高阶 scrambled 数字网对光滑被积函数达到均方根误差的最优速率
Erratum to "Higher order scrambled digital nets achieve the optimal rate of the root mean square error for smooth integrands"
AI总结：
本文提出一种新的随机化拟蒙特卡洛算法，通过高阶 scrambled 数字网实现光滑被积函数均方根误差的收敛速率 N^{-α-1/2+ε}，并证明该速率在给定光滑性条件下不可改进。
摘要：
我们研究一种随机采样技术，通过在采样点处对函数求平均来近似积分 $\int_{[0,1]^s}f(\mathbf{x})\,\mathrm{d}\mathbf{x}$。我们关注被积函数光滑的情形，这是统计学中出现的问题。近似误差的收敛速率取决于函数 $f$ 的光滑性和采样技术。例如，对于具有有限方差的函数 $f$，蒙特卡洛（MC）采样产生的均方根误差（RMSE）收敛阶为 $N^{-1/2}$（其中 $N$ 是样本数）。随机化 QMC（RQMC）是 MC 和拟蒙特卡洛（QMC）的结合，在被积函数具有有界变差的更强假设下，RMSE 达到 $N^{-3/2+\varepsilon}$ 阶。RQMC 与局部对偶抽样的结合，对于具有直到二阶混合偏导数的函数，RMSE 收敛阶为 $N^{-3/2-1/s+\varepsilon}$（其中 $s\ge1$ 是维数）。被积函数的额外光滑性通常不会提高这些算法的收敛速率。另一方面，已知如果没有被积函数的额外光滑性，则不可能提高收敛速率。本文介绍一种新的 RQMC 算法，我们证明该算法在满足每个变量具有直到 $α>1$ 阶平方可积混合偏导数的强假设下，均方根误差（RMSE）的收敛阶达到 $N^{-α-1/2+\varepsilon}$。已知的 RMSE 下界表明，对于具有该光滑性的被积函数，该收敛速率一般无法改进。我们提供的数值示例中，RMSE 分别以约 $N^{-5/2}$ 和 $N^{-7/2}$ 阶收敛，与理论上界一致。
英文摘要：
This note corrects several statements and proof steps in J.~Dick, \emph{Annals of Statistics} \textbf{39} (2011), 1372--1398, DOI: 10.1214/11-AOS880, arXiv:1007.0842 v4. The principal smooth-function result remains valid: an order-$d$ nested-uniformly scrambled digital $(t,m,ds)$-net has root mean square integration error $O(N^{-\min(α,d)-1/2+\varepsilon})$ for every $\varepsilon>0$ for functions in the unanchored Sobolev space with square-integrable mixed partial derivatives up to order $α$ in each variable. The finite-difference variation introduced in the paper neither coincides with the displayed Sobolev norm nor directly controls the finite differences used in Appendix~B; the claimed theorem for that variation is therefore withdrawn here. In addition, the variance bound in Theorem~10 is missing a square, and the proof for $d>α$ does not prove the logarithmic power printed in the theorem. We give a direct Sobolev proof, and a corrected logarithmic factor.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
