平面上$L^p$ -向量场的一个可积性结果

An integrability result for $L^p$-vectorfields in the plane

Mircea Petrache

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摘要：

证明了如果$p>1$，则$L^p$ -向量场$V$在二维区域$Ω$上的发散是积分1-流的边界，当且仅当$V$可以表示为$W^{1,p}$ -映射$u:Ω\to S^1$的旋转梯度$\nabla^\perp u$.这一结果推广到指数$p>1$，并推广了Alberti，Baldo，Orlandi关于分布Jacobian的结果.

英文摘要：

We prove that if $p>1$ then the divergence of a $L^p$-vectorfield $V$ on a 2-dimensional domain $Ω$ is the boundary of an integral 1-current, if and only if $V$ can be represented as the rotated gradient $\nabla^\perp u$ for a $W^{1,p}$-map $u:Ω\to S^1$. Such result extends to exponents $p>1$ the result on distributional Jacobians of Alberti, Baldo, Orlandi.

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