A combinatorial solution to LIMO 2010 question 10
Stijn Vermeeren
2010年Landelijke Interuniversitaire Mathematische Olympiade的第10题要求证明某个家族中的所有矩阵都是幂零的。这两个模型的解决方案证明了这一点使用凯莱-汉密尔顿定理。我给出了一个纯组合的证明。
Problem 10 of the Landelijke Interuniversitaire Mathematische Olympiade 2010 asks for a proof that all matrices in a certain family are nilpotent. Both model solutions prove this using the Cayley-Hamilton theorem. I give a purely combinatorial proof.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
The combinatorial equivalence of a computability theoretic question
我们表明，一个问题的米勒和所罗门-是否存在着色$c:d^{<ω}\rightarrow k$，不承认一个$c$ -可计算的变量字无限的解决方案，相当于一个自然的，非平凡的组合问题。组合问题是问是否存在一个整数的无穷序列，使得它的每个初始段都满足一个Ramsian类型属性。这是第一个已知的可计算性理论问题，等价于一个自然的，非平凡的问题，不涉及复杂性概念。证明了组合问题的否定是Hales-Jewett定理的推广。我们解决了组合问题的一些特殊情况，得到了Hales-Jewett定理在某些特定参数下的推广。
A combinatorial proof of Guo's multi-generalization of Munarini's identity
给出了郭文贵关于Munarini恒等式的多重推广的一个组合证明，回答了郭文贵的一个问题。
A Set of Questions in Combinatorial and Metric Geometry
本文简要介绍了几个问题：（1）凸公平分割猜想的推广，（2）由同一面多边形集合构成的多面体之间的非平凡不变量，（3）矩形块拼接成更大矩形的两个问题，（4）使给定面积和周长的直径最大化和最小化的凸区域。对于每个问题，我们讨论部分解决方案，并指出我们所知的有待探索的方面。
Cooperation in Combinatorial Search
本文研究组合搜索中多提问者的合作模型，重点区分提问权、答案获知权及最终需定位缺陷元素的主体。
Combinatorial identities related to eigenfunction decompositions of Hill operators: Open Questions
我们制定了几个开放的问题有关的枚举组合，这出现在谱分析的希尔运营商与三角多项式的潜力。
Combinatorial proof of identities involving partitions with distinct even parts and 4-regular partitions
针对Andrews与Bachraoui用基本超几何级数证明并寻求组合解释的互异偶数部分分拆与4-正则分拆恒等式，本文通过构造双射给出组合证明。
A combinatorial divisibility question from noncommutative algebra
我们提出了一个一般性猜想的整除的某一表达式的Kostka数及其密切的变化。这个猜想与非交换代数的周期指数问题的一个变体密切相关，在两个方向上都有部分含义。我们提出了一个描述这两个问题之间的联系，通过舒伯特微积分的动机和证据的猜想，然后再转向证明的猜想在一个家庭的情况下。
Combinatorial Proofs for Overpartitions and Two-Colored Partitions II
本文为 Andrews 和 El Bachraoui 提出的关于受约束双色分拆和超分拆的剩余结果提供了组合证明。
Combinatorial remarks on a classical theorem of Deligne
我们研究德利涅的经典证明的非球面的单纯安排的观点的偏序集的区域的安排。这是非常自然的。特别是，我们表明，一个安排是单纯的，只有当它满足德利涅的财产积极的道路，从而回答了路易斯巴黎提出的一个问题。
Combinatorial classification of quantum lens spaces
我们回答的问题是，一个量子透镜空间的尺寸必须有多大，相比的主要参数$r$，同构类依赖于次要参数。由于C* 代数理论中的分类结果将这个问题归结为一个关于一种特殊形式的整数矩阵的某种$SL$ -等价的问题，我们的方法完全是组合的，并且基于Hong和Szymaiski描述量子透镜空间的图中的某些路径的计数。
A Note on Combinatorial Derivation
给定一个无限群$G$和$G$的一个子集$A$，我们令$Δ(A) = {g \in G : |gA \cap A| =\infty}$（这有时称为$A$的组合导子）。如果存在$G$的有限子集$F$使得$FA=G$，则称$G$的子集$A$为大。我们表明，给定一个大的集合$X$，和分解$X=A_1 \cup ... \cup A_n$，必须存在一个$i$，使$Δ(A_i)$是大的。这回答了普罗塔索夫的一个问题。我们还回答了一些相关的问题Protasov。
A Generalization of Deodhar's Framework for Questions in Kazhdan-Lusztig Theory
我们取得了进展的问题Skandera表明，产品的Kazhdan-Lusztig基础元素的极大元的抛物子群指标承认Kazhdan-Lusztig基础元素作为商所产生的操作Schur代数体的当且仅当序列的抛物子群满足刚性条件和组合准则。对于外尔群，刚性条件是Gelfand-MacPherson分解小的必要条件.对于由4231-避免置换索引的Schubert簇，我们得到了一个更强的必要条件，在适当的等价条件下，至多有一个Gelfand-MacPherson分解满足，且恰好有一个当且仅当45312也是避免的.此外，我们应用的组合标准证明（本质上是唯一的）分辨率是小时，34512和45123同样避免。我们开发的组合标准的一部分，推广Deodhar的组合设置的问题，在Kazhdan-Lusztig理论，其中在外尔群的情况下，我们显示捕获Byaidynicki-Birula分解的Gelfand-MacPherson决议。特别是，我们获得了新的组合解释Kazhdan-Lusztig多项式，新的算法计算它们，并在外尔群的情况下，一个等价的存在小Gelfand-MacPherson决议与某些分解和生成函数解释的庞加莱多项式的交叉上同调的舒伯特品种。
Rounds in a combinatorial search problem
我们考虑以下组合搜索问题：我们给出了一些优秀的$[n]$元素，我们应该找到至少一个，问以下类型的问题：“有一个优秀的元素在$A \subset [n]$？".上帝卡托纳证明了尖锐的结果的数量的问题需要问的自适应，非自适应和两轮版本的这个问题。我们通过证明在$r$轮版本中，我们需要对固定的$r$询问$rn^{1/r}+O(1)$查询来验证Katona的猜想，这是尖锐的。我们还证明了边界的查询需要问，如果我们想找到至少$d$优秀的元素。
A survey of Elekes-Rónyai-type problems
我们给出了一个概述，最近的进展围绕一个问题介绍了Elekes和Rónyai。原型问题是要证明多项式$f\in \mathbb{R}[x,y]$在笛卡儿积$A\times B\subset \mathbb{R}^2$上有一个大的像，除非$f$有一个与群相关的特殊形式。我们讨论了一些变体和推广。这包括Elekes-Szabó问题，它将Elekes-Rónyai问题推广到一个关于代数曲面与笛卡尔积相交的上界的问题，以及曲线变体，我们对代数曲线的有限子集的笛卡儿积提出相同的问题。这些问题位于组合学、代数学和几何学的交叉点：它们提出关于代数对象的组合问题，其答案被证明可以应用于涉及距离、直线和圆等基本对象的几何问题，以及加法组合学的和积型问题。作为最近激增的代数技术在组合几何的一部分，一些定量和定性的步骤已经在这个框架内。尽管如此，许多诱人的开放问题仍然存在。
Combinatorial proofs for partitions with repeated smallest part
针对 Andrews 与 El Bachraoui 关于最小部分恰重复 $k$ 次且其余部分不重复的整数分拆恒等式，本文通过构造双射给出组合证明。
The Occurrence-in-subtuple problem
当我们进行生物信息学分析时，我们遇到了一个新的组合问题。虽然这个问题非常特殊，但可能有更多的应用程序，而不仅仅是这个。本文主要讨论一般组合问题的精确解及其推导。这类实际问题的概要在讨论中。
Combinatorial and stochastic properties of ranked tree-child networks
树子网络是最近描述的一类有向无圈图，在遗传学（进化树和网络的研究）中已经变得突出。虽然这些网络具有许多吸引人的数学性质，但与之相关的许多组合问题仍然难以解决。在本文中，我们表明，赋予这些网络与生物相关的排名结构产生数学上易于处理的对象，我们称之为排名树子网络（RTCN）。我们解释了如何获得精确和明确的组合结果，这些网络的枚举和生成。我们还探讨了概率问题的RTCN的属性时，他们均匀随机抽样。这些问题包括根和叶之间的随机游动的长度（从根到叶和从叶到根）;网络中樱桃数量的分布;以及以显示给定树为条件的RTCN采样。我们还制定了一个猜想的过程中，计数的祖先的一片叶子的谱系数的缩放限制。本文的主要思想，即使用排名作为实现组合易处理性的一种方式，也可以扩展到其他类别的网络。
On combinatorial algebras generated by three commuting matrices
本文研究了由三个可交换矩阵生成的组合代数，证明了在特定条件下其维度上限。
Combinatorial Nullstellensatz modulo prime powers and the Parity Argument
我们提出了新的推广奥尔森定理和阿隆的组合零点的后果。这些使我们能够扩展他们的一些组合应用的条件模素数的条件模素数的权力。我们分析了这类组合问题对应的计算搜索问题，证明了寻找度约束子图模$2^d$（如$2^d$ -可除子图）的问题和搜索$\mathbb{F}_2$上的组合零点问题属于复杂性类多项式奇偶论证（PPA）.
Any Three Longest Paths In A Connected Graph Has A Common Vertex
本文解决了1995年英国组合数学会议提出的问题，证明了连通图中任意三条最长路径必有一个公共顶点。
Shadows and intersections: stability and new proofs
我们给一个简短的新的证明版本的Kruskal-Katona定理由于Lovász。我们的方法可以扩展到一个稳定性的结果，描述的近似结构的配置是接近极值，这回答了一个问题的Mubayi。这反过来又导致了另一个组合证明的稳定性定理相交的家庭，这是最初获得的Friedgut使用频谱技术，然后锐化Keevash和Mubayi的手段，一个纯粹的组合结果弗兰克尔。我们还给出了一个代数的角度来看这些问题，给出了另一个证明的交叉稳定性，依赖于扩展的某个凯莱图的对称群，和代数推广的Lovász定理，回答了一个问题的Frankl和Tokushige。
A new solution to square matrix completion problem
本文给出了方阵的一个经典完备化问题的新解法。这个问题被许多作者研究过，在[2，3]中完全解决了。在本文中，我们将这个经典问题与一个纯组合问题联系起来，这个问题涉及到[4]中研究的整数的分拆及其优化。我们在这些方法中表现出令人惊讶的关系，作为推论，我们得到了一个新的组合结果的整数分区。
On the algebra generated by three commuting matrices: combinatorial cases
本文研究三个两两交换矩阵生成代数的维数上界问题，针对由组合数据产生的特殊三元矩阵组类，回答了Gerstenhaber关于矩阵对结论能否推广到三元组的公开问题。
Recent progress on the combinatorial diameter of polytopes and simplicial complexes
赫希猜想，提出于1957年，说明图的$d$维多面体或多面体的$n$方面不能有直径大于$n - d$。这个猜想本身已被证明是错误的，但我们对这个根本问题的了解却相当少。最值得注意的是，没有多项式的上界是已知的直径被证明是线性的。相反，没有多面体违反猜想超过25%是已知的。本文综述了近年来在这一问题上的一些尝试和进展。有些人在多面体或（更常见的）有界多面体的世界中工作，但有些人试图通过将其推广到单纯复形来阐明这个问题。特别是，我们在这里包括我们最近和以前未发表的证明，即任意单纯复形的最大直径是在$n^{Theta(d)}$中，我们总结了polymath 3项目中的主要思想，这是一个基于网络的集体努力，试图证明多面体和更一般对象（包括，e）的直径的nd类型的上界。例如，在一个实施例中，单形流形）。
Conscious and controlling elements in combinatorial group testing problems with more defectives
在组合群测试问题中，提问者需要通过测试$[n]$的子集来找到有缺陷的元素$x\in [n]$。在[18]中，作者引入了一个新的模型，其中每个元素都知道包含它的查询的答案，并且每个元素都应该能够识别有缺陷的元素。在这篇文章中，我们继续研究这类模型与更多的缺陷元素。我们还考虑了受秘密共享模型启发的相关模型，其中元素应该在它们之间共享信息以找出缺陷。最后还研究了不同模型的自适应版本。
A study of unimodality of some combinatorial sequences and polynomials
在这篇文章中，我们提出了一个简短的，非详尽的研究组合序列的一个重要的和众所周知的性质-单峰。我们将看一看关于单峰性和相关性质的经典结果的例子，然后继续更详细地理解高斯多项式的单峰性。我们将看看一个大纲奥哈拉的证明单峰的高斯多项式。为了掌握获得高斯多项式单峰性的单射证明（这仍然是一个悬而未决的问题）的问题的挑战，我们进行了几次尝试，并了解这些尝试失败的地方。
Obstructions to combinatorial formulas for plethysm
出于Mulmuley和斯坦利的问题，我们调查准多项式所产生的体积公式。我们证明，$S^3(S^k)$和$S^k(S^3)$的例子，这些不需要计数函数的非齐次多面体的维度等于准多项式的程度。由此可见，这些函数一般不是任何缩放凸体中的格点的计数函数，即使在限制为单射线时也是如此。我们的结果也适用于特殊的矩形Kronecker系数。
Analytic Samplers and the Combinatorial Rejection Method
玻尔兹曼采样器，由Duchon等人在2001年引入，使得可以从任何可以通过符号方法指定的类中均匀地绘制近似大小的对象。这通过计算相关的生成函数来获得正确的分支概率。但是这些采样器需要生成函数，特别是在它们的光照度附近，这是一个复杂的问题;它们还需要选择适当的调整值以最好地控制生成对象的大小。虽然埃克塞特~ \etal对第一个问题提出了一个全面的问题，但随着他们的牛顿预言的引入，问题仍然存在。通过调整拒绝方法，一个经典的工具，从随机，我们展示了如何获得一个变种的玻尔兹曼采样器框架，这是宽容的近似，甚至大的。我们的目标是双重的：这允许使用近似值进行精确采样;但这也允许在调整采样器时具有更大的灵活性。对于简单树类，我们将尝试展示如何使用它来更容易地校准采样器。
Antiprismless, or: Reducing Combinatorial Equivalence to Projective Equivalence in Realizability Problems for Polytopes
这篇文章展示了一个没有反棱柱的四维组合多面体，回答了Bernt Lindstöm提出的一个问题。因此，这个组合多面体的任何实现都有一个面，它不能在不倾倒的情况下休息。为此，我们提供了一个通用的方法来解决广泛的类的可实现性问题。具体来说，我们表明，任何半代数属性，面临继承，给定的财产持有的一些实现的每一个组合多面体的当且仅当财产持有从一些投影副本的每一个多面体。证明使用下面的结果。给定任何顶点具有代数坐标的多面体，存在具有指定面的组合“图章”多面体，其在所有实现中与给定多面体投影等价。在这里，我们构建了一个新的邮票多面体，是密切相关的Richter-Gebert的证明的普遍性4维多面体，我们推广了几个工具，证明。
Some Algorithmic Problems in Polytope Theory
本文综述了关于凸多胞体的组合性质和几何性质的算法问题。我们列出了35个问题，每个问题的理论复杂性状态的当前状态的知识报告。这些问题被分为“坐标描述”、“组合结构”、“同构”、“优化”、“可实现性”和“超越多面体”等部分。
Combinatorial proof of an inequality on some partitions separated by parity
本文通过组合方法证明了关于按奇偶性分开的划分的不等式在n≥373时成立，回答了Bringmann等人的提问。
Combinatorial aspects of the non-symmetric strong spectral property for graphs
本文从组合学角度研究图的非对称强谱性质，提出一种新的方法识别需要该性质的矩阵模式，并证明双路径中的环赋值对建立该性质至关重要，同时验证了某些有向图家族中要求该性质的最小弧数为2n-1。
Smart elements in combinatorial group testing problems
在组合群测试问题中，提问者需要通过测试$[n]$的子集来找到一个特殊的元素$x \in [n]$。Tapolcai等人引入了一个新的模型，其中每个元素都知道包含它的查询的答案，并且每个元素都应该能够识别特殊的元素。利用极值集理论的经典结果，我们证明了，如果$\mathcal{F}_n \subset 2^{[n]}$解决了这个问题的非自适应版本，并具有最小的基数，那么$$\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{|\mathcal{F}_n|}{\log_2 n} = \log_{(3/2)}2.$$这改进了Tapolcai等人的结果。我们还考虑了相关的模型的启发秘密共享模型，其中的元素应该共享信息，他们之间找到特殊的。最后研究了不同模型的自适应版本。
The Kadison-Singer problem in discrepancy theory
给出了C*-代数中著名的Kadison-Singer问题的一种组合形式。这个组合问题，有几个小的变化，是一个关于C^n中向量的差异问题。在偏差理论中，某些部分结果可以从已知事实中很容易地推出。
Counting Conjugacy Classes of Elements of Finite Order in Lie Groups
利用组合技巧，我们回答了两个关于简单经典李群的问题。定义$N(G,m)$为李群$G$中有穷级$m$的元素的共轭类的个数，$N(G,m,s)$为元素具有$s$不同特征值或特征值共轭对的类的个数。什么是$N(G,m)$？对于$G$，是酉群、正交群还是辛群？什么是适用于这些群体的$N(G,m,s)$？对于某些情况，第一个问题在几十年前就通过群论技术得到了回答。看来第二个问题以前没有人问过，这里它是受到弦理论中真空计数问题的启发。我们的组合方法使我们能够回答这两个问题。
Some old and new problems in combinatorial geometry I: Around Borsuk's problem
Borsuk在1933年提出了一个问题，即$R^d$中直径为1的每一个集合是否都可以被直径更小的$d+1$集合所覆盖。1993年，Kahn和Kalai基于Frankl和Wilson的一个定理给出了一个负解。在本文中，我将提出有关Borsuk的问题。
On a combinatorial problem of Erdos, Kleitman and Lemke
在本文中，我们研究了一个组合问题，起源于以下猜想的Erdos和Lemke：给定任何序列的n个因子的n，允许重复，存在一个子序列的元素是总和为n。这个猜想由Kleitman和Lemke证明，他们随后将原问题扩展到有限阿贝尔群框架下的零和不变量问题。建筑等早期的作品由阿隆和Dubiner和作者，我们的主要定理给出了一个新的上界为这一不变的一般情况下，并提供其权利的数量级。
Combinatorial Aspects of the Distribution of Rough Objects
一般粗糙集的逆问题，认为本作者在她的一些早期论文，在其表现形式之一，基本上是问题时，代理人的意见，清晰和非清晰的对象在一组对象有一个粗糙的演变。在这项研究中，从数论和组合的角度来看，在很少的假设下，数据的性质和一些必要条件得到证明的问题的性质。
Quantum Combinatorial Games: Structures and Computational Complexity
最近，有人提出了一个标准化的框架，用于在完全信息和没有机会的数学游戏中引入量子启发的移动。量子游戏之美简洁的表现，丰富的结构，爆炸性的复杂性，令人眼花缭乱的可视化，和复杂的战略推理，吸引我们玩具体的游戏充满了微妙之处，并描述抽象的属性相关的复杂性后果。超越个别的游戏，我们探索作为一个整体的量子组合游戏的易处理性，并解决基本问题，包括：量子飞跃的复杂性：是否有多项式时间可解的游戏，其量子扩展是棘手的？复杂性中的量子崩溃：是否存在PSPACE完备博弈，其量子扩展落在多项式时间层次的较低水平？量子性很重要：在量子移动下，结果类和策略如何变化？在什么情况下量子性不重要？量子跳跃的PSPACE障碍：量子移动能否将PSPACE博弈发射到外多项式空间我们表明，量子移动不仅丰富了博弈结构，而且影响了它们的计算复杂性。在解决这些基本问题时，我们描述了量子移动的力量和局限性，以及它们所创建的游戏配置的叠加。我们的建设性的证明，无论是在具体的量子尼姆和量子无向地理的复杂性的飞跃和连续的崩溃，在量子设置，在抽象的PSPACE完整的游戏的复杂性的多项式时间层次的每一个级别，说明了惊人的计算景观量子游戏和突出意想不到的量子影响令人惊讶的转折。我们的研究还使我们能够确定量子组合博弈论（QCGT）的几个基本的优雅的开放问题。
Combinatorial approaches to Hopf bifurcations in systems of interacting elements
我们描述了组合方法的问题，是否家庭的实矩阵承认对非实特征值通过虚轴。在动力系统的研究中，当矩阵以雅可比矩阵的形式出现时，这些条件为此类系统的参数化族中发生Hopf分支提供了必要条件。这些技术依赖于加法复合矩阵的谱性质：特别地，我们将矩阵的乘积与一个有符号的标记有向图相关联，称为DSR^[2]图，它编码关于该乘积的第二个加法复合的信息。给出了该图的圈结构的一个条件，排除了非实特征值具有正实部的可能性。所开发的技术被应用于称为“相互作用网络”的相互作用元素的系统，其中化学反应网络是一个特例。
Determinantal Characterization of Canonical Curves and Combinatorial Theta Identities
利用Brill-Noether矩阵的g+1个行列式的组合积的消失来刻画亏格g标准曲线.这也意味着用（g-2）（g-3）/2 θ恒等式来刻画正则曲线。一个显著的机制，基于以Szego核表示的H^0（K_C）的基，将这样的恒等式简化为矩阵的简单秩条件，矩阵的元素是θ函数的对数导数。这样的基础，与费伊的三割线的身份，也导致解决的问题表示的行列式的布里-诺特矩阵的θ函数，而不使用有问题的克莱因-费伊节西格玛。
Combinatorial properties of continuous graphs: A survey of challenges, solutions and open problems
本文聚焦连续图（边为单位长度连续区间）上的组合优化问题，综述了独立集、顶点覆盖等问题的已知研究成果，并整理了相关开放问题清单，为该领域研究提供参考。
On a Combinatorial Problem Arising in Machine Teaching
本文证明了一个关于机器教学中教学维度最坏情况的猜想，该猜想涉及一致性矩阵包含二进制表示时的情形，结果推广了超立方体边缘等周定理。
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