There are no Cubic Graphs on 26 Vertices with Crossing Number 10 or 11
我们证明了26阶三次图的交叉数不大于9，从而证明了Ed Pegg Jr和Geoffrey Exoo关于交叉数为11的最小三次图有28个顶点的猜想.这个结果是通过首先消除所有围长为3的图来实现的，然后使用最近开发的QuickCross启发式算法来找到每个剩余图的良好嵌入。在发现的嵌入有10个或更多的交叉的情况下，启发式重新运行与不同的参数设置，直到嵌入少于10个crosssses是found.We提供了一个最小的例子，一个三次图的28个顶点的交叉数为10，也首次展示了一个三次图的30个顶点的交叉数为12，我们猜想是最小的。
2019-05-16 math.CO
Facial unique-maximum colorings of plane graphs with restriction on big vertices
平面图的面唯一最大染色是顶点使用正整数的适当染色，使得每个面都有唯一的顶点，该顶点在该面中接收最大颜色。Fabrici和Göring（2016）提出了一个加强四色定理的假设，即所有平面图都有一个使用四种颜色的面唯一最大着色。这一猜想已被一般的平面图证明是错误的，它表明，五种颜色就足够了。本文证明了度至少为4的顶点诱导星森林的平面图是面唯一最大4-可着色图。这改进了Andova，Lidickeland，Lužar和Škrekovski（2018）关于次三次平面图的先前结果。最后，我们提出了一些问题的文件。
2018-06-19 math.CO
Embedding Hypertrees into Steiner Triple Systems
本文研究了以下问题：给定$m$上的任意Steiner三元系$S$和$n$上的任意3-一致超树$T$，$S$是否必须包含$T$作为$m \geq (1+μ)n$的子图？我们证明了一类超树的答案是肯定的，并猜想答案总是肯定的。
2019-05-14 math.CO
Tree Embeddings and Tree-Star Ramsey Numbers
我们说，一个图$F$可以嵌入到一个图$G$，如果$G$包含一个同构副本的$F$作为一个子图。Guo和Rehmann \cite{GV}证明了：如果$G$是一个顶点数至少为$n$且最小度至少为$n-3$的连通图，则任何顶点数为$n$且最大度至多为$n-4$的树都可以嵌入到$G$中.本文给出了一个比这个猜想稍强的结果，并得到了一个最大度至多为$n-3$且顶点数为$n$的树可以嵌入到最小度至少为$n-3$且顶点数至少为$n$的连通图G中的充必要条件.我们的结果意味着Guo和Reynmann的猜想是正确的，但有一个例外。我们也给出了一个应用程序的Ramsey数的一棵树对一个明星。
2021-12-30 math.CO
Fast embedding of spanning trees in biased Maker-Breaker games
给定$n$顶点上的树$T=(V,E)$，我们考虑$(1 : q)$ Maker-Breaker树嵌入博弈${\mathcal T}_n$。这个博弈的棋盘是完全图在$n$顶点上的边集。Maker赢得${\mathcal T}_n$当且仅当他能够声明$T$副本的所有边。我们证明了存在实数$α, ε> 0$，使得对于足够大的$n$和$n$顶点上的每棵树$T$，最大程度地在大多数$n^ε$上，对于每个$q \leq n^α$，Maker都有一个$(1 : q)$游戏${\mathcal T}_n$的获胜策略。此外，我们证明了制造商可以赢得这个游戏内$n + o(n)$移动这显然是渐近最优的。
2010-10-14 math.CO
Embedding nearly-spanning bounded degree trees
利用图G的扩张性质，得到了n阶稀疏图G包含最大度为d的树T在（1-ε）n阶上的一个副本的充分条件.结果表明，对于固定的d \geq 2和0<ε<1，存在常数c=c（d，ε），使得随机图G（n，c/n）几乎必然包含（1-ε）n个顶点上的树T的一个副本，其最大度不超过d.我们还证明了，如果一个（n，D，λ）-图G（即，如果n个顶点上的D-正则图的特征值除第一个特征值外，其余特征值的绝对值至多为λ）具有足够大的谱间隙D/λ作为d和ε的函数，则G有上述树T的一个副本.
2007-06-27 math.CO
The Matching Book Embedding of Biconnected Outerplanar Graphs
图$G$的$n$ - $book ~embedding$是图$G$在$n$ -书中的嵌入，其中$G$的顶点在书脊上，并且每个边到页面而不彼此交叉。如果$G$的顶点的度在每一页中至多为一，则$n$ -书嵌入为$matching$ .图$G$的$matching~ book~ thickness$是最小的$n$，使得$G$可以匹配嵌入到一个$n$ -书中。本文确定了双连通外平面图的匹配书厚。
2022-08-12 math.CO
Embedding spanning bipartite graphs of small bandwidth
Boettcher，Schacht和Taraz给出了n阶图G的最小度的一个条件，使得G包含每个有界度且带宽为o（n）的n阶r-色图H，从而证明了Bollobas和Komlos的一个猜想.我们加强了这个结果的情况下，当H是二分的。实际上，我们给出了一个关于n阶图G的度序列的本质上最好的可能条件，使得G包含每一个有界度和带宽为o（n）的n阶二部图H.这也意味着矿石型结果。事实上，我们证明了一个更强的结果，其中G的条件放宽到某种鲁棒扩展性质。我们的结果也证实了Balogh，Kostochka和Treglown关于图的度序列的猜想的二部情况下，迫使一个完美的H-包装。
2012-09-05 math.CO
On the genera of polyhedral embeddings of cubic graph
本文研究三次图的多面体嵌入，提出高效计算算法，证明偶三次图可在任意高亏格嵌入，但多数三次图无任何亏格的多面体嵌入。
2021-11-03 math.CO
Sequentially embeddable graphs
如果图$G$的顶点位于$\mathbb Z^2$中，并且邻顶点之间的线段不包含内部整数点，则称图$G$在平面\emph{sequential}中的嵌入（不一定是平面的）。本文证明了：（i）图$G$有序列嵌入当且仅当$G$是4-可着色的;（ii）如果$G$是平面图，则$G$有序列平面嵌入.
2018-12-07 math.CO
A Moser-spindle-free 5-chromatic unit distance graph on 2131 vertices in the plane
针对Hadwiger-Nelson问题，本研究构造出不含Moser纺锤体的2131顶点5色单位距离图，改进了此前64513顶点的同类结果，利用21顶点7对称单位距离图的弧完成构造。
2026-10-07 math.CO
Sums of Distances on Graphs and Embeddings into Euclidean Space
设$G=(V,E)$是一个有限连通图.我们考虑一个贪婪的选择顶点：给定一个列表的顶点$x_1, \dots, x_k$，采取$x_{k+1}$是任何顶点最大化的距离之和现有的顶点和：我们不断增加的“最偏远”的顶点。图的顶点在这个序列中出现的频率收敛于一组具有良好性质的概率测度。这些措施的支持，一般来说，由一个相当小的顶点数$m \ll |V|$。我们证明，这表明，图$G$是最多的“$m$维"表现出明确的$1-$ Lipschitz嵌入$ϕ: G \rightarrow \ell^1(\mathbb{R}^m)$具有良好的性能。
2022-05-05 cs.DM math.CO
Embedding dimensions of simplicial complexes on few vertices
该研究给出少顶点单纯复形可嵌入d-球面的充要条件，由此重获经典定理并推广相关结论，还证明这类复形的连续与线性嵌入等价。
2023-03-14 math.CO math.GT
Efficient proper embedding of a daisy cube
对于长度为$h$的二进制字的集合$X$，菊花立方体$Q_h(X)$被定义为由连接$X$的顶点与顶点$0 ^h$的最短路径上的所有顶点的集合导出的超立方体$Q_h$的子图。所有这些路径相交的顶点是菊花立方体的最小顶点。同构于雏菊立方体的图$G$允许多个等距嵌入到超立方体中。我们证明了等距嵌入是适当的当且仅当标签$0 ^h$被分配给$G$的最小顶点。这个结果使我们能够设计一个算法，找到一个适当的嵌入图同构到一个雏菊立方体到超立方体在线性时间。
2020-06-15 math.CO
Scaffold for the polyhedral embedding of cubic graphs
设$G$是一个三次图，$Π$是这个图的一个多面体嵌入。$Π$的扩展图$G^{e},$是其顶点集为$V(G^{e})=V(G)$且其边集$E(G^{e})$等于$E(G) \cup \mathcal{S}$的图，其中$\mathcal{S}$构造如下：给定$V(G^{e})$中的两个顶点$t_0$和$t_3$，如果存在$3$ -路径，则我们称之为$[t_0 t_3] \in \mathcal{S},$，$(t_0 t_1 t_2 t_3) \in G$是嵌入的$Π$ -面部子行走。我们证明了$G$的可能扩展图集与$G$的多面体嵌入之间存在一一对应关系。
2019-11-26 math.CO
Enumeration of one class of plane weighted trees
通过加权树我们理解这样的连通树：a）它的每个顶点和每条边都有一个正整数权; b）每个顶点的权等于出边的权之和。每棵树都有一个二进制结构-我们可以用两种颜色，黑色和白色来给它的顶点着色，这样，相邻的邻顶点就有不同的颜色。类型是一组成对的非同位素平面加权树，具有给定的白色顶点的权重列表和给定的黑色顶点的权重列表。在这项工作中，我们提出了一种方法来计算一个给定类型的基数。
2013-10-23 math.CO
The rainbow Erdős-Rothschild problem for the Fano plane
Fano平面是唯一的关于七个顶点和七个超边的线性3-一致超图。最近证明了，对于所有的$n \geq 8$，平衡完全二部3-一致$n$超图（记为$B_n$）是不包含Fano平面副本的具有最大超边数的3-一致$n$超图.对于足够大的$r$和$n$，我们表明，$B_n$承认的最大数量的$r$边着色没有彩虹副本的Fano平面。
2020-05-30 math.CO
Embedding bounded degree spanning trees in random graphs
我们证明了如果树$T$有$n$个顶点，且最大度至多为$Δ$，那么几乎必然能在随机图$\mathcal{G}(n,Δ\log^5 n/n)$中找到$T$的一个拷贝。
2014-06-26 math.CO
Dominating maximal outerplane graphs and Hamiltonian plane triangulations
设$G$是一个图，$γ(G)$表示$G$的控制数，即$S$的最小顶点集的基数，使得$G$的每个顶点要么在$S$中，要么与$S$中的一个顶点相邻. Matheson和Tarjan证明了具有足够多$n$顶点的平面三角剖分具有$γ(G)\le n/4$。他们的推测仍未确定。本文证明了：（1）顶点为$n$的极大外平面图有$γ(G)\le \lceil \frac{n+k} 4\rceil$，其中$k$是$G$的边界上连续的2度顶点的距离至少为3的对的个数;（2）顶点为$n \ge 23$的Hamilton平面三角剖分$G$有$γ(G)\le 5n/16 $ .我们还指出了Li等人在[Discrete Appl. Math.198（2016）164-169]中最近发表的关于这个主题的几个不正确的结果，并提供了反例。
2019-03-06 math.CO
On L-shaped point set embeddings of trees: first non-embeddable examples
树在点集中的L形嵌入是树的平面图，其中顶点被映射到不同的点，并且每个边被绘制为两个轴对齐的线段的序列。有相当多的工作建立上界的最小基数的点集，以保证任何树的相同大小的最大程度4承认一个L形嵌入的点集。然而，到目前为止，还没有已知的非平凡下限，即，没有已知的$n$顶点树需要多于$n$的点被嵌入。在本文中，我们提出了第一个例子的$n$ -顶点树$n\in\{13,14,16,17,18,19,20\}$，需要严格更多的点比顶点承认一个L形嵌入。此外，使用计算机的帮助下，我们证明了每棵树上的$n\leq 12$顶点承认一个L形嵌入在每一组$n$点。我们还考虑嵌入有序树，其中每个顶点的邻居在嵌入的循环顺序是规定的。对于这种设置，我们确定最小的不可嵌入的有序树$n=10$顶点，我们表明，每一个有序树$n\leq 9$或$n=11$顶点承认一个L形嵌入在每一组$n$点。我们还构建了一个无限家庭的有序树并不总是承认一个L形嵌入，回答了一个问题提出的Biedl，陈，Derka，Jain，和Lubiw。
2020-04-29 cs.CG math.CO
Expected degrees in random plane graphs
本文利用交叉图充电方案，研究了随机平面图中顶点的期望度数，证明了孤立顶点期望数量的上下界及度数为 $i$ 的顶点期望数量上界。
2024-11-13 math.CO
Simultaneous Embeddings with Vertices Mapping to Pre-Specified Points
本文讨论了图在平面上的嵌入问题，并给出了顶点映射的限制条件。特别是，我们介绍了一种技术，用于绘制平面图与固定的顶点映射，边界的次数边弯曲。这种技术的直接结果是，任何平面图都可以用固定的顶点映射来绘制，以便边映射到分段线性曲线，每个曲线最多有$3n + O(1)$弯曲。通过考虑均匀随机平面图，我们证明了平均每条边的$2n + O(1)$弯曲是足够的。为了进一步利用我们的技术，我们考虑同时嵌入的$k$均匀随机平面图的顶点映射到一个固定的，共同的点集。我们解释了如何实现这样的绘图，使边缘映射到分段线性曲线与$O(n^{1-1/k})$弯曲，这与压倒性的概率。对于$k \geq 2$的情况，这个结果改进了以前最好的结果，即每条边的弯曲次数为O（n）。此外，我们给出了一个下界的弯曲的数量匹配我们的上限，证明我们的结果是最优的。
2012-06-04 cs.CG math.CO
Embedding cycles in finite planes
本文定义并研究了有限仿射平面和射影平面中的圈嵌入。我们证明了对所有的$k$，$3\le k\le q^2$，一个$k$ -圈可以嵌入任何$q$阶仿射平面.对于有限射影平面，我们也证明了一个类似的结果：对所有的$k$，$3\le k\le q^2+q+1$，一个$k$ -圈可以嵌入任何$q$阶的射影平面.
2013-05-12 math.CO
Embedding Quartic Eulerian Digraphs on the Plane
在平面上嵌入4-正则欧拉有向图的最小障碍被认为是与由圈去除操作定义的偏序有关。给出了它们的基本性质，并对平行弧障碍物进行了分类。
2017-06-09 math.CO
Embeddings of Ree unitals in a projective plane over a field
证明了Ree单位元$\mathcal{R}(q)$在域$F$上的射影平面中有嵌入当且仅当$q=3$和$\mathbb{F}_8$是$F$的子域.在这种情况下，嵌入对于投影线性变换来说是唯一的。除了初等计算外，我们还利用了简单Ree群的极大子群的分类.
2021-01-25 math.CO
Even and odd plane labelled bipartite trees
设$T(n,m)$是所有平面标号二分树的集合，其顶点为$n$白色和$m$黑色。如果顶点数$n+m$是偶数，则集合$T(n,m)$是两个不相交子集的并集--“偶数”树的子集和“奇数”树的子集。这种划分具有明确的几何意义。
2016-11-03 math.CO
Embedding graphs having Ore-degree at most five
设$H$和$G$是关于$n$顶点的图，其中$n$足够大。我们证明了如果$H$的Ore度最多为5，而$G$的最小度至少为$2n/3$，则$H\subset G.$
2018-12-29 math.CO
Annular embeddings of permutations for arbitrary genus
在大小为2n的集合上的对称群中，令P_{2n}表示没有不动点的对合的共轭类（等价地，我们将这些称为"配对“，因为每个不相交的循环的长度为2）。Harer和Zagier明确地确定了长度为2n的固定圈与P_{2n}的元素的乘积中不相交圈数的分布。他们的著名结果已经被多次证明，主要是因为它可以被解释为一个图的可定向曲面中的2-胞嵌入的亏格分布，该图具有一个连接到n个回路的单顶点。本文给出了一个具有两个循环的固定置换（假定长度为p，q，其中p+q=2n）与P_{2n}的元素相乘时的循环分布的新公式.它可以被解释为2-胞嵌入在一个可定向曲面中的亏格分布，该曲面具有两个顶点，度为p和q。在这些图中，公式包含一个参数，允许我们分别指定两个顶点之间的边数和每个顶点处的环数。证明是组合的，并使用一个新的算法，我们介绍创建所有的根森林包含一个给定的根森林。
2008-03-05 math.CO
Checkerboard embeddings of *-graphs into nonorientable surfaces
本文考虑顶点度为4或6的 *-图，研究了这类图嵌入的不可定向曲面的亏格的计算问题。在作者的前一篇论文中，计算一个给定的 *-图，其中所有的顶点都有度4或6允许一个Z 2-同调平凡嵌入到一个给定的可定向曲面的问题被证明是等价于一个矩阵问题。在这里，我们将这些结果推广到不可定向曲面。我们得到的可嵌入性条件产生二次时间算法，以确定是否一个 *-图的度为4或6的所有顶点承认Z2-同调平凡嵌入到射影平面或到克莱因瓶。
2013-12-31 math.CO math.GT
Reducing quadrangulations of the sphere and the projective plane
我们证明了球面的每一个四边形都可以通过删除度- $2$顶点和在度- $3$顶点处的$t$ -收缩变换成一个$4$ -圈.一个$t$ -收缩同时收缩在一个具有稳定邻域的顶点处的所有入射边。该运算主要应用于$t$ -完美图领域。进一步证明了射影平面的非二分四边形可以通过度- $2$顶点的$t$ -收缩和消去变换为奇轮.我们证明了射影平面的四边形图是（强）$t$ -完美的当且仅当它是二部图.
2017-03-13 math.CO
Random increasing plane trees: asymptotic enumeration of vertices by distance from leaves
我们证明了，对于任何固定的$k$，概率随机增加平面树的随机顶点是秩$k$，即概率，随机顶点是在距离$k$的叶子，收敛到一个常数$c_k$的大小$n$的树走向无穷大。{ \color{blue}我们证明了$1-\sum_{j\le k} c_k<\tfrac{3^{k+1}}{(2k+1)!}$，使得极限秩分布的尾部是超指数窄的。我们证明了后一性质对所有有限$n$也一致成立。更一般地，我们证明了一个有限的一致随机顶点集的秩是渐近独立的，每个分布$\{c_k\}$。我们计算了$0\leq k\leq 3$的$c_k$的精确值，证明了秩为$\le 3$的顶点的极限期望分数是$0.9997\dots$。我们证明了树中顶点的最高秩以概率$1-n^{-0.99\eps}$夹在$(1-\eps)\log n /\log\log n$和$(1.5+\eps)\log n/\log\log n$之间，{ \color{blue}且此秩以概率$1-o(1)$渐近于$\log n/\log\log n$。}
2022-08-05 math.CO
Discrete Trace Theorems and Energy Minimizing Spring Embeddings of Planar Graphs
Tutte的弹簧嵌入定理指出，对于一个三连通的可平面图，如果图的外表面固定为平面中某个凸区域的补，并且所有其他顶点都位于其邻居的质心处，则这导致唯一嵌入，并且这个嵌入是平面的。它也相当快地遵循，这种嵌入最小化平方边长之和，条件是嵌入的外面。然而，如何嵌入该外表面根本不清楚。我们考虑嵌入这个外面的最小化问题，一些规范化，使平方边长的总和最小化。在这项工作中，我们展示了这个最优化问题和Schur补的图拉普拉斯算子的内部顶点之间的连接。我们证明了一些离散迹定理，并使用这些新的结果，显示谱等价的这舒尔补与边界拉普拉斯算子的一半权力的一大类图。利用这一结果，我们给出了这个最优化问题的理论保证，这促使一个算法来嵌入弹簧嵌入的外表面。
2020-07-08 math.CO
Dominating Plane Triangulations
1996年，Tarjan和Matheson证明了：如果$G$是一个平面三角形圆盘，其顶点为$n$，则有$γ(G)\le n/3$，其中$γ(G)$表示$G$的控制数.此外，他们证实，对于足够大的$n$，常数$1/3$可以改进为$1/4$。他们的推测仍未确定。本文证明了：若$G$是一个以$|V(G)|=n$为顶点且最小度至少为4的Hamilton平面三角剖分，则$γ(G)\le\max\{\lceil 2n/7\rceil, \lfloor 5n/16\rfloor\}$ .紧接着，如果$G$是具有$n$顶点的4连通平面三角剖分，则$γ(G)\le\max\{\lceil 2n/7\rceil, \lfloor 5n/16\rfloor\} $。因此，如果$n\ge 26$，则$γ(G)\le \lfloor 5n/16\rfloor$。
2014-08-20 math.CO
On the cyclic coloring conjecture
平面图$G$的循环着色是指平面图的顶点的着色，使得与同一面关联的顶点具有不同的颜色。平面图$G$的循环染色的最小颜色数是它的循环色数$χ_c(G)$。设$Δ^*(G)$是图$G$的最大面度。证明了Borodin在1984年提出的循环着色猜想，即每个连通平面图$G$都有$χ_c(G) \leq \lfloor \frac{3}{2}Δ^*(G)\rfloor$，对于简单$3$ -连通平面图的剖分，证明了这一猜想.我们已经发现了四个新的不同的上界$χ_c(G)$的图$G$从这个限制家庭，其中三个界限是紧的。作为推论，我们证明了该猜想对平面三角剖分、简单$3$ -连通平面四边形剖分和具有偶数最大面度的简单$3$ -连通平面五角剖分成立，对最大度至少为10的简单$3$ -连通平面图的正则剖分成立，对于简单$3$ -连通平面图的最大面度与其最长路的顶点数相比足够大的图的剖分，本文给出了一个新的证明.
2020-09-22 math.CO
Spanning embeddings of arrangeable graphs with sublinear bandwidth
Böttcher，Schacht和Taraz的带宽定理[Mathematische Annalen 343（1），175-205]给出了具有小带宽和有界最大度的生成图H包含的最小度条件。我们把这个结果推广到α-可交换图H，其中Δ（H）<sqrt（n）/log（n），n是H的顶点数.我们的结果意味着最小度至少为（3/4+γ）n的足够大的n-顶点图G几乎包含所有n个顶点上的可平面图作为子图.使用技术开发的艾伦，Brightwell和Skokan [Combinatorica，出现]我们也可以应用我们的方法来表明，几乎所有的可平面图H的拉姆齐数最多为12 |H|。对于可嵌入到不同可定向曲面上的图，我们得到了相应的结果。
2013-05-09 math.CO
Fault-Tolerant Path-Embedding of Twisted Hypercube-Like Networks THLNs
扭曲超立方体网络（$THLNs$）包含几个重要的超立方体变体。本文研究$n$维（$n$ - $D$）$THLNs$的容错路径嵌入问题。令$G_n$是$n$ - $D$ $THLN$，$F$是具有$|F|\leq n-2$的$V(G_n)\cup E(G_n)$的子集.本文证明了对于任意两个不同的正确顶点$u$和$v$，存在一条无故障路径$P_{uv}$，其长度为$l$，且具有$2^{n-1}-1\leq l\leq 2^n-f_v-1-α$，其中$α=0$是指$u$和$v$在$G_n-F$（$n\geq5$）中形成一个正常顶点对，$α=1$是指$u$和$v$在$G_n-F$（）中形成一个弱顶点对.
2019-06-12 cs.NI math.CO
Small unit-distance graphs in the plane
证明了一个顶点数不超过9的图是单位距离图当且仅当它不包含74个所谓的最小禁止图之一。这扩展了Chilakamarri和Mahoney（1995）的工作，他们为最多7个顶点的单位距离图提供了类似的分类。
2019-05-24 math.CO
A note on tropical triangles in the plane
我们定义横向热带三角形（仿射和投影），并通过六个不等式来满足顶点的坐标来表征它们。本文证明了横截热带三角形的顶点是热带独立的，它们热带地跨越一个边有斜率$\infty,0,1$的典型六边形。利用这个经典的六边形，我们确定了横截热带三角形的参数空间。横截热带三角形的顶点坐标决定了一个热带正则矩阵。得到了热带平面的三角剖分。
2008-10-16 math.CO
The number of trees half of whose vertices are leaves and asymptotic enumeration of plane real algebraic curves
给定次数$d$的拓扑不同的平面实代数曲线的数目具有$\exp(C d^2 + o(d^2))$的形式。我们确定了常数$C$的最佳上界。这个界限是由关于空椭圆个数的Arnold不等式得出的。为了评估其速率，我们证明了其等价的增长率的数量的树木，其顶点的一半是叶子和评估后者的速度。
2003-01-22 math.AG math.CO
Enumeration of Tree-like Maps with Arbitrary Number of Vertices
本文给出了任意顶点数的树型图按亏格嵌入的生成级数。它适用于和扩展的技术陈，在那里它被用来给一个替代的证明古尔登和Slofstra公式。此外，这大大推广了著名的计算曲线模空间的欧拉示性数的Harer-Zagier公式，并且等价于单顶点映射的计算。
2017-02-09 math.CO
Linking number of monotonic cycles in random book embeddings of complete graphs
一个完全图的书嵌入是一个空间嵌入，其平面投影的顶点位于一个圆上，连续的顶点由圆的弧连接，图中剩余的“内部”边的投影是圆上代表适当顶点的点之间的直线段。一个完全图的随机嵌入可以通过随机分配相对高度给这些内部边缘来生成。我们研究一族两分量链接，它们是在这些图的随机嵌入中实现不相交圈对时产生的。特别是，我们表明，分布的环绕数可以描述的欧拉数。因此，所有随机嵌入上的平方环绕数的平均值是$\frac{i}{6}$，其中$i$是循环中的内部边缘的数量。我们还证明了在$K_{2n}$中的所有$n$ -圈对上的平方环绕数的均值在$n$中线性增长。
2023-01-05 math.CO math.GT
Bi-eulerian embeddings of graphs and digraphs
本文研究图与有向图的双欧拉嵌入，给出了可定向与不可定向双欧拉嵌入的存在条件，并将其与有向嵌入的最大亏格问题相联系，证明在特定度数条件下可构造由给定欧拉回路围成面的嵌入，同时隐含给出多项式时间算法。
2024-03-30 math.CO
Burning the plane: densities of the infinite Cartesian grid
图燃烧是图上的离散时间过程，其中顶点被顺序地燃烧，并且燃烧的顶点会导致其邻居随着时间的推移而燃烧。我们考虑这个过程的极值性质在新的设置，其中底层图也在每个时间步发生变化。主要的重点是燃烧顶点的可能的密度时的序列的基础图形是增长的网格在笛卡尔平面上，在原点为中心。如果网格在时间$n$时的高度和宽度为$2cn+1$，则$\left [ \frac{1}{2c^2} , 1 \right ]$中的所有值都是烧成集的可能密度。对于快速增长的网格，我们表明，有一个阈值行为：如果在时间$n$的网格的大小是$ω(n^{3/2})$，那么燃烧顶点的密度总是$0$，而如果网格的大小是$Θ(n^{3/2})$，那么正密度是可能的。一些扩展到任意但固定尺寸的格也被考虑。
2020-05-14 math.CO
Rolling backwards can move you forward: on embedding problems in sparse expanders
我们开发了一个通用的嵌入方法的基础上的Friedman-Pippenger树嵌入技术（1987年）和它的算法版本，基本上是由于Aggarwal等人。（1996年），增强了回滚的想法，允许顺序回溯先前执行的嵌入步骤。我们用这种方法得到了以下结果。- 我们证明了有界度图的几何上长的子图的大小-Ramsey数与其顶点数是线性的，解决了Pak（2002）的一个猜想。- 我们给出了一个确定性的，多项式时间的在线算法，用于在扩展图中的给定顶点对之间找到指定长度的顶点不相交路径。我们的结果回答了Alon和Capalbo（2007）的一个问题。我们证明了$d$ -正则图的谱比上的相对弱的界迫使$K_t$的拓扑子式的存在，其中$t=(1-o(1))d$。我们还展示了一个结构，这表明，理论上的最大$t=d+1$不能达到，即使$λ=O(\sqrt{d})$。这回答了Fountoulakis，Kühn和Osthus（2009）的问题。
2021-03-19 math.CO
Embedding perfectly balanced 2-caterpillar into its optimal hypercube
关于超立方体的生成树的一个长期存在的猜想指出，$2^n$顶点上的平衡树的最大度至多为$3$，该平衡树跨越维度为$n$ \cite{havel1986}的超立方体。本文解决了一类特殊二叉树的猜想。一个$0$ -毛虫是一个路径。对于$k\geq 1$，一个$k$ -毛虫是一个二叉树，由一个路径和从路径上的一些顶点发出的$j$ -毛虫$(0\leq j\leq k-1)$组成。一个包含完美匹配的$k$ -毛虫被称为完美平衡。本文证明了在$2^n$顶点上的完美平衡$2$ -毛虫跨越维数为$n$的超立方体.
2021-10-12 cs.DM math.CO
On the number of regions and multiplicities of vertices in plane arrangements
对于实射影平面中的$n$伪线的布置，让我们用$t_i$表示入射到$i$线的顶点的数目。得到了一个类似于Hirzebruch不等式的线性$t_i$不等式，但给出了初等证明.我们提出了一个算法，用于产生下界的区域数的线性$t_i$不等式的基础上，如上述。下界出现在与Martinov定理的所有可能的区域数的集合，我们展示了如何新的界限可能会被应用于它。
2012-03-06 math.CO math.GT
On Edge-Partitioning of Complete Geometric Graphs into Plane Trees
为了回答一个著名的公开问题“是否每个在$2n\/$顶点上的完全几何图的边集都有一个划分为$n\/$平面生成树？“我们提供了一个肯定的答案时，完整的几何图形是在正常的车轮配置。给出了$2n\/$顶点上的完全几何图的边集可划分为$n\/$平面生成树（双星、毛虫或$ w\/$ -毛虫）的充分条件.
2019-06-13 math.CO
Primary Non-QE Graphs on Six Vertices
本研究针对图的二次嵌入分类问题，明确非QE图及本原非QE图的定义，完成了六个顶点所有图的QE类、非QE类、本原非QE类的完整划分。
2022-09-10 math.CO
A note on some embedding problems for oriented graphs
我们猜想，每个定向图$G$在$n$的顶点上都含有$δ^+ (G) , δ^- (G) \geq 5n/12$，它包含一个Hamilton圈的平方。我们还给出了在定向图中传递三角形的最小半度的一个几何界。拉姆齐数和传递竞赛图的完美包装之间的联系也被认为是。
2010-11-19 math.CO
Cyclic Coloring of Plane Graphs with Maximum Face Size 16 and 17
Plummer和Toft在1987年证明了每个具有最大面尺寸D的3-连通平面图的顶点最多可以用D+2种颜色着色，使得没有一个面与两个相同颜色的顶点相关联。该猜想已被证明为D=3，D=4和D>=18。我们证明了D=16和D=17的猜想。
2020-12-08 math.CO
Rectilinear Crossings in Complete Balanced d-Partite d-Uniform Hypergraphs
本文研究了完全平衡$d$ -部$d$ -一致超图的嵌入问题，其中所有$nd$顶点表示为$\mathbb{R}^d$中一般位置上的点，每个超边表示为$d$相应顶点的凸包.我们假设顶点集被划分为$d$不相交的集合，每个集合的大小为$n$，使得超边中的每个顶点来自不同的集合。如果两个超边顶点不相交，并且在它们的相对内部包含一个公共点，则称它们相交。利用广义色Tverberg定理，我们观察到，对于足够大的$n$和$d$，具有$nd$顶点的完全平衡$d$ -部$d$ -一致超图的这种嵌入包含$Ω\left((8/3)^{d/2}\right){\left({n/2}\right)^d{\left((n-1)/2\right)}^d}$交叉超边对.利用Gale变换和Ham-Sandwich定理，我们对足够大的$n$和$d$将这个下界改进为$ Ω\left(2^{d}\right){\left({n/2}\right)^d{\left((n-1)/2\right)}^d}$.
2019-11-11 math.CO
Sharp threshold for embedding combs and other spanning trees in random graphs
当$k|n$时，树$\mathrm{Comb}_{n,k}$由一条包含$n/k$顶点的路组成，每个顶点都有一个从它开始的不相交路长$k-1$.我们证明了，对于任何$k=k(n)$和$ε>0$，二项式随机图$\mathcal{G}(n,(1+ε)\log n/ n)$几乎必然包含$\mathrm{Comb}_{n,k}$作为子图.这改进了Kahn，Lubetzky和Wormald最近的一个结果.我们证明了一个类似的声明，更一般的一类树包含这些梳和所有有界度生成树，至少有$εn/ \log^9n$不相交的裸路径长度$\lceil\log^9 n\rceil$。我们还给出了一个在二项随机图中寻找大扩张子图的有效方法。这使我们能够改善Balogh，Csaba，Pei和Samotij关于几乎生成树的结果。
2014-05-26 math.CO
Tutte Embeddings of Tetrahedral Meshes
Tutte的嵌入定理指出，如果外部面处于凸位置，并且内部顶点是它们的邻居的凸组合，则每个不具有$K_5$或$K_{3,3}$子图的3连通图（即平面图）嵌入在平面中。我们表明，这一结果扩展到简单连接的四面体网格在一个自然的方式：对于四面体网格要嵌入，如果外多面体是凸的位置和内部顶点是凸的组合，他们的邻居，它是足够的（但不是必要的），四面体网格的图形包含没有$K_6$和没有$K_{3,3,1}$，和所有的三角形事件的三个边界顶点是边界三角形。
2023-02-07 cs.CG cs.GR math.CO
Triangle-free induced subgraphs of the unitary polarity graph
设$\perp$是$q^2$阶有限射影平面$π$的酉极性.酉极性图是以$π$中的点为顶点集的图，其中两个顶点$x$和$y$相邻，如果$x \in y^\perp$。证明了任意射影平面的酉极性图的无三角形导出子图至多有$(q^4+q)/2$顶点。当$π$是Deskiesian射影平面$\mathrm{PG}(2,q^2)$且$q$是偶数时，我们通过在$q^4/2$顶点上提供一个例子，证明了上界是渐近尖锐的.最后讨论了当$π$是Figueroa平面时的情形。
2018-05-02 math.CO
