地独立于给定过去选择的颜色。此外，置换矩阵的条件期望接近于几乎必然不可约矩阵。得到了配置向量、比例向量和计数向量的几乎必然收敛性和$L^1$收敛性。我们证明了一阶矩对于i.i.d.是足够的。替换矩阵独立于过去的颜色选择。这显著地改进了Athreya和Ney（1972）中要求$L\log_+ L$矩的瓮模型的类似结果。对于更一般的自适应置换矩阵序列，需要略多于$L\log_+ L$的条件。在Zhang（2018）中单独和并行考虑了基于$L^1$矩假设的类似结果。最后，利用所得结果研究了具有随机记忆的$d$维非负正交点上的延迟象随机游动。
2022-10-17 math.PR
Moment convergence of balanced Pólya processes
已知在不可约的小波利亚瓮过程中，瓮的组成在适当的归一化之后在分布上收敛于正态分布。我们表明，如果骨灰盒也是平衡的，这种正常的收敛与收敛的所有时刻，从而给（中心）时刻的渐近性。
2016-06-22 math.PR
Functional limit theorems for Pólya urns with growing initial compositions
本文证明了吸引数和初始球数同时趋于无穷大的Pólya urn过程的泛函极限定理。这是由Borovkov [5]最近的工作所激发的，他们在那里证明了当骨灰具有单位替换规则时该模型的泛函极限定理。我们将这一结果推广到任意平衡替换规则（添加到瓮中的球的总数是确定的）。三个渐近制度是可能的，这取决于如何让初始球的数量与瓮的绘制次数成比例。在每一个政权，我们展示了一个一阶确定性的限制和高斯二阶波动，这些限制过程的行为取决于政权，最初组成的骨灰盒，和骨灰盒更换规则。为了证明我们的主要结果，我们嵌入在连续时间的过程，并使用鞅理论。尽管这些方法是自Athreya & Karlin [1]和Janson [11]的作品以来的经典方法，但我们的初始增长组合需要许多新的想法。在我们的设置中，证明连续时间嵌入的限制结果的主要区别在于，当初始组成与绘制次数相比较大时，分支过程没有时间达到平衡。因此，将结果转换回离散时间也比Janson [11]困难得多。有趣的是，我们的连续时间的结果保持在较弱的假设下的替代结构比经典的结果多类型的分支过程，特别是，我们不需要任何“不可约”的假设。
2022-06-10 math.PR
Strong Convergence of Infinite Color Balanced Urns Under Uniform Ergodicity
我们考虑推广的Pólya瓮计划与可能无限多的颜色引入\cite{Th-Thesis, BaTH2014, BaTh2016, BaTh2017}。对于可数的多个颜色，我们证明了在\emph{uniform ergodicity}假设下，瓮配置在相应的马尔可夫链上的几乎必然收敛性。该证明使用所选颜色序列与加权\emph{random recursive tree}上的\emph{branching Markov chain}的随机耦合，如\cite{BaTh2017, Sv_2018}中所述。使用这种耦合，我们估计任何两个选定的颜色之间的协方差。特别地，我们重新证明了经典的多色瓮模型的极限定理。
2019-04-12 math.PR
A Monotonicity Property of a New Bernstein Type Operator
本文证明了具有负置换的Pólya分布的概率满足类似于二项分布（无置换的Pólya分布）的单调性。结果证明了具有Pólya瓮分布（负替换）的随机变量相对于给出瓮的初始分布的参数是随机序的.这个结果的一个等价形式表明，文[3]中引入的新Bernstein算子是一个单调算子.证明是概率的精神和依赖于各种不等式，其中一些是独立的利益（例如，一个改进版本的反向柯西-Bunyakovsky-Schwarz不等式）。
2018-03-29 math.PR
Multiple drawing multi-colour urns by stochastic approximation
经典的Pólya urn方案是一个马尔可夫过程，其演化由替换矩阵$(R_{i,j})_{1\leq i,j\leq d}$编码。在每个离散的时间步，我们随机均匀地画一个球，表示它的颜色$c$，并将它与颜色为$j$的$R_{c,j}$球一起替换在瓮中（对于所有$1\leq j\leq d$）。我们感兴趣的是多画波利亚骨灰盒，其中的替换规则取决于从骨灰盒中随机抽取一组$m$球（有或没有替换）。这种推广已经在文献中进行了研究，特别是库巴和马哈茂德（ArXiv：1503.09069和1509.09053），其中二阶渐近结果证明了$2$ -彩色骨灰盒下的平衡和亲和力的假设。这项工作的主要思想是应用随机逼近的方法来解决这个问题，这使我们能够删除的亲和力假设库巴和马哈茂德和推广的结果超过两种颜色的骨灰盒。在双色非平衡情形下，我们也给出了部分结果。
2021-06-17 math.PR
Urns with simultaneous drawing
在经典的骨灰盒模型中，人们通常在每个时间单位绘制一个带有替换的球，然后添加一个相同颜色的球。给定一个权重序列$(w_k)_{k\in\N}$，抽到一个特定颜色的球的概率与$w_k$成比例，其中$k$是该颜色的球的数量。一个经典的结果表明，瓮固定在一个有限的时间后，如果只有当$\sum_{0}^\infty w_k^{-1} < \infty$的颜色。在本文中，我们将研究的情况下，在每一个时间单位，我们提请更换一个数字$d\in\N$的球，然后添加$d$新的球匹配的颜色。主要目的是证明，在最大相互作用的情况下的结果推广，另外假设$(w_k)_{k\in\N}$是非递减的。
2012-01-17 math.PR
Multi-drawing Pólya urns via labelled random DAGs
本文针对每次抽取多个球的Pólya瓮扩展模型，提出基于随机有向无环图与随机张量理论的新分析方法，并在易于验证的假设下证明了收敛定理。
2025-08-28 math.PR
Central Limit Theorem for a Pólya-Friedman Mixed Urn Model
School of Mathematics and Statistics, Henan Normal University（河南师范大学数学与统计学院）
研究一种两色单抽瓮模型，采用混合替换矩阵（Friedman和Pólya替换），证明了抽取n次后1型球比例的中心极限定理，并给出大偏差不等式和重对数律的推论。
2026-05-26 math.PR
Two-color balanced affine urn models with multiple drawings II: large-index and triangular urns
这是两部分调查的第二部分。我们继续研究一类双色球（白、黑）上的平衡瓮方案。在每次绘图时，从骨灰盒中抽取尺寸为$m\ge 1$的样本，并应用球添加规则;仅对单个球进行采样的特殊情况$m=1$与普通平衡骨灰盒模型一致。我们认为这些多张图纸是抽样的，有或没有替换。对于仿射条件期望值类，研究了经过$n$步后白球的个数.仿射类参数化的$Λ$，指定的两个特征值的比例减少球置换矩阵和样本大小，导致三种不同的情况：小指标瓮（$Λ\le \frac 1 2$，情况$Λ= \frac 1 2$是关键的），大指标瓮（$Λ> \frac 1 2$），三角形瓮。在第一部分中，我们得到了小指标瓮模型的中心极限定理，并证明了大指标瓮模型和三角瓮模型的几乎必然收敛。在本文（第二部分）中，我们继续研究了双曲瓮格式，并研究了大指数瓮和三角形瓮模型的矩。在适当的尺度下，我们展示了矩的收敛性，并给出了矩的表达式。
2015-09-30 math.CO math.PR
The Probability Distribution for Draws Until First Success Without Replacement
我们考虑骨灰盒设置有两个不同的对象，“好”和“坏”，并分析在没有替换的情况下的抽奖次数，直到选中一个好对象。虽然这种设置的预期抽签次数是一个标准的教科书练习，我们计算方差，并表明，这种分布收敛到几何分布。
2014-04-04 math.PR
Two-colour balanced affine urn models with multiple drawings I: central limit theorems
这是一个研究工作分为两个部分。我们研究了一类关于两种颜色（比如白色和黑色）球的平衡瓮方案。在每次绘图时，从骨灰盒中抽取尺寸为$m\ge 1$的样本，并应用球添加规则。我们认为这些多张图纸是抽样的，有或没有替换。我们进一步根据期望值的结构将球加法矩阵分为仿射和非仿射两类。本文给出了一个方案属于仿射子类的充要条件。对于仿射子类，我们得到明确的结果后，白球数的期望值和二阶矩的$n$步骤和渐近展开的方差。此外，我们发现了一个鞅结构，服从中心极限定理制定。这统一了几个早期的作品集中在特殊情况下的骨灰盒模型与多个图纸。该类由$Λ$参数化，由“简化”球置换矩阵的两个特征值的比率和样本大小指定。我们将该类分为小索引骨灰盒（$Λ<\frac 1 2$），临界索引骨灰盒（$Λ= \frac 1 2$），和大索引骨灰盒（$Λ> \frac 1 2$），和三角形骨灰盒。本文（第一部分）给出了小指标和临界指标瓮的中心极限定理，并证明了三角形瓮和大指标瓮的几乎必然收敛.在另一篇论文（第二部分）中，我们讨论了大指数瓮和三角瓮的矩结构。
2015-03-31 math.CO math.PR
On martingale tail sums in affine two-color urn models with multiple drawings
在最近的两个作品中，库巴和马哈茂德（arXiv：1503.090691和arXiv：1509.09053）介绍了具有多个绘图的双色仿射平衡波利亚瓮方案家族。我们表明，在大指数瓮（瓮指数之间的$1/2$和$1$）和三角形瓮，鞅尾和的数量球的一个给定的颜色承认既高斯中心极限定理以及一个法律的重对数。即使在标准模型中，当每一步只从瓮中取出一个球时（除了经典的波利亚瓮模型），重对数定律也是新的。最后，我们证明了鞅极限具有密度（在适当的假设下有界）和指数衰减的尾部。在随机线性递归树和随机电路的节点度的上下文中给出的应用程序。
2016-11-24 math.PR
Characterization of exchangeable measure-valued Pólya urn sequences
本文研究可交换测度值 Pólya 罐序列，通过强化测度表示定理刻画其导向随机测度，并给出 Dirichlet 过程混合表示、全变差收敛及非平衡情形的分类。
2024-05-11 math.PR
Pólya Urn Schemes with Infinitely Many Colors
在这项工作中，我们引入了一种新的类型的瓮模型与无限的，但可数的许多颜色的索引由一个适当的无限集。我们主要考虑颜色的索引集是$d$维整数格，并考虑其上有界增量随机游动的平衡替换方案.我们证明了第$n$ -次选择球的随机颜色的中心和局部极限定理，并表明，无论潜在的随机游动的零常返性或瞬时性态如何，在适当的居中和缩放之后，渐近分布是高斯分布。我们证明了任何非零中心的顺序总是${\mathcal O}\left(\log n\right)$和缩放是${\mathcal O}\left(\sqrt{\log n}\right)$。这项工作也提供了类似的结果，在${\mathbb R}^d$的更一般的格子索引的无限多个颜色的骨灰盒模型。我们介绍了一种新的技术，表示随机颜色的$n$ -th选定的球作为一个适当的采样点的路径上的基础随机游动。这有助于我们导出中心极限定理和局部极限定理。
2014-07-23 math.PR
Relative entropy bounds for sampling with and without replacement
School of Mathematics, University of Bristol（布里斯托大学数学学院）；Univ Gustave Eiffel, Univ Paris Est Creteil, CNRS, LAMA UMR8050（巴黎东克雷泰伊大学、法国国家科学研究中心拉马德瓦莱大学）；Statistical Laboratory, DPMMS, University of Cambridge（剑桥大学统计实验室）
本文提出了一种基于相对熵的有放回与无放回采样界，结合斯塔姆的结果和相对熵的凸性，得到新的有限德芬尼界，实现最优渐近收敛速率。
2024-04-09 cs.IT math.IT math.PR
Graph-based Polya's urn: completion of the linear case
给定一个有限连通图$G$，在每个顶点放置一个bin。如果两个bin共享$G$的一条边，则它们被称为一对。在离散的时间，一个球被添加到每对箱子。在一对箱子中，其中一个箱子得到球的概率与其当前的球数成正比。以前的工作证明，当$G$是不平衡的二分，在箱子中的球的比例几乎肯定收敛到一个点$w(G)$。我们证明了平衡二部图的几乎必然收敛性：可能的极限是单点$w(G)$或闭区间$\mathcal J(G)$。
2014-09-27 math.DS math.PR
Fully Analyzing an Algebraic Polya Urn Model
本文介绍并分析了波利亚骨灰盒中的一类特殊类型：球有两种颜色，只能相加（骨灰盒被称为相加），每一步都加入相同数量的球，因此只有颜色成分不同（骨灰盒被称为平衡）。这些特性使得这类骨灰盒非常适合从“分析组合学”的角度进行分析，追随Flajolet-Dumas-Puyhaubert，2006的脚步。通过一个代数生成函数，我们采用了多聚鞍点方法，我们能够给出精确的渐近结果的概率分布的组成的瓮，以及局部极限法和大偏差界。
2012-03-22 cs.DM math.CO math.PR
Preferential Attachment When Stable
Uppsala University（乌普萨拉大学）；Microsoft Research NE（微软研究院新英格兰分部）；Massachusetts Institute of Technology（麻省理工学院）；New York University（纽约大学）
该研究探讨了在稳定条件下 urn 过程中球数平衡的罕见事件，并通过嵌入连续时间的方法推导了相关大偏差原理和极限定律。
2018-05-27 cs.DM math.CO math.PR
