Poisson polytopes
Imre Bárány, Matthias Reitzner
证明了Poisson随机多胞形$Π_η$在固定凸多胞体形$P\subset\mathbb{R}^d$中的体积和$f$ -向量的中心极限定理。这里，$Π_η$是强度$η$的泊松过程$X$与$P$的交集的凸包。
We prove the central limit theorem for the volume and the $f$-vector of the Poisson random polytope $Π_η$ in a fixed convex polytope $P\subset\mathbb{R}^d$. Here, $Π_η$ is the convex hull of the intersection of a Poisson process $X$ of intensity $η$ with $P$.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Beyond the Efron-Buchta identities: distributional results for Poisson polytopes
设$Π$为Poisson点过程的点的凸包所定义的随机多面体。证明了关于$Π$测度的矩母函数、$Π$的顶点数和$Π$的非顶点数的恒等式.等价地，给出了上述随机变量的高阶矩的恒等式。这推广了Efron和Buchta关于独立同分布点的凸包泛函的类似恒等式.
Approximation properties of random polytopes associated with Poisson hyperplane processes
在$d$维欧几里得空间中考虑了具有给定方向分布和强度的平稳Poisson超平面过程.推广了这类过程的零胞元，我们固定了一个凸体$K$，并考虑了由该过程的超平面所围成的包含$K$的所有闭半空间的交.我们研究如何以及这些随机多面体近似$K$（测量的Hausdorff距离），如果强度增加，以及如何这种近似依赖于方向分布的属性$K$。
Regenerative processes for Poisson zero polytopes
本文研究了泊松零多面体的再生过程，证明其为伯努利流，并探讨了其在STIT划分过程中的应用。
The polytopes in a Poisson hyperplane tessellation
对于${\mathbb R}^d$中的平稳泊松超平面镶嵌$X$，其方向分布满足一些温和的条件（例如，在各向同性的情况下），最近证明了，概率为1的简单$d$ -多面体的每一个组合类型都无限地经常由$X$的多面体实现。这个结果在这里得到了加强：在概率为1的情况下，每一个这样的组合类型不仅无限频繁地出现在$X$的多面体中，而且具有正密度。
The convex hull of random points on the boundary of a simple polytope
研究了R^n中简单多面体边界上N个独立随机点的凸包。渐近公式的预期数量的顶点和刻面，并为预期的体积差。这是第一次调查导致严格的结果随机多面体既不简单也不单纯。结果对比现有的结果，当点选择在一个凸集的内部。
Variance asymptotics for random polytopes in smooth convex bodies
设$K \subset \R^d$是光滑凸集，$¶_\la$是$\R^d$上强度为$\la$的Poisson点过程. $¶_\la \cap K$的凸包是随机凸多面体$K_\la$。作为$\la \to \infty$，我们表明，方差的数目$k$维面的$K_\la$，当适当缩放，收敛到一个标量倍数的仿射表面积的$K$。类似的渐近性对于$K$中的二项式过程的凸包的$k$维面的数目的方差成立。
The support function of the high-dimensional Poisson polytope
本文研究高维泊松多面体支撑函数在维度趋于无穷时的渐近行为，按强度划分次临界、临界和超临界三种状态，给出各状态下经适当缩放后的精确分布收敛结果，并推广到多方向情形及径向量函数。
Interaction of Poisson hyperplane processes and convex bodies
给定一个平稳的各向同性Poisson超平面过程和${\mathbb R}^d$中的凸体$K$，我们考虑由包含$K$的所有闭半空间的交所定义的随机多面体，这些闭半空间以过程的超平面不与$K$相交为界.我们调查如何以及预期的平均宽度，这个随机多面体近似的平均宽度的$K$，如果超平面过程的强度趋于无穷大。
Multivariate Normal Approximation for functionals of random polytopes
考虑$\mathbb{R}^d$中光滑凸体上Poisson点过程的凸包所给出的随机多胞形。我们证明中心极限定理连续运动不变的估值，包括将的功能和本征体积的随机多面体。此外，我们还得到了凸集体积的无偏最小方差估计量Oracle估计量的一个中心极限定理。最后得到了随机多胞形的内蕴体积和$\mathbf{f}$ -向量分量的多元极限定理。
The Surface Area Deviation of the Euclidean Ball and a Polytope
虽然有大量的文献近似凸体的内接或外切多面体，少得多的是已知的情况下，一般定位多面体。在这里，我们给出了上，下界近似的凸体由任意位置的多面体与一个固定数量的顶点的对称表面积偏差。
Concentration and moderate deviations for Poisson polytopes and polyhedra
考虑了$d$维欧几里得空间中平稳Poisson点过程的单位球约束所产生的凸包。通过建立累积量的精确界，导出了大偏差概率的指数估计，并研究了大类关键几何特征的对数尺度上的中心极限定理的相对误差.这包括低维面的数量和随机多面体的固有体积。利用累积量方法，建立了由这些泛函引起的空间经验测度的适度偏差原理。应用所得结果，通过对偶性推导出一类Poisson超平面镶嵌零胞元组合参数的精细概率估计和适度偏差原理。作为特殊情况，这包括以具有大内半径为条件的典型Poisson-Voronoi单元。
Beta-star polytopes and hyperbolic stochastic geometry
受双曲随机几何问题的启发，我们引入并研究了β-星多面体类。β-星多面体定义为密度与$(||x||^2-1)^β$成正比的$\mathbb{R}^d$中单位球的补上的非齐次Poisson过程的凸包，其中$||x|| > 1$和$β>d/2$ .给出了与β-星多面体相关的各种几何和组合泛函的显式公式，包括预期的$k$维面数、预期的外角和以及预期的内禀体积。β-星多面体在双曲随机几何的背景下是相关的，因为它们紧密地连接到双曲空间中的泊松-Voronoi曲面细分的典型单元以及泊松超平面曲面细分的零单元。β-星多面体的一般结果被用来提供明确的公式所期望的$f$ -向量的典型双曲Poisson-Voronoi细胞和双曲Poisson零细胞。讨论了它们在大强度下的渐近性和单调性。最后，随机几何的德西特半空间的研究作为双曲模拟最近的调查随机锥上的随机点在球面或圆锥随机几何的半球。
Concentration of random polytopes around the expected convex hull
本文对凸体空间（在固定或高维情形下）内随机多面体的浓度的弱多元Gnedenko大数定律，以及相应的强大数律，给出了一个简化的证明和改进的估计.
Central limit theorems for random polytopes in a smooth convex set
设$K$是$\BBR^d$中体积为1的光滑凸集.根据均匀分布，在$K$中独立选取$n$随机点。这些点的凸包，用$K_n$表示，称为{ \it随机多面体}。证明了当$n$趋于无穷大时，$K_n$的几个关键泛函满足中心极限定理.
Limit theorems for random polytopes with vertices on convex surfaces
随机多面体$K_n$定义为光滑凸体边界上均匀随机选取的$n$点的凸包。证明了$K_n$的内禀体积的上下方差界、强大数定律和中心极限定理。一个正常的近似界从斯坦的方法和估计的表面机构是其中涉及的工具。
Surface area deviation between smooth convex bodies and polytopes
研究了具有二次可微边界的一般凸体与具有给定顶点数的任意位置多面体的偏差。本文考虑的情况下，偏差是衡量的表面积所涉及的集，更准确地说，由所谓的表面积偏差。证明使用的参数和结构从概率，凸和积分几何。该界限与$p$ -仿射表面积密切相关。
Gibbs/Metropolis algorithms on a convex polytope
本文给出了凸多胞体上均匀分布采样的Metropolis算法的自然形式的收敛速度。奇异提案分布基于在固定的有限集方向中的一个方向上局部移动的行走，需要一些新的工具。利用Nash不等式和Weyl不等式得到了谱和特征函数的上界。马尔可夫链的上特征值与一个新拉普拉斯算子的多面体的Neuman特征值密切相关。
Best and random approximation of a convex body by a polytope
本文综述了多面体对凸体的最佳逼近和随机逼近的一些结果。我们解释了两者是如何联系在一起的，并看到随机近似几乎和最佳逼近一样好。
Random ball-polytopes in smooth convex bodies
研究光滑凸体的随机球多面体逼近。我们研究了以下概率模型：设$K\subset{\bf R}^d$是凸体，使得$K$在半径为$R>0$的球中自由滑动，并且具有$C^2$光滑边界。令$x_1,\ldots, x_n$为i.i.d. $K$中的均匀随机点。对于$r\geq R$，让$K^r_{(n)}$表示包含$x_1,\ldots, x_n$的所有半径$r$闭合球的交点。则$K^r_{(n)}$是$K$中的（半径为$r$的）（均匀）随机球多面体。研究了$K_{(n)}^r$的面数期望为$n\to\infty$的渐近性质。虽然足够圆的凸体在球多面体的随机近似方面与经典多面体的行为类似，但当单位球由单位半径随机球多面体近似时，可以观察到一个有趣的现象：预期的小平面数量接近有限的极限，如$n\to\infty$。
Random Inscribed Polytopes Have Similar Radius Functions as Poisson-Delaunay Mosaics
利用$n$维球面上的测地距离，研究了随机集的Delaunay镶嵌的期望半径函数。具体地说，我们考虑的分区的马赛克到区间的半径函数，并确定预期数量的区间，其半径是小于或等于一个给定的阈值。假设点不包含在一个半球中，Delaunay镶嵌图同构于$\mathbb{R}^{n+1}$中凸包的边界复形，因此我们也得到了随机内接多面体的期望面数。我们发现，期望基本上是相同的泊松-Delaunay镶嵌在$n$维欧几里得空间。正如Antonelli和他的合作者所证明的，$n$ -球面的正交截面与配备有Fisher信息度量的标准$n$ -单纯形等距。因此，后者空间具有与$n$维欧几里得空间相似的随机性质。因此，我们的研究结果是相关的信息几何和群体遗传学。
Expected $f$-vector of the Poisson Zero Polytope and Random Convex Hulls in the Half-Sphere
证明了$\mathbb R^d$中齐次各向同性Poisson超平面镶嵌的零多面体的期望面数的一个显式组合公式。期望的$f$-向量通过多项式$$ (1+ (d-1)^2x^2) (1+(d-3)^2 x^2) (1+(d-5)^2 x^2) \ldots. $$的系数来表示。此外，我们显式计算期望的$f$-向量和从$d$维半球均匀且独立地采样的$n$随机点的球形凸包的期望体积。在$n=d+2$的情况下，我们计算的概率，这个球形凸包是一个球形的单纯形，从而解决了一个类似的西尔维斯特四点问题的半球。
Random volumes in d-dimensional polytopes
假设我们从$d$维的凸体中均匀随机地选择$N$点。$N$相对于$d$渐近地必须有多大，才能使点的凸包几乎与凸体本身一样大？戴尔-富雷迪-麦克迪米德证明，当凸体是超立方体时，指数级的样本数就足够了，而巴茨瓦罗夫则证明，欧几里得球大约需要$d^{d/2}$样本。我们表明，当凸体是单纯形，指数许多样本就足够了，这意味着相同的结果为任何凸单纯多面体至多指数许多面。
Approximation of smooth convex bodies by random polytopes
令$K$为$\mathbb{R}^n$中的凸体，$f : \partial K \rightarrow \mathbb{R}_+$为具有$\int\limits_{\partial K} f(x) d μ_{\partial K}(x) = 1$的连续、严格正函数。我们给出了一个上界的近似$K$在对称差分度量的任意位置的多面体$P_f$在$\mathbb{R}^n$具有固定的顶点数。这推广了Ludwig，Schütt和Werner $[36]$的一个结果.多胞形$P_f$是通过密度为$f$的概率测度随机构造而得到的。在我们的结果中，对顶点数的依赖是最优的。在最优密度$f$下，我们的结果对$K$的依赖性也是最优的。
Random polytopes in convex bodies: Bridging the gap between extremal containers
本研究探讨块β分布族中随机点凸包构成的随机多面体的渐近性质，建立面期望数量的显式增长率，分析均匀分布下任意维度面的期望数量及体积差，揭示其插值性质以弥合两类凸容器中随机多面体行为的差距。
The volume of random polytopes circumscribed around a convex body
设$K$是$\mathbb{R}^d$中的一个凸体，它在一个球中自由滑动。令$K^{(n)}$表示包含$K$的$n$闭半空间的交，其边界超平面根据某个指定的概率分布独立且同分布。证明了$K^{(n)}$和$K$的体积差的期望的渐近公式，以及$K^{(n)}$的体积方差的渐近上界.我们实现这些结果，首先证明类似的语句的加权平均宽度近似的凸体，承认一个滚动球的内接随机多面体，然后通过极化这些结果。
Convex cones spanned by regular polytopes
我们研究三个家庭的多面体锥的部分是定期单纯形，立方体，和crosspolytopes。我们计算了这些圆锥的立体角和圆锥曲线的固有体积。我们表明，随机几何中出现的几个量可以通过这些圆锥曲线的内禀体积来表示。这些量的列表包括规则单形和交叉多面体的内部和外部立体角，（对称）高斯随机多面体或高斯带形包含一个给定的点，一个规则多面体与一个随机线性子空间通过其中心的交集的预期面数，以及一个规则多面体在一个随机线性子空间上的投影的预期面数。
Beta polytopes and Poisson polyhedra: $f$-vectors and angles
我们研究随机多面体的形式$[X_1,\ldots,X_n]$定义为凸包的独立和同分布的随机点$X_1,\ldots,X_n$在$\mathbb{R}^d$以下密度之一：$$ f_{d,β} (x) = c_{d,β} (1-\|x\|^2)^β, \qquad \|x\| < 1, \quad \text{(beta distribution, $β>-1$)} $$或$$ \tilde f_{d,β} (x) = \tilde{c}_{d,β} (1+\|x\|^2)^{-β}, \qquad x\in\mathbb{R}^d, \quad \text{(beta' distribution, $β>d/2$)}. $$这种设置还包括均匀分布的单位球和标准正态分布的极限情况。对于任意$k\in\{0,1,\ldots,d-1\}$，我们导出了$[X_1,\ldots,X_n]$的$k$ -面的期望个数的精确和渐近公式.我们证明，对于任何这样的$k$，这个预期的数字是严格单调递增的$n$。此外，我们计算预期的内部和外部的角度，这些多面体在每一个维度的面，更一般地说，预期的圆锥曲线的切线锥的内在体积。通过传递到beta'情形下的大$n$极限，我们计算了具有幂律强度函数的Poisson点过程凸包的期望$f$ -向量。利用凸对偶，我们得到了$\mathbb R^d$中一类各向同性Pois…
The covariogram determines three-dimensional convex polytopes
R ^n中两个凸集K和L的交叉协方差函数g_{K,L}是将R ^n中的每个x与K与L + x的交集的体积相关联的函数。从协方差函数中确定集合的问题在随机几何中是相关的，在概率中，它等价于傅里叶分析中相位恢复问题的一个特殊情况。这也是有关的逆问题，确定原子结构的准晶从其X射线衍射图像。本文的两个主要结果是：g_{K,K}确定三维凸多胞体K;当K和L是满足一定假设的凸多面锥时，g_{K,L}同时确定K和L。这些结果解决了G. Matheron在凸多胞体类中。进一步的结果考虑已知的反例在维数n>= 4。我们还介绍和研究的概念，合心多面体。这个概念与凸多胞体的面的重排有关。
Bernstein measures on convex polytopes
定义了一般凸多胞体上的Bernstein测度和Bernstein逼近的概念。这推广了著名的伯恩斯坦多项式，用于证明一维区间上的维尔斯特拉斯逼近定理。讨论了Bernstein测度和逼近的一些性质，证明了Bernstein逼近对光滑函数的渐近展开式，它是Abel-Ivan和Hörmander关于标准$m$ -单形的伯恩斯坦多项式的渐近展开式的推广.这些是不同的Bergman-Bernstein近似Delzant多面体最近推出的Zelditch。讨论了本文定义的Bernstein逼近与Zelditch的Bergman-Bernstein逼近之间的关系。
On the geometry of random convex sets between polytopes and zonotopes
在这项工作中，我们研究了一类随机凸集，“插值”之间的多面体和zonotopes。这些集合产生于考虑$\mathbb R^n$中$N\geq n$独立随机向量序列的$1$维边缘的顺序统计量的平均值的$q^{th}$矩（$q\geq 1$）。本文考虑了各向同性对数凹分布的随机模型以及关于锥概率测度的$\ell_p^n$球（$1\leq p < \infty$）上的均匀分布，并根据支撑函数和平均宽度研究了这些集合的几何性质.我们提供了渐近公式的期望，这些几何泛函是尖锐的绝对常数。我们的模型包括和推广的标准随机多面体。
Uniform deviation and moment inequalities for random polytopes with general densities in arbitrary convex bodies
证明了独立同分布有限样本的凸包的指数偏差不等式。在$\R^d$、$d\geq 2$中的任意凸体上支持的具有密度的随机点。当密度是均匀的，我们的结果产生率最优的上界的所有时刻的缺失体积的凸包，一致的所有凸体的$\R^d$：我们不限制他们的体积，在空间中的位置或光滑的边界。在推广了Efron的一个恒等式后，我们还证明了随机多面体顶点数的矩的上界。令人惊讶的是，这些边界不依赖于底层的密度，我们证明，我们得到的增长率在一定意义上是紧的。
The minimax risk of truncated series estimators for symmetric convex polytopes
研究对称凸多胞体截断序列估计的极小极大风险的最优性。我们表明，最佳的截断序列估计是在$O(\log m)$的最佳因素，如果多面体是由$m$超平面定义。这代表了第一个这样的边界一般凸体。为了证明我们的结果，我们首先定义了一个几何量，称为\emph{approximation radius}，下界的极小极大风险。然后，我们通过建立近似半径和Kolmogorov宽度之间的联系来推导出我们的边界，Kolmogorov宽度是为截断序列估计提供上界的量。此外，我们的证明包含几个成分，这可能是独立的利益：1。近似半径的概念取决于物体的体积。这是一个直观的概念，是灵活的，以产生强极大极小下界; 2。近似半径和Kolmogorov宽度之间的联系是Kolmogorov宽度上的一种新的对偶关系的结果，该关系是利用凸几何的一些深入结果开发的。
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